第十二篇_概率、随机变量及其分布第6讲_离散型随机变量的均值与方差
第六节 离散型随机变量的均值与方差
所以
mn=0.06;
D(X)=E(X2)-(E(X))2=0.7-0.25=0.45.
答案:0.06 0.45
高频考点突破
考点一 离散型随机变量的均值与方差
[例1] 设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分, 取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分. (1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个 球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;
考点二 与两点分布、二项分布有关的均值、方差 [例2] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分 布直方图,如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的销售量 低于50个的概率;
又因为 p= 1 ,所以 q= 5 .
4
12
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后
他们中至少有一人获利的概率大于 4 ,求 p 的取值范围; 5
解:(2)记事件 A 为“甲投资股市且盈利”,事件 B 为“乙购买基金且盈利”,事
件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,则 C=A B ∪ A B∪AB,且 A,B
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何 种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
解:(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数 为 X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1),选择方案乙抽奖累计
得分的数学期望为 E(3X2).由已知可得,X1～B(2, 2 ),X2～B(2, 2 ),
离散型随机变量的均值与方差PPT课件
通过了解雅典民主政治的发展历程，让学生归纳 雅典民主制度的特征：
人民主权 轮番而治 内部平等 法律至上
第三环节 感悟历史——民主之魂
现学现用 让学生阅读下列材料找出雅典民 主政治在今天的痕迹：
材料1 BC6世纪初，梭伦对政权机构进行了改革, 使公民大会成为国家最高权力机关，负责审议并 决定—切国家大事。所有合法公民均有参与权、 知情权、发言权、选举权和被选举。
小结:
一、定义 二、性质 三、求法
(1)定义法
①审题；
②求分布列；
③根据定义求均值、方差
(2)模型法 若 X ~ B(n, p) ，
则 EX np ； DX np(1 p)
作业： 课后布置
再见!
第5课古代希腊民主政治
说教材
1、课程标准：了解希腊自然地理环境和希 腊城邦制度对希腊文明的影响，认识西方 民主政治产生的历史条件。知道雅典民主 政治的主要内容，认识民主政治对人类文 明发展的重要意义。
例 3 在 6 个小球中有 4 个红球，2 个黑球，从中取球，每次 取 1 个小球，并记录其颜色.
(1)若不放回地取 3 次，求取到黑球次数 X 的均值与方差； (2)若有放回地取 3 次，求取到黑球次数 X 的均值与方差.
(3)若不放回地进行取球直至 2 个黑球都取出为止，求所用 取球次数的均值.
设立公民大会（最高权力机关，各等级公民均 可参加） 四百人会议（规定除第四等级外，其他公民都 可当选） 陪审法庭（不仅参与例行审判，还接受上诉案 件，而每个公民都有上诉之权） 废除了债奴制（通过“解负令”）
亚里士多德很客观评价梭伦“采取曾是最 优秀的立法，拯救国家”。
一项重要内容是针对雅典的选举制度进行的， 即把整个雅典城邦分为10个地域部落，以取代 过去的4个血缘部落，以部落为单位进行选举； 设立五百人会议、成立十将军委员会、实行陶 片放逐法
离散型随机变量的分布列、均值与方差
离散型随机变量的分布列、均值与方差1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为(1)分布列的性质①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n . ②11=∑=ni i p(2)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)方差称D (X )=i 12))((P X E x ni i ∑=-为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数)3．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(√)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(√)(3)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(×) (4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√) (5)期望值就是算术平均数，与概率无关．(×)(6)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．(×)(7)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7.(√)(8)在一组数中，如果每个数都增加a ，则平均数也增加a .(√) (9)在一组数中，如果每个数都增加a ，则方差增加a 2.(×)(10)如果每个数都变为原来的a 倍，则其平均数是原来的a 倍，方差是原来的a 2倍．(√)考点一 离散型随机变量的分布列及性质[例1] (1)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( )A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋22 解析：由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22.答案：C(2)设离散型随机变量X 的分布列为求：①2X ＋1的分布列； ②|X －1|的分布列． 解：由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 首先列表为从而由上表得两个分布列为①2X ＋1的分布列为②|X －1|的分布列为[方法引航] (1)概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.1．随机变量的分布列为：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________. 解析：由a ，b ，c 成等差数列及分布列性质得， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，－a ＋c ＝13，解得b ＝13，a ＝16，c ＝12.∴D (ξ)＝16×2)311(--＋13×2)310(-＋12×2)311(-＝59.答案：592．在本例(2)条件下，求X 2的分布列． 解：X 2的分布列为考点二 离散型随机变量的均值与方差[例2] (1)(2017·湖南益阳调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂，现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：②生产一件甲种产品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元，在①的前提下：a ．记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；b ．求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率．解：①甲种产品为合格品的概率约为4560＝34，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23. ②a .随机变量X 的所有取值为190,85,70，－35，且P (X ＝190)＝34×23＝12，P (X ＝85)＝34×13＝14，P (X ＝70)＝14×23＝16，P (X ＝－35)＝14×13＝112. 所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝1902＋854＋706－3512＝125.b ．设生产的5件乙种产品中合格品有n 件，则不合格品有(5－n )件， 依题意得，90n －15(5－n )≥300，解得n ≥257，取n ＝4或n ＝5， 设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A ，则P (A )＝C 454)32(13＋5)32(＝112243. (2)(2016·高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． ①求X 的分布列；②若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；③以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？解：①由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2.从而P (X ＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P (X ＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P (X ＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P (X ＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P (X ＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P (X ＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P (X ＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 所以X 的分布列为②由①知P (X ≤③记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)． 当n ＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.[方法引航](1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．解：(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝1 4；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为考点三[例3] (1)若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2 B ．2－4 C ．3·2－10 D ．2－8解析：∵E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·11)21(＝3·2－10.答案：C(2)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .①若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；②设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E (ξ)．解：①设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15. ②由题意，得 P (ξ＝0)＝3)101(＝11 000，P (ξ＝1)＝C 132)101)(1011(-＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23×2)1011(-×110＝2431 000，P (ξ＝3)＝3)1011(-＝7291 000. 所以，随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的均值E (ξ)＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710. (或∵ξ～B )109,3(，∴E (ξ)＝3×910＝2710.)[方法引航] 如果ξ～B (n ，p )，可直接按公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解.假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被并闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时刻教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．解：(1)∵X的所有可能取值为0,1,2,3,4，X～B(4,0.5)，∴P(X＝0)＝C044)21(＝116，P(X＝1)＝C144)21(＝14，P(X＝2)＝C244)21(＝38，P(X＝3)＝C344)21(＝14，P(X＝4)＝C444)21(＝116，∴X的分布列为(2)Y的所有可能取值为3,4，则P(Y＝3)＝P(X＝3)＝1 4，P(Y＝4)＝1－P(Y＝3)＝34，∴Y的数学期望E(Y)＝3×14＋4×34＝154.[规范答题]求离散型随机变量的期望与方差[典例](2017·山东青岛诊断)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22公里的地铁票价如下表：6公里的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．[规范解答] (1)由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13.2分则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P 1＝14×13＋12×13＋14×13＝13.3分 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P ＝1－P 1＝1－13＝23.4分 (2)由题意可知，ξ＝6,7,8,9,10.且P (ξ＝6)＝14×13＝112， P (ξ＝7)＝14×13＋12×13＝14.P (ξ＝8)＝14×13＋14×13＋12×13＝13. P (ξ＝9)＝12×13＋14×13＝14.P (ξ＝10)＝14×13＝112，10分 所以ξ的分布列为则E (ξ)＝6×112＋7×14＋8×13＋9×14＋10×112＝8.12分[规范建议] 1.分清各事件间的关系：独立事件、互斥事件、对立事件．2．求随机变量的分布列，先把随机变量所有可能值列举出来，逐个求对应的概率． 3．利用期望公式求期望值．[高考真题体验]1．(2016·高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．解析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率为1－2)21(＝34，且X ～B )43,2(，∴均值是2×34＝32.答案：322．(2015·高考广东卷)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.解析：因为X～B(n，p)，所以E(X)＝np＝30，D(X)＝np(1－p)＝20，解得n＝90，p＝1 3.答案：1 33．(2016·高考全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解：(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X元，则X的分布列为E(X)＝0.85a×0.30×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率．(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的数学期望． 解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000， 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000. 所以T ＝⎩⎨⎧800X －39 000，100≤X ＜130，65 000， 130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T 的分布列为所以E (T )＝45 000×0.1课时规范训练 A 组 基础演练1．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．16 解析：选B.∵E (ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ∴D (ξ)＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.2．已知某一随机变量X 的分布列如下，且E (X )＝6.3，则a 的值为( )A.5 B ．6 C ．解析：选C.由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4. ∴E (X )＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a ＝7.3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 解析：选B.记“不发芽的种子数为ξ”， 则ξ～B (1 000,0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100， 而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200.4．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过混合后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125 B.65 C.168125 D.75解析：选B.125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65. 5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的期望值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4 解析：选C.X 的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为∴E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋6．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k －1，k ＝1,2,3，…，n ，则P (2＜ξ≤5)＝________. 解析：P (2＜ξ≤5)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝14＋18＋116＝716.答案：7 167．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝__________.解析：由题意知取到次品的概率为14，∴X～B)41,3(，∴D(X)＝3×14×)411(-＝916.答案：9 168．随机变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|d的取值范围是________．解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13.所以P(|ξ|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13，此即公差d的取值范围．答案：23]31,31[-9．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：(1)得60分的概率；(2)所得分数ξ的分布列和数学期望．解：(1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B，“有一道题不理解题意”选对为事件C，∴P(A)＝12，P(B)＝13，P(C)＝14，∴得60分的概率为P＝12×12×13×14＝148.(2)ξ可能的取值为40,45,50,55,60.P(ξ＝40)＝12×12×23×34＝18；P(ξ＝45)＝C12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748；P(ξ＝50)＝12×12×23×34＋C12×12×12×13×34＋C12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748；P(ξ＝55)＝C12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748；P(ξ＝60)＝12×12×13×14＝148.ξ的分布列为E(ξ)＝40×18＋45×1748＋50×1748＋55×748＋60×148＝57512.10．随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视，为此某市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；④租用时间超过3小时，按每小时扣2分收费(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5和0.6；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2.(1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率；(2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)设甲、乙所扣积分分别为x1，x2，由题意可知，P(x1＝0)＝0.5，P(x1＝1)＝0.4，P(x1＝2)＝1－0.5－0.4＝0.1，P(x2＝0)＝0.6，P(x2＝1)＝0.2，P(x2＝2)＝1－0.6－0.2＝0.2，所以P(x1＝x2)＝P(x1＝x2＝0)＋P(x1＝x2＝1)＋P(x1＝x2＝2)＝0.5×0.6＋0.4×0.2＋0.1×0.2＝0.4.(2)由题意得，变量ξ的所有取值为0,1,2,3,4.P (ξ＝0)＝0.5×0.6＝0.3，P (ξ＝1)＝0.5×0.2＋0.6×0.4＝0.34，P (ξ＝2)＝0.5×0.2＋0.6×0.1＋0.4×0.2＝0.24， P (ξ＝3)＝0.4×0.2＋0.2×0.1＝0.1， P (ξ＝4)＝0.1×0.2＝0.02， 所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×0.3＋1×0.34＋2B 组 能力突破1．已知X 的分布列则在下列式子中①E (X )＝－13；②D (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.由E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确．由D (X )＝2)311(+-×12＋2)310(+×13＋2)311(+×16＝59，知②不正确．由分布列知③正确．2．已知ξ的分布列如下表，若η＝2ξ＋2，则D (η)的值为( )A.－13B.59C.109D.209解析：选D.E (ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (ξ)＝2)311(+-×12＋2)310(+×13＋2)311(+×16＝59∴D (η)＝D (2ξ＋2)＝4D (ξ)＝209，故选D.3．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6 解析：选B.由已知随机变量X ＋η＝8，所以η＝8－X .因此，E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.4．两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________. 解析：两封信投入A ，B ，C 三个空邮箱，投法种数是32＝9，A 中没有信的投法种数是2×2＝4，概率为49，A 中仅有一封信的投法种数是C 12×2＝4，概率为49， A 中有两封信的投法种数是1，概率为19，故A 邮箱的信件数ξ的数学期望是49×0＋49×1＋19×2＝23. 答案：235．李先生家在H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线(如图)，路线L 1上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线L 2上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走路线L 1，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线L 2，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．解：(1)设“走路线L 1最多遇到1次红灯”为事件A ，则P (A )＝C 03×2)21(＋C 13×12×2)21(＝12. 所以走路线L 1最多遇到1次红灯的概率为12. (2)依题意，知X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝)531)(431(--＝110.P (X ＝1)＝34×)531(-＋)431(-×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920. 随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720.(3)设选择路线L 1遇到红灯的次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，即Y ～B )21,3(，所以E (Y )＝3×12＝32.因为E (X )＜E (Y )，所以选择路线L 2上班更好．。
2.3离散型随机变量的均值和方差ppt课件
( xi EX )2 pi 为随机变量X的方差。 i 1
称 X DX 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平 均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离 于均值的平均程度越小，即越集中于均值。15
三、基础训练
1、已知随机变量X的分布列
X0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求DX和σX。
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中
平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多
数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8
Xc P1 EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
17
四、方差的应用
例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解：EX1 9, EX2 9 DX 1 0.4, DX 2 0.8
解：(1) X～B（3，0.7）
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7
0.3
2
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2)
EX
0 0.33
1
C
1 3
0.7
0.32
2
C
2 3
0.7
2
0.3
3 0.73
EX 2.1 3 0.7 12
小结： 一般地，如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则 EX np
二、数学期望的性质
高考数学第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第6节离散型随机变量的均值与方差、正态分布理_1
P(ξ≥4)＝0.6.]
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解析答案
5．随机变量 X 的分布列为 P(X＝k) 8 9
[由 P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝kkC＋1，k＝1,2,3，C 为常数， ＝1，得1×C 2＋2×C 3＋3×C 4＝1，解
则 P(0.5＜X＜2.5)＝________.
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解析答案
(1)A [依题意，X～B(100,0.02)，所以 D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝ 1.96.] (2)[解] 设 Ak，Bk 分别表示“甲、乙在第 k 次投篮投中”， 则 P(Ak)＝13，P(Bk)＝12，其中 k＝1,2,3.
；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝ 0.997 4
.
[常用结论]
1．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X)．
2．超几何分布的均值：若 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 E(X)＝nNM.
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答案
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (2)若 X～N(μ，σ2)，则 μ，σ2 分别表示正态分布的均值和方差．( ) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( ) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程 度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( )
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01
知识 全通 课前·
(zhī shi)
第6讲 离散型随机变量的均值与方差
第6讲离散型随机变量的均值与方差基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2018·广东卷)已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)＝( )．A.32B．2C.52D．3解析E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案 A2．已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为( ).A.5C．7 D．8解析由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7.答案 C3．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是( )．A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6解析由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案 B4．若p为非负实数，随机变量X的分布列为则E(X)的最大值为 ( )．A ．1 B.32 C.23D ．2解析 由p≥0，12－p≥0，则0≤p≤12，E(X)＝p ＋1≤32.答案 B5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球．否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E(X)>1.75，则p 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 X 的可能取值为1,2,3， ∵P(X ＝1)＝p ，P(X ＝2)＝(1－p)p ， P(X ＝3)＝(1－p)2，∴E(X)＝p ＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p 2－3p ＋3，由E(X)>1.75，即p 2－3p ＋3>1.75，得p<12或p>52(舍)．∴0<p<12.答案 C二、填空题6．(2018·长沙调研)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X 表示取到次品的次数，则D(X)＝________.解析 因为是有放回地取产品，所以每次取产品(试验)取得次品(成功)的概率为14，从中取3次(做3次试验)X为取得次品(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，∴D(X)＝3×14×34＝916.答案9167．马老师从课本上抄录一个随机变量X 的概率分布列如下表：请小牛同学计算X 的数学期望，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(X)＝________.解析 设P(X ＝1)＝x ，则P(X ＝3)＝x ， 由分布列性质，∴P(X ＝2)＝1－2x ，因此E(X)＝1·x＋2·(1－2x)＋3·x＝2.答案 28．(2018·青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元． 解析 由概率分布性质a 1＋2a 1＋4a 1＝1 ∴a 1＝17，从而2a 1＝27，4a 1＝47.因此获得资金X 的分布列为∴E(X)＝700×17＋560×27＋420×47＝500(元)答案 500三、解答题9．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．解 (1)P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＝427.所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为427.(2)6场胜3场的情况有C 36种， ∴P ＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝20×127×827＝160729.所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为160729.(3)由于X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13， ∴E(X)＝6×13＝2，D(X)＝6×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.所以在6场比赛中这支篮球队胜场的均值为2，方差为43.10．(2018·汕头一模)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求X 的分布列、数学期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a ，b 的值．解 (1)X 的分布列为∴E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×20＋4×5＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×2＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D(Y)＝a 2D(X)，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E(Y)＝aE(X)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2. 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，即为所求．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的均值为 ( )． A ．2.44 B ．3.376 C ．2.376D ．2.4解析 X 的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为∴E(X)答案 C2．(2018·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 ( )．A ．100B ．200C ．300D ．400解析 记不发芽的种子数为Y ，则Y ～B(1 000,0.1)，∴E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X ＝2Y ，∴E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.答案 B二、填空题3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E(X)＝________.解析 由题意知P(X ＝0)＝13(1－p)2＝112，∴p ＝12.随机变量X的分布列为：E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×6＝3.答案5 3三、解答题4．如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．解(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X的数学期望为E(X)X的方差为D(X)＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.。
【优质文档】第十二章12.3离散型随机变量的分布列及均值、方差
项目一： 新能源汽车． 据市场调研， 投资到该项目上， 到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，
且这两种情况发生的概率分别为 7和2； 99
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利
50%，可能损失 30%，
也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为
35，
13和
1 15.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
1× 3
2 3＝
4 9.
方法二
由独立重复试验的概率计算公式知， 他前两发子弹只命中一发的概率为
P＝
C12×
23×
13＝
4 9.
(2)X 的所有可能值为 2,3,4,5.
P(X＝2)＝ P(A1A2)＋ P( A 1 A 2)
＝
23×23＋
13×
1 3＝
5 9，
P(X＝3)＝ P(A1 A 2 A 3)＋P( A 1A2A3)
＝ 23×
1 3
2＋
1 3
×
2 3
2＝
2 9，
P(X＝4)＝ P(A1 A 2A3A4) ＋ P( A 1A2 A 3 A 4 )
＝
2 3
3×
1 3＋
1 3
3×
2 3
＝
10 81，
P(X＝5)＝ P(A1 A 2A3 A 4) ＋P( A 1A2 A 3A4 )
＝
2 3
2×
1 3
2＋
1 3
2×
2 3
一般地，设有 N 件产品，其中有 M ( M ≤N)件次品．从中任取 n(n≤N)件产品，用 X 表示取出
的 n 件产品中次品的件数，那么
离散型随机变量的均值与方差-课件
[解析] X 的取值为 3、4、5、6，P(X＝k)＝CC2k－361，k＝3、4、 5、6，因此，X 的分布列如下表：
X3 4 5 6
p
1 20
3 20
3 10
1 2
所以 E(X)＝3×210＋4×230＋5×130＋6×12＝5.25.
• [点评] 求出随机变量的均值(数学期望)的关 键在于写出它的分布列，再代入公式E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xnpn即可．
•超几何分布的均值
从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比 赛，设随机变量 X 表示所选 3 人中女生的人数．
(1)求 X 的分布列； (2)求 X 的均值； (3)求“所选 3 人中女生人数 X≤1”的概率．
• [分析] 本题是超几何分布问题，可用超几何 分布的概率公式求解．
[解析] (1)X 的可能取值为 0、1、2， P(X＝k)＝Ck2CC3634－k，k＝0、1、2， 所以，X 的分布列为：
()
• A．15
B．10
• C．20
D．5
• [答[解案析]] 次B品率 P＝115000000＝115，且该题目中 X 服从二项分
布，由公式得 E(X)＝np＝150×115＝10，故选 B.
2．设一随机试验的结果只有 A 和 A 两种情况，P(A)＝p，
令随机变量 X＝10， ，AA出 不现 出， 现. ，则 X 的方差为(
(2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮 命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率；
(3)记－x 为表中 10 个命中次数的平均数．从上述比赛中随 机选择一场，记 X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较 EX 与－x 的大小．(只需写出结论)
离散型随机变量的均值和方差
离散型随机变量的均值和方差
离散型随机变量的的期望也就是离散型随机变量的均值的是为了表达一个随机变量取值的中间水平，随机变量的方差刻画了随机变量取值的离散程度。
由于它们反映了随机变量取值的平均水平及稳定性，所以随机变量的均值和方差在市场预测等其他方面有着重要的应用。
离散型随机变量的期望公式：离散型随机变量X的取值为X1、X2、X3……Xn，p（X1）、p（X2）、p（X3）……p（Xn）、为X对应取值的概率，可理解为数据X1、X2、X3……Xn出现的频率高f（Xi）。
则E（X）=X1*p（X1）+X2**p（X2）+……+Xn**p（Xn）= X1*f1（X1）+X2*f2（X2）+……+Xn*fn（Xn）。
离散型随机变量的方差公式：D（X）=E{[X-E（X）]^2}=E（X^2）-（EX）^2。
常见的分布的方差和期望：
1、均匀分布：期望是（a+b）/2，方差是（b-a）的平方/12。
2、二项分布：期望是np，方差是npq。
3、泊松分布：期望是p，方差是p。
4、指数分布：期望是1/p，方差是1/（p的平方）。
5、正态分布：期望是u，方差是&的平方。
6、X服从参数为p的0-1分布，则E（X）=p，d（X）=p（1-p）。
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- 1 - 第6讲 离散型随机变量的均值与方差 【2013年高考会这样考】 1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题． 【复习指导】 均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题．
基础梳理 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 „ xi „ xn P p1 p2 „ pi „ pn
两个防范 在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)． 三种分布 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；
(1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋„＋xipi＋„＋xnpn为随机变量X的均值 或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ． (2)方差
称D(X)＝i＝1n[xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均 ，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．
数学期望 平均水平 偏离程度 - 2 -
(3)若X服从超几何分布， 则E(X)＝nMN. 六条性质 (1)E(C)＝C(C为常数) (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数) (3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2 (4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2) (5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2 (6)D(aX＋b)＝a2·D(X) 双基自测 1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．
A. 65 B.65 C.2 D．2 解析 由题意知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1. s2＝－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－125 ＝2. 答案 D 2．已知X的分布列为 X －1 0 1
P 12 13 16 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )． A.73 B．4 C．－1 D．1
解析 E(X)＝－12＋16＝－13， E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73. 答案 A - 3 -
3．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________． A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 解析 x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.① 又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.② 由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4. 答案 A 4．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( )． A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45 解析 ∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，
D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴ n＝8，p＝0.2. 答案 A 5．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出： ξ 7 8 9 10 P 0.3 0.35 0.2 0.15 该随机变量ξ的均值是________． 解析 由分布列可知E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2. 答案 8.2
考向一 离散型随机变量的均值和方差 【例1】►A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下： 对阵队员 A队队员胜的概A队队员负的概- 4 -
率 率 A1和B1 23 13
A2和B2 25 35
A3和B3 25 35
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y (1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)． [审题视点] 首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望． 解 (1)X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.
P(X＝3)＝23×25×25＝875，
P(X＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875， P(X＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25， P(X＝0)＝13×35×35＝325； 根据题意X＋Y＝3，所以 P(Y＝0)＝P(X＝3)＝875，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝2875，
P(Y＝2)＝P(X＝1)＝25，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝325. X的分布列为
X 0 1 2 3 P 325 25 2875 875
Y的分布列为 Y 3 2 1 0 - 5 -
P 325 25 2878 875 (2)E(X)＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝2215； 因为X＋Y＝3，所以E(Y)＝3－E(X)＝2315. (1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算． (2)由X的期望、方差求aX＋b的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解． 【训练1】 (2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立
来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过
四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14. 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则 P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝516.
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516. (2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8. P(ξ＝0)＝14×12＝18；
P(ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516； P(ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝516； - 6 -
P(ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316； P(ξ＝8)＝14×14＝116. 甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为 ξ 0 2 4 6 8
P 18 516 516 316 116
所以E(ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72. 考向二 均值与方差性质的应用 【例2】►设随机变量X具有分布P(X＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，DX－1. [审题视点] 利用期望与方差的性质求解． 解 ∵E(X)＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝155＝3.
E(X2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11. D(X)＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2. ∴E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4) ＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋12＋4＝27. D(2X－1)＝4D(X)＝8，DX－1＝DX＝2. 若X是随机变量，则η＝f(X)一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算． 【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值． 解 (1)X的分布列为 X 0 1 2 3 4 - 7 -
P 12 120 110 320 15 ∴E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15
＝2.75. (2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(η)＝aE(X)＋b， 所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2. 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴ a＝2，b＝－2，或 a＝－2，b＝4，即为所求． 考向三 均值与方差的实际应用 【例3】►(2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，„，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准． (1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示： X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值； (2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．