2019年极坐标与参数方程全国高考题汇总(精编完美版)

极坐标与参数方程全国高考题汇总

1.【2014·全国Ⅱ】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴

为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤0，π2

⑴求C 的参数方程；

⑵设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l :y ＝3x ＋2垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D 的坐标.

解：⑴C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤.可得C 的参数方程为

1cos ,

sin ,

x t y t =+⎧⎨

=⎩（t 为参数，0t x ≤≤） ⑵设D (1cos ,sin )t t +.由（I ）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆。 因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，

tan 3

t t π

==

.故D 的直角坐标为(1cos

,sin )33

π

π+，即3(2。

2.【2014·全国Ⅰ】已知曲线C ：x ²4＋l ：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数）

⑴写出曲线C 的参数方程，直线l ⑵过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值。

【解析】：⑴曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θ

θ

=⎧⎨=⎩ （θ为参数），

直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分 ⑵在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为

3sin 6d θθ=

+-，

则()

0||6sin 30d PA θα=

=+-，其中α为锐角．且4tan 3α=.

当()sin 1θα+=-时，||PA

当()sin 1θα+=时，||PA …………10分

3.【2015·全国Ⅰ】在直角坐标系xOy 中.直线C 1:x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ⑴求C 1，C 2的极坐标方程；

⑵若直线C 3的极坐标方程为θ＝π

4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积。

解：⑴因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。 ……5分 ⑵将4

π

θ=

代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=

，得240ρ-+=

，解得

1ρ=

，2ρ

12ρρ-=

MN =

由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为1

2

。

4.【2015·全国Ⅱ】在直线坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcosα

y ＝tsinα

(t 为参数，t ≠0)其

中0≤α≤π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：p =2sinθ，C 3：p =23cosθ。

⑴求C 1 与C 3 交点的直角坐标；

⑵若C 1 与C 2 相交于点A ，C 1 与C 3 相交于点B ，求|AB |的最大值。

解：⑴曲线C 2的直角坐标方程为2220,x y y +-=曲线C 3

的直角坐标方程为

220.x y +-=

联立222220,0.

x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得0,0,x y =⎧⎨=⎩

或,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)

和3.

2⎫

⎪⎪⎝⎭

⑵曲线C 1的极坐标方程为 (),0,0.a R a θρρπ=∈≠≤<其中 因此A 的极坐标为()2sin ,,a a B

的极坐标为()

,.a a

所以

2sin 4sin .3AB a a a π⎛

⎫=-=- ⎪⎝⎭

当56a π=时，AB 取得最大值，最大值为4.

5.【15北京理科】在极坐标系中，点⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为

． 【答案】1

【解析】先把点(2,)3

π

极坐标化为直角坐标

，再把直线的极坐标方程

()

cos 6ρθθ=

化为直角坐标方程60x +

-=，利用点到直线距离

公式1d =

=.

6.【15年广东理科】已知直线l 的极坐标方程为2ρsin (θ－π

4)＝2，点A 的极坐标为⎝ ⎛

⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为 。

【解析】依题已知直线l

：2ρ和

点74A π⎛

⎫ ⎪⎝

⎭可化为l ：

10x y -+=和()2,2A -，所以点A

2

d =

=

． 7.【15年广东文科】在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ²

y ＝22t (t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为 。

【答案】()2,4-

【解析】曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由

228x y y x

+=-⎧⎨=⎩得：2

4x y =⎧⎨

=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-。 8.【15年福建】在平面直角坐标系xOy 中，圆C

的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝1＋3cost y ＝－2＋3sint

(t

为参数)，.在极坐标系与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以X 轴非负半轴为极轴中，直线l 的方程为2rsin (q －p

4)＝m ，(m ∈R )。 ⑴求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；