(完整版)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)
用放缩法处理数列和不等问题（教师版）
一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：
（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=
n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2
1
解：（1）由已知得2 )1(4+=n n a S ，2≥ n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：12 12224----+=n n n n n a a a a a ，所 以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由 1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)1 21 121(21)12)(12(111+--=+-== +n n n n a a b n n n ，所以 2 1)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-= n n n B n Λ 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列 {}n a 的前n 项的和,1412 2333 n n n S a += -?+，1,2,3,n =g g g （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n =g g g ，证明：1 32n i i T =<∑. 解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+2 3, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23 所以a 1=2 再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +2 3 , n=2,3，4,… 将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13 ×(2n+1－2n ),n=2,3, … 整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1 ),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4 n －1 = 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …, (Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1 －2) = 23 ×(2n+1－1)(2n －1) T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1) 所以, 1 n i i T =∑ = 3 2 1 ( n i =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121 n +-) < 3 2 二．先放缩再求和 1．放缩后成等比数列，再求和 例2．等比数列 {}n a 中，1 1 2 a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列． 设n n n a a b -=12 ，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：1 3n T <． 解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比981 2 a q a = =-． ∴n n a )2 1 (-=． n n n n n n b 2 31 )2(41)2 1(141?≤--= --= ． （利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想） ∴n n b b b B Λ++=2131)211(312 11) 21 1(213123123123122<-=--? =?++?+?≤n n Λ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列 {}n a 的通项公式； （II ）若数列{}n b 滿足12111 *444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈L ，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明： *122311...()232 n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈. （I ）解：* 121(),n n a a n N +=+∈Q 112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列 12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈ （II ）证法一：12111 44 ...4(1).n n k k k k n a ---=+Q 12(...)42.n n k k k n nk +++-∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+=* 211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴ 是等差数列 （III ）证明：Q 1121211 ,1,2,...,,1212 2(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2) n n a a a n a a a +∴ +++< 111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 Λ=+ =+n a n a n n n ．求证：1 121 3-++-≥>n n n n a a 证明：因为n n n a n a )2 1(1 + =+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即02 1>= -+n n n n a n a a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥= -+，累加得：1 21 21 2221--+++≥-n n n a a Λ． 令12212221--+++= n n n S Λ，所以n n n S 2 1 22212132-+++=Λ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=-Λ，所以1212-+-=n n n S ，所以12 13-+-≥n n n a ， 故得1 121 3-++- ≥>n n n n a a ． 3．放缩后成等差数列，再求和 例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2 2n n n a a S +=. (1) 求证：22 14 n n n a a S ++<； (2) <+???+< 解：（1）在条件中，令1=n ，得1112 122a S a a ==+，1011 =∴>a a Θ ，又由条件n n n S a a 22 =+有112 12+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得 0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a Θ ∴11n n a a +-= 所以， n n a n =-?+=)1(11，(1) 2 n n n S += 所以4 2)1(212)1(2 1 2 22++=++?<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+< n n n n ，所以 2 1 2)1(2 +< +< n n n n ，所以 2)1(23222121+++?+?= ++n n S S S n ΛΛ2 1 2322++++ 12 2312-= += +n S n n ； 2 2 2)1(2 2 22 121n n S n n n S S S = += + ++ > ++ΛΛ 练习： 1.（08南京一模22题）设函数213 ()44 f x x bx = +-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈. (Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式； 1,1n n N a += ∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和1 6 的大小并证明之. 解：(Ⅰ) 1 2 b = （利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵21111(22)22123n c n n n ??=<- ?+++??，∴1231111 +23236 n n T c c c c n ??=+++???<-< ?+??… 2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有 8 711154<+++m a a a Λ 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2； ⑵由已知得：1 112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1） 化简得：1 122(1) n n n a a --=+- 2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32 ) 1([232)1(1 1+--=+---n n n n a a 故数列{ 32)1(+-n n a }是以3 2 1+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故 1)2)(31(32)1(---=+-n n n a ∴22[2(1)]3 n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22 [2(1)]3 n n n a -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边 = 232451113111[]221212(1)m m m a a a -+++=+++-+--L L ，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知： 3 23221 21121121+ >++-， 43432121121121+ <-++，因此，可将121 2-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(>m 时， m a a a 11154+++Λ)11()11(11654m m a a a a a +++++=-Λ )2 1 2121(2321243-++++< m Λ )2 11(4123214--?+= m 8321+< 8 7= （2）当m 是奇数)4(>m 时，1+m 为偶数， 8 711111111165454<+++++<++++m m m a a a a a a a a ΛΛ 所以对任意整数4>m ，有 m a a a 11154+++Λ8 7<。 本题的关键是并项后进行适当的放缩。 3.（07武汉市模拟）定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,22 11 求证：（1）对于* ∈N n 恒有n n a a >+1成立； （2）当* ∈>N n n 且2，有11211+=-+a a a a a n n n Λ成立； （3）11112112006 212006 <+++< - a a a Λ 分析：（1）用数学归纳法易证。 （2）由12 1 +-=+n n n a a a 得：)1(11-=-+n n n a a a )1(111-=-∴--n n n a a a … … )1(1112-=-a a a 以上各式两边分别相乘得： )1(111211-=--+a a a a a a n n n Λ，又21=a 11211+=∴-+a a a a a n n n Λ （3）要证不等式11112112006 212006 <+++< - a a a Λ， 可先设法求和： 2006 21111a a a +++Λ，再进行适当的放缩。 )1(11-=-+n n n a a a Θn n n a a a 1111 11--= -∴ +1 1 1111---=∴+n n n a a a 200621111a a a +++∴ Λ)1 111()1111()1111(200720063221---++---+---=a a a a a a Λ 111120071---= a a 2006 2111a a a Λ-=1<又20062006 1 2006212=>a a a a Λ 20062006212 1 111->- ∴a a a Λ∴原不等式得证。 本题的关键是根据题设条件裂项求和。 用放缩法处理数列和不等问题（学生版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列 {}n a 的前n 项的和,1412 2333 n n n S a += -?+，1,2,3,n =g g g （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n =g g g ，证明：1 32n i i T =<∑. 二．先放缩再求和 1．放缩后成等比数列，再求和 例2．等比数列 {}n a 中，1 1 2 a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列． 设n n n a a b -=12 ，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：1 3n T <． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列 {}n a 的通项公式； （II ）若数列{}n b 滿足12111 *444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈L ，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明： *122311...()232 n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈. 2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{}n a 满足：11 =a ，)3,2,1()21(1Λ=+ =+n a n a n n n ．求证：1 121 3-++-≥>n n n n a a 3．放缩后成等差数列，再求和 例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2 2n n n a a S +=. (1) 求证：22 14 n n n a a S ++<； (2) <+???+< 练习： 1.（08南京一模22题）设函数213 ()44 f x x bx = +-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈. (Ⅰ) 求实数b的值；（II）求数列{}n a的通项公式； 1 , 1 n n N a+ =∈ + ，且数列{}n c的前n项和为n T，试比较n T和 1 6 的大小并证明之. 2.（04全国）已知数列} { n a的前n项和 n S满足：n n n a S)1 ( 2- + =，1 ≥ n （1）写出数列} { n a的前三项 1 a， 2 a， 3 a；（2）求数列} { n a的通项公式； （3）证明：对任意的整数4 > m，有 8 7 1 1 1 5 4 < + + + m a a a Λ 3.（07武汉市模拟）定义数列如下：* + ∈ + - = =N n a a a a n n n ,1 ,22 1 1 求证：（1）对于* ∈N n恒有 n n a a> +1 成立；（2）当* ∈ >N n n且 2，有1 1 2 1 1 + = - + a a a a a n n nΛ 成立； （3）1 1 1 1 2 1 1 2006 2 1 2006 < + + + < - a a a Λ