二阶线性偏微分方程的分类

微分方程及其分类

确定通解中的任意常数的附加条件。 5.微分方程解的几何意义
通解的图象:
特解的图象:
积分曲线族.
微分方程的积分曲线.
d2y 4y 0 2 dx
验证: y C1 sin2 x C 2 cos2 x 是例3 的解, 并求满足初始条件 y x 0 0 , y x 0 1 的特解.
) 2 x 2 1 (5) x( y
解（1）是，1阶；（3）是，2阶；（5）是，1阶；
(6) y 3 y 2 x 4
3
（2）是，1阶；（4）是，3阶；（6）不是。
4.微分方程的解任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函数。（1）微分方程的通解如果在微分方程的解中，所含的独立的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解就叫微分方程的通解（2）微分方程的特解当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解（3）微分方程的初始条件
解
dy 2C 1 cos 2 x 2C 2 sin2 x, dx
d2y dx
2
4C1 sin2 x 4C 2 cos 2 x
代入原方程，有
4C1 sin2 x 4C 2 cos2 x 4C1 sin2 x 4C 2 cos2 x 0.
故函数 y C1 sin2 x C 2 cos2 x, 是原方程的解。
加原理，即若
是方程
（其中 L 是二阶线性偏微分算符）的解.如果级数
收敛，且二阶偏导数存在（其中
为任意常数），则的解（当然要假定这个方
一定是方程程右端的级数是收敛的）．
3.微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
例2 判断下列方程是否为微分方程？若是，是几阶

2二阶方程的分类【知识点提示】二阶方程的分类：双曲型偏微分方程

§2 二阶方程的分类【知识点提示】二阶方程的分类：双曲型偏微分方程，抛物型偏微分方程和椭圆型偏微分方程。

【重、难点提示】辨别方程的类型并化为标准型；化多个自变量的二阶方程为标准型。

【教学目的】本节主要介绍二阶方程的分类：双曲型偏微分方程，抛物型偏微分方程和椭圆型偏微分方程，并使学生掌握辨别方程的类型，将一般方程化为标准型。

【教学内容】第二节二阶方程的分类 2.1. 两个自变量的情形 2.2. 多个自变量的情形2.1. 两个自变量的情形我们先考虑两个自变量的线性偏微分方程2xx xy yy x y au bu cu du eu gu f +++++=, (2.1)其中a b c 和d e g ,,,,,f 都是x y ,的已知函数, 且在xoy 平面上的某区域Ω内具有二阶连续偏导数. 假设在内的每一点处, Ωa b c ,,都不同时为零.现在利用特征的性质对方程(2.1)进行分类. 我们知道特征概念仅与方程的最高阶导数项有关, 即与其二阶导数项的系数有关, 换句话说, 方程(2.1)的特征概念仅与它的主部有关.在讨论二阶偏微分方程的分类过程中, 常包含有化方程为标准形式的问题, 这种通过变换使方程得到简化是研究偏微分方程常用的手段,也就是说在我们研究一个方程的求解问题时, 先运用自变量变换或函数变换将方程的形式尽量化简, 使其具有典型性. 设在点的邻域内, 这时(2.1)的特征方程可写为00(P x y ,)0a ≠dy b dy b dx a dx a+== (2.2)其中通常称为方程(2.1)的判别式. 作自变量变换2b a ∆=-c ()()x y x y ξϕηψ=,,⎧⎨=,,⎩ (2.3) 则方程(2.1)变为如下形式:222222u u u A B C ξξηη∂∂∂F +++=∂∂∂∂ . (2.4) 在自变量变换(2.3)下, 方程(2.1)的判别式∆与(2.4)的判别式2B AC '∆=-之间有如下关系:2J '∆=∆, (2.5)其中表示变换(2.3)的Jacobi 行列式:J x yx yJ ϕϕψψ=.事实上, 由复合函数的微分法, 我们有u u u x x x ξηξη∂∂∂∂∂=+,∂∂∂∂∂ u u u y y yξηξη∂∂∂∂∂=+,∂∂∂∂∂ 222222222222()2()u u u u u u 2x x x x x x x ξξηηξηξξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂, 22222222()u u u u u u x y x y x y y x x y x y x yξξξηξηηηξξξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂η, 222222222222()2()u u u u u u y y y y y y 2yξξηηξηξξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂, 代入方程(2.1),得222222u u uA B C ξξηη∂∂∂+++∂∂∂∂ F =, 其中22()2x x y y A a b c ξηϕϕϕϕ,=++,()()x x x y y x y B a b c y ξηϕψϕψϕψϕψ,=+++,22()2x x y y C a b c ξηψψψψ,=++.通过简单的计算，我们知道(2.5)成立.注1 关系式(2.5)表明在可逆自变量变换(2.3)下, 即0J ≠时, 方程的判别式的符号保持不变.注2 在可逆自变量变换(2.3)下, 线性二阶偏微分方程(2.1)仍化为线性二阶偏微分方程(2.4). 事实上, 由22322202x x y yx x x y y x y y x x y yJ ϕϕϕϕϕψϕψϕψϕψψψψψ+=≠,知()A ξη,, ()B ξη,, (C )ξη,不同时为零.利用判别式的符号在可逆自变量变换下的不变性这一性质, 我们来对方程(2.1)进行分类.定义3.1 设是一个区域, 2Ω⊂R 00()x y ,∈Ω.(i) 若, 则称方程(2.1)在点00()x y ∆,>0)00(x y ,处为双曲型偏微分方程, 若在内的每一点处, 方程(2.1)都是双曲型的, 则称(2.1)在ΩΩ内为双曲型偏微分方程;(ii) 若, 则称方程(2.1)在点00()x y ∆,=0)00(x y ,处为抛物型偏微分方程, 若在Ω内的每一点处, 方程(2.1)都是抛物型的, 则称(2.1)在Ω内为抛物型偏微分方程;(iii) 若, 则称方程(2.1)在点00()x y ∆,<0)00(x y ,处为椭圆型偏微分方程, 若在Ω内的每一点处, 方程(2.1)都是椭圆型的, 则称(2.1)在Ω内为椭圆型偏微分方程.注3 根据连续性，由在一点大于零或小于零可推得∆∆在该点的某邻域中也是如此. 所以方程为双曲型或椭圆型的性质总是在一个区域中成立的, 即若方程(2.1)在点00()x y ,是双曲型或椭圆型的，则它必在00()x y , 的某邻域内是双曲型或椭圆型的. 反之，在一点等于零并不能告诉我们它在这一点的邻域中的符号.因此，我们又有：∆ 定义3.2 若方程(2.1)在区域的一个子区域上为双曲型的，在ΩΩ的另一个子区域上为椭圆型的，则称方程(2.1)在区域Ω中为混合型方程; 若方程(2.1)在区域Ω的一个子区域上为双曲型的，在的其余点(不一定构成子区域)上为抛物型的，则称方程(2.1)在区域中为退化双曲型方程; 若方程(2.1)在区域ΩΩΩ的一个子区域上为椭圆型的，在Ω的其余点(不一定构成子区域)上为抛物型的，则称方程(2.1)在区域Ω中为退化椭圆型方程.由(2.5)我们知道, 在可逆自变量变换(2.3)下, 方程的类型保持不变, 即可逆自变量变换(2.3)将双曲型偏微分方程(抛物型偏微分方程, 椭圆型偏微分方程）仍变为双曲型偏微分方程(抛物型偏微分方程,椭圆型偏微分方程). 因此, 为了求解方程(2.1), 我们常常需要找一个可逆的自变量变换, 将方程(2.1)化成简单形式, 即标准型.下面我们分别给出双曲型、抛物型和椭圆型偏微分方程的标准型.为了简便起见, 我们不妨假设方程(2.1)的系数都是常数, 即2(xx xy yy x y au bu cu du eu gu f x y +++++=,), (2.6)其中a b c 都是常数, 由于判别式d e g ,,,,,2b ac ∆=-是常数, 所以方程(2.6)在区域中所有点处都是同一类型的.(i) 当时, 其特征线是两族不同的实曲线0∆>1122()()x y y x c x y y x c ϕλψλ,=-=,⎧⎨,=-=,⎩其中12λλ== 且为任意常数.12c c , 利用这两族实特征线, 作可逆自变量变换12()()x y y x x y y x ξϕληψλ=,=-,⎧⎨=,=-⎩,(2.7)这时方程(2.6)变成()u Du Eu Gu F ξηξηξη=+++,,(2.8)其中都是常数. 我们称这一形式为双曲型方程的第一标准型. D E G ,, 若再引入新的自变量变换x y ξηξη=+,=-,则方程(2.8)又可化成1111()x x y y x y u u D u E u G u F x y -=+++,, (2.9)其中都是常数. 我们称这一形式为双曲型方程的第二标准型.111D E G ,, (ii) 当时,此时0∆=12b a λλ==, 方程(2.6)只有一族特征线()ba x y y x c ϕ,=-=, 为了获得一个可逆的自变量变换，只要取()()b a x y y x x y y ξϕηψ=,=-,=,=即可. 这样方程(2.6)就可化成2222()u D u E u G u F ηηξηξη=+++,, (2.10)其中和都是常数. 方程(2.10)称为抛物型方程的标准型.22D E ,2G (iii) 当时,这时没有实的特征曲线, 变换(2.7)中的0∆<12i i λαβλαβ=+,=-,且=b a αβ=,为了不涉及复变数, 我们试图通过(2.7)找一个实的变换,为此令11()(22i)ξξηηξη=+,=-,即可得到可逆自变量变换b y x a x a ξη⎧=-,⎪⎪⎨⎪=-.⎪⎩(2.11)应用变换(2.11)就可把方程(2.6)化成(见本节的习题5, 6)3333()u u D u E u G u F ξξηηξηξη+=+++,, (2.12)其中和都是常数. 我们称方程(2.12)为椭圆型方程的标准型.33D E ,3G 以上关于方程的分类及将方程化成标准型的问题, 虽然我们只对二阶线性常系数方程作了比较详细的讨论, 但对变系数方程(2.1)同样是成立的. 这里要特别指出的是, 对变系数方程来说, 它的类型与点的位置有关, 即可能在区域的某一部分点为这种类型而在另一部分点上为另一种类型. 例如特里谷来(Tricomi)方程0yy xx u yu -= (2.13)就是如此, 其判别式y ∆=,对于它是双曲型的; 对于0y >0y <它是椭圆型的; 而在x 轴上它又是抛物型的. 下面我们将Tricomi 方程(2.13)化成标准型. 情形1: 当时, 方程(2.13)的特征方程为0y>dy dy dx dx == 所以在上半平面内, 两族特征线为3322123232x y c x y c +=,-=,其中为任意常数, 这时利用变换12c c ,33223232x y x ξη=-,=+y ,就可把方程(2.13)化成双曲型第一标准型106u u u ξηξηξη--=.-情形2 当时, 作变换0y <322()3x y ξη=,=-就可把方程(2.13)化成标准型103u u u ξξηηηη++=.例1 判断下面方程的类型并把它化成标准型452xx xy yy x y u u u u u +++++=0.解因为判别式2904b ac ∆=-=>, 故方程为双曲型的, 它的特征方程为 114dy dy dx dx =,=, 求得特征线是124xy x c y c -=,-=, 其中为任意常数. 作变换12c c ,4y x x y ξη=-,⎧⎪⎨=-,⎪⎩可将方程化成双曲型第一标准型18039u u ξηη--=.若再作变换s t ξηξη=-,⎧⎨=+,⎩ 方程就可化成双曲型第二标准型1180339ss tt s t u u u u --++=.例2 判断下面方程的类型并将它化成标准型:0xx xy yy x u u u u +++=.解由于判别式2304b ac ∆=-=-<, 故方程为椭圆型的, 这时由特征方程给出两条复特征线1211()()2222y i x c y i x c -+=,--=.为了不涉及复变数, 我们引入实变换122y x x ξη=-,=-, 于是方程就可化成标准型203u u u ξξηηξη+-=.例3 判断下面方程的类型并将它化成标准型2220xx xy yy x u xyu y u ++=.解由于判别式, 所以方程处处都为抛物型的. 这时特征方程为222220b ac x y x y ∆=-=-=dy y dx x=, 可以看出特征线为一族直线yc x=, 因此作变换y y xξη=,=,就可把原方程化成标准型20u ηηη=,在即0y ≠0η≠时, 我们有 0u ηη=. 2.2. 多个自变量的情形我们仅考虑主部具有常系数的多个自变量的二阶线性偏微分方程：211111()()(nnij i n n n i j i i j i u ua b x x c x x u f x x x x ,==∂∂+,,+,,=,,∂∂∂∑∑ )x , (2.14) 其中为常数. 现在将利用特征概念对方程(2.14)进行分类. 我们知道方程(2.14)的特征方程可写为ij ji a a =10niji ji j a αα,==,∑记1nijiji j D a αα,==,∑ (2.15)我们称它为方程(2.14)的特征二次型.根据线性代数的知识, 可通过一个非奇异线性变换1122n n Bαβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,将特征二次型(2.15)化成标准型21ni i i D λβ==,∑ (2.16)其中系数i λ取值0或1, 即存在可逆矩阵1,-B , 使得B AB '=Λ, 其中12diag )(n λλ,, λΛ=,, 且111111121222212221221122n n n n n nn n n n a a a b b b aa a bb bA B aa ab b b⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝=,=nn ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭.2 (2.17)作自变量变换1122n n y x y x B yx⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=或1121()n n x y x y B xy⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=,(2.18) 则(2.14)可化成(见本节习题5, 6)2111211()()(nn i i n n i i i i u u)n B y y C y y u F y y y y λ==∂∂+,,+,,=,,∂∂∑∑ , )n (2.19) 我们称(2.19)为(2.14)的标准型.定义3.3 如果(2.19)中的个系数n (1i i λ=,, 全是1或全是–1, 则称方程(2.14)为椭圆型偏微分方程; 如果i λ中有一个为1, 1n -个为–1,或者一个为–1, 个为1, 则称方程(2.14)为双曲型偏微分方程; 如果1n -i λ全不为零, 但取1或–1的个数都超过1, 这时我们称方程(2.14)为超双曲型偏微分方程; 如果i λ中有一个为零, 其余全为1或全为-1，则称方程(2.14)为抛物型偏微分方程.按照以上所给的分类标准, 我们在第一章中提出的几个经典方程, 它们的类型应是: 弦振动方程和膜振动方程属于双曲型的; 热传导方程属于抛物型的; Laplace 方程属于椭圆型的.注1 上面列出的分类只包含了一部分情形，还有许多情况未包含在内. 如果考虑到在一个区域中自变量的各种变形、退化情形的话，则方程的分类问题是相当复杂的. 注2 即使在一个区域中方程类型不变，一般也不一定能通过可逆的自变量变换将含多个自变量的二阶方程化成标准型，仅在一些特殊情形下(如常系数的方程等)可以将方程的主部化成高维波动方程或高维Laplace 方程的情形. 例4 将方程424xx xy xz yy zz u u u u u -+++=023化成标准型.解此方程所对应的特征二次型为22112132424D ααααααα=-+++,22,现在我们把这个二次型化成标准型. 因为221121323212323221232323424(2)4(2)()()ααααααααααααααααααα-+++=-++=-+++-- 若令11232233232.βαααβααβαα=-+⎧⎪=+,⎨⎪=-⎩, 即作线性变换112322332313221()21().2αβββαββαββ⎧=++⎪⎪⎪=+,⎨⎪⎪=-⎪⎩, 就可将上述二次型化成如下的标准型222123D βββ=+-,因此所给方程是一个双曲型偏微分方程. 进一步, 由于此线性变换的系数矩阵为131221102211022B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=, ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭故所作自变量变换为131221102211022x y z ξηζ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭即111222311.222x x y z x y z ξηζ⎧⎪=,⎪⎪=++⎨⎪⎪=+-⎪⎩, 它可将所给的偏微分方程化成标准型0u u u ξξηηζζ+-=.。

第17讲第四章,二阶线性方程的特征理论

在椭圆区域解得
y0
i ydy dx 0
2 3 x i y2 c 3
故
有
x
2 3 和 y2 3
原方程化为
2u 2u 1 u 2 0 2 3
在椭圆区域解得
y0
ydy dx 0
3 2 x ( y ) 2 c 3 3 2 x ( y ) 2 3 3 2 和 x ( y ) 2 3
n 2u aij biui cu f xi x j i 1 i , j 1 n
(2.1)
其中
aij ,bi (i, j 1,n),c 及 f 为已知函数。
问：在什么条件下一个超曲面
( x1 , x2 ,, xn ) 0
可以成为方程（2.1）的某个弱解u的弱间断面？
其特征为
x at c
作变换
和
x at c
x at
x at
有
和
2u 0
u F ( x at ) G( x at )
解得
例2 特里科米方程
2u 2u y 2 2 0 x y
其特征方程为
ydy 2 dx2 0
弱间断解对于一个具有n个自变量的二阶方程来讲，若有一个函数u在某个n 维区间内有一阶连续偏导数，且在此区域内除一个（n-1）维光滑曲面 S外，有二阶连续偏导数，并处处满足方程，同时u的二阶偏导数在S上的左右极限存在，那么称这个函数u为方程的弱间断解。
例如，对弦振动方程。其解为
f1 ( x at ) 和 f 2 ( x at )
(1.16)
其雅可比行列式为
x y a11a22 a12 2 2 2 ( y y ) 0 x y a11

数学物理方程02线性偏微分方程的分类公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

a12 a11 a22
a1*1
a11
(
x
)2
2a12
x
y
a22
(
y
)2
a11 x
a22
y
2
0
由此推出
a1*2
a11
x
x
a12 ( x
y
x
y
)
a22
y
y
a11 x
a22
y
a11 x
a22
y
0
21
数学物理方程
而
a2*2
a11
(
x
)2
2a12
x
y
a22
(
y
)2
0
所以，方程（1）可改写为
(f)exuxx e yuyy u
29
数学物理方程
2、求出下列各方程旳通解，并代回原方程来检验是否有解：
(a)x2uxx 2xyuxy y2uyy xyux y2uy 0
(b)yuxx c2 yuyy 2c2uy 0 （c为常数）
(c) uxx
1 c2
u yy
0
（c为常数）
(d)uxx 3uxy 2uyy 0
u( x, y) (x, y)
数学物理方程
u( ,)
复合求导
u u u x x x u u u y y y
2u 2u ( )2 2 2u 2u ( )2 u 2 u 2
x2 2 x
x x 2 x x2 x2
2u 2u 2u 2u u 2 u 2
u 0
u(x, y) g( y ) y h( y )
x
x
25
例2 utt a2uxx 0

数学物理方程练习题

)( )
a12 a22
ξx ξy
,
)( )
a12 a22
ηx ηy
,
)( )
a12 a22
ηx ηy
,
故
(
)(
)
a11 a12
a12 a22
=J
a11 a12
a12 a22
JT,
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 4 / 39
二阶线性方程的分类
而判别式
△=
a11 a12
a12 a22
xy < 0 时, 方程为双曲型. (4) 当 xy > 0 时, 方程为抛物型; 当 xy ≤ 0 时, 方程为双曲型. (5) 系数矩阵为不定型, 且非退化, 故方程为双曲型.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 7 / 39
二阶线性方程的分类
.E.xample 1.3
化下列方程为标准形式: 1. uxx + 4uxy + 5uyy + ux + 2uy = 0; 2. x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0; 3. uxx + yuyy = 0; 4. uxx − 2 cos xuxy − (3 + sin2 x)uyy − yuy = 0;
1. 二阶线性方程的分类 2. 二阶线性方程的特征理论 3. 三类方程的比较 4. 先验估计
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 3 / 39
二阶线性方程的分类
.E.xample 1.1
证明: 两个自变量的二阶线性方程经过自变量的可逆变换后, 其类型不会改 .变, 即变换后 △ = a212 − a11a12 的符号不变.

二阶偏微分方程的线形和非线形的区别

一、概述二阶偏微分方程是数学中一个重要的概念，它在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。

二阶偏微分方程分为线性和非线性两种类型，它们在性质和解的求解方法上有着显著的区别。

本文将深入探讨二阶偏微分方程的线性和非线性的区别，从数学角度分析二者的特点和解的求解方法。

二、线性偏微分方程的特点线性偏微分方程的一般形式可以表示为：\[a(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} +b(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x\partial y}} +c(x,y)\frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} = f(x,y,u,\frac{{\partial u}}{{\partial x}},\frac{{\partial u}}{{\partial y}})\]其中，\(u\)为未知函数，\(a(x,y), b(x,y), c(x,y), f(x,y,u,\frac{{\partial u}}{{\partial x}},\frac{{\partial u}}{{\partial y}})\)均为已知函数。

线性偏微分方程具有以下特点：1. 对未知函数\(u\)及其偏导数的求和2. 未知函数\(u\)及其偏导数的次数均为1或03. 叠加性质：如果\(u_1(x,y)\)和\(u_2(x,y)\)分别满足线性偏微分方程，则\(u(x,y) = u_1(x,y) + u_2(x,y)\)也满足同样的线性偏微分方程线性偏微分方程具有较为简单的性质，其解的求解方法通常基于分离变量、特征方程等数学方法进行分析。

由于其线性的性质，使得许多线性偏微分方程具有解析解，这使得线性偏微分方程在实际问题中有着重要的应用价值。

三、非线性偏微分方程的特点非线性偏微分方程的一般形式为：\[F(x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy}) = 0\]其中，\(F(x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy})\)为已知函数，\(u\)为未知函数。

微分方程及其分类

一、微分方程的概念
为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子：
例1 一曲线通过点 (1, 2)
，且在该曲线上任一点
M ( x, y ) 切线的斜率为 2 x ，求这曲线的方程。
解
设所求曲线为 y y( x )。则有 y 2 x
2 y x C 对上式两边积分有
由于所求曲线通过点 (1, 2) 即满足 y
，所以特征曲
(10.3.5)
因此令进行自变量变换，则原偏微分方程变为
(10.3.6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
3.椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程的判别式一组共轭复变函数族．其特征方程的解为，所以特征曲线是
(10.3.7)
若令
(10.3.8) 作自变量变换，则偏微分方程变为
(10.3.9) 上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．
(2) 若则
3．线性偏微分方程的叠加原理需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠
加原理，即若
是方程
（其中 L 是二阶线性偏微分算符）的解.如果级数
收敛，且二阶偏导数存在（其中
为任意常数），则
的解（当然要假定这个方
一定是方程
程右端的级数是收敛的）．
微分方程及其解法
一、微分方程的概念
二、二阶线性偏微分方程的分类
函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具
，因此寻求客观事物运动变化过程中的函数关系是
十分重要的，然而，在许多问题中，往往不能直接
找出所需的函数关系。但根据问题所给的条件，有
时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这
样的关系式就是所谓的微分方程。
确定通解中的任意常数的附加条件。

《偏微分方程教程》第三章特征理论与方程的分类讲解

13
为了简便起见, 我们不妨假设方程(2.1)的系数都是常数, 即
auxx 2buxy cuyy dux euy gu f ( x y)
其中
(2.6)
a b c d e g
2 都是常数, 由于判别式 b ac 是常数,
所以方程(2.6)在区域中所有点处都是同一类型的.
9
定义3.1
设 R 2 是一个区域,( x0 y0 )
(i) 若 ( x0 y0 ) 0 ,则称方程(2.1)在点 ( x0 y0 ) 处为双曲型偏微分方程, 若在内的每一点处, 方程(2.1)都是双曲型的,则称(2.1)在内为双曲型偏微分方程; (ii)若 ( x0 y0 ) 0 , 则称方程(2.1)在点 ( x0 y0 ) 处为抛物型偏微分方程, 若在内在内的每一点处,方程(2.1)抛物型的,则称 (2.1)在内为抛物型偏微分方程;
u u u u u u 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x
2 2 2 2 2 2
6
2
2
2u 2u 2u 2u u 2 u 2 2 2 xy x y x y y x x y xy xy
(2.12)
其中 D3 E3 和 G3都是常数.我们称方程(2.12)为椭圆型方程的标准型. 以上关于方程的分类及将方程化成标准型的问题, 虽然我们只对二阶线性常系数方程作了比较详细的讨论, 但对变系数方程(2.1)
同样是成立的. 这里要特别指出的是, 对变系数方程来说, 它的类
型与点的位置有关, 即可能在区域的某一部分点为这种类型而在另一部分点上为另一种类型.

数学物理方程的分类

代换后方程变为：
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1 u [ B1u B2u Cu F ] 2 A12
如果再作变量代换：
（11）
1 ( ) 2 , 1 ( ) 2
方程（11）化成：
u u
1
数学物理方程的分类
(一) 线性二阶偏微分方程
把所有自变数（空间和时间坐标）依次记作：x1,x2,…xn 二阶偏微分方程可以写为：
a u
j 1 i 1
n
n
ij xi x j
bi u xi cu f 0
i 1
n
其中aij,bi,c,f只是x1,x2,…xn的函数，叫做线性方程。若 f 0 则方程称为齐次的，否则为非齐次的。一般的有源（外力，热源，电荷）的方程为非齐次的，无源的方程为齐次的，但也不是绝对的, 如扩散方程。
其中系数
（ 6）
并且代换后，方程（5）仍然是线性的.
2 2 a11zx 2a12 zx z y a22 z y 0
从（6）可以看出，如果取以下方程的一个特解作新自变数
（7）
5 则有 a 2 2a a 2 0, 11 x 12 x y 22 y
从而A11＝0
u x e x t (v x v) u ( x , t ) x t u e (vt v) t x t 2 u e ( v 2 v v) xx xx x x t u e (v xt vt v x v) xt x t 2 u e ( v 2 v v) tt t tt
( x, y) C1 则 ( x, y) 是方程