高中数学 3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课件 新人教A版选修2-2

2．在复平面内，复数 z1、z2、z 的对应点分别为 Z1、Z2、Z， 已知O→Z＝O→Z1＋O→Z2，z1＝1＋ai，z2＝b－2i，z＝3＋4i(a，b∈ R)，则 a＋b＝________________.
[答案] 8 [解析] 由条件知 z＝z1＋z2， ∴(1＋ai)＋(b－2i)＝3＋4i， 即(1＋b)＋(a－2)i＝3＋4i，
若 z1、z2 在复平面内的对应点分别为 Z1、Z2，由向量运算
法则
知O→Z1＝
→ OZ2
→ ＋___Z_2_Z_1____
，依
据向
量与
复数的对
应关系
知，Z→2Z1对应的复数为__(a_－__c_)_＋__(_b_－__d_)i_.
∴复数 z2－z1 是指连接向量O→Z1、O→Z2的终点，并指向被减 →
牛刀小试
3．(2014～2015·西宁高二检测)在平行四边形 ABCD 中，对
角线 AC 与 BD 相交于点 O，若向量O→A、O→B对应的复数分别是
3＋i、－1＋3i，则C→D对应的复数是( )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
[答案] D
[解析] 依题意有C→D＝B→A＝O→A－O→B，而(3＋i)－(－1＋3i) ＝4－2i，
→ OZ1
＋
→ OZ2
，
而
→ OZ1
＋
→ OZ2
所
对
应
的
坐ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
标
是
(_x_1_＋__x2_，__y_1_＋__y_2)_，这正是两个复数之和 z1＋z2 所对应的有序实
数对．
牛刀小试
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
[答案] B
[解析] z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.
[答案] B
[解析] 以 OA，OB 为邻边作▱OACB，则由题设条件知O→C 对应复数为 z1＋z2，B→A对应复数为 z1－z2，
∵|z1＋z2|＝|z1－z2|，∴|O→C|＝|B→A|， 即▱OACB 的两条对角线长相等， ∴▱OACB 为矩形，∴OA⊥OB， ∴△AOB 为直角三角形．
5．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝______________. [答案] 3i [解析] 设 z＝a＋bi(a、b∈R)， ∵|z|＝3，∴a2＋b2＝9. 又 w＝z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i 为纯虚数， ∴ab＝ ＋03≠0 ，即ab＝ ≠0－3 ，又 a2＋b2＝9， ∴a＝0，b＝3.∴z＝3i.
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2．实数的加法满足交换律、结合律，上述规定的复数加 法运算满足交换律、结合律吗？
3．我们已知复数与复平面内的点、平面向量具有一一对 应的关系，那么复数加法的几何意义是什么？
新知导学
2．设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则 z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i，设在复平面内 z1、z2 的对应点为 Z1、Z2，则O→Z1 ＋O→Z2对应的复数为___(a_＋__c_)_＋__(b_＋__d_)_i____.
3．复数加法的几何意义
复数加法的几何意义就是向量加法的
平行四边形法则(或三角形法则)．
已知复数 z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i 及其
对应的向量O→Z1＝(x1，y1)，O→Z2＝(x2，y2)．以
O→Z1和O→Z2为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，如图．对角线 OZ 所表
示
的
向
量
→ OZ
＝
重点：复数代数形式的加减法． 难点：复数代数形式加减法的几何意义．
复数代数形式的加法运算及其几何意义
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1．实数有四则运算，扩展到复数集后，还可以进行四则 运算吗？怎样规定复数的运算才能与原有实数的运算法则相一 致？
新知导学
1．复数加法的运算法则 设 z1 ＝ a ＋ bi ， z2 ＝ c ＋ di 是 任 意 两 个 复 数 ， 则 z1 ＋ z2 ＝ __(_a_＋__c)_＋__(_b_＋__d_)i___.
典例探究学案
复数的加减运算
计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a、b∈R)． [分析] 直接运用复数的加减法运算法则进行计算．
[解析] (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋ (4b－3)i. [方法规律总结] 复数与复数相加减，相当于多项式加减 法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与 虚部相加(减)．
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
数系的扩充与复数的引入 第三章
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其 几何意义
第三章
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 课时作业
自主预习学案
掌握复数加法、减法的运算法则及其几何意义，并能熟练 地运用法则解决相关的问题．
由复数相等的条件知，1a＋ －b2＝ ＝34， ， ∴b＝2，a＝6，a＋b＝8.
复数代数形式的减法运算及其几何意义
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4．在实数范围内，减法是加法的逆运算，为了使在复数 范围内，原实数运算性质、法则依然有效，应怎样规定复数的 减法运算？其几何意义是什么？
新知导学
4．设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)，则 z1－z2 ＝___(a_－__c_)_＋__(b_－__d_)_i____.
数的向量____Z_2_Z_1____所对应的复数．要注意向量知识对复数学 习的催化作用．
由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数 z1 与 z2 对应的两点之间的__距__离____．
5．对复数加减法几何意义的理解 它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形 的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算 也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 6．从类比的观点看，复数加减法运算法则相当于多项式 加减运算中的____合__并__同__类__项_____．
即C→D对应的复数为 4－2i. 故选 D.
4．(2014～2015·丽江高二检测)A，B分别是复数z1，z2在复 平 面 内 对 应 的 点 ， O 是 原 点 ， 若 |z1 ＋ z2| ＝ |z1 － z2| ， 则 三 角 形 AOB一定是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形