第二章矩阵
第二章 刚度矩阵法
平面板架
fz M x M yT
z
x
T y
§2.2 位移模式
位移模式是建立起单元内任一点位 移与节点之间的关系 •轴向变形 •扭转变形 •弯曲变形
•轴向变形
ux abx
I
J
ix a bx a jx a bL
L
ΔL
b jx ix
i
L
j L
ux
ix
jxix
L
x
•扭转变形
x abx
i
yxco y ,x ') s ( yco y ,y ') s ( zco y ,z ') s( zxco z ,x ') s ( yco z ,y ') s ( zco z ,z ') s(
lx cx o ,x ')s m ,x( cx o ',y ) s n x , (cx o ',z )s(
j
L
ix a bx a
jx abL
b jx ix
L
x ixjxLix x
•弯曲变形
Ma xbMEI源自d2y dx2d2 y M dx2 EI
Mi
θi
i
F iy
iy
ya3xb2xcx d
(-)
F jy
Mj
θj
j
jy
M (+) Q
§2.3 刚度矩阵
杆件的位移模式： uN
杆件的几何方程： NB
T l y
my
n
y
l z m z n z
T
§2.5 基本步骤
•单元刚度矩阵的建立：
Kee f e f TF
KeTe TFe
第二章 矩阵变换和计算
2 2 λ (ωω T ) 即，1 − T ω T ω = −1 ，1, L, 1 ； T 1 2 3 ω ω ω ω
n−1个
（2） （3）
H (ω)Τ = H (ω) , 即 H 阵为对称阵； H (ω)Τ H (ω) = I n ，即 H 阵为正交阵；
2
（4） 如果 H (ω) x = y ，则 y
计算次序为 l11 , l 21 , L , l n1 , l 22 , l 32 , L , l n 2 , L, l nn ．由于 l jk ≤
过程中 L 的元素的数量级不会增长，故平方根法通常是数值稳定的，不必选主元． 6） ．求解三对角矩阵的追赶法
b1 c1 a2 b2 c2 , 它的 LU 分解可以得到两个只有两条对 O O O 对于三对角矩阵 A = an −1 bn −1 cn −1 an bn
A = QR , 称其为矩阵 A 的 QR 分解, 并且 cond 2 ( A) = cond 2 ( R) .
为实现矩阵一般的 QR 分解，我们引入 Householder 矩阵 H (ω) = I −
2 ωωΤ , 其中 ωΤ ω
ω ∈ R n , ω ≠ 0 . 该矩阵具有如下性质：
（1） 特征值为：λ ( H (ω )) = 1 −
的 列 向 量 得 到 上 三 角 矩 阵 ,
因 此 ,
每 次 变 换 的
Householder
矩 阵
H (ω1 ), H (ω2 ),L , H (ωn - 1 ) 在逐渐降阶, 然后将它们分别“嵌入” n 阶单位矩阵得到相应的 n 阶正交阵 Q1 , Q 2 , L, Q n -1 , 最后得到正交阵 Q = Q1 , Q 2 ,L , Q n -1 .具体变换过程见例子.
线性代数第2章矩阵
1 0
0 1
+ 00
2n
0
=
1 0
2n
1
.
2.2.12 转置矩阵
将 m n 矩阵
a11 a12
A
a21
a22
am1 a m2
a1n
a2n
amn
的行、列互换得到的矩阵，称为A的转置矩阵， 记为A T，即
a11 a21 AT a12 a22
am1
am
2
a1n a 2n
amn
其中 AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的
det
A
21
22
2n
a a a
n1
n2
nn
为方阵A的行列式，记为det A。
方阵行列式定理
定理1 设A、B是任意两个n阶方阵，则
det (AB) = det A det B。
这个定理告诉我们： 1. 两个同阶方阵相乘的行列式等于这两个方 阵的行列式相乘； 2. 两个同阶行列式相乘也可以先求相应的乘 积矩阵，然后求这个乘积矩阵的行列式。 一般地： (1) det (A+B)≠det A + det B (2) det( kA)≠k det A，若A为n阶方阵， 则有 det( kA) = k n det A。
例如 设
A
=
1 1
1 1 ,
B
=
1 1
1
1
,
则
1 1 1 1 0 0
AB = 1
1 1
1
=
0
0 .
称矩阵A是B的左零因子，矩阵B是A的右零因 子。
2.2.11 矩阵A的m次幂
设A为n阶方阵，m为正整数，则
第二章 矩阵及其运算
a11 b11 a12 b12 a1n b1n a 22 b22 a 2 n b2 n a b 21 21 a b a s 2 bs 2 a sn bsn s1 s1
称为 A 和 B 的和，记为
C A B.
批注
表示出来。
§2 矩阵的运算
矩阵的意义不仅在于把一些数据根据一定的顺序排列成 阵列形式， 而且还在于对它定义了一些有理论意义和实际意义 的运算，使它真正成为有用的工具。 一、矩阵的加法 1、定义 定义 设
A aij sn
a11 a 21 a s1 b11 b21 bs1
定义：设 A a ij
m s
是 m s 矩阵， B bij
s n
是 s n 矩阵，则定
义一个新的 m n 矩阵 C ：
C cij mn
s
其中
cij ai1b1 j ai 2 b2 j aik bkj ail blj aik bkj
批注
(2) 结合律 (A) (A) ( ) A (3) 分配律 ( A B) A B
A A
(4) 若 A 为 n 阶矩阵，则有 A n A 此外，还容易得到：
0 A 0,
A (1) A
矩阵相加与数乘矩阵合起来统称为矩阵的线性运算。 例
矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵; 逆矩阵的概念；求逆方法； 分块求逆方法。
矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆 方法
讲授 习题课 答疑
教 学 内 容
第二章 矩阵及其运算
矩阵是将一组有序的数据视为 “整体量” 进行表述和运算， 使得问题简洁和易于了解本质。 矩阵不仅是解线性方程组的有 力工具， 而且是线性空间内线性变换的表现形式， 因此有关矩 阵的理论构成了线性代数的基本内容。 本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩 阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。 §1 矩阵 1、矩阵的概念
第2章 矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算一、矩阵的概念与几类特殊方阵（一）矩阵及相关概念1.矩阵阶方阵阶矩阵或是，则称若或矩阵，简记称为列的表格行排成的个数n n A n m a A n m a a a a a a a a a n m a n m n m ij mn m m n n ij =⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯,)( (21)2222111211 2.0矩阵00，则称为零矩阵，记作中所有元素而都是如果矩阵A3.同型矩阵是同型矩阵与则称中如果，矩阵B A t n s m b B a A t s ij n m ij ,,,)(,)(====⨯⨯4.矩阵相等即对应的元素都相等同型矩阵),,(j i b a B A ij ij ∀=⇔= 1. 方阵的行列式 阶行列式其元素可构造对于方阵n a A ij )(=B A B A a a a a a a a a a A nnn n n n ≠≠=得不到由,.............. (2122221)11211(二)几类特殊方阵1.单位矩阵 主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n 阶段方阵，称为n 阶单位矩阵，记为E E A A AE EA ===0;2.对称矩阵),(,j i a a A A n A ji ij T ∀==即阶矩阵，如是设3.反对称矩阵对称矩阵反不一定是对称矩阵，但反也是对称矩阵，则反是同阶的若，即阶矩阵，如是设)()(,,)(,0),(-,-AB A B A B A B A a j i a a A A n A ii ji ij T λ-+=∀==4.对角矩阵 、积仍然是对角矩阵同阶的对角矩阵的和差，对角矩阵记为阶矩阵，如是设Λ≠∀≡)(0j i a n A ij5.逆矩阵 1,-==AA AB A E BA AB B n n A 记为的逆矩阵唯一的逆矩阵，是是可逆矩阵，，则称使阶矩阵阶矩阵，如存在是设6.正交矩阵T T T A A A E A A AA n A ===-1,是正交矩阵，则称阶矩阵，如是设7.伴随矩阵*=A A A A A A A A A A A n A a A n a A nn n n n n ij ij ij 的伴随矩阵，记为，称为阶矩阵所构成的的代数余子式的各元素阶矩阵，则由行列式是设....................)(212221212111二、矩阵的运算（一）矩阵的线性运算1.矩阵的加法CB A B A b a cC n m n m b B a A ij ij ij ij ij =++==⨯⨯==的和称为矩阵矩阵矩阵，则是两个设,)()()(),(2.矩阵的数乘kAA k b a ka n m k n m a A ij ij ij ij 记为的数乘，与矩阵称为数矩阵是一个常数，则矩阵，是设)()()(+=⨯⨯=3.矩阵的乘法nb r A r B Ax B AB A E A A A A B AB BA AB B A BA AB ABC B A b a b a b a b a c c C s m s n b B a A nk kj ik nj in j i j i ij ij ij ij ≤+≠======≠==≠==+++==⨯⨯==∑=)()(,00,0;0,;00,0)2(,)1(,...)()(),(212211则齐次方程组有非零解的解，若程中的每一列都是其次方应联想到或不能堆出，不能退出时，才能运算可交换即与只有换律矩阵的乘法一般没有交的乘积，记为与称为其中矩阵矩阵，则是两个设 ，命题成立矩阵，秩序是若不能退出的列数，则，且若可逆，则，且矩阵若立：以下两种情况消去率成，对于矩阵乘以不具有消去律n A r n m A C B A AC AB B A A r AB B A AB A AB =⨯=≠======≠=)(,,0,)3(0)(000),0(0（二）关于逆矩阵的运算规律A A =--11))(1( 111))(2(--=A k kA 111))(3(---=AB AB 11)())(4(--=T T A A 11)5(--=A A n n A A )())(6(11--=(三)关于矩阵转置的运算规律 A A T T =))(1( T T kA kA =))(2( T T T A B AB =))(3(T T T B A B A +=+))(4(（四）关于伴随矩阵的运算规律E A AA A A ==**)1( )2()2(1≥=-*n A A n )2())(3(2≥=-**n A A A n*-*=A k kA n 1))(4( **=)())(5(T T A A1)(,0)(;1)(,1)(;)(,)()6(-=-====***n A r A r n A r A r n A r n A r111-1-,)()(,1)()7(-**-**===A A A A A A AA A 可逆，则若（五）关于分块矩阵的运算法则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡4433221143214321)1(B A B A B A B A B B B B A A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡DW CY DZ CX BW AY BZ AX W Z Y X D C B A )2( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T T T T T D BC AD C B A )3( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n C OO B C O O B )4( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--O BC O O C B O C O O B C O O B 111-1-1-1-)4(，三、矩阵可逆的充分必要条件.8,.70.6)(.5,.4)(.30.2.121的特征值全不为总有唯一解非齐次方程组只有零解齐次方程组向量线性无关行的列是初等矩阵其中，有阶方阵存在可逆，等价于阶方阵A b Ax b Ax A P P P P A nA r A EBA AB B n A n i s =∀=⋅⋅⋅==≠==四、矩阵的初等变换与初等矩阵（一）矩阵的初等变换及相关概念1.矩阵的初等变换下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换（1） 对调矩阵的两行列（2） 用非零常数k 乘以某行列中所有元素（3） 把矩阵某行列所有元素的k 倍加至另一行列对应的元素上去（4） 求秩（行列变换可混用）；求逆矩阵（只用行或只用列）；求线性方程组的解（只用行变换）（5） 不要混淆矩阵的运算2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵对于任何矩阵A ，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵（二）初等矩阵的概念单位鞠振宁经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵（三）初等矩阵的性质逆是同类型的初等矩阵初等矩阵均可逆，且其同样的行列初等变换做了一次与就是对矩阵，所得乘右左用初等矩阵.2)()(.1P A AP PA A P )()(100013-001100013001)1()(100021000110002000100101010000101010011-11-11-k E k E k E k E E E ij ij i i ij ij -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---主对角线以外；主对角线；副对角线五、矩阵的等价（一）矩阵等价的概念的秩是矩阵阶单位矩阵是的等价标准形，其中后者是则称若等价，记作与则称矩阵矩阵经有限次初等变换变成矩阵A r r E A E A B A B A B A r r,,000~.~,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （二）矩阵等价的充分必要条件价向量组等价必有矩阵等向量可以互相线性表示；向量组等价是指两个等价是两个不同的概念矩阵的等价与向量组的使得阶可逆矩阵，阶可逆矩阵矩阵，则存在时设，使和存在可逆矩阵秩是同型矩阵且有相同的，等价于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=000,.2.1~r E PAQ Q n P m n m A BPAQ Q P B A B A六、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关矩阵的概念及运算题型二、求方阵的幂n A数学归纳法思路，可用相似对角化来求个线性无关的特征向量有，当思路可用二项式定理展开则且，能分解成两个矩阵的和，若思路律就可很方便地求出个矩阵的乘积，用结合能分解为一列与一行两则，若思路,43)(,2,1)(1nn n nA n A CB A CB BC C B A A A A A r +==+== 题型三、求与已知矩阵可交换的矩阵题型四、有关初等变换的问题题型五、关于伴随矩阵的命题题型六、矩阵可逆的计算与证明⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=====----*-O BC O O C B O C O O B C O O B A E E A A E E A A AA EBA E AB B 111-1-1-1-1114)()();()(3121，，分块矩阵法思路，初等变换法思路，伴随矩阵法思路或使，定义法，找出思路 题型七、求解矩阵方程为阶梯形方程组列方程用高斯消元法化不可逆，则可设未知数，若方法可以先求出可逆，则若方法解题思路的列向量表出的每列可由有解等价于A AB A X A B A r A r A B B Ax 2,,1)()(.2.111--===。
第二章 信号矩阵理论PPT课件
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9
2.3梯度运算
10
梯度定义 实标量函数(W)对向量W的梯度为：
d e W ( W f) 0 a j 0 b 1 a j 1 b. . .L aj L T b
(2-9)
式部中，w即la：, wwlbl=分w别la+是jw向lb;量即W为的第(Wl个). 元素wl的实部和虚
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3
一般一个自适应系统的输入x(t)表示为
x(t)=a(t)ej e+n(t）
(2-1)
其中， a(t)为输入信号的复包络（时节缓变的 随机信号），为信号的载频， n(t)为输入噪 声。
输入信号用向量的形式表示，隐去时间函数， 则信号向量X可以表示为：
X=[x0 x1…xL]T
(2-2)
式中“T”表示矩阵转置。
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4
自适应系统的基本单元（线性组合器）
x0
w0
x1
w1
…
xL 权向量 wL
+ +
+
y
输出信号
图2-1 此基本单元由L+1个输入x0(t) ,x 1 (t),… xL (t),其相应的 一 组可调权为 w0 , w1 ,… wL ,而输出信号为y(t),用于调整权 的方法即 “自适应算法”。
W
W
(2-10)
w k * r kw l (w k a jk w )b r k( la jkr ) lw b l( ajlw ) b(2-11)
其中，rkl为相关矩阵R的第k行第l列的元
素，因为 rklrklajrklb
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12
提问与解答环节
矩阵分析 第二章
第2章范数理论及其应用2.1向量范数及l p范数定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实数值||x||，它满足以下三个条件：1)非负性：||x||≥0,且||x||=0⇔x=0;2)齐次性：||k⋅x||=|k|⋅||x||，k∈K；3)三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||.则称||x||为V上向量x的范数，简称为向量范数。
可以看出范数||⋅||为将V映射为非负数的函数。
注意：2)中|k|当K为实数时为绝对值，当K为复数域时为复数的模。
虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何n维线性空间在一个基下都代数同构于常用的n维复(或实)列向量空间，因此下面我们仅仅讨论n维复(或实) 列向量空间就足够了。
下面讨论如下：1.设||⋅||为线性空间V n的范数，任取它的一个基x1,x2,…,x n,则对于任意向量x,它可以表示为x=ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n其中，(ξ1,ξ2,…,ξn)T为x的坐标。
由此定义C n(或R n)中的范数如下：||ξ||C =ϕ(ξ)=||ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n||则容易验证||ξ||C确实为C n中的范数.2.反之, 若||ξ||C为C n中的范数，定义V n的范数如下：||x||=φ(x)=||ξ||C其中x=ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n。
则容易验证φ(x)确实为V n的范数。
这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n维复(或实)列向量空间的范数之间的关系。
这也是为我们只讨论n维复(或实)列向量空间的范数的理由.范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。
范数与函数性质1. 范数是凸函数，即|| (1-λ)x+λy||≤(1-λ)||x||+λ||y||其中0≤λ≤ 1。
向量的范数类似于向量长度。
性质2. (范数的乘法)若||⋅||为线性空间V上的向量范数，则k||⋅|| 仍然为向量范数, 其中k > 0.性质3. 设||⋅||comp为R m上的范数，且对x∈ (R+)m为单调增加的(即,若x,y∈(R+)m,且x i≤y i,那么||x||comp≤||y|| comp成立.),那么，对于给定的m个n维线性空间V上的范数||⋅||i,i=1,2,…,m,我们可以定义一个复合范数为||x||=||U(x)|| comp ,其中，U(x)=( ||x||1,||x||2, …,||x||m)T.证明：非负性和齐次性是显然的，仅需证明三角不等式。
第二章2-5初等矩阵和初等变换
化为阶梯形和简化阶梯形.
线性代数
解
3 2 2 1 1 0 1 2 1 r1 r 2 0 A 2 6 4 5 7 1 3 4 0 5
1 0 r3 ( 2 ) r1 r4+r1 0 0
线性代数
• 利用矩阵的初等变换，可以把矩阵化为 简单的阶梯形矩阵 • 阶梯形矩阵对求逆、求秩、求解线性方 程组都非常有用
线性代数
定义2.5.3 如果矩阵A满足下列条件： (1) 若有零行，则零行全在矩阵A的下方； (2) A 的各非零行的第一个非零元的列序 数小于下一行中第一个非零元的列序数； 则称 A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵. 例如
Er PAQ O
Er 这里 O
O O
（2.5.4）
O 是矩阵A的标准形. O
线性代数
推论3 若A为n阶可逆矩阵，则A≌ E 若不然，它的标准形矩阵主对角线上至少 含有一个零元素，对（2.5.4）两端取行列 式，
|PAQ|=0
则称 A为简化阶梯形矩阵. 例如
1 2 0 0 2 C 0 0 1 0 1 0 0 0 1 3
线性代数
为简化阶梯形矩阵；
定理2.5.1 任何非零矩阵都可以通过初等行
变换化为阶梯形矩阵.
线性代数
证 设矩阵
a11 a 21 A a m1 a12 a 22 am2 a1n a2n a mn
设矩阵 A=(aij)m×n，用m阶初等矩阵E(i,j(k)) 左乘以A ，则
a11 a ka ji i1 E (i , j (k )) A a j1 am1 a12 ai 2 ka j 2 a j2 am 2 ain ka jn a jn amn a1n
第二章§4 分块矩阵
4.1 分块矩阵的概念
例如
a1 1 A a1 = 2 a 31 得到4个子块 个子块： 得到 个子块：
1 0 A = 1 − 1
A B 、 分块成
1 −1 B= 1 −1 0 1 0 2 0 1 , 0 4 1 1 − 2 0
0 0 0 1 0 0 , 2 1 0 1 0 1
E 0 2 = A E 1 2
4.2 分块矩阵的运算
4. 分块矩阵的转置
分块后， 设对矩阵 A 分块后，得分块矩阵为
A1 A2 L At 1 1 1 A A L A 2 2 2 t A 21 = , M M M A A L A s2 s t s1
则
T T T A1 A1 L A 2 s 1 1 T T T T A2 A2 L A2 s . A = 1 2 M M M T T T 1 2 s t At At L A
4.2 分块矩阵的运算
分块对角阵的性质(教材 页 分块对角阵的性质 教材58页) 教材
分块对角阵的行列式
A 1 A 2 A = O A s
A= A A L s . A 1 2
分块对角阵的逆： 当 分块对角阵的逆： A≠0 即 A ≠0时，有 ， i
− A1 1 1 − A 1 2 − A = . O 1 − A s
工程数学第二章 矩阵
（2）矩阵的行数与列数可以不相等；行列式的行数与列数必定相等．
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a1
只有一行的矩阵 (a1, a2 ,L
, an ) 称为行矩阵；只有一列的矩阵
a2
称为列矩阵．
M
an
若矩阵 A 与 B 的行数相等，列数也相同，则称 A 与 B 为同型矩阵．
化为对此数表的研究．
一般地，对于不同的实际问题有不同的矩形数表，数学上把这种具有一定排列规则
的矩形数表称为矩阵.
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一、矩阵的概念
定义 1 一般地，由 m n 个元素 aij (i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n) 有序地排成 m 行 n
列的数表
a11 a12 L a1n
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2.矩阵的加减运算
定义 4 两个 m n 矩阵 A (aij )mn , B (bij )mn ，对应元素相加（或相减）所得到的
m n 矩阵 C ,称为矩阵 A 与矩阵 B 的和（或差），记作 A B ,即
a11 b11 a12 b12 L
C
A
B
a21
b21 M
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结束
例2 设
A
1 3
2 4
，
B
0 1
2 1
，
试求：（1） A 与 B 是否相等？（2） A , B .
解（1）显然 A B .
（2） A 1
2 2 ，| B | 0
2 2 .
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第二章矩阵第二章矩阵一、矩阵的概念与运算1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ?=)(矩阵的行数和列数不一定相等。
行数和列数相等的矩阵称为方阵。
A B =：矩阵A 和矩阵B 必须具有相同的行数和相同的列数，且对应元素均相等。
2．矩阵的加法（1）定义：设(),()ij mn ij mn A a B b ==，则m n ij ij b a B A C )(+=+= 只有两个矩阵具有相同的行数和列数时，才能进行矩阵的加法运算。
（2）运算规律① A+B=B+A ；②（A+B ）+C=A+（B+C ）③ A+O=A④ A+（-A ）=0，–A 是A 的负矩阵3．数与矩阵的乘法（1）定义：设,)(m n ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(=矩阵的数乘kA 表示对矩阵A 中的每一个元素都乘以k 。
注意：是每一个元素，而不是某一行或某一列。
（2）运算规律① ()k A B kA kB +=+ ② ()k l A kA lA +=+ ③ ()()kl A k lA = 4．矩阵的乘法（1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则,)c (m p ij C AB ==其中∑==nk kj ik ij b a c 1矩阵的乘法AB 必须要求A 的列数等于B 的行数。
（2）运算规律① )()(BC A C AB = ② AC AB C B A +=+)( ③ CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂① 定义：A n ij a )(=，则 k kA A A =② 运算规律：n m n m A A A +=?；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与数的乘法运算不同之处① BA AB ≠，k k k B A AB ?≠)(例如：0A 0 0??= ? 1??，0B 0 1??= ? 0??，00AB BA 0 00 1=≠= ? ? 0 0② AB O =不能推出A O =或B O =0AB 0 0??= ? 0??，但00A 0 00 0=≠ ? ? 1 0，00B 0 10 0=≠ ? ? 0 0 ③ C A AB =不能推出C =B只有当A 为非奇异矩阵，即||0A ≠时，若0AB =，则必有0B =。
若AB AC =，则必有B C =。
5．矩阵的转置（1）定义：设矩阵A=mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A 的转置，记为()T ji nm A a =，（2）运算规律① ;)(A A T T = ② T T T B A B A +=+)(；③ ();T T kA kA =④ T T T A B AB =)(（3）对称矩阵与反对称矩阵若T A A =，则称A 为对称阵；A A T -=，则称A 为反对称阵。
【例1】已知BC A =，其中121B ?? ?= ? ???，(2,1,2)C =-，求n A .【例2】设=100410321A ，求n A .【例3】设=3100930000200012A ，求nA .【例4】设--=100001010A ，AP P B 1-=，其中p 为三阶逆阵，求220042A B -.二、可逆矩阵1. 定义：设A 为n 阶方阵，若存在一个n 阶方阵B ，使得AB=BA=E ，则称A为可逆阵，B 为A 的逆矩阵，记作1-=A B 。
2. A 可逆的条件：A 可逆0≠?A 3. 运算规律① (A -1)-1 =A ；② 111)(--=A kkA ，0k ≠；③ 111)(---=A B AB ；④ T T A A )()(11--=注：1()A B -+无法则4. 特殊矩阵的行列式及逆矩阵① 单位阵E ：1E =；1E E -=② 数量矩阵kE ：n kE k =；当E k kE k 1)(,01=≠-时③ 对角阵：12n λλλ?? ?Λ= ? ?，12nλλλΛ= 若021≠n λλλ ，则=Λ-n λλλ111211④ 上（下）三角阵设1122*nn a a A a ?? ?= ? ??，1122nnA a a a =若0≠A ，则1-A 仍为上（下）三角阵5. 分块矩阵的逆矩阵设=s A A A A21，则s A A A A 21=；若每个A i 可逆，则A 可逆，且 ??=----112111s A A A A特殊：=21A A A ，若A 1, A 2可逆，则=---12111A A A ???? ??=21AA A ，若A 1, A 2可逆，则=---11121A A A 【例5】设--=121011322A ，求1-A .【例6】已知A ，B 为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 为三阶单位阵. （1）证明矩阵2A E -可逆；（2）若-=200021021B ，求矩阵A .【例7】设A 是可逆对称阵，且()E B A =+2，化简()()TA BE BA E 111----+.1. 定义：T n ij A A )(*=，其中ij A 为ij a 的代数余子式2. 性质：i ）E A A A AA ==**；ii ）1*-=n AA ；iii ）A AA A 1)()(*11*==--； iv ）A AA n 2**)(-=3. 用伴随矩阵求逆矩阵公式：*11A AA =- 4. 二阶矩阵的伴随矩阵：主对角线对调，副对角线变号=d c b a A ，则--=*a cb d A【例8】=B O O A C ，则=*C【例9】设=004131********0010A ，求A 中所有元素的代数余子式之和∑∑==4141i j ijA.【例10】已知A ，B 均为3阶方阵，矩阵Z 满足E AZB BZA BZB AZA +-=-，其中E 为三阶单位阵，则Z= （A ）()122--B A （B ）()()11--+-B A B A （C ）()()11---+B A B A（D ）条件不满足，不能确定【例11】设矩阵A 的伴随矩阵-=8030010100100001*A ，且E BA ABA 311+=--，其中E 为4阶单位阵，求矩阵B .五、初等变换与初等矩阵 1．矩阵的初等变换（1）定义：以下三种变换称为矩阵的初等变换① 交换两行（列）；② 某行（列）乘一个不为零的常数k ；③ 某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去.2．初等矩阵（1）定义：将n 阶单位阵E 进行一次初等变换得到的矩阵称为初等阵；交换,i j 两行（列），记为(,)E i j ；第i 行（列）乘以不为零的常数k ，记为(())E i k ；第j 行的k 倍加到第i 行上去，记为(())E j k i （2）初等阵性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同类型的初等阵，即)1())](([)()]([11??==--k i E k i E ij E ij E] )([)] )(([1i k j E i k j E -=-（3）方阵A 可逆与初等阵的关系若方阵A 可逆，则存在有限个初等阵t P P P ,,,21 ，使t P P P A 21= （4）初等阵的行列式1) )((,))((,1)(==-=i k j E k k i E ij E（5）初等阵的作用对矩阵A 进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A ，且A A i k j E A k A k i E A A ij E ==-=) )((,))((,)(注：()E ij A 所得矩阵是A 交换了交换,i j 两行3．矩阵的等价（1）定义：若矩阵A 经过有限次初等变换变到矩阵B ，则称A 与B 等价（2）A 与B 等价的三种等价说法① A 经过一系列初等变换变到B② 存在一些初等阵t s F F E E ,,,,,11 ，使得B F AF E E t s = 11 ③ 存在可逆阵P ，Q ，使得P AQ=B【例12】（06年）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记=100010011P ，则（A ）AP P C 1-= （B ）1-=PAP C （C ）AP P C T =（D ）T PAP C =【例13】计算 20062007100001010987654321100001010【例14】设A 为n 阶可逆阵，交换A 的第i 行与第j 行后得到B 。
（1）证明B 可逆；（2）求1AB -真题分析（05年）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B - (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -（07年）设矩阵=0000100001000010A , 则3A 的秩为___________.（08年）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（） ()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（09年）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ??的伴随矩阵为()A **32O B A O ??.()B **23O B A O ??. ()C **32O A BO ??.()D **23O A BO ??.（10年）设A 为m n ?型矩阵，B 为n m ?型矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB=E ，则（）A 、秩r(A)=m, 秩r(B)=mB 、秩r(A)=m, 秩r(B)=nC 、秩r(A)=n, 秩r(B)=mD 、秩r(A)=n, 秩r(B)=n。