4-第四讲无粘不可压有势流动

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《工程流体力学》第六章不可压缩流体平面有势流动

3) y = 0 将 y=0 代入
驻点：
把驻点坐标代入流函数y：
过驻点流函数值：y = 0
物体轮廓线方程为：
求物体半宽b/2：把 x=0 代入物体轮廓线方程：
y：物体半宽b/2
已知流函数 -> 速度场，压强场在物体前部：附面层很薄粘性影响大的流动区域：很薄计算结果：与实验较符合
在物体后部：附面层增厚形成：尾部旋涡无粘流势流理论：不再适用
2)在源点左边x轴上，y=0：存在一点s 该点处：源点与直匀流速度：大小相等
方向相反
该点：驻点，复合流场合速度 = 0
求驻点，令：驻点确在x负轴上
3)从源点流出流体到达驻点s后：不能继续向左流动被迫分成上下两路形成绕物体流动轮廓线—— 半无限体
现求半无限体轮廓线方程：把驻点极坐标：代入流函数中：
一般称零流线
粘性流体切向速度：0 理想流体切向速度：不受限制
第三节基本解叠加原理线性方程叠加原理：两个解的和或差也是该方程的解平面不可压势流势函数和流函数方程：拉普拉斯方程拉普拉斯方程：线性方程，可以应用叠加原理
复杂流场的解：可由若干简单流场的解叠加得到
两个有势流动势函数： j1，j2
每一流动都满足拉普拉斯方程：
什么条件？无旋条件二维不可压连续方程：
不可压平面有势流动的流函数方程
不可压连续方程和无旋条件－> 流函数方程流函数方程－拉普拉斯方程：仅适用于不可压平面有势流动
不可压平面有旋流动或可压缩平面有势流动：不存在流函数方程
三、边界条件：流体：从无穷远流向某物体条件：不分离物面法向流体速度：0，即物面是一条流线
都存在流函数
只有无Байду номын сангаас流动：才存在势函数平面流动：流函数更普遍

第六章无粘性不可压缩流体的无旋运动

• 环量和流量
s
Qv Qs
• 势函数与流函数
s 2 s ln r 2 W s ( i ln r ) s ln z 2 2 i
r c2 e

Fs Qs
• 复势
W (
Qs s ) ln l z 2 2 i Qs s ln r 2 2
U2 p gy C 2
天津大学力学系黄章峰

C C
dW dz iQv dz Qv d 0?
C
p
d 0?
6-11 天津大学力学系黄章峰
W iQv ?
6-12
天津大学
2
2012级机械工程（教学专业）
2014-05-04
2
6.4 定常绕流中柱体受力的复势表示：儒可夫斯基
• 条件：无粘、不可压、重力场、定常、无旋、平面 • 问题：无穷远均匀来流的绕流问题，在周界C以外无奇点 • 罗朗级数：
a dW a = + -nn + -1 + a0 + a1 z + + an z n + dz z z dW |z =-¥ = Ue-ia dz
天津大学力学系黄章峰
• 流函数调和方程：
v u 2 2 z 2 2 2 x y x y
天津大学力学系黄章峰
z
2
6-7
w vw nds
s

第一类边界条件狄利克雷问题
6-8
6.3 平面定常无旋运动的复势：条件 • 无粘性不可压缩流体的平面无旋运动
0
Qv 0
6-17

第四章(3)§4-3-5 平面势流问题的基本解法

M R2 2V
2
V y M 2 2 C 2 x y
y
A R
B
M 2V R 2
速度为 V∞ 的无限远来流绕半径为R 的圆柱的无环量绕流的复位势：
2 1 R ( z ) V z V R ) V ( z z z
无环量绕流的速度场—— 共轭复速度
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
第四章理想流体力学专题11
§4-3-5 平面势流问题的基本解法 — 映像法（虚像法） * 平面映像定理
《平面映像定理》设
f (z) 是全部奇点都位于上半面的复位势，今在
插入一无限平板作为固定边界，那么复位势
f (z) 代表的流动沿实轴 ox
( z) f ( z) f ( z)
2
压力分布是在理想不可压缩流体不脱体绕流假设条件下得出的。因此，计算与粘性密切相关的摩擦阻力和与分离流相关的压差阻力时, 与实际情况会有本质的偏差, 但在圆柱绕流分离点之前，所有的理论结果与实验结果都有较好的符合程度。 0o
-3.0 180o 150o 120o 90o 60o 30o
R
R y V Γ
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
§4-3-5 平面势流问题的基本解法
第四章理想流体力学专题33
* 叠加法求解要点 1.求解平面不可压缩流体无旋运动； 2.熟练掌握基本流动的复位势,流线分布和简单组合； 3.考察求解对象，构造出满足求解对象边界条件的叠加复位势； 4.求得满足求解对象的复位势后，平面流动的速度分布，等势线以及流线可由复位势直接求得； 5.根据伯努利积分可求解特定流线上的压力分布。
x y 2xy V 2 2V cos sin 4 RR R

流体力学势流

涡线微分方程
根据定义，涡线的微分方程为其中
Ω d l 0
dl d xi d y j d zk
i j dx dy x y
k dz 0 z
dx dy dz x ( x, y , z , t ) y ( x , y , z , t ) z ( x , y , z , t )
-Γ
U
d
h/2 h/2 Γ L/2 L/2
卡门的分析研究表明，当涡列的空间尺度为 h / L 0.281 时，涡列对于小扰动才是稳定的，实测证实了这一点。
§5—4 有势流动及解法概述
由开尔文定理可知，理想不可压缩流体从静止或无旋状态开始的流动将保持为无旋流动。所以无旋流动往往是以理想流体为前提条件的。无旋流动即为有势流动。一. 无旋流动的速度势函数
有旋流动
无旋流动
判别的唯一标准是看流速场的旋度是否为零
•
涡量、涡线、涡管和涡通量对于有旋流动，将流速场的旋度称为涡量，它是流体微团旋转角速度矢量的两倍。涡量场是矢量场。
涡量
Ω u 2ω
涡线
涡线是涡瞬时位于涡线上各点对应的涡量都沿着涡线的切向。与流线一样，涡线是与欧拉观点相对应的概念。
A A A
A 关于 x 轴对称
•
旋涡随空间的变化规律 n A u
奥—高定理
u d V u n d A
V A
dA
V
矢量场通过一封闭曲面的通量（流出为正）等于矢量场的散度在封闭曲面所围空间域上的积分。根据不可压缩流体连续方程 u 0
奥—高定理可解释为：不可压缩流体通过任一封闭曲面的体积流量为零。
udl
M0

第六章理想流体不可压缩流体的定常流动

厚度）的体积流量等于两条流线的流函数之差，
与流线形状无关。
QAB
ABVndS
dx dy
AB x
y
B d
A
B A
§4 理想不可压缩流体的平面势流
三、速度势函数
1、速度势函数存在的条件：
在无旋流动中每一个流体微团的速度都要以下条件：
u w z x
v u x y
w v y z
u v 0 x y
u v （连续性方程） x y
udy vdx 0 （流线方程）
根据数学分析可知，不可压缩流体平面流动的连续性条件是 udy vdx 0 成
为某一函数全微分的充分和必要条件，这个函数为流函数。
d dx dy vdx udy
x
y
u
y
v
x
§4 理想不可压缩流体的平面势流
p4 p5 m gh p3 m gh
及
z4 z5 h z3 h
将上两式代入(d)式可得
gz 2
p2
g(z3
h)
p3
m gh
(e)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
将(c)、(e)式代入(b)式，整理后可得
V22 V12 ( m 1)gh
2
由连续性方程
V2
A1 A2
V1
由一维平均流动伯努利方程
V12 2
gz1
p1
V22 2
gz2
p2
(a)
移项可得
V22
V12 2
(gz1
p1
)
(
gz
2
p2 )
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程

工程流体力学ch4-不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动

第4章不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动主要教学内容4.1流体微团运动分析本节教学目的:1、熟悉：流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。

2、掌握：移动、转动和变形的速度表达式。

线速度V x 、V y 、V 角速度3 x 、3 y 、3 线变形、角变形知识点移动、转动和变形一、流体微团运动的分解1、平移运动如图5-2 （a ）所示，平移表现为 A 点到A 点的位移，即x 方向和y 方向分别移动了 udt 、 vdt 距离，形状不变。

流体微团的平移速度为u,v,w2、线变形运动图5-2（b ）表示流体微团的平面线变形。

定义单位时间内单位长度流体线段的伸长（或缩短）量为流体微团的线变形速率。

三个方向的线变形速率分别用；xx 、；yy 、；zz 表示，则3、角变形运动图5-2（c ）表示流体微团的角变形运动。

角变形速度：两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量。

剪切变形速率：该夹角变化的平均值在单位时间内的变化量（角变形速度的平均值）。

过流体微团任一点 A 的三个正交微元流体面上的剪切变形速率分别为移动（move ）转动（rotation ）变形（reform ）4、旋转运动如图5-2(d)所示。

流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动。

若d 「= d 「，则流体微团只发生角变形；若d -. =- d ‘j|,即卩：：v ：x = __：u.「y ，则流体微团只发生旋转，不发生角变形旋转角速度：过流体微团上 A 点的任两条正交微元流体边在其所在平面内旋转角速度的平均值，称作 A点流体微团的旋转角速度在垂直该平面方向的分量。

用符号••表示写成矢量形式为(a) (b)i-xyL yz；yx1 ;:u :W =—I 1 T82 :-x ry1 2。

V)图5-2 流体微团平面运动的分解、表示流体微团运动特征的速度表达式在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：平移运动、旋转运动、线变形运动及角变形运动，与此相对应的是平移速度、旋转角速度、线变形速率和剪切变形速率。

理想不可压缩流体的平面势流及旋涡运动

同心圆。当，
故源点是奇点，
不讨论。
流函数ψ
由
0
积分
ψ＝const 为流线，即θ=const，流线是半射线。等φ线与等ψ线正交。
3.点源的压力分布在源上任取一点与无穷远处写能量方程
将，代入
p
有
P与r成抛物线正比。r
p;r p
r r0
三、点涡
点涡：无限长的直线涡束所形成的平面流动。除涡线本身有旋外涡线外的流体绕涡线做等速圆周运动且无旋。
α
L
将矢量、分别表示：
故对封闭周线 L的环量为：
环量是一个标量，它的正负取决于速度方与线积分的方向。
当速度方向与线积分方向同向时取正，反向时取负。若是封闭周线，逆时针为正，顺时针为负。
例：不可压缩流体平面流动的
速度分布为
，
求绕圆
的速度环量。
解：
积分路径在圆上，有
四、斯托克斯定理斯托克斯定理：任意面积A上的旋
由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使成为某一个函数
全微分的充要条件，即
而当 t 为参变量，
的全微分为
比较两式有：
柱坐标
把
称为速度势函数简称势函数
无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件，总有势函数存在。故理想流体无旋流也称势流。
用势函数表示速度矢量：
2、势函数的性质
1）流线与等势面垂直
3）流函数ψ与势函数φ的关系：
对不可压平面势流，流函数和势函数同时存在，它们之间关系是
a:
b: 等φ线与等ψ线垂直
前已证明，流线与等势面垂直，
而
的线是流线故等φ
线与等ψ线垂直。

第三章不可压无粘流

返回§3.3
§3.4 基本解的叠加
•3.4.1 直匀流加点源
•3.4.2 直匀流加偶极子
•3.4.3 直匀流加偶极子加点涡
返回第三章目录
3.4.1 直匀流加点源
空气动力学
第三章不可压无粘流
1 v x
1 v y
| | | | |
Q 2 2 x, y v x lnx y 4 Q x, y v y arctany x 2
Q x vx 2 2 2 x y Q y vy 2 2 2 x y
3.3.3 点涡
空气动力学
第三章不可压无粘流
点涡是涡管的一种极限情况，假设涡核小到趋于零，这时整个平面流场上除了涡所在的那一点之外，全是无旋流。对于点涡流场，流体绕点涡作圆周运动，只有周向速度，其值与距离点涡的距离成反比。
v v
x y
dx v y dy v z dz 、、 dy v z dz v x dx
1 2 dx d (v x ) t 2 vy 1 2 dy d (v y ) t 2 vz 1 2 dz d (v z ) t 2
返回§3.1
•无旋流中的积分 •有旋流中的积分
返回第三章目录
空气动力学
第三章不可压无粘流
Euler方程变换
Du p f x Dt x
u u u u 1 p u v w fx t x y z x
*
v w (*)式左边加上： v 、 w x x
• 定常不可压无旋流的位函 2 2 2 2 2 0 2 数满足拉普拉斯方程 x y z • 定常不可压平面无旋流的流函数满足拉普拉斯方程

第七章理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动

第三节理想流体的旋涡运动
本节主要讲述理想流体有旋运动的理论基础，重点是速度环量及其表征环量和旋涡强度间关系的斯托克斯定理。
一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度
涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：
2 V 也称为旋度
涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：
x
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：
有旋流动和无旋流动。
当

1

V

0
2
无旋流动
当

1

V

0
2
有旋流动
通常以
V
是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的
判别条件。
在笛卡儿坐标系中：
V

vz y

v y z
i

vx z
Байду номын сангаас
w x
2020/1/30 第七章理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
（4）旋转运动 dα dβ 且符号相反
则流体微团只发生旋转，不发生角变形大多数情况下，流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动。
2020/1/30 第七章理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
旋转角速度： dα v dt
还是无旋流动。
【解】：由于
x

1 2

vz y

v y z
0
y

1 vx 2 z
x

vz
x

0
z

1 2

v y x

粘性不可压缩流体运动-PPT

dt
P pI 2S
d ( )v
dt
(流体正压,外力有势)
连续性方程 N－S方程本构方程涡旋运动方程
3
初始条件与边界条件
(1) 初始条件:t=0时,流场中已知速度分布及压力分布
v v(x, y, z) p p(x, y, z)
(2) 边界条件:
静止固壁上:满足粘附条件 v 0 运动固壁上:满足 v流 v固自由面上:满足 pnn p0 pn 0
2v y 2
41
边界条件
静止固壁上:满足粘附条件 u v 0 在边界层边界y=δ处,满足: u U (x)
U(x)就是边界层外部边界上外流得速度分布
42
初始条件:
t=t0时刻,已知全部区域内得速度及压力分布
u u(x, y) p p(x, y)
43
绕流区域内粘性不可压缩流体基本方程(二维) －普朗特边界层方程
p pb
pa pb
15
u 0 x 0 1 p
y
0 1 p
z 0 1 p u
x
u u(y, z) p p(x)
2u y 2
2u z 2
1
p x
16
u u(y, z) p p(x) 2u 2u 1 p
y2 z2 x
2u y 2
2u z 2
1
p x
P
P为常数
1 p P
粘性不可压缩流体运动
粘性不可压缩均质流体运动方程组
v 0
连续性方程
dv F divP
dt
运动方程
dU dt
P : S div(kgradT )
q
能量方程
P pI 2S
本构方程

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第四讲无粘不可压有势流动一、流函数与势函数 1、势函数

yvxu 02222yxyvxu 为调和函数，满足拉普拉斯方程。 2、流函数







xvyu



022xyyxyvxu

若流动无旋，则有 02222yxyuxvz 为调和函数，满足拉普拉斯方程。 3、科希-黎曼关系式

xyyx 4、等流函数线与等势线正交对于等势线和等流函数线，有

2100kyxdxdydyydxxdkyxdxdydyydxxd





121vuvuyyxxkk

 可构成正交网络。 5、等流函数线为流线

vdyudxudyvdxdyydxxd0

满足流线方程。二、基本流动及其合成 1、平行来流

（1）速度分布 xyvyxVu0

（2）速度势函数 xV （3）流函数 yV 2、点源与点汇（1）速度分布

由连续方程，有 rrVrrrqVqVrrr022 （2）势函数 rqln2 （3）流函数 2q 3、点涡（1）速度环量 VrldVC2

==〉rVVr20 （2）势函数 2 （3）流函数 rln2 4、偶极流点源和点汇配置如图所示，点源位于A点(-a,0)，点汇位于B点(a,0)，迭加后的速度势函数为

BBAArQrQln2ln2

2222)()(axyPBraxyPArBA

若BAQQ，则有 2222)()(ln4ln2)ln(ln2axyaxyQrrQrrQBABA



流函数为 PBAQQ

2)(2

（1）流线方程常数 得到流线方程为常数P

流线时经过点A和点B的圆线簇。

（2）如果点源和点汇无限接近，可得到一个无旋流动——偶极流 )1ln(2ln2)ln(ln2BBABABArrrQrrQrrQ

BABAABArrrMaQQaarr,2,02cos2时

A B P(x,y) 由于 ....32)1ln(32tttt

当t为无穷小时，略去高阶项，得到tt)1ln(，则有

20202cos22cos)cos22()]1ln(2[limlimrrMrMaQrrrQBAQaBBAQa

即 22222yxxMrxM 令上式为常数C，得到等势线方程 222)4()4(CMyCMx

与y轴在原点相切的圆周簇。

（3）偶极流的流函数

2222212)(2)(2ayxayarctgQaxyaxyaxyaxyarctgQaxyarctgaxyarctgQQBA





对于偶极流，有 )22(lim)22(2220222202limayxayQayxayarctgQQaQa





即有 22222ryMyxyM



上式为常数C，得到流线方程 222)4()4(CMCMyx

与x轴在原点相切的圆周簇。

三、典型流动 1、点源加点涡——螺旋流动 2、平行来流加偶极流——圆柱体无环量绕流在无穷远处速度为V的平行流，绕流半径为r的无限长圆柱体。流动由平行流和偶极流迭加而成的组合平面流动。无穷远处速度为V的平行流，绕流半径为0r的无限长圆柱体。平行流与偶极流迭加而成的组合平面流动。 )121(22222yxVMyVyxyMyV



则流线方程为 CyxVMyVyxyMyV)121(22222



当C=0时，所谓零流线的方程为

202220rV

Myxy



 则流线为是半径为 VMr20的圆周和x轴。则这个流动可由平行来流和偶极距为 02rVM 的偶极流组合而成。组合流动的流函数 sin)1()1(2202220rrrVyxryV



组合流动的势函数



cos)1()1(2220222022rrrVyxrxVyxxMxV



流场速度分布

222202222220)(2)()(1(yxxyrVyvyxyxrVxu





x y θ 对于柱坐标，速度分量为





sin)1(1cos)1(220220rrVrVrrVrVr



讨论1：沿包围圆柱体的圆形周线的速度环量 0sin)1(220drrrVdsV

讨论2：圆柱面上的速度分布





sin2sin)1(10cos)1(220220VrrVrVrr

VrVr

讨论3：圆柱面上的压强 gVgpgVgp2222



得到 )sin41(2122Vpp 压力系数：222sin41)(121VVVppCp 讨论4：作用在圆柱体上的合力沿x轴和y轴的分量为

dprdFdprdFyxsincos00

注：负号是因为θ取正值时，力的方向分别与x轴和y轴方向相反。积分得

0sin)]sin41(21[0cos)]sin41(21[2022020220dVprFdVprF

3、平行来流加偶极流加点涡——圆柱体有环量绕流绕圆柱体有环量的平面绕流，平行来流+偶极流+点涡，流函数和势函数为

rrrrVln2sin)1(220 2cos)1(220rrrV

（1）当0rr时，常数0ln2r；（2）当0rr时，2cos20rV，0rVr，只有切线速度。 ==〉满足于以0rr得圆柱体的周线来代替这条流线的边界条件。速度分布为

rrrVrVrrVrVr2sin)1(1cos)1(220220





将0rr代入，得到圆柱面上的速度 02sin20rVVVr 得驻点位置 Vr04sin 讨论：（1）若Vr04，则1|sin|，又)](sin[)sin(，则两个驻点在圆柱面上，并左右对称的位于第三和第四象限内。

（2）若Vr04，则1sin，则两个驻点重合成一点，位于圆柱面的最下端。

（3）若Vr04，则1|sin|，则圆柱面上没有驻点，驻点脱离圆柱面沿y轴向下移动到相应位置。（令速度等于0可求得）一个在体外，另一个在体内。

（4）柱面上的压强分布

])2sin2([21)(2121202222rVVpVVVppr



（5）作用在单位长度圆柱体上的阻力和升力