马尔可夫链应用于天气预报

马尔可夫链应用于天气预报

摘要：

在《概率论与随机过程》课中学习了马尔可夫链，马尔可夫过程因其无后效性、遍历性和时齐性，在科学研究、天气预测、农业预测、市场预测等方面应用非常广泛。本文通过对马尔可夫链理论和切普曼－柯尔莫哥洛夫方程的探讨，结合天气因素、降水情况的不确定性和无后效性等诸多特点，构建了基于天气预报的马尔可夫链预测模型，文中给出了马尔可夫链的一步转移概率矩阵和多重转移概率的计算方法，根据此算法可以预报短期天气情况，达到预测天气的目的。

关键字：马尔可夫链 天气预报 转移概率 切普曼－柯尔莫哥洛夫方程

1 引言

天气变化情况与人们的生产、生活息息相关，是人们普遍关注的重点问题之一。所以天气预报的准确性与时效性就显得尤为重要，否则将对人们带来不便，甚至有可能带来重大经济和人员损失。本文借助随机过程中著名的马尔可夫链模型，以某日天气的状态转移数据为例，建立了天气情况预测模型，并借助该模型应用马尔可夫链的遍历性，对未来天气的变化趋势作出了预测分析。由于马尔可夫过程应用广泛，它的重要特征是无后效性和遍历性。因此，运用马尔可夫链，只需要最近或现在的动态资料则可按转移概率可预测将来，这样就可以很方便地达到预测天气变化的目的。

2 马尔可夫链预测模型

2.1 马尔可夫链的概念和特性

马尔可夫过程是指具有以下特性的过程：过程X(t)（或系统）在时刻t 0所处的状态为已知的条件下,过程在时刻t ＞t 0所处状态的条件分布与过程在时刻t 0之前所处的状态无关，只与时刻t 0所处的状态有关，这种特性称为马尔可夫性或无后效性。则称X(t)为马尔可夫过程。

马尔可夫链实际上就是状态和时间都是离散的马尔可夫过程。这一特性可用分布函数来确切地表出：设随机过程{X(t),t ∈T}，状态空间为χ，若对于t 的任意n 个值t 1

{}

1

12211)(,,)(,)()(--===≤n n n n x t X x t X x t X x t X P {}R

x x t X x t X P n n n n n ∈=≤=--,)(|)(11

则称过程{X(t),t ∈T}具有马尔可夫性，并称此过程为马尔可夫过程。

若对于任意的正整数n ，r 和任意的 且{}

,2,1,

0=T ，有

其中a.∈χ, 称｛Xn,n=0,1，2，…｝为马氏链。

最重要的是转移概率

，表示马氏链在时刻m 处于状态a i 的条件下，在时刻m+n 转移到状态a j 的转移概率。

很容易得到 表示链在时刻m 从任何一个状态a i 出发，到另一时刻m+n 必然转移到a 1,a 2,…诸状态中的某一个，所以概率和为1。

马氏链的转移概率矩阵：由转移概率组成

马尔可夫链的齐次性：若对任意的正整数m 1, m 2， n 及任意的a i ，a j ，有

即马氏链{Xn,n ≥0}的转移概率P ij (m,m+n)与m 无关，则称转移概率具有平稳性，这时，马尔可夫链称为是齐次的。

马尔可夫链的n 步转移概率：

为齐次马氏链{Xn,n≥0}的n 步转移概率，并称由P ij (n)组成的矩阵

为n 步转移概率矩阵。

马尔可夫链的一步转移概率：

p ij 表示由状态a i 经一步转移到状态a j 的概率。

马尔可夫链的遍历性：设齐次马尔可夫链的状态空间为χ，如果对于所有的a i , a j ∈χ, 转移概率p ij (n) ,当n →∞时，存在不依赖于i 的极限

T

n m m t m t t t i r ∈+<<<<≤,,,021 {}

{}

i m j n m i m i t i t i t j n m a X a X P a X a X a X a X a X P r r ========++|,,,,2

2

1

1

{}

i m j n m ij a X a X P n m m P ==?++|),( .

,2,1,1),(1

∑∞

===+j ij i n m m p {}{}

i

m j n

m

i m j n m a X a X P a X a X P =====++221

1

||{}()

1,0,,,|)(≥≥∈==?+n m x a a a X a X P n P j i i m j n m ij ))(()(n P n ij ?P (){}

i m j m ij ij a X a X P p p ===?+|11()

)1()1(ij p P P =?j

ij n n p π=∞

→)(lim

?

? j πππ21))

,((),(n m m P n m m P ij +?+

则称此链具有遍历性，又若 ,

称 π=(π1,π2,…)为马尔可夫链的极限分布。 设齐次马氏链｛Xn,n ≥0｝的状态空间为χ＝{a 1, a 2,…,a N }，如果存在正整数m ，使对任意的a i ,a j ∈χ，都有 P ij (m)>0, i , j =1,…,N ，则此链具有遍历性，且有极限分布π=(π1,π2,…, πN )，它是方程组

的满足条件πj >0, 的唯一解。

在定理条件下，马氏链的极限分布是平稳分布，即若用π作为链的初始分布，p(0)=π，则链在任一时刻n 的分布p(n)永远与π一致.因为

2.2 Chapman-Kolmogorov （切普曼－柯尔莫哥洛夫）方程

设{X n ，n=0,1,…}为齐次马氏链，则对于任意的正整数k ，m ，有

，此方程称为Chapman-kolmogorov (切普曼－柯尔莫哥

洛夫)方程，简称C-K 方程。

如果把转移概率写成矩阵的形式，那么C －K 方程具有以下简单的形式 P(m+k)=P(m)P(k) ，m, k ≧0，特别地，P(n)=P n

, n 步转移概率由一步转移概率完全决定。

这样，如果知道了马尔可夫链的初始概率，即初始时刻各个状态的概率，并且知道它的一步转移概率矩阵，进而求得所有有限维概率分布，由此便可进行未来天气情况的预测，进行预报。

3 马尔可夫链预测天气

如果明天是否有雨仅于今天的天气（是否有雨）有关，而与过去的天气无关，并设今天下雨的情况下，明天有雨的概率为α；今天无雨的情况下，而明天有雨的概率为β；又假定把有雨称为0状态天气，把无雨称为1状态天气，则本例是一个两状态的马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为

∑=+r

rj ir ij k P m P k m P )()()(???

?--=????=

ββαα110100

p p p p P ∑=j

j 1πN

j p P N

i

ij i j ,...,2,1或1

==

=∑=ππππ∑=j

j 1πππππ======-P P

P n P p n p n n 1

)()0()(

设α=0.7，β=0.4，则一步转移概率矩阵为

于是两步转移概率矩阵为

由此，可预报后天的天气情况，今天有雨，后天仍有雨的概率为p 00（2）=0.61，后天无雨概率为p 01（2）=0.39；今天无雨，后天有雨的概率是p 10（2）=0.52，后天无雨的概率是p 11（2）=0.48。

同理四步转移概率矩阵为

据此可预报四日后的天气状况，今日有雨，第五日仍有雨的概率是p 00（4）=0.5749，今天 无雨，则第五日的降雨概率p 10（4）=0.5668。 六步转移概率矩阵为

据此可预报六天后的天气状况，今日有雨，第七日仍有雨的概率是p 00（6）=0.5717，今天 无雨，则第七日的降雨概率p 10（6）=0.5710。

因此，根据今日的天气状况，可由马尔可夫链的多步转移概率矩阵求得短期内的天气情况的概率，从而实现对天气的预报。这是马尔科夫链在天气预报方面的应用。

如果我们一直重复作下去，推得每一天的状况，一直到最后数字趋于稳定，我们称之“终极状态”。这个状态由马尔可夫链的遍历性可以求得。

设其极限分布为

，则由P ππ=得到，

???

??=+?+?=?+?=1

6.03.04

.07.021

212211ππππππππ ， 解得??

?==4286.05714.021ππ 由此可预测将来有雨的概率比较大，为0.5714。

4 结论

??

????=

6.04.03.0

7.0P ()?

?

?

???=????????????=

==48.052.039.061.06.04.03.07.06.04.03.07.022PP P P ()?

?

?

?

??==4332.05668.04251.05749.0))2((42P P ()?

?

?

???=??????????

??==4290.05710.04283.05717.048.052.039.061.04332.05668.04251.05749.0)2(*)4(6P P P ),(21πππ=

马尔可夫链是一种很重要的离散随机过程，简单说来就是用来求出一个事件的后续发展可能，当已知“现在”时刻过程的状态，那么过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。或者说，这种随机过程的将来只通过“现在”与“过去”发生联系，如果一旦知道“现在”，那么“将来”就和“过去”无关了。通过研究马尔可夫链，可观察后面的发展状况，利用初始分布和一步转移概率就可以完全确定马尔可夫链的统计规律。

天气预报是建立在对天气数据的分析统计之上的。因此数据越多，越精确，预测也就越可靠。利用马尔可夫模型对天气情况做出合理科学的预测分析，在各种天气变化预测中有着实际的重要意义，为气象管理部门预报天气和决策提供科学的理论依据。

当然，马尔可夫链的理论有趣，所用到的数学工具也较简单，广泛应用于各个领域，指导着人们的实际生产生活，人们对马尔科夫链的探索研究也将经久不息。

参考文献

[1]《马尔科夫链在天气预报中的应用》-- 武漫漫万弢 --《黑龙江科技信息》

[2]《概率论-数理统计-随机过程》-- 胡细宝孙洪祥王丽霞 -- 北京邮电大学出版社，2004年