2019-2020学年新教材高中数学综合质量检测

sinx＝0 或 cosx＝1，∵x∈[0,2π]，∴x＝0、π 或 2π，∴f(x)在[0,2π]的零点个数是
3. [答案] B 9．已知 lga＋lgb＝0，函数 f(x)＝ax 与函数 g(x)＝－logbx 的图象可能是( )
1 [解析] ∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，则 b＝a，从而 g(x)＝－logbx＝logax，故 g(x) 与 f(x)＝ax 互为反函数，图象关于直线 y＝x 对称．故选 B.
14．函数 f(x)＝Error!的零点个数为________． [解析] 令 f(x)＝0，得到Error!解得 x＝－1；
或Error!
在同一个直角坐标系中画出 y＝2－x 和 y＝lnx 的图象，观察交点个数，如图所示．函
数 y＝2－x 和 y＝lnx，x>0 在同一个直角坐标系中交点个数是 1，所以函数 f(x)在 x<0 时
( ) π
π
sinxcos ＋cosxsin
＝2cosx
3
3 － 3sin2x＋sinxcosx＝sin2x＋ 3cos2x＝2sin
( )π
2x＋ 3.
[ ]π π
π 4π
0，
(1)∵x∈ 2 ，∴ 3 ≤2x＋ 3 ≤ 3 ，
( ) 3
π
2x＋
∴－ 2 ≤sin
3 ≤1，
[ ]π
0， ∴当 x∈ 2 时，f(x)的值域为[－ 3，2]．
②f(x)的最小正周期是 π；
[ ] π 13π ， ③f(x)在区间 24 24 上是减函数；
π ④将函数 y＝ 2cos2x 的图象向右平移24个单位长度后，与函数 y＝f(x)的图象重合．
其中正确命题的序号是________．
( ) ( ) ( ) π
π
π
2x－
2x＋
2x－
[解析] f(x)＝cos
aa 2≤0 或2≥1，解得 a≤0 或 a≥2.故选 D.
[答案] D
4．下列函数是偶函数且值域为[0，＋∞)的是( )
①y＝|x|；②y＝x3；③y＝2|x|；④y＝x2＋|x|.
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
[解析] 对于①，y＝|x|是偶函数，且值域为[0，＋∞)；对于②，y＝x3 是奇函数；
0， A．f(x)在 2 单调递减
( ) π 3π ， B．f(x)在 4 4 单调递减
( )π
0， C．f(x)在 2 单调递增
( ) π 3π ， D．f(x)在 4 4 单调递增
( )π
ωx＋φ＋
[解析] y＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝ 2sin
4 ，由最小正周期为
π
π
π 得 ω＝2，又由 f(－x)＝f(x)可知 f(x)为偶函数，由|φ|< 2 可得 φ＝ 4 ，所以
[ ] [ ] π 13π
π
π 13π
，
，
又当 x∈ 24 24 时，2x－12∈[0，π]，∴函数 f(x)在 24 24 上是减函数，故
[ ( )] ( ) π
π
2 x－
2x－
③正确；由④得 y＝ 2cos
24 ＝ 2cos 12 ，故④正确．
[答案] ①②③④
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步
α
α
当 k 为奇数时 2 是第三象限的角，当 k 为偶数时 2 是第一象限的角，
α 所以角 2 的终边在第一象限或第三象限．选 C.
[答案] C
7.函数 y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，且 ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如右图所示，则( )
π
π
A．ω＝ 2 ，φ＝ 4
π
π
B．ω＝ 3 ，φ＝ 6
3 ＋cos
6 ＝cos
3＋
[ ( )] ( ) ( ) π
π
π
π
－ 2x＋
2x－
2x－
sin 2
6 ＝cos
3 －sin
3＝2
[ ( ) ( )] ( ) ( ) 2
π2
π
ππ
π
cos 2x－ － sin 2x－
2x－ ＋
2x－
2
32
3 ＝ 2cos
3 4 ＝ 2cos 12 ，
∴函数 f(x)的最大值为 2，最小正周期为 π，故①②正确；
π
π
C．ω＝ 4 ，φ＝ 4
π
5π
D．ω＝ 4 ，φ＝ 4
π [解析] ∵T＝4×2＝8，∴ω＝ 4 .
π
π
π
又∵ 4 ×1＋φ＝ 2 ，∴φ＝ 4 .
[答案] C
8．函数 f(x)＝2sinx－sin2x 在[0,2π]的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[解析] 由 f(x)＝2sinx－sin2x＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx(1－cosx)＝0，得
综合质量检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分
钟．
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中
只有一个是符合题目要求的)
1．全集 U＝R，A＝{x|x<－3，或 x≥2}，B＝{x|－1<x<5}，则集合{x|－1<x<2}是( )
[答案] B
( ) ( ) π
4
π2
，π
α＋
10．若 α∈Biblioteka Baidu2
，且 sinα＝5，则 sin
4 － 2 cos(π－α)等于( )
22
22
22
A. 5 B．－ 5 C. 5 D．－ 5
( )π 2
α＋ [解析] sin 4 － 2 cos(π－α)
2
2
2
2
＝ 2 sinα＋ 2 cosα＋ 2 cosα＝ 2 sinα＋ 2cosα.
(2)老王家九月份按方案一交费 35 元，问老王家该月用电多少度？
(3)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？
[解] (1)当 0≤x≤30 时，L(x)＝2＋0.5x；
当 x>30 时，L(x)＝2＋30×0.5＋(x－30)×0.6＝0.6x－1，
∴L(x)＝Error!(注：x 也可不取 0)
(2)由(1)知函数在区间[－1,1]上是增函数．
( )1
1
x＋
又由 f 2 <f(1－x)，得Error!解得 0≤x<4.
( ) { } 1
1
x＋
x|0 ≤ x <
所以不等式 f 2 <f(1－x)的解集为
4.
21．(本小题满分 12 分)某村电费收取有以下两种方案供用户选择： 方案一：每户每月收管理费 2 元，月用电不超过 30 度时，每度 0.5 元，超过 30 度时， 超过部分按每度 0.6 元收取． 方案二：不收管理费，每度 0.58 元． (1)求方案一收费 L(x)(单位：元)与用电量 x(单位：度)间的函数关系；
(1)求 cos(α－β)的值； 3
(2)若 cosα＝5，求 cosβ 的值． 10
[解] (1)由|AB|＝ 5 ， 10
得 cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2＝ 5 ，
2
∴2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝5，
4
∴cos(α－β)＝5.
3
4
(2)∵cosα＝5，cos(α－β)＝5，α，β 为锐角，
6的
( )π
2x＋2t＋
图象向左平移 t(t>0)个单位，可得 y＝2cos
6 的图象．由于所得图象对应的函
π
π
π
数为奇函数，则 2t＋ 6 ＝kπ＋ 2 ，k∈Z，则 t 的最小值为 6 .故选 D.
[答案] D
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)
( )π
0， y＝ 2cos2x 在 2 单调递减．
[答案] A
12．将函数 f(x)＝2 3cos2x－2sinxcosx－ 3的图象向左平移 t(t>0)个单位，所得图
象对应的函数为奇函数，则 t 的最小值为( )
2π π π π
A. 3 B. 3 C. 2 D. 6
( )π
2x＋
[解析] 将函数 f(x)＝2 3cos2x－2sinxcosx－ 3＝ 3cos2x－sin2x＝2cos
( ) 4
π
3
，π
∵sinα＝5，α∈ 2
，∴cosα＝－5.
2
24
32
∴ 2 sinα＋ 2cosα＝ 2 ×5－ 2×5＝－ 5 .
[答案] B
( )π
ω > 0，|φ| <
11．设函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)
2 的最小正周期为
π，且 f(－x)＝f(x)，则( )
( )π
20．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，对于任意的
fm＋fn m，n∈[－1,1]有 m＋n >0(m＋n≠0)．
(1)判断函数 f(x)的单调性；
( )1
x＋ (2)解不等式 f 2 <f(1－x)．
fx1－fx2 [解] (1)设 x1＝m，x2＝－n，由已知可得 x1－x2 >0，不妨设 x1<x2，则 f(x1) <f(x2)，由函数单调性的定义可得函数 f(x)在区间[－1,1]上是增函数．
D．(1,10)
[解析] 要使函数 f(x)有意义，需使Error!解得 x<－1 或 1<x<10.故选 C.
[答案] C
3．已知 f(x)＝x2－ax 在[0,1]上是单调函数，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，0]
B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
a [解析] 函数 f(x)＝x2－ax 图象的对称轴为直线 x＝2，根据二次函数的性质可知
的零点有一个，在 x>0 时零点有一个，所以 f(x)的零点个数为 2.
[答案] 2
15．若函数 f(x)＝Error!则函数 y＝f[f(x)]的值域是________．
[解析] 当 x≤0 时，f(x)＝3x∈(0,1]，∴y＝f[f(x)]＝f(3x)
( ]1
－1，－
＝－2－3x∈
2；
当 x>0 时，f(x)＝－2－x∈(－1,0)，y＝f[f(x)]
4
3
∴sinα＝5，sin(α－β)＝±5.
3
当 sin(α－β)＝5时，
24
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝25.
3
当 sin(α－β)＝－5时，
cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.
24 ∵β 为锐角，∴cosβ＝25.
[答案] B α
6．若 sinα>0 且 tanα<0，则 2 的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第一象限或第三象限
D．第三象限或第四象限
[解析] 因为 sinα>0 且 tanα<0，
所以 α 位于第二象限．
π 所以 2 ＋2kπ<α<2kπ＋π，k∈Z，
π
α
π
则 4 ＋kπ< 2 <kπ＋ 2 ，k∈Z.
( ) 1 ，1 ＝f(－2－x)＝3－2－x∈ 3 .
综上所述，y＝f[f(x)]的值域是
( ] ( ) 1 1
－1，－
，1
2∪3 .
( ] ( ) 1 1
－1，－
，1
[答案]
2∪3
( ) ( ) π
π
2x－
2x＋
16．关于函数 f(x)＝cos 3 ＋cos 6 ，给出下列命题：
①f(x)的最大值为 2；
骤)
( )π
x＋ 18．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝2cosx·sin 3 － 3sin2x＋sinxcosx.
[ ]π
0， (1)当 x∈ 2 时，求 f(x)的值域；
[ ] π 5π
－， (2)用“五点法”在下图中作出 y＝f(x)在闭区间 6 6 上的简图．
( )π
x＋ [解] f(x)＝2cosx·sin 3 － 3sin2x＋sinxcosx
对于③，y＝2|x|是偶函数，但值域为[1，＋∞)；对于④，y＝x2＋|x|是偶函数，且值域为
[0，＋∞)，所以符合题意的有①④，故选 C.
[答案] C
5．已知 a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．b<c<a
[解析] a＝log20.2<log21＝0，b＝20.2>20＝1,0<c＝0.20.3<0.20＝1，即 0<c<1，则 a<c<b.故选 B.
A．(∁UA)∪(∁UB)
B．∁U(A∪B)
C．(∁UA)∩B
D．A∩B
[解析] 由题意知，∁UA＝[－3,2)，又因为 B＝(－1,5)，所以(∁UA)∩B＝(－1,2)．故
选 C.
[答案] C x2
2．函数 f(x)＝ x2－1＋lg(10－x)的定义域为( )
A．R
B．[1,10]
C．(－∞，－1)∪(1,10)
2π (2)由 T＝ 2 ，得最小正周期 T＝π，列表：
π
π
π
7π
5π
x
－6
12
3
12
6
π 2x＋ 3
π
3π
0
2
π
2
2π
( )π
2x＋ 2sin 3
0
2
0
－2
0
图象如图所示．
19．(本小题满分 12 分) 已知 A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中 α，β 为
10 锐角，且|AB|＝ 5 .