同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用
第五章 定积分及其应用
本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题.
第1节 定积分的概念与性质
定积分问题举例
曲边梯形的面积 曲边梯形
设函数)(x f y =在区间[]
b a ,上非负、连续
由直线0,,===y b x a x 及曲线
)(x f y =所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧)(x f y =称为曲边
求曲边梯形的面积的近似值
将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形
每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积
则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是
在区间[]
b a ,中任意插
入若干个分点（图5-1）
,1210b x x x x x a n n =<<<<<=-Λ
把[]
b a ,分成n 个小区间
[],,10x x [],,21x x [],,32x x [],,,1n n x x -Λ
它们的长度依次为.,,,1122011--=?-=?-=?n n n x x x x x x x x x Λ 经过每一个分点作平行于
y 轴的直线段 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形在每个小区
间[]
i i x x ,1-上任取一点,i ξ 以[]
i i x x ,1-为底、)(i f ξ为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形，
n i ,,3,2,1Λ=，把这样得到的n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值 即 ∑=?=?++?+?≈n
i i i n n x f x f x f x f A 12211.)()()()(ξξξξΛ
求曲边梯形的面积的精确值
显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄
所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲
边梯形面积
A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积A 的精确值 只需无限地增加分点 使
每个小曲边梯形的宽度趋于零 记{},,,,m ax 21n x x x ???=Λλ于是 上述增加分点
使
每个小曲边梯形的宽度趋于零
相当于令.0→λ
所以曲边梯形的面积为
∑=→?=n
i i i x f A 1
.)(lim ξλ
图5-1
1.1.2 变速直线运动的路程 设物体作直线运动
已知速度)(t v v =是时间间隔[]
21,T T 上t 的连续函数
且
,0)(≥t v 计算在这段时间内物体所经过的路程S
求近似路程
我们把时间间隔[]
21,T T 分成n 个小的时间间隔i t ? 在每个小的时间间隔i t ?内
物体
运动看成是均速的
其速度近似为物体在时间间隔i t ?内某点i τ的速度)
(i v τ 物体在时间
间隔i t ?内 运动的路程近似为.)(i i i t v s ?=?τ把物体在每一小的时间间隔i t ?内 运动的路程加起来作为物体在时间间隔[]
21,T T 内所经过的路程S 的近似值 具体做法是
在时间间隔[]
21,T T 内任意插入若干个分点
,21210T t t t t t T n n i =<<<<<=-Λ
[]21,T T 分成n 个小段 [][][],,,,,,12110n n t t t t t t -Λ
各小段时间的长依次为
.,,,1122011--=?-=?-=?n n n t t t t t t t t t Λ
相应地
在各段时间内物体经过的路程依次为
.,,,21n s s s ???Λ
在时间间隔[]
i i t t ,1-上任取一个时刻),(1i i i i t t <<-ττ 以i τ时刻的速度)(i v τ来代替
[]i i t t ,1-上各个时刻的速度
得到部分路程i s ?的近似值
即
).,,2,1()(n i t v s i i i Λ=?=?τ
于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值
即
∑=?≈n
i i
i t v S 1
)(τ 求精确值
记{},,,,m ax 21n t t t ???=Λλ当0→λ时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的
路程
∑=→?=n
i i
i t v S 1
0)(lim τλ
定积分的概念
抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括
就抽象
出下述定积分的定义
定义 设函数)(x f y =在[]
b a ,上有界
在[]
b a ,中任意插入若干个分点
,1210b x x x x x a n n =<<<<<=-Λ
把区间[]
b a ,分成n 个小区间
[],,10x x [],,21x x [],,32x x [],,,1n n x x -Λ
各小段区间的长依次为
.,,,1122011--=?-=?-=?n n n x x x x x x x x x Λ
在每个小区间[]
i i x x ,1-上任取一个点,i ξ作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的乘积
),,2,1()(n i x f i i Λ=?ξ并作出和
∑=?=n
i i
i x f S 1)(ξ
记{},,,,m ax 21n x x x ???=Λλ如果不论对[]
b a ,怎样分法
也不论在小区间[]
i i x x ,1-上点
,i ξ怎样取法 只要当0→λ时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I 为函数
)(x f 在区间[]b a ,上的定积分 记作?b
a dx x f )( 即
∑?=→?=n
i i i b
a x f dx x f 1
)(lim )(ξλ
其中)(x f 叫做被积函数 dx x f )(叫做被积表达式
x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b
叫做积分上限
[]
b a ,叫做积分区间
根据定积分的定义
曲边梯形的面积为?=b
a
dx
x f A )(
变速直线运动的路程为dt t v S T T )(21
?=
说明
(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关
而与积分变量的记法无关
即
???==b
a b
a b
a du
u f dt t f dx x f )()()(
(2)和∑=?n i i i x f 1
)(ξ通常称为f (x )的积分和
(3)如果函数)(x f 在[]b a ,上的定积分存在 我们就说)(x f 在区间[]
b a ,上可积
函数)(x f 在[]
b a ,上满足什么条件时 )(x f 在[]
b a ,上可积呢 定理1 设)(x f 在区间[]b a ,上连续 则f (x ) 在[]
b a ,上可积
定理2 设)(x f 在区间[]b a ,上有界 且只有有限个间断点
则)(x f 在[]
b a ,上可积
定积分的几何意义
设)(x f 是[]
b a ,上的连续函数，由曲线)(x f y =及直线0,,===y b x a x 所围成的曲边梯形的面积记为
A .由定积分的定义易知道定积分有如下几何意义：
（1）当0)(≥x f 时，A dx x f b a =?)( （2）当0)(≤x f 时，
A dx x f b a
-=?
)(
（3）如果)(x f 在[]b a ,上有时取正值，有时取负值时，那么以[]
b a ,为底边，以曲线 )(x f y =为曲边的曲边梯形可分成几个部分，
使得每一部分都位于x 轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图所示，有
321)(A A A dx x f b a
+-=?
其中321,,A A A 分别是图5-2中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.
图5-2
例1. 利用定义计算定积分dx
x 21
0?
解 把区间[0 1]分成n 等份分点和小区间长度分别为
n
i x i =(i 1 2
n
1) n
x i 1
=
?(i 1 2 n )
取),,,2,1(n i n
i
i
Λ==
ξ作积分和 ∑∑
∑===?=?=?n
i i
n i i i n
i i n n
i x x f 121
21
1)()(ξξ)12)(1(61113123++?==∑=n n n n i n n
i )
12)(11(61n n ++=
因为n
1
=
λ 当0→λ时∞→n 所以
3
1
)12)(11(61lim )(lim 1
02
10=++=?=∞→=→∑?
n n x f dx x n n i i i ξλ
图5-3
例2 用定积分的几何意义求?-1
0)1(dx
x
解 函数x y -=1在区间[]1,0上的定积分是以x y -=1为曲边以区间[]
1,0为底的
曲边梯形的面积
因为以x y -=1为曲边
以区间[]
1,0为底的曲边梯形是一直角三角形
其底边长及高均为1
所以
2
1
1121)1(1
0=??=-?dx x
图5-4
例3利用定积分的几何意义，证明2
111
2π
=
-?
-dx x .
证明 令]1,1[,12-∈-=x x y
，
显然0≥y ，则由2
1x y -=和直线1,1=-=x x ，0=y 所围成的曲边梯形是单位圆位于x 轴上方的半圆.如图5-5所示. 因为单位圆的面积π=A ，所以半圆的面积为2
π
. 由定积分的几何意义知：
2
111
2π
=
-?
-dx x .
图5-5
定积分的性质 两点规定
(1)当b a =时 0)(=?b
a dx x f (2)当
b a
>时 ??-=a
b b
a dx x f dx x f )()(
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即
???±=±b
a b
a b
a dx
x g dx x f dx x g x f )()()]()([
证明:?±b
a
dx x g x f )]()([∑=→?±=n
i i i i x g f 1
0)]()([lim ξξλ
∑∑=→=→?±?=n
i i i n i i i x g x f 1
01
0)(lim )(lim ξξλλ
??±=b
a
b a
dx
x g dx x f )()(
性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即
??=b
a b a dx
x f k dx x kf )()(
这是因为∑?=→?=n
i i i b a
x kf dx x kf 1
0)(lim )(ξλ?∑=?==→b
a
n
i i i dx
x f k x f k )()(lim 1
0ξλ
性质
如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两
部分区间上定积分之和
即
???+=b
c
c
a b
a dx
x f dx x f dx x f )()()(
这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性
值得注意的是不论c b a ,,的相对位置如何总有等式
???+=b
c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(
成立
例如
当c b a <<时
由于 ???+=c
b b
a c
a dx
x f dx x f dx x f )()()(
于是有
???-=c
b c
a b
a dx x f dx x f dx x f )()()(??+=b
c c a dx
x f dx x f )()(
性质4 如果在区间[]
b a ,上f (x ) 1 则
a
b dx dx b
a b a -==??1
性质5 如果在区间[]
b a ,上 f (x )
则
?≥b
a dx x f 0)((a
b )
推论1 如果在区间[]
b a ,上 f (x )
g (x ) 则
??≤b a b
a dx x g dx x f )()((a
b )
这是因为g (x )
f (x )
0 从而
???≥-=-b
a b
a b
a dx x f x g dx x f dx x g 0
)]()([)()(
所以
??≤b a b
a dx
x g dx x f )()(
推论2 ??≤b a
b
a
dx x f dx x f |)(||)(|(a
b )
这是因为|f (x )| f (x ) |f (x )|
所以
???≤≤-b
a b a b a dx
x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|
即?
?≤b
a
b
a
dx x f dx x f .)(|)(|
性质6 设M 及m 分别是函数)(x f 在区间[]
b a ,上的最大值及最小值
则
?-≤≤-b
a a
b M dx x f a b m )()()((a b )
证明 因为 m
f (x ) M
所以
???≤≤b
a b
a b
a Mdx
dx x f mdx )(
从而
?-≤≤-b
a a
b M dx x f a b m )
()()(
性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间[]
b a ,上连续 则在积分区间[]
b
a ,上至少存在一个点
使下式成立
?-=b
a a
b f dx x f )
)(()(ξ
这个公式叫做积分中值公式
证明 由性质6
?-≤≤-b
a a
b M dx x f a b m )
()()(
各项除以a b - 得
?≤-≤b
a M
dx x f a
b m )(1
再由连续函数的介值定理
在[]
b a ,上至少存在一点
使
?-=b
a dx
x f a
b f )(1)(ξ
于是两端乘以a b -得中值公式
?-=b
a a
b f dx x f )
)(()(ξ
注意
不论
b a <还是b
a > 积分中值公式都成立
并且它的几何意义是:由曲线
)(x f y =,直线b x a x ==,和x 轴所围成曲边梯形的面积等于区间],[b a 上某个矩形的面积,这
个矩形的底是区间],[b a ,矩形的高为区间],[b a 内某一点ξ处的函数值)(ξf ，如图5-6所示.
图5-6
习题 5-1
1.利用定积分的概念计算下列积分. （1）()ax
b dx +?01
; （2）a dx x 01
? (a >0).
2.说明下列定积分的几何意义，并指出它们的值. （1）dx x ?
+1
)12(； （2）dx x r r
r ?
--22； （3）
dx x ?
3
； （4）dx x ?
--3
3
29.
3.不经计算比较下列定积分的大小 （1）dx x
?1
2
与dx x ?1
3
; （2）dx x ?40
sin π
与dx x ?40
cos π
;
（3）
dx x ?
1
与dx x ?+10
)1ln(; （4）dx x ?10
与dx x ?1
2.
4.设)(x f 为区间[]
b a ,上单调增加的连续函数，证明：
))(()())((a b b f dx x f a b a f b
a
-≤≤-?
5.用定积分定义计算极限)21(
lim 2
2222n
n n
n n n n n ++++++∞
→Λ
微积分基本公式
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设物体从某定点开始作直线运动
在t 时刻所经过的路程为)
(t S 速度为
),0)()(()(≥'==t v t S t v v 则在时间间隔[]21,T T 内物体所经过的路程S 可表示为
)()(12T S T S -及dt
t v T
T )(21
? 即)
()()(122
1
T S T S dt t v T T -=?
上式表明
速度函数)(t v 在区间[]
21,T T 上的定积分等于)(t v 的原函数)(t S 在区间[]21,T T 上的增量
这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢
积分上限函数及其导数
定义 设函数)(x f 在区间[]
b a ,上连续
并且设x 为[]
b a ,上的一点
我们把函数
)(x f 在部分区间[]x a ,上的定积分
dx x f x
a )(?
称为积分上限的函数
它是区间[]
b a ,上的函数
记为dx
x f x x
a
)()(?
=
Φ 或
dt
t f x x
a
)()(?=Φ
定理1 如果函数)(x f 在区间[]
b a ,上连续 则函数dt t f x x
a
)()(?
=
Φ在[]b a ,上具有导
数
并且它的导数为
)()()(x f dt t f dx
d x x
a ==
Φ'?)(b x a ≤≤ 证明 若),(b a x ∈
取x ?使).,(b a x x ∈?+
)()(x x x Φ-?+Φ=?Φdt t f dt t f x
a x
x a
)()(??-=?+ dt t f dt t f a
x
x
x a
)()(??
+=
?+x
f dt t f x
x x
?==??+)()(ξ
应用积分中值定理
有,)(x f ?=?Φξ
其中ξ在x 与x x ?+之间
0→?x 时 x →ξ 于是
),()(lim )(lim lim
00x f f f x x x x ===??Φ
→→?→?ξξξ即)()(x f x =Φ'
若a x =
取0
>?x 则同理可证)
()(a f x =Φ'+ 若b x
= 取0
可证)
()(b f x =Φ'-
推论 如果)(x ?可导，则)()]([])([])([)()(x x f dt t f dt t f dx d x x a x a
????'='=??
更一般的有[][]).()()()()()
()
(x x f x x f dt t f x x ψψ???ψ
'-'=?
例1 计算
tdt e dx
d x t
sin 0?-. 解 tdt e dx d x t sin 0
?-=]sin [0
'?-tdt e x t
=x e x sin -. 例2 求极限4
2sin lim
x
tdt x x ?→.
解 因为0lim
4
=→x x ，??==→2
0sin sin lim x x tdt tdt ，所以这个极限是
型的未定式，利用洛必达法则得
4
2sin lim
x tdt x x ?→=32042sin lim x x x x ?→=22
02sin lim x
x x → =220sin lim 21x x x → =2
1
. 例3 设)(x f 在[
)+∞,0内连续且0)(>x f 证明函数??=
x
x
dt
t f dt t tf x F 00)()()(在),0(+∞内为单调增
加函数
证明
)()( 0
x xf dt t tf dx d x =?
)()(0
x f dt t f dx d x =? 故
2
000))(()()()()()(???-=
'x
x
x
dt t f dt
t tf x f dt t f x xf x F 2
00))(()()()(??-=
x
x
dt t f dt t f t x x f
按假设
当x t
<<0时,0)()(,0)(>->t f t x t f 所以
0)(0>?dt t f x
)()(0>-?dt t f t x x
从而),0(0)(>>'x x F 这就证明了)(x F 在),0(+∞内为单调增加函数
定理2 如果函数)(x f 在区间[]
b a ,上连续
则函数dt t f x x
a
)()(?
=
Φ就是)(x f 在
[]b a ,上的一个原函数
定理的重要意义
一方面肯定了连续函数的原函数是存在的
另一方面初步地揭示了积分学
中的定积分与原函数之间的联系
牛顿莱布尼茨公式
定理3 如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间[]
b a ,上的一个原函数
则
)
()()(a F b F dx x f b
a -=?
此公式称为牛顿
莱布尼茨公式
也称为微积分基本公式
证明 已知函数)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数
又根据定理2
积分上限函数
dt t f x x
a
)()(?=Φ也是)(x f 的一个原函数
于是有一常数C 使).()()(b x a C x x F ≤≤=Φ-
当a x =时
有C a a F =Φ-)()(，而0)(=Φa ，所以)
(a F C = 当
b x =时
)()()(a F b b F =Φ-
所以)
()()(a F b F b -=Φ 即
)
()()(a F b F dx x f b
a -=? 为了方便起见
可把)()(a F b F -记成b a
x F )]([ 于是
)()()]([)(a F b F x F dx x f b
a b
a -==?
该公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系
例4 计算?1
02dx
x
解 由于33
1
x 是2x 的一个原函数
所以
3
1031131]31[33103102=?-?==?
x dx x
例5 计算2
3
1
1x dx
+?-
解 由于x arctan 是
2
11
x +的一个原函数 所以 3
123
1][arctan 1--=+?x x dx
)1arctan(3arctan --=π
ππ12
7)4 (3 =--=
例6 计算?--121
dx
x
解
1212|]|[ln 1
-
---=?x dx x ln 1
ln 2
ln 2
例7 求dx x ?
--3
1
2.
解
dx x ?
--3
1
2=????---+-=-+-2
1
3
2
2
1
3
2
)2()2(|2||2|dx x dx x dx x dx x
=3
22
2
12)221()212(x x x x -+--=212
9+=5.
例8 计算正弦曲线y
sin x 在[0 ]上与x 轴所围成的平面图形的面积
解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积 ππ
0]cos [sin x xdx A -==?(1)(
1)
2
习题5-2
1.设0()d x
f x t t =?，求2
(
)4
f π'；
2.设30
()cos d x
f x x t t =?，求()f x ''；
3.求下列函数的导数 （1）dt e x f x
t ?
-=0
)(； （2）dt t x f x ?
+=121)(； （3）dt t f ?
=
θ
θ
θcos sin )(； （4）dt t x f x ?
+=2
21)(.
4.计算下列导数
（1）2220d d d x t t e t x ?； （2）22d d 1x x t x t +?； （3）2
20
d ()sin d d x t x t t x -?. 5.求下列极限（1）)
cos(1)sin(lim
1
1
t dt
t x
x ππ+?
→； （2）dt
te dt e x
t x
t x ?
?→0
22
2
2
)(lim
.
6.计算下列定积分 （1）
dx x x )1(2
1
2
-+?
； （2）dx x x )2(2
1
0+?； （3）dx x
?
21
1；
（4）
dx x ?
π
cos ； （5）dx x ?π
20sin ； （6）1
0e d x x ?；
（7）
dx x ?-1
)cos 32(; （8）dx x
?1
100
; （9）dx x x ?
+-1
2211
; （10）
dx x ?
+π
2cos 1; （11）dx x x ?
+4
1
)1(; （12）dx x
?+3
31
2
11
; （13）
dx x
?
-210
211
; （14）1
100d x
x ?; （15）dx x x x ?-+++0
122411
33;
（16）dx x e ?---+2
111
; （17）dx x ?40
2tan π
; （18）10max{,1}d x x x -?
8．设()21,11,12
x x f x x x +≤??
=?>??，求()20
d f x x ?.
定积分的计算
定积分的换元积分法
定理 假设函数)(x f 在区间[]
b a ,上连续 函数)(t x ?=满足条件
(1)
;)(,)(b a ==β?α?
(2) )(t ?在[]βα, （或[]αβ,）上具有连续导数
且其值域不越出[]
b
a ,
则有
dt
t t f dx x f b
a )()]([)(??β
α'=??
这个公式叫做定积分的换元公式
证明 由假设知
)(x f 在区间[]b a ,上是连续
因而是可积的 [])()(t t f
??'在区间
[]βα, (或[]αβ,)上也是连续的
因而是可积的
假设)(x F 是)(x f 的一个原函数
则
).()()(a F b F dx x f b
a
-=?
另一方面
因为
[]{}[][])
()()()()(t t f t t F t F ?????'=''=' 所以F [(t )]是
[])()(t t f ??'的一个原函数 从而
[]dt t t f ?'β
α??)()([][]).()()()(a F b F F F -=-=α?β?
因此dt
t t f dx x f b
a )()]([)(??β
α
'=??
例1 求
dx x
x ?
+30
1.
解 令t x =+1，则12
-=t x ，tdt dx 2=，当0=x 时，1=t ，当3=x 时，2=t ，
于是
dx x
x ?
+30
1=tdt t
t 21
21
2?-?
=dt t ?-212)1(2
=213]31[
2t t -=3
8
例2 求
dx e x ?
-2ln 0
1.
解 令
t e x =-1，则)1ln(2t x +=，dt t t
dx 2
12+=
，当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t ，于是
dx e x
?
-2ln 0
1=dt t t t ?+?1
02
12=dt t t ?+102212=dt t )11
1(2102?+- =1
0]arctan [2t t -=2
2π-.
例3 计算?
-a
dx x a 0
22(a >0)
解 令t a x sin =，则t a t a a x a cos sin 22222=-=-，.cos tdt a dx = 当0=x
时0=t 当a x =时2
π
=t
???-=20sin 0
2
2
cos cos
π
tdt a t a dx x a t
a x a
令
??+==202
20
22)2cos 1(2
cos π
π
dt t a
tdt a
22024
1]2sin 21[2a t t a ππ
=+=
例4 计算xdx
x sin cos 520
?π
解:令,cos x t =则当0=x 时1=t 当2
π=x 时0=t
x
xd xdx x cos cos sin cos 5205
2
0??-=π
π
6
1
]61[ 1
06105015cos ===-??=t dt t dt t t
x 令 或
x xd xdx x cos cos sin cos 5
20
5
2
?
?-=π
π
610cos 612cos 61]cos 61[66206=+-=-=ππ
x
例5 计算?-π
53sin sin dx
x x
解
dx x x dx x x |cos |sin sin sin 23
00
53??=-π
π
??-=π
ππ
2
23
20
23
cos sin cos sin xdx x xdx x
??-=π
ππ2
23
20
23
sin sin sin sin x xd x xd
54)52(52]sin 52[]sin 52[2
252025=--=-=π
ππx x
提示 |cos |sin )sin
1(sin sin sin 2
3
2
353x x x x x x =-=-
在]2 ,0[π
上
,cos cos x x =在] ,2
[ππ上.cos cos x x -=
例6 计算dx x x ?
++40
1
22
解 令,12t x =+则2
1
2-=t x ， ,tdt dx =当0=x 时1
=t 当4=x 时3=t
???+=?+-++=+3
123
12124
)3(2
12
21 1
22dt t tdt t t dx x x t x 令
3
22
)]331()9327[(21]331[21313=
+-+=+=t t
例7设)(x f 在区间],[a a -上连续，证明： （1）如果)(x f 为奇函数，则?-=a a dx x f 0)(； （2）如果)(x f 为偶函数，则?
?-=a a
a
dx x f dx x f 0)(2)(.
证明 由定积分的可加性知
x d x f x d x f x d x f a a
a
a
???+=--0
)()()(，
对
于定
积分
?
-0)(a
dx
x f ，作代换
t
x -=，得
?
-0)(a
dx x f =?--0
)(a
dt t f =?-a
dt t f 0)(=?-a dx x f 0
)(，
所以
?
??-+-=a
a
a
a
dx x f dx x f dx x f 0
)()()(
=
?-+a
dx x f x f 0
)]()([
（1）如果)(x f 为奇函数，即)()(x f x f -=-，则0)()(=-+x f x f ， 于是
?
-=a
a
dx x f 0)(.
（2）如果)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-，)(2)()()()(x f x f x f x f x f =+=-+， 于是
?
?-=a
a
a
dx x f dx x f 0
)(2)(.
例8 若)(x f 在[]
1,0上连续 证明 (1)??=2020
)(cos )(sin π
π
dx
x f dx x f (2)??=π
π
π0
0)(sin 2
)(sin dx
x f dx x xf
证明 (1)令t
x -=
2
π 则
dt t f dx x f )]2[sin()(sin 0
2
20
--=??
πππ
???
==-=
202
02
)(cos )(cos )]2
[sin(π
πππ
dx
x f dt t f dt t f
(2)令t x -=π
则
??---=0
)][sin()()(sin ππ
ππdt t f t dx x xf ??-=--=π
π
πππ00)(sin )()][sin()(dt t f t dt t f t
??-=π
π
π0
)(sin )(sin dt t tf dt t f ??-=π
ππ0
)(sin )(sin dx
x xf dx x f
所以??=
π
π
π0
0)(sin 2
)(sin dx x f dx x xf
例9 设函数?????<<-+≥=-01 cos 11
)(2x x
x xe x f x 计算?-4
1
)2(dx
x f
解 设t x =-2 则;dt dx =当1=x 时1-=t
当4=x 时2=t
????---++==-200
1
2
14
1
2cos 11)()2(dt te dt t dt t f dx x f t 2
1
2121tan ]21[]2[tan 420012+-=-=---e e t t
定积分的分部积分法
设函数)()(x v x u 、在区间[]
b a ,上具有连续导数)
()(x v x u ''、 由v u v u uv '+'=')(得
v u uv v u '-='
式两端在区间[]
b a ,上积分得
vdx u uv dx v u b
a b
a b
a '-='??][ 或vdu
uv udv b
a
b a b
a
??-=][
这就是定积分的分部积分公式
分部积分过程
][][???='-=-=='????vdx u uv vdu uv udv dx v u b
a b
a b
a b
a b
a b
a
例10 计算xdx arcsin 21
?
解
xdx arcsin 21
?
x xd x x arcsin ]arcsin
[210210
?-=dx x x 2
21
01621--?=?π
)1(112
11222
2
1
x d x --+=?π21
2]1[12x -+=π12312-+=π
例11 计算?1
dx
e x
解 令t x = 则
??=1
01
02tdt e dx e t x ?=1
02t tde ?-=1
01
0 2 ][2dt e te t t 2
][221
0 =-=t e e
例12求
?
21
ln xdx x .
解
?
2
1
ln xdx x =?212)(ln 21x xd =)(ln 21ln 212
122
1
2x d x x x ?-
=?-21212ln 2xdx =2
1
2
412ln 2x -=432ln 2-.
例13求?
π
sin xdx x .
解 ?
π
sin xdx x =?-π
cos x xd =?+-π
π
0cos cos xdx x x
=π
π
0sin x +=π.
例14 设?=20
sin π
xdx I n n 证明
(1)当n 为正偶数时
2
2143231π?????--?-=
n n n n I n
(2)当n 为大于1的正奇数时 3
254231????--?-=
n n n n I n
证明 ?
=20
sin π
xdx I n n ?--=20
1cos sin π
x xd n ?--+-=2012 0
1
sin cos ]sin
[cos π
πx xd x x n n
?--=20
22sin cos )1(π
xdx x n n ?--=-202)sin (sin )1(π
dx x x n n n
??---=-20
20
2sin )1(sin )1(π
π
xdx n xdx n n n
(n 1)I n
2
(n 1)I n
由此得 2
1--=
n n I n n I
02214342522232212I m m m m m m I m ????--?--?-=
1
12325432421222122I m m m m m m I m ????--?--?+=+
而2
200ππ==?dx I 1
sin 20
1==?π
xdx I
因此
2
2143425222322122π?????--?--?-=
m m m m m m I m 3
2543242122212212????--?--?+=
+m m m m m m I m
定积分的近似计算
虽然牛顿——莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题，但它的使用是有一定局限 性的。对于被积分中的不能用初等函数表达的情形或其原函数虽能用初等函数表达但很复杂的情形，我们就有必要考虑近似计算的方法。
定积分的近似计算的基本思想是根据定积分的几何意义找出求曲边梯形面积的近似方法。下面介绍三种常用的方法：矩形法、梯形法及抛物线法。 3.3.1 矩形法
用分点b x x x a n ==,,,10Λ将区间[]
b a ,等分成n 份，每一份长度为n
a
b x -=
?，取小区间左端点的函数)1,2,1,0(-=n i y i Λ作为窄矩形的高（图5-7），则有
∑
?
∑=-=--=?≈n
i i b
a
n
i i y n a b x y dx x f 111
1)( 取小区间右端点的函数值)1,2,1,0(-=n i y i Λ作为窄矩形的高， 则有
∑?
∑==-=?≈n i i b
a
n
i i y n a b x y dx x f 1
1)( 以上两公式称为矩形法公式。
图5-7 3.3.2 梯形法
将积分区间[]
b a ，作n 等分，分点依次为
.,10n
a
b x b x x x a n -=
?=<<<=Λ 相应的函数为
n y y y ,,,10Λ),,1,0),((n i x f y i i Λ==
曲线()x f y =上相应的点为
n P P P ,,,10Λ),,1,0),,((n i y x P i i i Λ==
将曲线的每一段弧i i P P 1-用过点i i P P ,1-（线性函数）来代替，这使得每个[]
i i x x ,1-上的曲边梯形形成了真正的梯形（图5-8），其面积为
n i x y y i
i ，，，，Λ212
1=?+- 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，即 ()∑
∑?==--+?=?+≈n
i n
i i i i i b
a
y y x x y y dx x f 1
1
11)(22 亦即
高等数学同济第七版7版下册习题 全解
数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6．2定积分在几何中的应用 一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?)(2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+ 第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转）） 第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ ( A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n " 9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念 第七章定积分的应用 一、本章提要 1.基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2．基本公式 平面曲线弧微元分式． 3.基本方法 (1)用定积分的微元法求平面图形的面积， (2)求平行截面面积已知的立体的体积， (3)求曲线的弧长， (4)求变力所作的功， (5)求液体的侧压力， (6)求转动惯量， (7)求连续函数f(x)在[]b a,区间上的平均值， (8)求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q必须满足条件：（1）Q与变量x和x的变化区间[]b a,以及定义在该区间上某一函数f(x)有关；（2）Q在[]b a, 上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x），并确定积分变量的变化区间[]b a,； （2）取近似找微分：在[]b x d ,+，当x d很小时运用“以 x a,内任取一代表性区间[]x 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d=()d Q f x x≈Q ?为量Q在小 ?（Q 区间[]x ,+上所分布的部分量的近似值）； x x d （3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x = ?? ． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ? ---== R R R R x x R A A d 2d 2 2=2 πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 2 2π20 2 π20 ππ22 1d 2 1d R R R A A =?= = = ? ? θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间， 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 授课单元12教案 教学内容 课题1用定积分求平面图形的面积 一、微元法 在本章第1节定积分概念的两个实例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程）中，我们是先把所求整体量进行分割，然后在局部范围内“以不变代变”，求出整体量在局部范围内的f (?)?x 的形式；再把这些近似值加起来，得到整体量的近似值；最近似值，即表成乘积 iinb ??????x ?ff ?xdx ?lim （即整体量） 后，当分割无限加密时取和式的极限得定积分． iia 0??1i ? 事实上，对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算．但在实 ??b ,aQ 的定积分的方法简化成下面的上的某个量际应用时，为了方便，一般把计算在区间 ： 两步： x [a ,b ] ，求出积分区间确定积分变量1） （[x ,x ?dx ]]a ,b [ ，并在该小区间上找出所求量Q ） 在区间上，任取一小区间的微分元（2素 dQf (x )dx ＝b Q 的定积分表达式（3） 写出所求量?dxxQ ?)f (a 用以上两步来解决实际问题的方 法称为元素法或微元法．下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用． 二、在直角坐标系下求平面图形的面积 b ? f (?x )dxA oxba ,x ?x ?)(xy ?f 1、 ．由 轴所围成图形面积公式 及，a d????(y?)dyA y dy,x??(y),y?c1及、轴所围成图形面积公式c3xy?2x??1,x?例求曲线轴所 ???xxdxs???dx解 围成的图形面积及x与直线172033 40?1??????????xxxy?yyx?yy?yx?a,x?b(a?b)所围2、和由两条连续曲线与直线 ?dxyy?xx?A）的面积成平面图形（如图112a 2211b?????? 高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 20 1 3 cos sin ππ ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ； 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 高等数学（下册）期末考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、z = )0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )122（。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2 222y u y x u x ??+??等于（） （A ）y x + ；（B ）x ；(C)y ；(D)0。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω =zdV I 等于（） （A ）4 ? ??2 20 1 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2sin π π??θdr r d d ； 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点 ．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +? 习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为 0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ; (6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立: 第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1. 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y 4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 2 2 =+ b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 体的体积。 旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133=== 14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x a x ch a y ==== ;,2sin )2(轴绕与x x y x y π = = ; ,)2 0(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π ≤≤== ; 0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-= ; , 16)5()6(22轴绕y y x =+- 。产生的旋转体的体积旋转 轴绕轴所围的图形处的切线和及其在求由抛物线x x x y )2,0()1(4.152-= 积。轴旋转所得旋转体的体所围图形绕求x y x y x 2223,4.16≥ ≤+ 求其体积。 ， 图面都是等边三角形为底，垂直于长轴的截一立体以椭圆)26(125 100.1722 -≤+y x 数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/+r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ? 3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr+ jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A高等数学定积分应用
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