高等数学I(本科类)第2阶段练习题

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高等数学I练习题

第一章极限与连续1．当0→x 时，x x sin -是2x 的（）A ．等价无穷小B ．同阶但不等价的无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小2．设321)(2--+=x x x x f ，则1-=x 是函数)(x f 的（）。

（A ）连续点（B ）可去间断点（C ）跳跃间断点（D ）第二类间断点3．=+++-∞→n n n n n n 233514lim ( ) A.54B.0C.1-D.∞4．设1x y e -=是无穷大量，则x 的变化过程是（）A. 0x +→B. 0x -→C. x →+∞ D . x →-∞5．函数23()32x f x x x -=-+的间断点是（）A.1,2x x ==B.3x =C.1,2,3x x x ===D.无间断点6．2123(1)lim n n n →∞++++-=7．若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=001)(3x a x xe xf x 在0=x 处连续，则a =8.当0→x 时，1cos2x -是sin x x 的无穷小。

9．已知b a ,为常数，3122lim 2=-++∞→n bn an n，则=a ,=b 10．2x →= ___________.11．1lim3sin 2x x x →∞=12、讨论函数100x x y x -<⎧⎪=≥在点0x =处的连续性.第二章导数1．设函数)(x f 在点1=x 处可导，且1)1()21(lim 0=∆-∆-→∆x f x f x ，则)1(f '等于() A ．21 B ．21- C ．2 D ． 2-2．设f 可微，则=---→1)1()2(lim 1x f x f x （）。

（A ）)1(-'-x f （B ）)1(-'f （C ）)1(f '- （D ） )2(f ' 3．已知)2323(+-=x x f y ，()2arcsin x x f ='，则0=x dx dy 等于( )。

高等数学Ⅱ本科类第阶段练习题及答案

dy y
cos x
18. 求微分方程 dx x
的通解。
19. 求微分方程 ( y sin x)dx
tan xdy
0 满足初始条件
y( ) 6
1
的解。
(a)
y arctan
1 ln( x2
y2 )
C (b) arctan y
ln( x2
y2)
C
x2
x
(c)
y arctan
ln( x2
y2 )
C (d)
y arctan
1 ln( x2
y2)
C
x
x2
二 . 填空题 ( 每题 4 分，共 28 分)
6. 设 z
xy3 , 则 z xx1
y3
____
______
7. 设 z
2
cot( y
z xy) , 则
____
y
y
8. 设 z ex
x sin y , 则
2z =___
xy
_______ ________
9. 设 z ln(3 y 2x) ex2 y , 则 dz =____二次积分次序 I dx f (x, y)dy =_______
14. 求函数 z xy(3 x y),( x 0, y 0) 的极值。
xy 2 dxdy
15. 计算 D
, 其中 D 是由曲线 xy 1, y x2, y 3 围成的平面区域。
ex2 y2 dxdy
2
2
16. 计算 D
, 其中 D 是由 2 x y 5 确定。
dy 17. 求微分方程 dx
y y 2 x 的通解。
江南大学现代远程教育第三阶段练习题

高等数学本科试题及答案

高等数学本科试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数 $ f(x) = \sin x $ 的导数是（）。

A. $ \cos x $B. $ -\cos x $C. $ \sin x $D. $ -\sin x $2. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 不存在3. 微分方程 $ y'' - y = 0 $ 的通解是（）。

A. $ y = C_1 \cos x + C_2 \sin x $B. $ y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} $C. $ y = C_1 x + C_2 $D. $ y = C_1 \ln x + C_2 x $4. 曲线 $ y = x^2 $ 在点 $ x = 1 $ 处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 4二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 $ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} $，则$ \int_{0}^{2} x^2 dx = $ ________。

2. 函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $ 的极值点是 ________。

3. 曲线 $ y = \ln x $ 在 $ x = e $ 处的切线方程是________。

4. 函数 $ y = \sin x $ 在区间 $ [0, \pi] $ 上的最大值是________。

三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $ 的一阶导数和二阶导数。

2. 计算定积分 $ \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx $。

3. 已知 $ y'' + 4y' + 4y = 0 $，求该微分方程的通解。

高等数学II练习题

1. 计算⎰Γ+s y x d )(22，其中Γ螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos 上从0=t 到π2=t 的一段弧。

1.解：原积分= = 2. 求幂级数∑∞=+-⋅-11212)1(n nn n n x 的收敛域及收敛半径。

2.解：收敛区间为，收敛半径当，级数为，其中，应用Leibniz 判别法，级数收敛（2分）当，级数为，其中，应用Leibniz 判别法，级数收敛此幂级数的收敛域dt t z t y t x ds 222))(())(())(('+'+'=,sin )(t a t x -=',cos )(t a t y ='b t z =')(dt b a ds 22+=dtb a a 22202+⎰π2222b a a+π122)1(2)1()1(lim 2121132<=-+-+-++∞→x n x n x n n n n n nn )2,2(-2=r 2=x ∑∞=--112)1(n n n 0}2{↓n 2-=x n n n 2)1(1∑∞=-0}2{↓n ]2,2[-=E3. 求曲面zx y z ln+=在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程。

3. 解：令z x y z zx y z z y x F ln ln ln ),,(+--=--= 则x F x 1-=；1-=y F ；z F z 11+=；所以1)1,1,1(-=x F ；1)1,1,1(-=y F ；2)1,1,1(=z F ；所以切平面方程为0)1)(1,1,1()1)(1,1,1()1)(1,1,1(=-+-+-z F y F x F z y x即0)1(2)1()1(1=-+----z y x 法平面方程为211111-=--=--z y x 4. 求微分方程032=-'-''y y y 的通解。

2021年河南专升本《高数》真题(含答案)

学习攻略—收藏助考锦囊系统复习资料汇编考试复习重点推荐资料百炼成金模拟考试汇编阶段复习重点难点梳理适应性全真模拟考试卷考前高效率过关手册集高效率刷题好资料分享学霸上岸重点笔记总结注：下载前请仔细阅读资料，以实际预览内容为准助：逢考必胜高分稳过2021年河南省普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号一二三四五总分分数503050146150注意事项：答题前：考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效选题分析：易（42分）中（73分）难（35分）选择：1/2/4/6/8/9/10/12/15/18/21 填空：26/28/30/32/37 计算： 41/43 应用：证明：选择：3/5/7/11/13/14/16/17/20/22/ 23/24/25 填空：27/29/31/34/35/36/38/39 计算：42/44/46/48/50 应用：证明： 53选择： 19 填空： 33/40 计算： 45/47/49 应用： 51/52 证明：一、选择题（每小题2分，共50分）在每小题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 1.对称区间上()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，下列函数是奇函数的是（）A.4()f x第 1 页，共 18 页2/25B.()()g x f x +C.()()g x f xD.()g x −− 2.极限0tan 3lim2x xx →=（）A.32B.23C.0D.∞3.当+∞→x 时，下列变量不是无穷大量的是（）A.42132++x xB.x lgC.x3 D.x arctan4.00,cos ,sin 2)(<>+=x x x x xx x x f ，则0=x 处是)(x f 的（） A.无穷间断点B.可去间断点C.跳跃间断点D.振荡间断点 5.极限)4421(lim 22−−−→x x x 的值为（）. 第 2 页，共 18 页2/25A.41 B.21 C.41−D.∞6.下列关于函数)(x f y =在点0x 的命题不正确的是（）. A.可导必连续 B.可微必可导 C.可导必可微 D.连续必可导7.设函数1212n n n n y x a x a x a −−=+++⋅⋅⋅+，则()n y =（）. A.n aB.!nC.0D.!n n a8.设()ln f x =，则=′)1(f （）.A.2B.1C.12 D.149.设函数)(x f y =在点1=x 处可导，且21()(1)lim31x f x f x →−=−，则(1)f ′=（）. A.2 B.3 C.6 D.12第 3 页，共 18 页2/2510.曲线)4(3−=x x y 在区间)4,(−−∞内的特性是（）.A.单调递减且为凸B.单调递减且为凹C.单调递增且为凸D.单调递增且为凹11.下列等式中正确的是（）. A.2211=∫−dxB.21112π=+∫−dx x C.21112π=−∫−dx xD.)cos (sin 11=+∫−dx x x12.已知∫+=C x F dx x f )()(，则∫=dx x f x)(ln 1（）. A.)(ln x F B.C x F +)(ln C.C x xF +)(ln D.C x F x +)(ln 113.下列式子正确的是（）.A.)()(x f dx x f dxd=∫ B.)())((x f dx x f d =∫C.()()df x dx f x C dx′=+∫ D.)()(x f dx x f =′∫14.平面230x y +−=的位置是（）.A.平行于xOy 面第 4 页，共 18 页2/25B.平行于z 轴，但不通过z 轴C.垂直于z 轴D.通过z 轴15.方程222222x y z a b c+=所表示的曲面为（）. A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C.椭球面 D.椭圆柱面16.下列广义积分中发散的是（）.A.22dx x −∫B.∫−−111xdxC.∫+∞−0dx e x D.∫+∞22)(ln 1dx x x17.常数0a >，2(aax dx −+=∫（）. A.0 B.3aC.332a D.323a 18.下列方程中为一阶线性微分方程的是（）.A.2()y xy xy ′′+=第 5 页，共 18 页2/25B.2()0xy y y ′′++= C.2x y y x ′+= D.20y y y ′′′−+=19.已知12y x =是2y y x ′′+=的解，2x y e −=是2x y y e −′′+=的解，则微分方程22x y y x e −′′+=+的通解是（）.A.2xx e −+B.12cos sin 2x C x C x x e −+++C.12cos sin x C x C x e −++D.12cos sin 2C x C x x ++20.若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处具有一阶及二阶偏导数且取极小值，则（）.A.0000(,)(,)0x y f x y f x y ′′== B.若00(,)x y 是D 内唯一极值点，则必为最小值点C.2000000(,)(,)[(,)]0xxyy xy f x y f x y f x y ′′′′′′⋅−>，且00(,)0xx f x y ′′> D.2000000(,)(,)[(,)]0xxyy xy f x y f x y f x y ′′′′′′⋅−>，且00(,)0xx f x y ′′< 21.设222z x xy y =−−，则2(1,2)z x y ∂=∂∂（）. A.1 B.2 C.2− D.1−22.函数(,)2f x y xy =在点(1,2)−沿(2,1)l →=−方向的变化率为（）.第 6 页，共 18 页2/25A.B.10−C.−D.10 23.二次积分3300(,)ydy f x y dx −=∫∫（）.A.3303(,)x dx f x y dy −∫∫B.3300(,)dx f x y dy ∫∫C.330(,)xdx f x y dy −∫∫D.330(,)yxdx f x y dy −−∫∫24.下列级数中绝对收敛的是（）.A.n ∞= B.1(1)1nn n ∞=−+∑C.n ∞= D.11(1)(1)(3)n n nn n ∞+=−++∑ 25.下列说法正确的是（）.A.一个收敛的级数添加有限项后仍收敛，且其和不变B.一个发散的级数减少有限项后可能收敛C.一个收敛的级数加上另外一个发散的级数一定收敛D.一个收敛的级数减去另外一个发散的级数一定发散第 7 页，共 18 页2/25二、填空题（每小题2分，共30分） 26.函数ln(1)yx =++的连续区间是 .27.若()f x 为可导的奇函数，且(2)3f ′=，则(2)f ′−= .28.曲线ln y x =在点时切线与连接曲线上两点(1,0)，(,1)e 的弦平行. 29.20211lim(1)x x x+→∞−= .30.曲线2211x y x +=−的垂直渐近线是 .31.设曲线方程2cos sin 22sin cos 2x y θθθθ=+ =+ （θ为参数），求0dydx θ== .32.不定积分sin x xdx =∫. 33.{}2max ,2x x dx −=∫.34.2(0)x d x dx >=∫ . 35.函数4xxy e e−=+的极值点坐标是 .36.曲面53ze z xy −+=在点(2,1,0)处切平面方程是 . 37.设二元函数22z xy y =+，则(3,1)dz = .38.函数ln sin y x =在区间2[]33ππ，上满足罗尔定理的ξ的值是 .39.L 为正向圆周22(1)4x y −+=，33(2)()Ly x dx x y dy ++−=∫. 40.将函数24()65f x x x =−+展开为x 的幂级数为 . 三、计算题（每小题5分，共50分） 41.求极限0ln(15sin )lim1cos x x x x→+−.第 8 页，共 18 页2/2542.若极限23lim()01x x ax b x →∞+−+=−，求,a b 的值. 43.设函数arctany =dy dx 及1x dy dx=.44.求曲线23ln(1)y x =++的拐点及凹凸区间. 45.计算不定积分.46.设2cos ,0()21,0x x f x x x π ≥ = +<，21(1)f x dx −−∫. 47.过点(3,2,0)−−且与直线21:111xy z L −−==−垂直相交的直线方程. 48.设二元函数2arcsin()3x z xy y =−，求2z zxy y x y∂∂−∂∂.49.计算二重积分yxDI edxdy =∫∫，其中积分区域D 由直线y x =，0y =，3x =围成.50.判断级数11335(21)5!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅−∑的收敛性. 四、应用题（每小题7分，共14分） 51.过坐标原点作曲线xy e −=的切线，求：（1）该切线的方程；（2）由曲线、切线及y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积.52.质量为1g 的质点受外力作用作直线运动，该外力和时间成正比，与质点运动的速度成反比.在10s t =时，速度100cm/s v =，外力22g cm/s F =⋅，问30s t =时，质点的速度是多少？8.062≈，计算结果取整数，注：F ma =，a 为加速度）五、证明题（每小题6分，共6分）第 9 页，共 18 页2/2553.证明多项式3()26f x x x a =−+在区间[1,1]−上至多有一个零点，其中a 为任意实数.2021年河南省普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学【参考答案】一、选择题（每小题2分，共50分） 1.【答案】C【解析】由函数奇偶性结论可得，奇函数×偶函数=奇函数，故选C. 2.【答案】A 【解析】本题考察求“00”型极限，利用等价代换可得：00tan 333lim lim 222x x x x x x →→==. 3.【答案】D【解析】lim arctan 2x x π→+∞=≠∞，根据无穷大量的定义知，故选D.4.【答案】C【解析】0lim ()lim cos 0x x f x x x ++→→==，00sin lim ()lim (2)1x x xf x x x−−→→+，在0x =左右极限存在且0lim ()lim ()x x f x f x −+→→≠，所以0x =为跳跃间断点，故选C. 5.【答案】A【解析】本题考察求“∞−∞”型极限，2222214211lim()lim lim 24424x x x x x x x x →→→−−===−−−+，故选A.6.【答案】D【解析】根据可微可导连续的关系，知连续不一定可导，故选D. 7.【答案】B【解析】本题考查高阶导数，由结论知，()!n y n =，故选B. 8.【答案】D【解析】1()2(1)f x x ′=+，1(1)4f ′=，故选D.9.【答案】C 【解析】211()(1)()(1)1limlim (1)31(1)(1)2x x f x f f x f f x x x →→−−′===−−+，所以(1)6f ′=，故选C. 10.【答案】B【解析】343(4)4y x x x x =−=−，32412y x x ′=−，在(,4)−∞−内0y ′<，所以曲线在(,4)−∞−内单调递减；21224y x x ′′=−，在(,4)−∞−内0y ′′>，所以曲线在(,4)−∞−内是凹函数，故选B.11.【答案】C【解析】根据定积分几何意义，由被积函数0)y y ≥知定积分1−∫表示以原点为圆心、1为半径的上半圆面积，即1122S π−==∫圆，故选C. 12.【答案】B【解析】根据已知条件，由不定积分第一换元法得：1(ln)(ln )(ln )(ln )f x dx f x d x F x C x ==+∫∫，故选B.13.【答案】A【解析】利用微积分互逆运算：B 选项(())()d f x dx f x dx =∫，C 选项()()df x dx f x dx ′′=∫，D 选项()()f x dx f x C ′=+∫，故选A.14.【答案】B【解析】平面230x y +−=法向量(2,1,0)n →=，z 轴方向向量(0,0,1)s →=，0n s →→⋅=，即平面230x y +−=与z 轴平行；代入原点，得20030⋅+−≠，即平面不经过z 轴；故选B. 15.【答案】B【解析】方程222222x y z a b c +=为椭圆锥面的方程式，故选B.16.【答案】A【解析】2020220220ln ln dxdxdx x x xx x −−−=+=+∫∫∫，不存在，即发散，故选A. 17.【答案】D【解析】2233022(033aaaa aaax dxx dx x a −−−+=++=∫∫∫，故选D. 18.【答案】C【解析】根据微分方程阶和线性的定义，可得2x y y x ′+=为一阶线性微分方程，故选C. 19.【答案】B【解析】根据二阶线性微分微分方程的性质可得，1222xy y x e−+=+为微分方程22x y y x e −′′+=+的解；设二阶线性齐次微分方程为0y y ′′+=，特征方程为210r +=，r i =±，得二阶线性齐次微分方程的通解为：12cos sin yC x C x +，故微分方程22x y y x e −′′+=+的通解为12cos sin 2x C x C x x e −+++，故选B.20.【答案】C【解析】(,)f x y 在点00(,)x y 处有一阶、二阶偏导数，且取得极小值，根据二元极值的充分条件知选项C 正确，故选C.21.【答案】C【解析】22z x y x ∂=−∂，22z x y ∂=−∂∂，2(1,2)2zx y ∂=−∂∂，故选C.22.【答案】A【解析】与(2,1)l →=−同向的单位向量e →=，又因为(1,2)4x f ′−=，(1,2)2y f ′−=−，故(2,1)(,)4(2)f x y l −∂=+−=∂，故选A. 23.【答案】C 【解析】由330(,)ydy f x y dx −∫∫知积分区域D 表达式为：0303y x y≤≤≤≤− ，交换积分次序后积分区域D 可表示为：0303x y x ≤≤ ≤≤−，即33330000(,)(,)y x dy f x y dx dx f x y dy −−=∫∫∫∫，故选C.24.【答案】A【解析】根据交错P 级数结论，A 选项为绝对收敛；B 、C 、D 选项为条件收敛；故选A. 25.【答案】D 【解析】根据级数的性质：收敛级数加减发散级数，结果为发散，选项D 正确，选项C 错误；选项A ：改变收敛级数的有限项，不会改变数列的收敛性和极限值，但级数的和会发生变化；选项B ：增加、减少级数的有限项不改变级数的敛散性，故一个发散的级数减少有限项后仍为发散；故选D.二、填空题（每小题2分，共30分） 26.【答案】(1,3)−【解析】定义域：29010x x −>+> ，331x x −<< >− ，(1,3)x ∈−，初等函数在其定义域内都连续，故连续区间为(1,3)−. 27.【答案】3【解析】求导后奇偶性发生改变，即()f x ′为偶函数，则(2)(2)3f f ′′−==.28.【答案】(1,ln(1))e e −−【解析】由题意知曲线在该点的斜率为：10111ke e −==−−，所以111y x e ′==−，解得1x e =−，代入ln y x =得ln(1)y e =−；故该点(1,ln(1))e e −−. 29.【答案】1e −【解析】应用第二重要极限，原式12021()(2021)lim 11lim[1()]x x x x xx x e e x→∞+−⋅−⋅+−−→∞+−==.30.【答案】1x =【解析】2121lim 1x x x →+=∞−，故1x =为函数2211x y x +=−垂直渐近线. 31.【答案】1 【解析】/2cos 2sin 2/2sin 2cos 2dy dy d dxdx d θθθθθθ−==−+，0212dy dx θ===. 32.【答案】cos sin x x x C −++【解析】sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =−=−+=−++∫∫∫. 33.【答案】3【解析】1x ≥时，()max{,2}f x x x x =−=；1x <时，()max{,2}2f x x x x =−=−.{}122122201111max ,2(2)(2)322x x dx x dx xdx x x x −=−+=−−=∫∫∫.34.【答案】2cos x x【解析】变限积分求导，220()2cos x d x x x dx ′=∫. 35.【答案】(ln 2,4)−【解析】x R ∈，24140x x xxe y e ee−−′=−==，解得：ln 2x =−， ln 2x −∞<<−，0y ′<，则y 在(,ln 2)−∞−单调递减； ln 2x >−，0y ′>，则y 在(ln 2,)−+∞单调递增；所以ln 2x =−为极小值点，ln 2(ln 2)144242y e e −−−=+=⋅+=，故极值点坐标是(ln 2,4)−. 36.【答案】2440x y z +−−=【解析】令(,,)53z F x y z e z xy =−+−，x F y ′=，y F x ′=，5zzF e ′=−，则曲面在(2,1,0)处法向量为(1,2,4)n →=−，切平面方程为(2)2(1)4(0)0x y z −+−−−=，即2440x y z +−−=.37.【答案】(3,1)28dz dx dy =+【解析】22z xy y =+，2x z y ′=，22y zx y ′=+，即2(22)dz ydx x y dy =++，故(3,1)28dz dx dy =+.38.【答案】2π【解析】令cos ()0sin x f x x ′==，又因为2[]33x ππ∈，，解得2x π=，则2πξ=. 39.【答案】4π−【解析】由格林公式得，33(2)()()(12)LDDQ Py x dx x y dy dxdy dxdy x y∂∂++−=−=−∂∂∫∫∫∫∫4Ddxdy S π=−=−=−∫∫圆.40.【答案】101(1)5nn n x ∞+=−∑，(1,1)x ∈− 【解析】2100441111()65(5)(1)51155n nn n n x f x x x x x x x x x x ∞∞+=====−=−=−−+−−−−−−∑∑11(1)5nn n x ∞+=−∑，(1,1)x ∈−. 三、计算题（每小题5分，共50分）41.【解析】原式20025sin 5lim lim 1011cos 2x x x x x x x →→==−.42.【解析】22233lim()lim11x x x x ax ax bx bax b x x →∞→∞++−++−−+=−− 2(1)()3lim 01x a x a b x bx →∞−+++−=−，根据有理分式结论，得10a −=，0a b +=，即1a =，1b =−.43.【解析】dydx =，114x dy dx==. 44.【解析】函数定义域为R ，对函数求导221xy x ′=+，2222222(1)2222(1)(1)x x x x y x x +−⋅−′′==++，令0y ′′=，即2220x −=，得11x =−，21x =，综上所述：凹区间为(1,1)−，凸区间为(,1)−∞−，(1,)+∞；拐点(1,3ln 2)−+，(1,3ln 2)+. 45.t =，则31x t =−，23dx t dt =，原式22231111133()3[(1)(1)]11111t dt t t dt dt dt t dt d t t t t t t −+−+−+++++++∫∫∫∫∫∫2112333133(ln 1)(1)3(1)3ln (1)1)22t t t C x x x C =−+++=+−+++++.46.【解析】令1x t −=，当1x =−，2t =−；2x =，1t =；2101231212212142(1)()(1)cos ()sin2323f x dx f t dt t dt tdt t t tππππ−−−−−==++=++=+∫∫∫∫.47.【解析】令21111x y z t −−===−，则21x ty t z t ==+ =−+，设直线21111x y z −−==−与所求直线的交点为(,2,1)t t t +−+，过点(3,2,0)−−的所求直线的方向向量(3,4,1)s t t t →++−+，直线21111x y z −−==−的方向向量为1(1,1,1)s →=−，又两直线垂直，所以1s s →→⊥，即10s s →→⋅=，则3410t t t ++++−=，2t =−，所以(1,2,3)s →=，故所求直线方程为32123x y z++==. 48.【解析】23z x x y ∂=+∂223z x y y ∂=−+∂则22222((33z z x x xy y xy y x y y y ∂∂−=+−−+∂∂222233x x x +.49.【解析】333230000001[()](1)(1)2yy y xxxxxDy I e dxdy dx e dy x e d dx x e dx e x x ====−=−∫∫∫∫∫∫∫9(1)2e −. 50.【解析】由比值判别法得111335(21)(21)5(1)!lim lim1335(21)5!n n n n nn n n u n n u n ρ++→∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅− 11335(21)(21)5!212lim lim 15(1)!1335(21)5(1)5n n n n n n n n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅++=⋅==<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+，所以幂级数11335(21)5!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅−∑收敛. 四、应用题（每小题7分，共14分）51.【解析】（1）设切点为00(,)x y ，由题意得000000x y e k x x −==−切，根据导数的几何意义， 0x x x k y e−=′==−切，即000x x e e x =−，解得01x =−，把01x =−代入x y e −=及y ′中得0y e =， k e =−切，所以曲线过原点的切线方程为y ex =−.（2）由（1）得，切线与曲线交点为(1,)e −即0222023021111111[()()]()()2362x x V e ex dx e e x e πππ−−−−−=−−=−−=−∫. 52.【解析】由题知，t F k v =，将10t =，100v =，2F =代入得20k =，则20tF v=，又F ma =，所以20dv tdt v=，解得2220v t C =+，将10t =，100v =代入得8000C =，则22208000v t =+，将30t =代入得226000v =，161v≈.五、证明题（每小题6分，共6分）53.【解析】已知3()26f x x x a =−+，22()666(1)f x x x ′=−=−，在区间[1,1]−上()0f x ′≤，故()f x 在区间[1,1]−单调递减，因此3()26f x x x a =−+在[1,1]−至多有一个根，即3()26f x x x a =−+，在[1,1]−至多有一个零点，其中a 为任意常数.。

高数专升本章节练习题

高数专升本章节练习题### 高数专升本章节练习题#### 一、极限与连续题目1：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

题目2：判断函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处是否连续，并说明理由。

#### 二、导数与微分题目3：计算函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的导数。

题目4：求函数 $f(x) = e^x$ 在 $x=0$ 处的微分。

#### 三、积分题目5：计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。

题目6：求函数 $f(x) = \ln x$ 的不定积分。

#### 四、多元函数微分学题目7：设 $z = f(x, y) = x^2 + y^2$，求偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partialz}{\partial y}$。

题目8：已知 $z = x^2 + y^2$，求全微分 $dz$。

#### 五、多元函数积分学题目9：计算二重积分 $\iint_D (x^2 + y^2) dxdy$，其中 $D$ 为区域 $x^2 + y^2 \leq 1$。

题目10：求曲线积分 $\int_C x ds$，其中 $C$ 为单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 的上半圆。

#### 六、无穷级数题目11：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的收敛性。

题目12：求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 的和函数。

#### 七、常微分方程题目13：解微分方程 $y' + 2y = e^{2x}$。

题目14：求微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$ 的通解。

#### 八、线性代数题目15：求矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ 的逆矩阵。

高等数学I的习题集

微积分1的习题集第一章函数与极限一、填空题1．已知函数()()ln 1f x x =-则该函数的定义域为 2．已知函数()f x 的定义域为()0,1,则函数()xf e 的定义域为3．已知函数()13f x x =+,则()2f x = 4．极限()22ln 1limx x x →+=5．极限201lim sinx x x →⋅=6．极限arctan limx xx→∞= 7．已知函数()2232x xf x x x -=-+,则第二类间断点为8．已知函数()1,00,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩,则()0lim x f x -→= 9．已知函数()1,13,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩,则1x =为函数()f x 的类间断点10．已知函数()1ln 2y x =++,则反函数为 11．函数()f x =则该函数的反函数为12．设()()20,00,0,,0,0x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩,则()f f x =⎡⎤⎣⎦ ,()f g x =⎡⎤⎣⎦13．极限2223lim 1x x x x →∞++=+ 14．极限limn →∞=15．极限0tan 2limx xx→=16．极限2201lim sin x x e x→-=17．极限0sin 3limx xx→=18．已知2411x f x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭,则()f x =19．函数()f x 在0x 点连续且()()0lim 1,lim x x x x f x f x a -+→→==,则a = 二、单项选择题1．下列函数为偶函数的为（）A ．()(ln f x x = B ．()[]()2f x x = C ．()((22x xf x =+ D ．()()sgn cos f x x x =⋅ 2．下列函数为奇函数的为（）A ．()()()x x g x f f -=+B ．()()()g x f x f x =--C ．()()()2g x f x f x =+-⎡⎤⎣⎦D ．()()()2g x f x f x =--⎡⎤⎣⎦ 3．若极限()lim 0n n x a a →∞=>,则下列说法不正确的是（）A ．实数a 唯一B ．数列{}n x 有界C ．存在正数N ,当n N >时0n x >D ．数列{}n x 单调有界4．下列函数中有水平渐近线的是（）A ．31y x =+B ．tan y x =C ．()ln 1y x =+D ．211y x =+ 5．下列极限运算中正确的是（）A．lim0n n n →∞==∞-∞=B ．()()22lim 11lim 11lim 1n n n n n n n n n →∞→∞→∞++∞===++∞++C．lim 0000n n n n →∞⎛⎫++=++=++=D ．arctan 1limlim arctan 0n n n n nn →∞→∞=⋅=6．下列极限运算中正确的是（）A．()0lim sin sin 00lim lim 01x xxx x x x +→++→→===B ．lim 11lim 1lim 11122x xxx x x x →∞∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3300tan limlim 0x x x x x x x x →→--== D ．233311lim lim 936x x x x x →→-==-+7．0sin 3lim x xx→的极限值为（）A ．0B ．3C ．1D ．-38．21lim 1xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭的极限值为（）A ．1B ．0C ．2eD ．e 9．极限111lim x x e-→的值为（）A ．0B ．∞C ．1D ．不存在10．已知3lim 3axx x e x -→∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭,则a =（） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3 11．极限1x →为（） A ．12B ．2C ．1D ．0 12．()220ln 1limsin x x x→+的极限值为（）A ．1B ．0C ．2D ．-1 13．连续、有极限、有定义三者的正确关系为（）A ．()0lim x x f x →存在,则()f x 在0x 点连续B ．()f x 在0x 点有定义,则()f x 在0x 点连续,且()0lim x x f x →存在C ． ()f x 在0x 点有定义,且()()00lim x x f x f x →=,则()f x 在0x 点连续D ．()f x 在0x 点无定义,则()0lim x x f x →不存在14．已知216lim51x x ax x→++=-,则a 的值为（） A ．1 B ．-7 C ．2 D ．-215．已知函数()arcsin 2,0,0xx f x xx a x ⎧<⎪=⎨⎪ + ≥⎩在0x =点连续,则a =（） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．216．极限201cos limx xx →-=（） A ．0 B ．12C ．2D ．1三、证明题1．证明极限lim 1n →∞⎛⎫= . 2的极限存在并求之. 3．证明方程531x x -=至少有一根介于1和2之间.4．证明方程sin 10x x ++=在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内至少有一个根.四、解答下列各题1．证明：若()f x 在(),-∞+∞内连续,且()lim x f x →∞存在,则()f x 必在(),-∞+∞内有界. 2．铁路线上AB 段的距离为100km,工厂C 距A 处为20km,AC ⊥AB,为了运输需要,要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路,已知每公里铁路与公路运费之比为3:5,求D 点与A 的距离x 与运费y 的函数.3．某车间要靠墙壁建一小屋,现有存砖只够砌20m 长的墙壁,求小屋长x 与小屋面积y 的关系. 4．讨论函数()1132xf x =+,当()(),00,x ∈-∞⋃+∞时的有界性.5．讨论函数()1,00,0sin ,0xe xf x x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩的连续性.6．讨论()2,1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的连续性.7．求函数()22132x f x x x -=-+的连续区间及间断点,并指出间断点的类型.8．求函数()111f x x=+的连续区间,间断点,并指出间断点的类型.9．设()()11,0ln 1,10x e x f x x x -⎧⎪>=⎨+-<≤⎪⎩的连续区间,间断点,并指出间断点的类型. 10．设()tan 21,0arcsin 2,0xxe x xf x a e x ⎧- > ⎪⎪=⎨⎪⎪⋅ ≤⎩,当a 为何值时,()f x 在0x =点连续.五、求极限 1．0x →2．()()322332lim23x x x→∞++3．1lim 2sin2n n n π-→∞⋅4．()0ln 13limx x x→+5．1lim 3xx x x →∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭ 6．n 7．limn →∞8．()lim ln 1ln n n n n →∞+-⎡⎤⎣⎦ 9．3tan sin limsin x x xx→- 10．1123lim 23n nn n n ++→∞+-11．limx12．()22limh x h x h→+-13．()220cos lim ln 1x x e xx →-+14．()3sin 0lim 12xx x →+15．()2cot 2lim 13tan xx x→+16．201limtan x x→17．()lim 0x aa +→>第二章导数与微分一、填空题1．已知()13f '=,则()()11limx f x f x x→+--=2．已知()04f x '=,则()()00lim2h hf x f x h →=--3．已知x y e =的一条切线为x ey =,则切点为 4．设3214y e x x=+-+,则y '= 5．设()31arcsin y x x =+,则12y '⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦6．设()()()1250y x x x x =--- ,则()1y '= 7．设cos xy x=,则y '=8．设sin 2x y x x e =-,则其反函数()x x y =的导数()x y '= 9．设()332y x =-,则y '= 10．设123y x=-,则y '= 11．摆线的参数方程为()()sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,则d d y x = 12．设()y y x =由方程33cos sin x a y a θθ⎧=⎨=⎩确定,则d d yx = 13．设1011n n n n y a x a x a x a --=++++ ,则()n y = ,()1n y +=14．()()n xa=15．()()10sin x =16．设tan cot arccos y x x x =-+,则d y = 17．设2sin y x =,则d y =18．设sin xy e x =,则4d x yπ==19．函数()y y x =由tan y x y =+确定,则d y = 二、单项选择题1．下列结论正确的是（）A ．()f x 在点0x 处不可导,则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处必不存在切线.B ．曲线()y f x =在点()()00,x f x 处存在切线,则()f x 在点0x 处可导C ．()f x 在点0x 处可导,则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处必存在切线D ．()f x 在点0x 处连续,则()f x 必在点0x 处可导2．设()()200sin3lim 4x f x f x x →-⎡⎤⎣⎦=,则()0f '=（） A ．3 B ．4 C ．0 D ．433．已知()f x 在0x =处连续,且()0limx f x A x→=（A 为常数）,则下列结论正确的是（）A ．()00f =但()0f '不存在B ．()0f A =C ．()00f =且()0f A '=D ．()00f '=4．()2f '存在的充要条件是下列极限（）存在A ．()()022lim h f h f h -→-- B ．()()022lim h f h f h +→+- C ．()()022lim h f f h h→-- D ．()()22limh f h f h h→+--5．()f x 在点0x 处可导的充要条件是下列极限（）存在A ．()()000limh f x h f x h →-- B ．()001lim h h fx f x h →∞⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C ．()()0002lim h f x h f x h h →+-+ D ．()()20020lim h f x h f x h →+-6．设()21sin ,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,则()f x 在0x =处（） A ．可导 B ．连续但不可导 C ．不连续 D ．左、右导存在但不相等7．设()3,0,0x x e x f x x x -⎧>=⎨≤⎩,则()f x 在0x =处（）A ．可导B ．连续但不可导C ．左可导而右不可导D ．右可导而左不可导8．设()20,0x f x x g x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,其中()g x 为在(],0-∞上定义的有界函数,则()f x 在0x =处（）A ．极限不存在B ．极限存在但不连续C ．连续但不可导D ．可导9．设()()22,0arctan ,0x x b x f x ax x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩,为使函数()f x 在0x =处可导,则系数（）A ．1,1a b ==B ．1,0a b ==C ．2,0a b ==D ．2,1a b ==10．设ln cos 2cot x y x arc x π=+++,则'y =（）A ．211sin 21x x xπ-+-+ B ．12sin 2csc x x x x --+⋅- C ．2sin 2ln 2csc x x x +- D ．21sin 2ln 21x x x -+-+11．设()012f x '=,当0x ∆→时,()f x 在点0x 处的微分d y 是（）A ．与x ∆等价的无穷小B ．与x ∆同阶但不等价的无穷小C ．比x ∆高阶的无穷小D ．比x ∆低阶的无穷小12．()y f x =在点0x 处连续、可导及可微三者的关系中不正确的是（）A ．连续是可微的必要条件B ．可导是可微的充分必要条件C ．连续是可导的充分必要条件D ．可微是连续的充分条件 13．设22,u y u x ==,则d y =（）A ．22ln 2d x x B ．212ln 2d xx x + C ．22d u x u ⋅D ．2d u u14．设()(),y f u u x ϕ==都可微,则d y =（）A ．()d f u u 'B ．()d x x ϕ'C ．()()d f u x u ϕ''D ．()d f u x ' 三、计算题1．设()sin ,0,0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩,求()f x '.2．设()2,1,1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,求()f x '.3．求曲线ln y x =上与1x y +=垂直的切线方程. 4．设()ln sec tan y x x =+,求y '.5．设221arctan 1x y x -=+,求()1y '.6．设()f x 可导,()()22sin cos y f x f x =+,求y '.7．设arccos 2xy x =,求()2y '.8．设()2arcsin 02a x y a a =>,求y '.9．设()()21ln 31f x x x +=+-,求()f x '. 10．设()2sin 41y x =+,求y '. 11．设ln tan2xy =,求y '. 12．设()y y x =由方程()222sin 0x x y e xy ++-=确定,求y '.13．设()y y x =由方程()()22yf x x f y x +=确定,其中()f x 是可微函数,求y '. 14．设曲线()y y x =由方程()()sin ln xy y x x +-=确定,求此曲线在0x =处的切线方程和法线方程.15．设()y y x =由方程()0,0y x x y x y =>>确定,求y '. 16．设)()45231x y x-=+,求y '.17．曲线方程为222sin x t y t t=+⎧⎨=+⎩,求此曲线在2x =处的切线方程和法线方程. 18．设()y y x =是由2323sin 10y x t t e t y ⎧=++⎨-+=⎩确定的,求d d t yx =.19．设1ln1xy x+=-,求y ''. 20．设()21arctan y x x =+,求()1y ''.21．验证函数cos2x y e x =满足关系式250y y y '''-+=. 22．设()y y x =由()arctan0,yx x y x=≠≠确定,求y ''. 23．设()y y x =由1y y xe +=确定,求()0y ''.24．设()y y x =由()2ln 1arctan x t y t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩确定,求22d d y x .25．设()y y x =由21cos x t y t⎧=+⎨=⎩确定,求22d d yx .26．()f x 任意阶可导,()()2f x f x '=⎡⎤⎣⎦,求()()n f x .27．设123y x =+,求()()0n y . 28．设2123y x x =--,求()n y .29．设2x y x e =,求(),n y y ''. 30．设2sin y x x =,求()20y .31．设sin 1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求()d f x .32．设2ln cos y x x x =,求d y . 33．设()13sin 2x y e x -=-,求d y .34．设(ln y x =,求d y . 35．设()ln cos x y e =,求d y . 36．设()1sin xy x =+,求d x yπ=.37．设()y y x =由方程sin x y e xy y ++=确定,求d y .第三章微分中值定理与导数应用一、填空题1．函数x x y -=33在[0,3]上满足罗尔定理的ξ= 2．函数32-+=x x y 2在[-1,2]满足拉格朗日中值定理的ξ= 3．0ln 1limx x x→+（）=4．0lim sin x xx e e x-→-=5．sin 3limtan 5x xxπ→= 6．2tan limtan 3x xx π→= 7．()22lnsin lim-2x xx ππ→=8．()24ln 1lim ln 1x x x →+∞++（）=9．设函数()f x 在含有0x 的某个开区间(),a b 内具有直到()1n +阶的导数,则对任一(),x a b ∈有()()()()()()()()()()200000002!!nnn f x f x f x f x f x x x x x x x x n γ'''=+-+-++-+ ,其中余项()n x γ的拉格朗日型为 ,佩亚诺型为10．设函数()f x 在含有00x =的某个开区间(),a b 内具有直到()1n +阶的导数,则对任一(),x a b ∈有()()()()()()()20000(1)2!!nnn f f f x f f x x x x n γ'''=+++++其中余项()n x γ的拉格朗日型为 ,佩亚诺型为 11．y x =的单调减少区间为12．设曲线32y ax bx =+以点()1,3为拐点,则数组(),a b =13．设函数在区间I 内二阶可导,如果()f x '' 曲线()y f x =在I 内是凹的. 14．设函数()y f x =在区间I 内可导且单调增加,那么对于任意x I ∈必有15．若()1sin sin 33f x a x x =+在3x π=处有极值,则a =16．求函数y x =+[]0,4上的最大值 ,最小值17．函数()3229121f x x x x =-++在区间[]0,2的最大值点为 ,最小值点为 18．双曲线()20xy a a =>在点(),a a 处的曲率为19．曲线(ln y x =在点()0,0处的曲率为二、单项选择题1．使函数()f x =适合罗尔定理条件的区间是（）A ．[]0,1B ．[]1,1-C ．[]2,2-D ．34,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．曲线233y x x =-在（）A ．()1,+∞是凹的,在(),1-∞内是凸的B ．()1,+∞是凸的,在(),1-∞内是凹的C ．()0,+∞是凸的,在(),0-∞内是上凹的D ．()0,+∞是上凹的,在(),0-∞内是上凸的3．函数y = ）A ．(),0-∞单调增加,()0,+∞单调减小B ．(),0-∞单调减小,()0,+∞单调增加C ．(),-∞+∞单调增加D ．(),-∞+∞单调减小 4．()f x 在(),-∞+∞内恒有()0f x ''>,则下列不等式成立的是（）A ．()()()()1100f f f f ''>->B ．()()()()1100f f f f ''<-< C．()()()()1001f f f f ''-<<D ．()()()()0110f f f f ''<<- 5．设()312y x =+,则曲线（）A ．仅有垂直渐近线2x =-B ．仅有水平渐近线0y =C ．既有垂直渐进线2x =-,也有水平渐近线0y =D ．没有渐近线 6．设,a b 为方程()0f x =二根,()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,则()f x '在(),a b 内（）A ．只有一实根B ．至少有一实根C ．没有实根D ．至少有2实根7．方程3310x x -+=在定义域内（）A ．无实根B ．有唯一实根C ．有两个实根D ．有3个实根8．设函数()()232sin f x x x x =-+,则方程()0f x '=在()0,π内根的个数是（） A ．0个 B ．至多1个 C ．2个 D ．至少3个9．设2243y x x =-+,则01x =是()f x 的（）A ．极大值点B ．极小值点C ．极大值点且为驻点D ．驻点10．如果0x 是可导函数()f x 的驻点,则()0f x 是()f x 的（）A ．极值B ．不是极值C ．极小值D ．可能的极值11．函数()y f x =在点0x x =处连续且取得极大值,则()f x 在0x 处必有（）A ．()00f x '=B ．()00f x ''<C ．()00f x '=且()00f x ''<D ．()00f x '=或不存在三、证明题 1．当02x π<<时,tan x x <.2．当1x >时,x e ex >. 3．当0x >时,()ln 11x x x+>+. 4．若0x >,证明：()22ln 12x x x ++>. 5．证明：当1x >时,12ln x x x>+.6．当0x >时,12x+>7．设0,1a b n >>>,证明：()()11n n n n nb a b a b na a b ---<-<-. 8．用导数证明恒等式：()arcsin arccos 112x x x π+=-≤≤.9．求证：arctan arctan a b a b -≤-.10．证明方程510x x +-=在()0,1内只有一个根. 11．证明方程1tan 0x x --=在()0,1内有唯一实根.12．试证方程()cos f x x '=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一实根.13．证明多项式()33f x x x a =-+在[]0,1上不可能有两个零点.14．设()f x 在[]0,a 上连续,在()0,a 内可导且()0f a =,证明存在一点()0,a ξ∈,使()()0f f ξξξ'+=.15．设()f x 在[]1,a 上连续,在()1,a 内可导且()()1f a af =,求证：存在一点()1,a ξ∈使()()0f f ξξξ'-=.16．1P >为常数,证明：当01x ≤≤时,()11112PP P x x -≤+-≤.四、计算题1．()333lim sin 3xx x x →--2．()2tan tan 2limsin ln 1x x x →--3．()30arctan lim ln 12x x xx →-+4．30tan sin limx x xx→- 5．20lim ln x x x +→6．2lim cot 22x x x ππ→⎛⎫- ⎪⎝⎭7．11lim 1ln x xx x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 8．2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭9．()20ln 11lim x x x x →+⎛⎫- ⎪⎝⎭ 10．sin 0lim x x x +→11．()1lim ln xx x →+∞12．()1lim xxx x e→+∞+13．tan 01lim xx x +→⎛⎫⎪⎝⎭14．()()21ln 10lim cos x x x +→15．求函数32243y x x x =+-+的单调区间. 16．求()33f x x x =-的极值、凹凸区间、拐点. 17．求函数()2321y x =--的极值. 18．求函数y x =的极值.19．求3223y x x =-在14x -≤≤上的最值. 20．求y x =51x -≤≤上的最值.21．某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20m 长的墙壁,问应围成怎样的长方形,才能使这间小屋的面积最大？22．某车间靠墙要盖一间面积为642m 的长方形小屋,而现有存砖只够砌24m 长的墙壁,问这些存砖是否足够围成小屋？23．要造一圆柱形油罐,体积为V,问底半径r 和高h 等于多少时,才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？。

高数工(I)考点及应用与证明题练习

工学本科《高等数学(一)》试卷考点一、极限与连续1．数列的极限2．函数的极限3．无穷小的运算及比较4．夹逼准则与两个重要极限5．函数的连续性与间断点6．洛必达法则二、一元函数的微分学1．导数的概念2．显函数的一、二阶导数3．隐函数与参数方程的一阶及简单的二阶导数4．微分的概念与运算5．微分中值定理（不含柯西中值定理）6．函数的单调性与极值7．曲线的凹凸性与拐点8．函数的最大值最小值9．曲率（不含曲线方程为参数方程与极坐标方程的曲率问题）三、一元函数的积分学1．不定积分的概念与性质2．不定积分的凑微分法3．不定积分的第二换元法4．不定积分的分部积分法5．定积分的概念与性质6．积分变上限函数7．定积分的换元法8．定积分的分部积分法9．反常积分10．定积分的应用（不含引力）四、微分方程1．微分方程概念2．可分离变量的微分方程3．齐次方程4．一阶线性微分方程5．可降阶的高阶微分方程6．高阶线性微分方程7．二阶常系数齐次线性微分方程8．二阶常系数非齐次线性微分方程（只要求特解的形式）试题类型及分值分布：或一、应用题1. 求由抛物线y =与直线y x =所围成的平面图形的面积，并求这一平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.2．用铁皮制作一个容积为8立方米的有盖圆柱形桶，问桶底半径与桶高等于多少时，所用铁皮的面积最小？3、过平面上点)4,1(P 引一直线，要使它在两坐标轴上的截距都是正的，且它们的和为最小，求此直线方程.4、求心脏线)0)(cos 1(>+=a a θρ的长度.5、周长为2L 的等腰三角形，绕其底边旋转一周，求使这种旋转体体积最大时，等腰三角形的底边之长.6、一弹簧原长1米，把它压缩1厘米所用力为5克，求把它从80厘米压缩到60厘米所作的功。

7. 在椭圆12222=+b y a x 内作内接矩形，试问其长、宽各为多少时，矩形面积最大？此时面积值等于多少？8. 设曲线y x =，22y x -=及0=y 围成以平面图形.（1）求这个平面图形的面积；（2）求此平面图形绕x 旋转而成的立体的体积.9. 设有曲线)10(42≤≤=x x y 和直线)40(<<=c c y .记它们与y 轴所围成图形的面积为1A ，它们与直线1=x 所围成图形的面积为2A.问c 为何值时，可使21A A A +=最小？并求出A 的最小值.10. 一质点，沿抛物线)10(x x y -=运动，其横坐标随着时间t 的变化规律为t t x =（t 的单位为秒，x 的单位为米），求该质点的纵坐标在点)16,8(M 的变化率.11、已知曲线x y ln =，求曲率取极值的点.12、求由圆周2522=+y x ，抛物线2316x y =及x 轴围成的在第一象限的平面图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积V.13．用薄铁皮做成一个容积为V 0的有盖长方体匣，其底为正方形，由于下底面无需喷漆，故其每单位面积成本仅为其余各面的一半，问长方体匣的底面边长为多少时，才能使匣子的造价最低？14．半径为2米的圆柱形水池充满了水，现要从池中将水吸出，使水面降低5米，问需作多少焦耳的功？15．某工厂生产某种产品，每批至少生产5(百台)，最多生产20(百台)，如生产x (百台)的总成本321()629153C x x x x =-++,可得收入2()20R x x x =-(万元)，问每批生产多少时，可使工厂获得最大利润.16．一矩形闸门宽10米，高6米，铅直沉入水中，问闸门上边界面下沉多少米时，闸门所受的压力等于上边界与水面相齐时闸门所受水的压力的两倍. 17．抛物线2x y = (第一象限部分)上求一点，使过该点的切线与直线8,0==x y 相交所围成的三角形的面积为最大.18．求曲线22,4x y x y ==及直线1y =所围平面图形的面积A 以及其绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积y V .二、证明题：1、设0a b >>，证明：ln a b a a ba b b--<<. 2、当20π<<x 时，证明x x π2sin >3、设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)(,0)()(≠==x g b f a f ，试证：至少存在一个),(b a ∈ξ，使)()()()(ξξξξf g g f '=' 4、当4x >时，22x x >. 5、当0>x 时，证明：x x xx<+<+)1ln(1. 6、证明：当1,0≠>x x 时，1ln ->x x x7、设()f x 为可导的偶函数，''(0)f 存在且不为零，证明：0x =是()f x 的极值点. 8、设()0,(0)0,f x f ''>=证明：当0x ≠时，()()f x xf x '<9、证明不等式3arctan 3x x x >-,(0)x >。

专升本高数章节练习题

专升本高数章节练习题高数章节习题练习第一节函数极限连续1、设()12x f x x =-，求[()]f f x 2、设2,01()3,12x x f x x x ?≤≤=?<≤? ，()x g x e =，求[()]f g x ． 3、()ln(1)f x x =+-4、2()arccos(2)2f x x x x =+---． 5、设()f x 和()g x 为任意函数，定义域均为(,)-∞+∞，试判定下列函数的奇偶性．（1）()()()()f x f x g x g x +-++- （2）()()()()f x f x g x g x --++-6、判定函数()ln(f x x =+的奇偶性．7、．22212lim()n n n nn→∞+++8、．2n n →∞++++ 9、．222lim(1)n n n n→∞++ 10、23lim()21n n n n →∞-+．．sin lim x x x→∞． 11、．21lim 1n x x x x n x →+++--． 12、0sin(1)lim 3x x e x→-． sin 0lim sin x xx e e x x →--． 13、23lim()2x x x x→∞++．14、11lim(sin cos )x x x x→∞+．【例1-6】已知()f x 是多项式，且32()2lim 2x f x x x →∞-=，0()lim 3x f x x→=，求()f x ．【例1-7】当0x →时，比较下列无穷小的阶．1．2x 比1cos x - 2、2x比1-．3、比x ．4．2x 比tan sin x x -【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性．1．01()1,11,1x f x x x x ?≤?在1x =处的连续性．2．1,0()ln(1),0x e x f x x x ??<=??+≥? 在0x =处的连续性．【例1-9】当常数a 为何值时，函数2,0()ln(1),0x a x f x x x x-≤??=?+>?? 在0x =处连续？【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型．1．1()x f x e = ． 2．()sin x f x x = ． 3．111()1xx e f x e -=+ ．4．1arctan ,0()0,0x f x x x ?≠?=??=? ．【例1-11】证明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根．【例1-12】证明方程21x x ?=至少有一个小于1的正根．。

高等数学-2习题册答案(第十一章1-4节

第十一章曲线积分与曲面积分第17次课对弧长的曲线积分1．计算下列各题中的曲线积分：（1）cos d Ly s ⎰，其中L 为原点至点(2,1)的直线段；解：2200cos 2L x yds ⎤===⎥⎦⎰⎰ （2）d Lx s ⎰，其中L 为抛物线221y x =-介于1x =及0x =之间的一段弧；解：131222001121(116)(116)3232348Lxds x x ⎡⎤==+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰（3）()d Lx y s +⎰，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形的边界；解：()()()()LOAABOBx y ds x y ds x y ds x y ds +=+++++⎰⎰⎰⎰111((0x y =++++⎰⎰⎰11221000122x y =++=+（4）222()d Lx y s +⎰，其中L 为圆周222x y a +=；解：2222245()()22LLx y ds a ds a a a ππ+==⋅=⎰⎰（5）||d Lxy s ⎰，其中L 为圆周222x y a +=；解：根据xy 在四个象限的对称性，有14LL xy ds xy ds =⎰⎰（其中1L 是在第一象限的四分之一圆周），则12044(cos )(sin LL xyds xyds a t a t π==⎰⎰⎰333220sin 2(2)(cos 2)2atd t a t a ππ==-=⎰（6）222d z s x y Γ+⎰，其中Γ为圆周cos ,sin ,,02x a t y a t z at t π===≤≤．解：2222z dsx y πτ=+⎰⎰222330013t dt t a ππ===⎰2．计算曲线积分22d x y Les +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：224ax y Leds π+=++⎰⎰⎰ 402(1)4a ax a a ae teae e ππ=++=+-3．有一铁丝成半圆形cos ,sin (0)x a t y a t t π==≤≤，其上每一点的密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量．解：220sin (cos )2LM yds a a t a ππ===-=⎰⎰提高题：1．已知椭圆23:143x y L +=周长为a ，求22(234)d L xy x y s ++⎰．解：原式(122)121212012LLLxy ds ds xyds a a =+=+=+=⎰⎰⎰2．计算曲线积分4433()d Lx y s +⎰，其中L 为星形线33cos ,sin (0)2x a y a πθθθ==≤≤在第一象限内的弧．解：4444433320()d (sin cos Lx y s a πθθθ+=+⎰⎰7772556633322000113(sin sin cos cos )3sin cos 66a d d a a πππθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰第18次课对坐标的曲线积分1．计算下列各题中的曲线积分：（1）(2)d Lx y x +⎰，其中L 为从点(2,0)-到点(0,2)的直线段．解：02(2)(22)2Lx y dx x x dx -+=++=-⎰⎰（2）22d d Lxy y x y x -⎰，其中L 为圆周221x y +=，逆时针方向．解：2222220cos sin cos cos sin sin Lxy dy x ydx t t tdt t t tdt ππ-=+⎰⎰⎰2222000sin 21cos 411sin 4244162t t dt dt t t ππππ-⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰（3）d Lxy x ⎰，其中L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界曲线弧（按逆时针方向）．解：LAOOAxydx xydx xydx =+⎰⎰⎰半圆周232320(cos )sin (sin )0sin sin cos aa a t a t a t dt dx a tdt a t tdt πππ=+⋅-+=--⎰⎰⎰⎰33233330001cos 2111sin sin sin 2sin 22432t a dt a td t a t t a ta πππππ-⎛⎫=--=---=-⎪⎝⎭⎰⎰（4）d d d Lx x y y z z ++⎰，其中Γ为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段．解：()1112[(1)(12)2(13)3](614)6713Lxdx ydy zdz t t t dt t dt t t++=+++⋅++⋅=+=+=⎰⎰⎰（5）d d L x yx y ++⎰，其中L 为从点(0,1)A -到点(1,0)B 再到点(0,1)C 的折线段．解：1001(11)(11)2L AB BC dx dy dx dy dx dydx dx x y x y x y +++=+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰2．计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰，其中L ：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．解：（1）2222321134=[()2()](2)3y y y y y dy y y y dy ++-=++=⎰⎰原式（2）441112121108=[()()]()113333399x x x x dx x dx ++++-⋅=+=⎰⎰原式（3）122220{(211)(41)[1(21)]2}t t t t t t t t dt =+++++++-++⎰原式132032(10592)3t t t dt =+++=⎰3．计算曲线积分2(12)d d Lxy x x y ++⎰，其中L 为从点(1,0)到点(1,0)-的上半椭圆周2221(0)y x y +=≥．解：:cos ,,:0L x t y t t π==→20=[(1cos )(sin )cos cos ]2t t t tt dt π+-+⎰原式220sin sin sin (1sin )sin 2tdt td t t d t πππ=-+-⎰⎰ 2=-提高题： 1．计算曲线积分2sin 2d 2(1)d Lx x x y y +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点(,0)π的一段．解：220=[sin 22(1)sin cos ]sin 2x x x x dx x xdx ππ+-=⎰⎰原式2200011cos 2cos 2cos 222x d x x x x xdx πππ⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰[]2200011111sin 2sin 2sin 222222xd x x x xdx πππππ=-+=-+-⎰⎰212π=-2．设在力场F y x z (,,)=-作用下，质点由(,0,0)A R 沿Γ移动到(,0,2)B R k π，其中Γ为（1）cos ,sin ,x R t y R t z kt ===；（2）AB ．试求力场对质点所作的功．解：（1）222220d d d ()d 2()W y x x y z z R k t t k R πππΓ==-+=-+=-⎰⎰（2）直线的参数方程为,0,2,:01x R y z kt t π===→12220d d d (2)d 2ABW y x x y z z k t t k ππ=-+==⎰⎰第19次课格林公式及其应用1．应用格林公式计算下列各题中的积分：（1）22d d Lx y x xy y -⎰，其中L 为正向圆周222(0)x y a a +=>．解：22,Q Py x x y∂∂=-=∂∂，由格林公式原式2222440011()()2()42aDy x dxdy d r rdr a a πθππ=--=-=⋅-=-⎰⎰⎰⎰（2）()d (3)d Lx y y x y x -++⎰，其中L 为以(1,0),(2,0),(2,1),(1,1)A B C D 为顶点的正方形沿顺时针方向．解：1,3Q Px y∂∂==∂∂，由格林公式原式(13)222DDDdxdy dxdy S=--===⎰⎰⎰⎰（3）22222(32)d (223)d x x Ly e x xy y x ye x xy y y ++++++-⎰，其中L 是半圆周y =自点(1,0)A 至(0,1)B ．解：222,222x x Q Pye x y ye x y x y∂∂=++=++∂∂，由格林公式原式L BO OABO OA++=--⎰⎰⎰012210(23)3Ddxdy y y x dx =---⎰⎰⎰⎰1=-（4）22()d (sin )d Lx y x x y y --+⎰，其中L 是在圆周y =上由点(0,0)到(1,1)的一段弧．解：1,1Q Px y∂∂=-=-∂∂ 设(1,1),(1,0)B A ，由格林公式原式L BA AOBAAO++=--⎰⎰⎰0022110[(1sin )]Ddxdy y dy x dx =---+-⎰⎰⎰⎰311710(sin 2)sin 224364=--+=-+2．利用曲线积分计算星形线33cos ,sin (0,02)x a t y a t a t π==>≤≤所围成图形的面积．解：23232011[cos 3sin cos sin (3cos sin )]22L A xdy ydx a t a t t a t a t t dt π=-=⋅-⋅-⎰⎰ 2222222220003331cos 4sin cos sin 22882t a t tdt a tdt a dt πππ-===⎰⎰⎰ 238a π=3．证明曲线积分21d d L y x y x x -⎰在右半平面内与路径无关，并求(1,2)2(2,1)1d d y x y x x -⎰．解：21Q Px x y∂∂==∂∂(0)x > ∴曲线积分在区域{}(,)0x y x >与路径无关设(2,1),(1,2),:3,:21A B AB y x x =-+→则(1,2)1222(2,1)21131d d d d [(1)]AB y y x x y x y dx x xx x x x -+-=-=-⋅-⎰⎰⎰ 12332x =-=-4．验证表达式：2222(2)d (2)d x xy y x x xy y y +-+--在整个平面内是某一函数(,)u x y 的全微分，并求这样的一个(,)u x y ．解：22Q Px y x y∂∂=-=∂∂ ∴2222(2)d (2)d x xy y x x xy y y +-+--是某一函数(,)u x y 的全微分(,)2222(0,0)(,)(2)d (2)d x y u x y x xy y x x xy y y =+-+--⎰(,0)(,)222(0,0)(,0)(2)x x y x yx x dx x xy y dy =+=+--⎰⎰⎰⎰32231133x x y xy y =+--提高题： 1．设曲线积分2d ()d Lxy x y x y ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ具有连续导数，且(0)0ϕ=，求()x ϕ，并求积分(1,1)2(0,0)d ()d xy x y x y ϕ+⎰的值．解：曲线积分与路径无关可得2()Q Pxy y x x yϕ∂∂'==∂∂即从而2()2()x x x x C ϕϕ'=⇒=+，又(0)0ϕ=有2()x x ϕ= 故(1,1)123(0,0)1d ()d 22xy x y x y x dx ϕ+==⎰⎰ 2．[()]d [()]d xx Lf y emy x f y e m y '-+-⎰，其中()f y 有连续的一阶导数，L 是连续点1(0,)A y ，2(0,)B y 的任何路径，且L 与直线AB 所围成区域的面积为定值S ，L 总是位于直线AB 的左方．解：(),()x x Q Pf y e f y e m x y∂∂''==-∂∂ 不妨设12y y <，由格林公式原式12[()]y L BABAy Dmdxdy f y m dy +'=-=---⎰⎰⎰⎰⎰212121[()]()()()y D y mS f y my mS f y f y m y y =-+-=-+---第20 次课对面积的曲面积分1．计算下列各题中的曲面积分：（1）d z S ∑⎰⎰，其中∑为上半球面z = 解：222:xy D x y R +≤xyD zdS ∑=⎰⎰⎰⎰23xyD Rdxdy R R R ππ==⋅=⎰⎰（2）()d x y z S ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被平面1z =所截下的有限部分．解：22:1xy D x y +≤()d (xyD x y z S x y ∑++=+⎰⎰⎰⎰21(cos 1)d r sin rdr πθθθ=++⋅⎰20(cos sin 1)3d πθθθ=++⎰=（3）d S ∑⎰⎰，其中∑是平面1=++z y x 在第一卦限被0,0,0===z y x 截下的部分．解：∑的等边三角形，其面积为2S ∑=d 2S S ∑∑==⎰⎰ （4）S ∑，其中∑为抛物面22z x y =+被平面1z =所截下的有限部分．解：22:1xy D x y +≤xyD S ∑=⎰⎰21222(144)(14)xyD x y dxdy d r rdr πθ=++=+⎰⎰⎰⎰3232ππ=⋅=（5）()xy yz zx dS ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被柱面222(0)x y ax a +=> 所截得的部分．解：222:()xy D x a y a -+≤()d [(xyD xy yz zx S xy x y ∑++=++⎰⎰⎰⎰2cos2222[sin cos(sin cos)]ad r r rdrπθπθθθθθ-=++⎰454522(sin cos sin cos cos)dππθθθθθθ-=++⎰42242(1sin)sindπθθ=-=⎰（6）d,:xy S∑∑⎰⎰曲面22(01)z x y z=+≤≤在第一卦限的部分．解：22:1(0,0)xyD x y x y+≤≥≥dxyDxy S∑=⎰⎰⎰⎰12200sin cosd rπθθ=⎰⎰12001sin cos2dπθθθ=⋅⎰⎰2201111sin22242td t dtπθθ-=⋅⋅⎰25311111cos232253240ot tπθ⎛⎫⎛=-⋅-=⎪⎝⎭⎝2．计算曲面积分(,,)df x y z S∑⎰⎰，:∑抛物面222z x y=--在xOy平面上方的部分，(,,)f x y z 分别如下：（1）(,,)1f x y z =；（2）22(,,)f x y z x y =+；（3）(,,)3f x y z z =．解：22:2xy D x y +≤（1）(,,)d xyD f x y z S S ∑∑==⎰⎰⎰⎰20d πθ=⎰1313263ππ=⋅=(2)22(,,)d (xyD f x y z S x y ∑=+⎰⎰⎰⎰20d πθ=⎰14914926030ππ=⋅=(3)22(,,)d 3(2xyD f x y z S x y ∑=--⎰⎰⎰⎰220d r πθ=-⎰11111122010ππ=⋅=提高题：1．设曲面:1x y z ∑++=，求()d x y S ∑+⎰⎰．解：由曲面的对称性和函数x 的奇偶性可知0xdS ∑=⎰⎰又曲面∑对坐标,,x y z 具有轮换对称性 ()d d d x y S x S y S ∑∑∑∴+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰10()3x y z dS ∑=+++⎰⎰111333dS S ∑∑===⋅=⎰⎰第21次课对坐标的曲面积分1．计算下列各题中的曲面积分：（1）d d z x y ∑⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分的上侧．（2）22d d xy z x y ∑⎰⎰，:∑球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧．（3）222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中∑为球面2221x y z ++=上半部分外侧．（4）d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，:∑柱面221(03)xy z +=≤≤在第一卦限内的部分的前侧．（5）d d d d xy z x z x y ∑+⎰⎰，其中∑为抛物面22z x y =+在0,0,01x y z ≥≥≤≤内部分的上侧．2．求()d d ()d d ()d d y z y z z x z x x y x y ∑-+-+-⎰⎰，其中∑为曲面z =及平面(0)z h h =>所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．3．计算()d d ()d d ()d d f x y z g y z x h z x y ∑++⎰⎰，其中(),(),()f x g y h z 为连续函数，∑为直角平行六面体0,0,0x a y b z c ≤≤≤≤≤≤的表面外侧．提高题：1．把对坐标的曲面积分：(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中：∑是平面236x y z -+=在第二卦限部分的上侧．2．设曲面∑是z =的上侧，求2d d d d d d xy y z x z x x x y ∑++⎰⎰．第22次课第十一章总复习题1．计算下列曲线积分：（1）d Lx S ⎰，其中L 为星形线332cos 2sin x t,y t ==经过点(2,0)A ，(0,2)C ，(2,0)B -的ACB 弧段．（2）22d d Ly x y x y x -⎰，其中L 是圆周222x y a +=，沿顺时针方向．（3）求zds Γ⎰，其中Γ为曲线0cos sin ,(0)x t t y t t t t z t=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩．（4）求(sin 2)d (cos 2)d x x Le y y x e y y -+-⎰，其中L 为上半圆周222()(0)x a y a y -+=≥，沿逆时针方向．2．验证22(e cos 2)d (2e sin )d xxy xy x x y y y ++-是否是某一函数()u x,y 的全微分．若是，试求出()u x,y ．3．设L 为平面曲线：222x y R +=，计算下列各积分：（1）22()d L x y s +⎰；（2）22()d L x y x +⎰，其中L 取正向；（3）22()d D x y σ+⎰⎰，其中D 为曲线L 所围成的平面区域．4．计算33d d L y x x y -⎰，其中L 是从(,0)A R -到(,0)B R 的上半圆周y =5．设曲面:∑2222x y z R ++=，计算下列各曲面积分：（1）222()d x y z S ∑++⎰⎰；（2）222()d d x y z z x ∑++⎰⎰，其中∑取其外侧；（3）222()d x y z V Ω++⎰⎰⎰，其中Ω为曲面∑所围成的空间区域．6．计算∑∑为介于0z =及(0)z H H =>之间的柱面222R x y =+．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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1
江南大学现代远程教育第二阶段练习题
考试科目:《高等数学》专升本第四章至第六章（总分100分）
__________
学习中心（教学点）批次：层次：

专业：学号：身份证号：
姓名：得分：

一．选择题(每题4分，共20分)
1. 下列函数中在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是 ( B ).

(a) ,[2,1]yx (b) cos,[2,6]yx (c)23,[2,1]yx
(d)1,[2,6]3yx
2. 曲线 381yxx 的拐点是 (A)
(a) (0,1) (b) (1,0) (c) (0,0) (d) (1,1)
3. 下列函数中, ( D ) 是 22xxe 的原函数.
(a) 22xe (b) 2212xe (c) 2234xe (d) 2214xe

4. 设()fx为连续函数, 函数2()xfudu 为 ( B ).
(a) ()fx的一个原函数 (b) ()fx的一个原函数
(c) ()fx的全体原函数 (d) ()fx的全体原函数

5. 已知函数()Fx是()fx的一个原函数, 则98(7)fxdx等于( C ).
(a) (4)(3)FF (b) (5)(4)FF (c) (2)(1)FF (d) (3)(2)FF
二.填空题
(每题4分，共28分)

6. 函数 333yxx的单调区间为________
2

7. 函数 333yxx 的下凸区间为________
8. xxedx=_______.
9. 23()xfxdx=_________.
10. 320083sinxxdx=__________.

11. 22sinxdx=_______.
3

12. 极限3030ln(1)lim2xxtdtx=________.
三. 解答题
(满分52分)

13. 求函数 3232132xyxx 的极小值。

14. 求函数 3yx 的单调区间、极值及其相应的上下凸区间与拐点。
15. 计算21xxedxe.
4

16. 求sinxdx.
17. 计算1011dxx.
18. 计算4214xdx.
19. 求由抛物线 23xy; 直线1x 及 0y 所围成的平面图形的面积, 并求该图形绕x轴
旋转一周所得旋转体体积。