2017-2018学年人教A版选修1-2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 课件(30张)
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答高中数学选修1-2课后题答案第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。
回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。
其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。
独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。
第二章推理证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。
演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。
两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。
2.2 直接证明与间接证明直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。
间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。
第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。
复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。
复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。
3.2 复数的代数形式的四则运算复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。
复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。
第四章框图4.1 流程图流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。
它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。
流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。
4.2 结构图结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。
它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学课件
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第三章 3.2 3.2.2
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探究2 涉及共轭复数的题目，要充分利用共轭复数的性 质：如z＋ z 等于z的实部的两倍，z·z ＝|z|2等，另外注意复数问 题实数化及方程思想的应用．
思考题2 证明|z|＝1⇔z＝ 1 . z
答：(1)|z|＝| z |；(2)z·z ＝|z|2＝| z |2；
(3)z＝ z ⇔z∈R， z ＝－z(z≠0)⇔z为纯虚数；
(4) z1＋z2 ＝ z 1＋ z 2；(5) z1·z2 ＝ z 1·z 2；
(6)(zz12)＝
z z
1(z2≠0)．
2
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第三章 3.2 3.2.2
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第三章 3.2 3.2.2
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(3)原式＝2－2i＋33i＋－i3i22－i ＝5＋3i＋2i－i＝10－53i＋＋i2i－i2 ＝113－＋3i i＝113－＋3ii33－－ii ＝33－11i1－0 9i＋3i2 ＝30－1020i＝3－2i.
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第三章 3.2 3.2.2
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1．复数乘法满足怎样的运算律？ 答：①z1·z2＝z2·z1；②(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；③z1(z2＋z3)＝z1·z2 ＋z1·z3
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第三章 3.2 3.2.2
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2．共轭复数有哪些主要性质？
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(3)(2010·陕西卷，文)复数z＝
[精品]新人教A版选修1-2高中数学跟踪检测(十)复数代数形式的乘除运算和答案
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课时跟踪检测(十) 复数代数形式的乘除运算一、选择题1．(辽宁高考)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( )A ．2＋3iB ．2－3iC ．3＋2iD ．3－2i解析：选A z ＝52－i ＋2i ＝5(2＋i)(2－i)(2＋i)＋2i ＝2＋i ＋2i ＝2＋3i.2．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝( ) A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B 法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i＝－2i. 法二：由已知得z －1＝－i ，而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i＝2i＝－2i. 3．若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i 的点是( )A ．EB ．FC．G D．H 解析：选D 由题图可得z＝3＋i，所以z1＋i＝3＋i1＋i＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝4－2i2＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．4．(安徽高考)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i ＋2＝2z，则z＝( )A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：选A 设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i，又z·z i＋2＝2z，∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2b i，∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.5．已知复数z＝3＋i(1－3i)2，是z的共轭复数，则z·等于( )A.14B.12C．1 D．2解析：选A ∵z＝3＋i (1－3i)2＝－3i2＋i(1－3i)2＝i(1－3i)(1－3i)2＝i1－3i＝i(1＋3i)4＝－34＋i4，∴z＝－34－i4，∴z ·z ＝14. 二、填空题6．若z ＝－1－i 2，则z 2 012＋z 102＝________. 解析：z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1－i 22＝－i. z 2 012＋z 102＝(－i)1 006＋(－i)51＝(－i)1 004·(－i)2＋(－i)48·(－i)3＝－1＋i.答案：－1＋i7．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝________. 解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝x (1＋i)2＋y (1＋2i)5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2y 5i ， 而51－3i ＝5(1＋3i)10＝12＋32i ， 所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32， 解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.答案：48．设z 2＝z 1－i 1(其中1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝z 1－i 1＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1.答案：1三、解答题9．计算：(1)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i； (2)1－3i (3＋i)2. 解：(1)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i ＝i(2－i)5＝15＋25i. (2)1－3i (3＋i)2＝(3＋i)(－i)(3＋i)2 ＝－i 3＋i＝(－i)(3－i)4 ＝－14－34i.10．已知z 1＝1－i ，z 2＝1－3i ，z 3＝1－2i ，且x z 1－5z 2＝y z 3. (1)求实数x ，y 的值； (2)求z 1·z 2. 解：(1)由已知x z 1－5z 2＝y z 3， 得x 1－i －51－3i ＝y 1－2i， 即x －12＋x －32i ＝y 5＋2y5i.∵x ，y ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －12＝y 5，x －32＝2y 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－5. (2)由(1)知z 1＝1＋i ，z 2＝1＋3i ， 则z 1·z 2＝(1＋i)(1＋3i)＝1＋4i ＋3i 2＝－2＋4i.。
第五章 §2 复数的四则运算
§2复数的四则运算学习目标1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．知识点一复数代数形式的加减法思考类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.梳理(1)运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．知识点二复数的乘法及其运算律思考怎样进行复数的乘法运算？答案两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有知识点三共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即当z＝a＋b i时，z＝a－b i.知识点四复数的除法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R，z2≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)．1．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(√) 2．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．(√)3．两个共轭复数的和与积是实数．(√)4．若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.(×)类型一 复数的加法、减法运算例1 (1)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，复数z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________.(2)已知复数z 满足|z |i ＋z ＝1＋3i ，则z ＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)－1 (2)1＋43i 解析 (1)z 1＋z 2＝(2＋i)＋(3＋a i)＝5＋(a ＋1)i ，由题意得a ＋1＝0，则a ＝－1.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |i ＋z ＝x 2＋y 2i ＋x ＋y i ＝x ＋(x 2＋y 2＋y )i＝1＋3i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x 2＋y 2＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝43，∴z ＝1＋43i. 反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． 跟踪训练1 (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________.(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝________(a ，b ∈R )．(3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋i ，则z ＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i (3)i解析 (1)∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i.(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.(3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |＋z ＝(x 2＋y 2＋x )＋y i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1， ∴z ＝i.类型二 复数代数形式的乘除运算例2 计算：(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i； (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i＝7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i ) ＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i. 反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．跟踪训练2 计算：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i； (3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i＝i (2－3i )2－3i ＋－i (2＋3i )2＋3i＝i －i ＝0.(3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i＝1－3i －2＋i ＝(1－3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i ) ＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i 5＝－1＋i. 类型三 i 的运算性质例3 计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i 2 017.考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质 解 (1)原式＝2(1＋i )－2i＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008 ＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i 4×252＝i －1＋1＝i.(2)方法一 原式＝i (1－i 2 017)1－i ＝i －i 2 0181－i ＝i －(i 4)504·i 21－i＝i ＋11－i ＝(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i. 方法二 因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N ＋)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＋i 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N ＋)．(2)记住以下结果，可提高运算速度．①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i.③1i＝－i. 跟踪训练3 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 018＝________. 考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质答案 －1解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 018＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i ) 2 018＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 018 ＝i 2 018＝(i 4)504·i 2＝1504·i 2＝－1.(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质解 设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，①所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，②①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i (1－i 100)1－i －100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－100(－1＋i )2 ＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.类型四 共轭复数及其应用例4 把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z .考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.引申探究若将本例条件改为z (z ＋2)＝4＋3i ，求z .解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．则z ＝x －y i ，由题意知，(x －y i)(x ＋y i ＋2)＝4＋3i.得⎩⎪⎨⎪⎧x (2＋x )＋y 2＝4，xy －y (x ＋2)＝3， 解得⎩⎨⎧ x ＝－1－112，y ＝－32或⎩⎨⎧ x ＝－1＋112，y ＝－32， 所以z ＝⎝⎛⎭⎫－1－112－32i 或z ＝⎝⎛⎭⎫－1＋112－32i. 反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．跟踪训练4 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i.1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 D解析 ∵z 1－z 2＝5－7i ，∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第四象限．2．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数答案 A解析 z ＝1i ＝－i.3．若z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则z|z |等于( )A ．1B ．－1C.45＋35iD.45－35i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析z＝4＋3i，|z|＝5，z|z|＝45－35i.4．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ＝2i 31＋i，则z ＝________. 考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 －1＋i解析 z ＝2i 31＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ， 所以z ＝－1＋i.5．已知复数z 满足：z ·z ＋2z i ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合问题解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1， ∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．3．复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.一、选择题1．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 B解析 ∵z ＋(3－4i)＝1，∴z ＝－2＋4i ，故z 的虚部是4.2．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34－i C ．－34－i D.34＋i 考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋|z |＝(a ＋a 2＋b 2)＋b i ＝2＋i ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1， ∴z ＝34＋i.3．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于()A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋i考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数答案 C解析由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.4．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 等于( )A ．6B ．－6C ．0 D.16考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 ∵z 1z 2＝3－b i1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3＋2b ＋(6－b )i 5是实数，∴6－b ＝0，∴实数b 的值为6，故选A.5．已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z1＋i 的点是()A ．MB ．NC ．PD ．Q考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 D解析 由图可知z ＝3＋i ，所以复数z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i)(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i 表示的点是Q (2，－1)．故选D.6．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |等于( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数答案 A解析 由1＋z 1－z＝i ， 得z ＝－1＋i 1＋i＝(－1＋i )(1－i )2＝2i 2＝i ， ∴|z |＝|i|＝1.7．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z 等于( )A ．1±3iB ．3±iC ．3＋iD ．3－i考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合问题答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i. 8．计算(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i 1＋2i的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2i D ．i考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 原式＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3＋(－2＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－1＋3i )3(2i )3＋－2＋4i ＋i ＋25＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i (－i )i＋i ＝2i.二、填空题9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________． 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 10．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i(i 是虚数单位)，|z |＝________.考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数答案 1解析 因为(3－4i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 3－4i ＝(4＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25i 25＝i. 则|z |＝1.11．定义一种运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc .则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i 的共轭复数是________．考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 －1－3i解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i ， ∴其共轭复数为－1－3i.三、解答题12．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i.由题意得a －3b ＝0,3a ＋b ≠0.因为|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52， 所以|z |＝a 2＋b 2＝510，将a ＝3b 代入，解得a ＝15，b ＝5或a ＝－15，b ＝－5，故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)． 13．已知复数z ＝1＋i.(1)设ω＝z 2＋3z －4，求ω；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值． 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 (1)因为z ＝1＋i ，所以ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.(2)因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ， 即(a ＋b )＋(a ＋2)i i＝1－i ， 所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝(1－i)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.四、探究与拓展14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为________．考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 16解析 易知(m ＋n i)(n －m i)＝mn －m 2i ＋n 2i ＋mn ＝2mn ＋(n 2－m 2)i. 若复数(m ＋n i)(n －m i)为实数，则m 2＝n 2，即(m ，n )共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，所以所求概率为636＝16. 15．设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；(2)设μ＝1－z 1＋z，求证：μ为纯虚数． 考点 复数四则运算的综合应用题点 与四则运算有关的问题(1)解 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数，且y ≠0，所以y －y x 2＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝1. 所以|z |＝1，此时ω＝2x .又－1<ω<2，所以－1<2x <2.所以－12<x <1， 即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)证明 μ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i 1＋2x ＋x 2＋y 2.又x2＋y2＝1，所以μ＝－yi.1＋x 因为y≠0，所以μ为纯虚数．。
高中数学《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》教案 新人教A版选修1-2
1 3.2.1 复数的代数形式的加减运算教学要求：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义教学难点：加、减运算的几何意义教学过程：一、复习准备：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ + 。
向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？二、讲授新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++ （3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作。
④讨论：若12,Z a b Z c di =+=+，试确定12Z Z Z =-是否是一个确定的值？（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）⑤复数的加法法则及几何意义：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件1 新人教A版选修1-2
【变式1】 已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②当z∈C时，z2≥0； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数； ⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.
其中真命题的个数是________．
A．0 B．1 C．2 D．3
[思路探索] 只需根据复数的有关概念判断即可． 解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符
合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题． ③当x＝1，y＝i时， x2＋y2＝0成立，∴③是假命题． 因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故④错；因为－1
题型二
复数相等的充要条件的应用
【例 2】 (1)已知 x2－y2＋2xyi＝2i，求实数 x、y 的值． a (2)关于 x 的方程 3x － x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 2
2
a 的值． [思路探索] 先确定“＝”两边复数的实部和虚部，然后列方 程组求解．
解
(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
2x－1＝－b， ∴ 1＝b－3，
3 3 x＝－ ， x＝－ ， 2 2 解得 ∴ b＝4. y＝4i.
题型三 复数的分类 m2＋m－6 【例 3】 当实数 m 为何值时，复数 z＝ ＋(m2－2m)i 为 m (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
[规范解答]
规律方法
(1)利用复数相等，我们可以把复数问题转化为实数问
题来解决．
(2)复系数方程有实根问题，实际上就是两个复数相等的问题．
【变式 2】 求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i 的 x、y 值．其中 x ∈R，y 是纯虚数． 解 设 y＝bi(b∈R 且 b≠0)代入等式得
2018版数学新导学同步选修2-2人教A版作业及测试：课时作业21复数代数形式的乘除运算
－5＋10i
6．i 是虚数单位， 3＋4i ＝________(用 a＋bi 的形式表示，其中 a，b∈R)．
－5＋10i －5＋10i3－4i
解析： 3＋4i ＝ 3＋4i3－4i －15＋20i＋30i＋40
＝
9＋16
＝1＋2i.
z2－2z
11．已知复数 z＝1－i，则 z－1 ＝( ) A．2i B．－2i C．2 D．－2 解析：法一：因为 z＝1－i，
z2－2z 1－i2－21－i －2
所以 z－1 ＝ 1－i－1 ＝ －i ＝－2i. 法二：由已知得 z－1＝－i，
z2－2z z－12－1
从而 z－1 ＝ z－1 －i2－1 2
＝ 1－i1＋i
－7＋i 7 1
＝ 2 ＝－2＋2i. 故 z 对应的点在复平面的第二象限． 答案：C
z
5．若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数1＋i的点 是( )
A．E B．F C．G D．H
z 3＋i 3＋i1－i 4－2i
解析：依题意得 z＝3＋i，1＋i＝1＋i＝1＋i1－i＝ 2 ＝2－i，该复数 对应的点的坐标是(2，－1)．
1－z 1－x＋yi 1－x－yi1＋x－yi
u＝1＋z＝1＋x＋yi＝ 1＋x2＋y2
1－x2－y2－2yi
y
＝ 1＋x2＋y2 ＝－1＋xi.
( )1
y
－ ，1
因为 x∈ 2 ，y≠0，所以－1＋x≠0，所以 u 为纯虚数．
(2) 5－4i1－i .
( ) 1 3
－＋ i 解析：(1) 2 2 (2－i)(3＋i)
( ) 1 3
2014年人教A版选修1-2课件3 .1 数系的扩充和复数的概念
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算 第三章 小结
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.2 复数的几何意义
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
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1. 什么是虚数? 它的结构形式是怎样的? 2. 什么是虚单位? 它有什么特点?
3. 什么是复数? 它的范围包括哪些数?
问题1. 方程 x2=2 和 x2= -2 在什么样的数系范围 内有解? 在什么样的数系范围内无解? 如果要使它 们都有解, 怎么办? x2=2 在有理数范围内无解, 将数系扩充到实数 范围内就有解: x = 2 . x2= -2 在有理数范围内无解, 将数系扩充到实数 范围还是无解. 要使 x2= -2 有解, 考虑把数系再扩充.
3. 如果 (x+y)+(y-1)i = (2x+3y)+(2y+1)i, 求实数 x, y 的值.
解: 两复数相等, 必须实部与实部相等, 且虚部 与虚部相等, 则得方程组 x + y = 2 x + 3 y, y - 1 = 2 y + 1. 解方程组得 x=4, y= -2.
即得两相等复数为 2-3i = 2-3i.
. 实数 m 取什么值时, 复数 z=m+1+(m-1)i 是 (1) 实数; (2) 虚数; (3) 纯虚数. 解: (1) 当 m-1=0 时, z 是实数, 即 m=1 时, z=2 是实数.
(2) 当 m-1≠0 时, z 是虚数,
即 m≠1 时, z=m+1+(m-1)i 是虚数. (3) 当 m+1=0 且 m-1≠0 时, z 是纯虚数, 即 m= -1 时, z= -2i 是纯虚数.
人教A版选修1-2数系的扩充与复数的引入优质课：数系的扩充和复数的概念
[类题通法] 利用复数的分类求参数的方法及注意事项
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部 的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要 特别注意复数 z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是 a ＝0 且 b≠0.
(3)当 z 为纯虚数时，
a2－5a－6≠0， 则有a2－a2－7a＋1 6＝0.
∴aa≠＝－6且1且a≠a≠±16. ，
∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数．
4．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数 x＝ ________，y＝________.
解析：∵x，y 是实数， ∴根据两个复数相等的充要条件，
可得32xx＋－yy＝＝73x，－5y，
解得x＝94， y＝32.
答案：94
3 2
5．已知复数 z＝a2－a2－7a＋1 6＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数 a 分别取什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[对点训练] 已知 x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0 求实数 x，y 的值． 解：由复数相等的条件得方程组xx2－＋yy－2－2＝6＝0.0②，① 由②得 x＝y＋2，代入①得 y2＋2y－1＝0.解得 y1＝－1＋ 2，y2＝－1－ 2.所以 x1＝y1＋2＝1＋ 2， x2＝y2＋2＝1－ 2. 即yx＝＝－1＋1＋2，2 或xy＝＝－1－1－2，2.
解：(1)当 z 为实数时， 则aa22－－51a≠－06，＝0， ∴aa＝ ≠－ ±11. 或a＝6， ∴当 a＝6 时，z 为实数．
(2)当 z 为虚数时，则有aa22－－51≠a－06. ≠0，
选修1-2第三章 《复数代数形式的四则运算
学科教师辅导讲义讲义编号学员编号： 年 级：高二 课时数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师:周程 课 题 复数代数形式的四则运算授课日期及时段教学目的1、掌握复数的加法运算及意义2、理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义3、理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学内容一、课前检测1. 若121212,,z z C z z z z --∈+是( ).A ．纯虚数B ．实数C ．虚数D ．不能确定解析：121212,,(,,,),()()()()z a bi z c di a b c d R z z z z a bi c di a bi c di --=+=+∈+=+-+-+ 22ac bd R =+∈，选B2. 使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数D ．z z -+为实数解析：z z z R -=⇔∈；z z z R =⇒∈，反之不行，例如2z =-；2z 为实数不能推出z R ∈，例如z i =；对于任何z ，z z -+都是实数，选B 3. 13()i i --的虚部为( )A ．8iB ．8i -C ．8D ．8-解析：2133333112()()()()(2)8i i i i i i i i i----=-====-，虚部为8-，选D 4. （12分）已知：复数1cos () z b C a c i =++,2(2)cos 4 z a c B i =-+,且12z z =，其中B 、C 为△ABC 的内角，a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边． （Ⅰ）求角B 的大小；(Ⅱ) 若22b =，求△ABC 的面积．解析：（Ⅰ）∵12z z = ∴cos (2)cos b C a c B =-----①,4a c +=----②由①得2cos cos cos a B b C c B =+------③在△ABC 中,由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+2sin cos sin()sin()sin A B B C A A π=+=-=∵ 0A π<< ∴sin 0A > ∴1cos 2B =,∵0B π<< ∴3B π=(Ⅱ) ∵22b =,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-⇒228a c ac +-=,--④ 由②得22216a c ac ++=-⑤ 由④⑤得83ac =，∴1sin 2ABC S ac B ∆==183232323⨯⨯=. 二、知识梳理1、复数代数形式的加减运算(1)复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (2)复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (3)复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R ). ∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i . z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i . 又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1.∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律. (4)复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例2计算：(1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i .解法二：∵(1－2i )+(－2+3i )=－1+i ， (3－4i )+(－4+5i )=－1+i ， ……(2001－2002i )+(－2002+2003)i =－1+i . 相加得(共有1001个式子)： 原式=1001(－1+i )+(2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i2、复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).1、复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2、复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ重难点突破一3、复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ =1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4、复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 4.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ， ∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R )，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ; OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i .∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，例2图∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x故点D 对应的复数为2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+ (x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用重难点突破二5、复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。