大学高等数学第二章习题及答案

习题2—1（A ）

1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：

（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限；

（2）求分段函数(),,

()(),x x a f x x x a

ϕφ<⎧=⎨

≥⎩在分界点x a =处的导数时，一般利用左、右导数的定义分别求该点处的左、右导数．如果二者存在且相等，则在这一点处的导数就存在，且等于左、右导数，否则函数在这点不可导；

（3） )(x f y =在0x 点可导的充分必要条件是)(x f y =在0x 点的左、右导数都存在； （4）函数)(x f y =在0x 点连续是它在0x 点可导的充分必要条件. 答：（1）正确．根据导数的定义．

（2）正确．一般情况下是这样，但是若已知)(x f '连续时，也可以用)

()(00-

-'='x f x f （即导函数的左极限），)()(00+

+'='x f x f （即导函数的右极限）求左右导数．

（3）不正确．应是左、右导数都存在且相等．

（4）不正确．)(x f 在0x 点连续仅是)(x f 在0x 可导的必要条件，而不是充分条件，如

x y x y ==、3都在0=x 点连续，但是它们在0=x 点都不可导．

2．设函数2

x x y +=，用导数定义求它在1-=x 点处的导数.

解：1lim 1

lim

)1(121-==+-+=-'-→-→x x x x y x x ．

3．设函数y 10=x 点处的导数． 解：2

1

11lim 11lim

)1(11

=+=--='→→x x x y x x ． 4．用定义求函数x y ln =在任意一点x (0>x )处的导数．

解：x

x x x x x x y x x x x x x 1

e ln ])1ln[(lim ln )ln(lim

1

100==∆+=∆-∆+='∆→∆→∆． 5． 对函数x x x f 2)(2

-=，分别求出满足下列条件的点0x ： （1）0)(0='x f ； （2）2)(0-='x f ．

解：22)22(lim )

2()](2)[(lim

)(0220-=+-=--+-+='→→x h x h

x x h x h x x f h h ， （1）由0)(0='x f ，有0220=-x ，得10=x ； （2）由2)(0-='x f ，有2220-=-x ，得00=x ． 6．已知某物体的运动规律为2

2

1gt s =

，求时刻t 时物体的运动速度)(t v ，及加速度)(t a ． 解：速度为gt h

gt h gt h t g t s t v h h =+=-+='=→→)2

(lim 2/2/)(lim

)()(0220， 加速度为g g h

gt

h t g t v t a h h ==-+='=→→00

lim )(lim

)()(． 7．求曲线x y ln =在点)01(，处的切线方程与法线方程． 解：切线斜率11

)1(1

==

'==x x

y k ，

切线方程为：)1(10-⋅=-x y ，即01=--y x ； 法线方程为：)1(1

1

0--=

-x y ，即01=-+y x ． 8．若函数)(x f 可导，求下列极限：

（1）x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim

000

； （2）x x f x )

(lim 0→（其中0)0(=f ）；

（3）h h x f h x f h )()(lim

000

--+→； （4）x x f f x )

sin 1()1(lim 0--→．

解：（1）=∆--∆--=∆-∆-→∆→∆x

x f x x f x x f x x f x x )

()(lim )()(lim 000000

)(0x f '-．

（2）=--=→→0

)

0()(lim )(lim

00

x f x f x x f x x )0(f '． （3）h

h x f h x f h )

()(lim

000

--+→

='+'=---+-+=→→)()()

()(lim )()(lim

00000000

x f x f h x f h x f h x f h x f h h )(20x f '． （4）=⨯'=⋅---=--→→1)1(sin sin )1()sin 1(lim )sin 1()1(lim

00

f x

x x f x f x x f f x x )1(f '． 9．讨论下列函数在指定点的连续性和可导性：

（1）3x y =，在0=x 点；

（2）⎪⎩⎪⎨⎧

=≠=，，

，

，0001arctan )(2x x x

x x f 在0=x 点； （3）2,1,

(),1,

x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点．

解：（1）3x y =是初等函数，且在0=x 的邻域内有定义，因此3x y =在0=x 点连续，

因为+∞==--→→3203

1

lim 00lim

x

x x x x （极限不存在）

，所以3x y =在0=x 点不可导． （2）因为21arctan lim 00)/1arctan(lim

2020π==--→→x

x x x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=≠=，，，，0001arctan )(2x x x

x x f 在0=x 点可导，且2)0(π='f ，从而也连续． （3）因为1)1(1lim )1(1lim )1(2

1

1

=====+

-→+→-f x f x f x x ，，，有)1()(lim 1

f x f x =→， 所以，2,1,

(),1,

x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点连续，

又2)1(lim 11

lim )1(111lim )1(1

211=+=--='=--='-

--→→+→-x x x f x x f x x x ，，由)1()1(+-'≠'f f ， 所以，2,1,

(),1,

x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点不可导．

10．设函数⎩⎨⎧≥<=，

，，

，1e 1e )(x x x x f x 求(1)f '．

解：因为e 1

e

e lim )1(e 11e lim e 1e e lim )1(1111=--='=--=--='---→+

-→→-x x f x x f x x x x x ，，所以=')1(f e ． 11．设函数⎩⎨

⎧≥+<=，

，，

，0120cos )(x x x x x f 求()f x '．

解：当0

当0>x 时，22lim )

12(1)(2lim

)12()(00==+-++='+='→→h h h

x h x x x f ，