振动力学期末考试试题以及答案(很有参考价值哦)

2006《振动力学》课程本科生考试试题标准答案

1. 圆筒质量m 。质量惯性矩o J ，在平面上在弹簧k 的限制下作纯滚动，如图所示，求其

固有频率。（10分）

解：令t A x

t A x ωωωcos ,sin == t A x

J m x

r J m r

J x m J x m T o o o o ωωθ22

2222

2cos )(21)(21)(21212

121 +=+=+=+=

t kA kx U ω2

22sin 2121==

2222max max /2

1)(21r J m k

kA A x

r J m U T o o +=

=+∴=ωω

2. 图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力t P t P ωsin )(0=的作用，求质量m 稳态响应的幅值。（10分）

)(t

x x m

11x k

(t P 22x k

解：设m 的位移为x ，则21x x x += (1) 其中,1x 为弹簧1k 的变形，2x 为弹簧2k 的变形

对m 列运动微分方程： 022=+x k x m

(2) 对连接点列平衡方程： )(2211t P x k x k += (3)

由(3)式可以得出：

21)(k x k t P x +=

将上式代入(1)式可得出：

112)(k k x

k t P x ++-=

将上式代入(2)式可得出：0)(2

2121=+-++t P k k k x k k k k x m

令m

k k k k k k e

e e =+=

ω,2

1，有 t k k k P t P k k k x k x

m e ωsin )(2

120212

+=+=+

k P t

k k k k P x e

e ωωωωωωsin )(11

sin )(11

102

2120-?=-??+=

∴

3. 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。（10分）

解：对物体m 列运动微分方程，有：

0)(1=--+x x k x c x

m 即：

t kA kx x c x

m ωsin =++ t A

ωsin 1=

m )x -

其稳态响应为：

)sin()

2()1(1222θωξ-+-?=

t s s k kA x

其中，2

0012arctan ,2,,s s

c m k s -====

ξθξωωω

4. 如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L ，弹性模量为E ，横截面对中性轴的惯性矩为I ，梁材料密度为ρ。在梁的a 位置作用有集中载荷)(t F 。已知梁的初始条件为零。求解梁的响应。（假定已知第i 阶固有频率为i ω，相应的模态函数为)(x i φ，∞=~1i ）（20分）

解：悬臂梁的运动微分方程为：

),(2244t x f t

S x y EI =??+??ρ （1）其中：

)()(),(a x t F t x f -=δ (2)

令：

∑∞

==1)()(),(i i i t q x t x y φ

(3)

代入运动微分方程，有：

),()(1

t x f q S q EI i i i i i i =+''"∑∑∞

=∞

= φρφ (4)

上式两边乘)(x j φ，并沿梁长度对x 进行积分，有：

?∑?∑?

=+''"∞=∞

=L j i L j i i i L j i i dx t x f dx S q dx EI q 0

),()(φφφρφφ

(5)

利用正交性条件，可得：

)()()(2t Q t q t q j j j j =+ω

(6) 其中广义力为：

)()()()()()(00

a t F dx a x t F dx t f t Q j L

j L

j j φφδφ=-==??

(7)

由式（6），可得： ??

j j j

L j j j

j d t F a d t Q t q 0

)(sin )()(1

)(sin )(1

)(ττωτφωττωτω （8）

利用式（3），梁的响应为：

∑?∑∞

=∞

=???

?????-==10

1)(sin )()(1)()()(),(i L

j j j i i i i d t F a x t q x t x y ττωτφωφφ (9)

5. 两个均匀刚性杆如图所示，具有相同长度但不同质量，使用影响系数法求系统运动方程。（20

分）

解：杆1、杆2绕其固定点的惯性矩分别为：

3211l m J =，222222248

7)4(12l m l m l m J =+=

使用影响系数法计算系统刚度阵

（1）如图（1）所示，令11=θ，02=θ，

对杆1和杆2分别需要施加弯矩11M ，

21M 分别为：

21111169

4343l k l l k M =??=

2112116

4343l k l l k M -=??-=

（2）如图（2）所示，令01=θ，12=θ，

对杆1和杆2分别需要施加弯矩12M ，

22M 分别为：

21112169

4343l k l l k M -=??-=

222111224

16921214343l k l k l l k l l k M +=??+??=

因此，系统刚度阵和质量阵分别为

???????

??+--=222121212141

16916916916

9l k l k l k l k l k K ，??

????

??????=2221487

3l m l m M

因此，系统运动方程为

041

16916916

9169

487

0032121111221

222

1=???

????????

?????+--

??????????????

?θθθθk k k k k l l m l m

6. 如图所示量自由度系统。（1）求系统固有频率和模态矩阵，并画出各阶主振型图形；（2）当系统存在初始条件?

)0(

和?

)0(

时，试采用模态叠加法求解系统响应。（20分）

解答：

运动微分方程为：

令主振动为)

sin(

，或直接采用0

)

(2=

-φ

ωM

K，有：

设2

=，有：

由0

，得出：

=α

因此，有：

ω，

先将1

α代入，有：

令1

φ，则有1

φ，因此第一阶模态为：

)1(

同样将3

α代入，令1

φ，有1

φ，因此第二阶模态为：

)2(

所以，模态矩阵为：

令

XΦ

=，原微分方程变为：

????=????????????+????????????00600220022121p p p p x x k k x x m m

模态空间的初始条件为：

??????=????????????-=Φ=-2/2/02/12/12/12/1)0()0(0001x x x X X p ， ??

????===-00)0()0(1X X p Φ 因此可解得：

???

?====t m k x t x x t m k

x t x x p p p p 3cos 2cos )0(cos 2cos )0(02220

111ωω

所以，有：

?????

?+-=Φ=)3cos (cos 2

)3cos (cos 2

00t m

k t m k x t m k t m k

x X X p

7. 如图所示等截面梁，长度为l ，弹性模量为E ，横截面对中性轴的惯性矩为I ，梁材料密度为ρ。集中质量m ，卷簧刚度1k ，直线弹簧刚度2k 。写出系统的动能和势能表达式，系统质量阵和刚度阵表达式。(10分)

解答：动能：

质量阵：

势能：

202),(21),(21??? ????+??? ????=?

t t x y m dx t t x y S T a l ρq M M q )(2110+=T n n l T R

dx S ?∈=?

00ΦΦM ρn n a T a R x x m ?∈=)]([)]([1ΦΦM ),(21),(21),(212

10222t x y k x t x y k dx x t x y EI V c b l +??? ????+???? ????=?

q K K K q )(1210++=

0M M M +=

刚度阵：

n l

T R dx EI ?∈''''=?

0ΦΦK n

n b b T R x x k ?∈''=)()(11ΦΦK n

n c c T R x x k ?∈=)()(22ΦΦK 210K K K K ++=