2019年广东省河源市中考数学试题及答案

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．

1．﹣2的绝对值是

A ．2

B ．﹣2

C ．2

1 D ．±

2 2．某网店2019年母亲节这天的营业额为221 000元，将数221 000用科学记数法表示为

A ．2.21×106

B ．2.21×105

C ．221×103

D ．0.221×106

3．如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是

4．下列计算正确的是

A ．b 6÷b 3=b 2

B ．b 3·b 3=b 9

C ．a 2+a 2=2a 2

D ．(a 3)3=a 6

5．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是

6．数据3、3、5、8、11的中位数是

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

7．实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是

A ．a>b

B ．|a| < |b|

C ．a+b>0

D ．b a <0

8．化简24的结果是

A ．﹣4

B ．4

C ．±4

D ．2

9．已知x 1、x 2是一元二次方程了x 2﹣2x=0的两个实数根，下列结论错误的是

A ．x 1≠x 2

B ．x 12﹣2x 1=0

C ．x 1+x 2=2

D ．x 1·x 2=2

10．如图，正方形ABCD 的边长为4，延长CB 至E 使EB=2，以EB 为边

在上方作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM 、AF ，H 为AD

的中点，连接FH 分别与AB 、AM 交于点N 、K ．则下列结论：①△

ANH ≌△GNF ；②∠AFN=∠HFG ；③FN=2NK ；④S △AFN : S △ADM =1 : 4．其

中正确的结论有

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的

位置上．

11．计算20190+(3

1)﹣1=____________． 12．如图，已知a ∥b ，∠l=75°，则∠2 =________．

13．一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是_________．

14．已知x=2y+3，则代数式4x ﹣8y+9的值是___________．

15．如图，某校教学楼AC 与实验楼BD 的水平间距CD=315米，在实验楼的顶部B 点测得教学楼顶

部A 点的仰角是30°，底部C 点的俯角是45°，则教学楼AC 的高度是_________________米（结果保留根号）．

16．如题16-1图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按题16-2

图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（题16-1图）拼出来的图形的总长度是_____________________（结果用含a 、b 代数式表示）．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17．解不等式组：

18．先化简，再求值：4-x x -x 2-x 1-2-x x 22÷??

? ?? ，其中x=2． 19．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点．

（1）请用尺规作图法，在△ABC 内，求作∠ADE ．使∠ADE=∠B ，DE 交AC 于E ；（不要求写作法，保

留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若DB AD =2，求EC

AE 的值．

四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题7分，共21分）

20．为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如题20图表所示，根据图表信息解答下列问题：

（1）x =________，y =_______，扇形图中表示C 的圆心角的度数为_______度；

（2）甲、乙、丙是A 等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，

用列表法或画树状图法，求同时抽到甲、乙两名学生的概率．

21．某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，己知每个篮球的价格为70元，

毎个足球的价格为80元．

（1）若购买这两类球的总金额为4600元，篮球、足球各买了多少个？

（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，最多可购买多少个篮球？

22．在如图所示的网格中，每个正方形的连长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点

均在格点上，以点A 为圆心的与BC 相切于点D ，分别交AB 、AC 于点E 、F ．

（1）求△ABC 三边的长；

（2）求图中由线段EB 、BC 、CF 及所围成的阴影部分的面积．

五、解答题（三）（本大题3小题，毎小题7分，共21分）

23．如图，一次函数y=k 1x+b 的图象与反比例函数y=

k 2的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（﹣1，4），点B 的坐标为（4，n ）．（1）根据函数图象，直接写出满足k 1x+b>x

k 2的x 的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；

（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP : S △BOP =1 : 2，求点P 的坐标．

24．如题24-1图，在△ABC 中，AB=AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点C 作∠BCD=∠ACB 交⊙O 于点D ，

连接AD 交BC 于点E ，延长DC 至点F ，使CF=AC ，连接AF ．

（1）求证：ED=EC ；

（2）求证：AF 是⊙O 的切线；

（3）如题24-2图，若点G 是△ACD 的内心，BC ·BE=25，求BG 的长．

25．如题25-1图，在平面直角坐标系中，抛物线y=8

37 -x 433x 832 与x 轴交于点A 、B(点A 在点B 右侧)，点D 为抛物线的顶点．点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ．

（1）求点A 、B 、D 的坐标；

（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；

（3）如题25-2图，过顶点D 作DD 1⊥x 轴于点D 1，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM ⊥ x 轴，

点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．

①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；

②直接回答

．．．．这样的点P共有几个？

参考答案

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正

确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．

1.A

2.B

3.A

4.C

5.C

6.C

7.D

8.B

9.D 10.C

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的

位置上．

11.4 12. 105° 13. 8 14. 21 15.15+153 16. a+8b

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17.解：由①得x＞3，由②得x＞1，

∴原不等式组的解集为x＞3.

18.解：原式=

2-x 1-x

=2-x 1-x ×()()()1-x x 2-x 2x + =

x 2x + 当x=2，原式=2

22+=2222+=1+2. 19.解：（1）如图所示，∠ADE 为所求.

（2）∵∠ADE=∠B

∴DE ∥BC

∴EC AE =DB

AD ∵DB

AD =2 ∴

EC AE =2 四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题7分，共21分）

20.解：（1）y=10÷25%=40，x=40-24-10-2=4，C 的圆心角=360°×40

4=36° （2）画树状图如下：

一共有6种可能结果，每种结果出现的可能性相同，其中同时抽到甲、乙的结果有2种 ∴P （甲乙）=62=3

答：同时抽到甲、乙两名学生的概率为3

1. 21.解：（1）设购买篮球x 个，则足球（60-x ）个.

由题意得70x+80（60-x ）=4600，解得x=20

则60-x=60-20=40.

答：篮球买了20个，足球买了40个.

（2）设购买了篮球y 个.

由题意得 70y ≤80（60-x ），解得y ≤32

答：最多可购买篮球32个.

22.解：（1）由题意可知，AB=2262+=102，AC=2262+=102， BC=2284+=54

（2）连接AD

由（1）可知，AB2+AC2=BC2，AB=AC

∴∠BAC=90°，且△ABC 是等腰直角三角形

∵以点A 为圆心的与BC 相切于点D

∴AD ⊥BC

∴AD=2

1BC=52 （或用等面积法AB ·AC=BC ·AD 求出AD 长度） ∵S 阴影=S △ABC －S 扇形EAF

S △ABC =2

1×102×102=20 S 扇形EAF =()

25241π =5π

∴S 阴影=20－5π

23.解：（1）x ＜-1或0＜x ＜4

（2）∵反比例函数y=x

k 2图象过点A （﹣1，4） ∴4=1

-k 2，解得k 2=﹣4 ∴反比例函数表达式为x 4-

y = ∵反比例函数x

4-y =图象过点B （4，n ） ∴n=4

4-=﹣1，∴B （4，﹣1） ∵一次函数y=k 1x+b 图象过A （﹣1，4）和B （4，﹣1）

∴?

??+=+=b k 41-b -k 411，解得???==3b 1-k 1 ∴一次函数表达式为y=﹣x+3

（3）∵P 在线段AB 上，设P 点坐标为（a ，﹣a+3）

∴△AOP 和△BOP 的高相同

∵S △AOP : S △BOP =1 : 2

∴AP : BP=1 : 2

过点B 作BC ∥x 轴，过点A 、P 分别作AM ⊥BC ，PN ⊥BC 交于点M 、N

∵AM ⊥BC ，PN ⊥BC ∴BN

MN BP AP = ∵MN=a+1，BN=4-a ∴21a -41a =+，解得a=3

2 ∴-a+3=3

7 ∴点P 坐标为（

32，37）（或用两点之间的距离公式AP=

()()224-3a -1a +++，BP=()()223-a 1-a -4++，由21BP AP =解得a 1=3

2，a 2=-6舍去） 24.（1）证明：∵AB=AC

∴∠B==∠ACB

∵∠BCD=∠ACB

∴∠B=∠BCD

∵=

∴∠B=∠D

∴∠BCD=∠D

∴ED=EC

（2）证明：

连接AO并延长交⊙O于点G，连接CG 由（1）得∠B=∠BCD

∴AB∥DF

∵AB=AC，CF=AC

∴AB=CF

∴四边形ABCF是平行四边形

∴∠CAF=∠ACB

∵AG为直径

∴∠ACG=90°，即∠G+∠GAC=90°

∵∠G=∠B，∠B=∠ACB

∴∠ACB+∠GAC=90°

∴∠CAF+∠GAC=90°即∠OAF=90°

∵点A在⊙O上

∴AF是⊙O的切线

（3）解：

连接AG

∵∠BCD=∠ACB ，∠BCD=∠1

∴∠1=∠ACB

∵∠B=∠B

∴△ABE ∽△CBA ∴BC

AB AB BE = ∵BC ·BE=25

∴AB 2

=25

∴AB=5

∵点G 是△ACD 的内心

∴∠2=∠3

∵∠BGA=∠3+∠BCA=∠3+∠BCD=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAG

∴BG=AB=5 25.（1）解：由y=837 -x 433x 832+=()32-3x 8

3+得点D 坐标为（﹣3，32）令y=0得x 1=﹣7，x 2=1

∴点A 坐标为（﹣7，0），点B 坐标为（1，0）

（2）证明：

过点D 作DG ⊥y 轴交于点G ，设点C 坐标为（0，m ）

∴∠DGC=∠FOC=90°，∠DCG=∠FCO

∴△DGC ∽△FOC ∴CO

CG FO DG = 由题意得CA=CF ，CD=CE ，∠DCA=∠ECF ，OA=1，DG=3，CG=m+32

∵CO ⊥FA

∴FO=OA=1 ∴m

32m 13+=，解得m=3 （或先设直线CD 的函数解析式为y=kx+b ，用D 、F 两点坐标求出y=3x+3，再求出点C 的坐标）

∴点C 坐标为（0，3）

∴CD=CE=()223233++=6

∵tan ∠CFO=FO

CO =3 ∴∠CFO=60°

∴△FCA 是等边三角形

∴∠CFO=∠ECF

∴EC ∥BA

∵BF=BO －FO=6

∴CE=BF

∴四边形BFCE 是平行四边形

（3）解：①设点P 坐标为（m ，8

37-m 433m 832+），且点P 不与点A 、B 、D 重合．若△PAM 与△DD 1A 相似，因为都是直角三角形，则必有一个锐角相等．由（1）得AD 1=4，DD 1=32

（A ）当P 在点A 右侧时，m ＞1

（a ）当△PAM ∽△DAD 1，则∠PAM=∠DAD 1，此时P 、A 、D 三点共线，这种情况不存在

（b ）当△PAM ∽△ADD 1，则∠PAM=∠ADD 1，此时1

1DD AD AM PM = ∴3

241-m 837-m 433m 832=+，解得m 1=35-（舍去），m 2=1（舍去），这种不存在（B ）当P 在线段AB 之间时，﹣7＜m ＜1

（a ）当△PAM ∽△DAD 1，则∠PAM=∠DAD 1，此时P 与D 重合，这种情况不存在

（b ）当△PAM ∽△ADD 1，则∠PAM=∠ADD 1，此时1

1DD AD AM PM = ∴3

241-m 837-m 433m 832=+，解得m 1=35-，m 2=1（舍去）（C ）当P 在点B 左侧时，m ＜﹣7

（a ）当△PAM ∽△DAD 1，则∠PAM=∠DAD 1，此时1

1AD DD AM PM = ∴﹣3

241-m 837-m 433m 8

32=+432，解得m 1=﹣11，m 2=1（舍去）（b ）当△PAM ∽△ADD 1，则∠PAM=∠ADD 1，此时

11DD AD AM PM = ∴﹣3

241-m 837-m 433m 832=+，解得m 1=337-，m 2=1（舍去）综上所述，点P 的横坐标为35-，﹣11，3

37-，三个任选一个进行求解即可． ②一共存在三个点P ，使得△PAM 与△DD 1A 相似．