网格划分方法笔记

有限元网格生成方法正在发展。要将众多研究者所用的纷繁的方法加以适当的分类，或将某一种具体方法准确地归入某一类，并不是一件容易的事。本节从两个不同的角度对网格生成方法进行分类。

自动与半自动网格生成方法的综合分类

二维网格生成方法先于三维网格生成而发展。一些三维网格生成方法是二维方法的直接推广或受到二维方法的启发。若将自动或半自动的网格生成方法综合起来，大体上可分成七种类型：

1.网格平整法(Mesh Smoothing Approach)

这一方法用来平整、改进已经生成的质量不好的初始网格，所采用的手段是拉普拉斯平整和参数平整。

2.拓扑分解法(Topology Decomposition Approach)

将被剖分实体原本具有的顶点取为仅有的节点，然后将节点连成三角形（或四边形）单元，形成数量最少的三角形集合，这样形成的单元形状主要由被剖分实体的几何形状决定。由于实体的复杂拓扑结构被分解成简单的三角形拓扑结构，因而这种方法称为拓扑分解法。这样生成的网格只能是初始网格，必须采用网格细化技术改进网格质量。

3.节点连接法(Node Connection Approach)

节点连接法研究在已知节点分布的情况下如何将这些节点连接起来，以构成在给定条件下形状最好的单元集合。

4.基于栅格的方法(Grid-Based Approach)

这一方法利用一种栅格模板来生成网格，最初用于二维网格生成。栅格模板是一种无限延伸的矩形或三角形网格。将栅格模板重叠在被剖分的二维形体上，将落在形体外面的网格线移去，并对与物体边界相交的网格进行调整，以适合于物体的外形，这样做能够保证产生内部单元质量很好的网格。这一方法已经推广到三维网格剖分。

图X07 单元映射法

a)将物体分割成宏单元b) 网格模板映射到每个宏单元c) 构成最后的网格

5.单元映射法(Mapped Element Approach)

单元映射法并不是一种全自动的网格生成方法，它需要将一个任意的二维形体人工分割成三边或四边的区域，实际上这些区域是一些“宏单元”，每个区域必须再细分成供有限元分析用的单元。这一方法利用参数空间中的规则网格（三角形或四边形）作为网格模板，通过调和函数的变换，将网格模板映射到直角坐标系中的实际求解区域（见图X07）。这一方法是许多已投入市场的商品化网格生成器的主要依托。

6.保角变换法

保角变换是复变函数理论中的经典变换方法，其中的许瓦兹－克利斯多夫变换可以对平面上的多角区域进行变换。网格生成的保角变换法利用了这一经典理论。若需要对用多边形P表示的单连域进行剖分，就构造一个具有与P相同顶点数的多边形Q，使得在Q中容易实现适当的网格剖分。再根据P与Q之间的顶点对应关系，找出一个从P到Q的保角变换F。通过这一变换，将多边形Q中的网格变换到实际形体P中的网格。

7.几何分解法（Geometry Decomposition Approach）

这种方法同时生成节点和单元（与节点连接法相比较，不是将节点和单元的生成分成两个独立的阶段），在这一过程中考虑形体的几何形状，试图生成好的三角形单元（与拓扑分解法相对照，拓扑分解法不考虑几何形状）。该方法的具体步骤是，在被剖分的实体上一个接着一个生成尽可能好的单元，每生成一个单元，就将这一单元从待剖分的区域中移去，直到待剖区域只剩下一个三角形为止。

几种流行的全自动网格生成方法

在三维计算中，由于具体流固耦合问题几何结构与物理参数分布的复杂性，不容易实现网格剖分的通用化与全自动化。目前对这类问题多采用将二维网格作平移、放大、旋转或扭曲，首先生成简单几何体的三维网格，再经过布尔运算将它们进行组合，以这种方式半自动地生成三维网格。

半自动地生成网格能够适应于不同的具体问题，但网格生成的过程仍然比较繁复，需要较多的人工干预。因此，研究三维网格的全自动生成方法，并尽可能提高方法的通用性，仍然是发展中的课题。就网格的全自动生成而言，目前最流行的方法有以下几种类型。

1. 迪朗尼三角化和镶嵌化(Delaunay Triangulation and Tessellation) 方法。

这是一种流行广泛的节点连接方法，属于节点连接法。很多二维网格生成器先生成所有的节点，再连接这些节点以构成三角形，从而生成三角形网格。问题是对于一组给定的节点，怎样的网格才是最好的三角形网格。迪朗尼三角化是俄国数学家Delaunay在1934年提出的，被许多研究者认为最适合于有限元网格生成。这一三角化方法能使所生三角形的最小角度之和极大化，也就是所生成的三角形在一定条件下最接近于等边三角形，于是能够避免细长畸形单元的产生，这正是有限元分析所要求的。