数字信号处理课程中利用DFT分析模拟信号频谱的几个问题
利用DFT进行频谱分析
利用DFT进行频谱分析 内容与要求 利用DFT对多种信号（例如由多个正弦信号组成的信号）进行频谱分析，并研究不同数据长度、补零、加窗等对频率分辨率的影响。
方法原理 1、引入 当数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而计算机输出所得的频谱值自然也是离散的。因此，要使信号是时间的连续函数、频谱是频率的连续函数或者信号及频谱二者都是变量的连续函数这三种形式的信号能用数字计算机进行计算，必须针对每一种形式的具体情况，或者在时域与频域上取样，或者在时域上取样，或者在频域上取样。信号在时域上取样导致频率的周期函数，在频域上取样导致时域的周期函数，最后都将使原时间函数和频率函数二者都成为周期离散的函数。我们采用DFT（离散傅里叶变换）来对连续时间信号的傅里叶变换进行逼近，进而分析连续时间信号的频谱。
离散傅里叶变换是有限长序列的傅里叶变换，它相当于把信号的傅里叶变换进行等频率间隔采样，并且有限长序列的离散傅里叶变换和周期序列的离散傅里叶级数本质是一样的。
2、推导 离散傅里叶级数定义为
将上式两端乘以 并对n在0~N-1求和可得 因为 所以 这样 用k代替m得 令 ，则DFS
IDFS 其中 都是周期为N的周期序列，DFS[·]表示离散傅里叶级数正变换，IDFS[·]表示离散傅里叶级数反变换。习惯上，对于长为N的周期序列，把0
n N-1区间称为主值区，把 称为 的主值序列，同样也称 为 的主值序列。 由于 ，对于周期序列 仅有N个独立样值，对于任何一个周期进行研究就可以得到它的全部信息。在主值区研究
与 是等价的，因此在主值区计算DFS和DFT是相等的，所以DFT计算公式形式与DFS基本相同。
其关系为 ，
所以离散傅里叶正变换 0 k N-1
3、定义 DFT：设有限长序列x (n) 长为N（0 n N-1），其离散傅里叶变换是一个长为N的频率有限长序列（0 k N-1），其正变换为
DFT在信号频谱分析中的应用
DFT在信号频谱分析中的应用目录Ⅰ.设计题目 (1)Ⅱ.设计目的 (1)Ⅲ.设计原理 (1)Ⅳ.实现方法 (1)Ⅴ.设计内容及结果 (5)Ⅵ.改进及建议 (11)Ⅶ.思考题及解答 (14)Ⅷ.设计体会及心得 (15)Ⅸ.参考文献 (16)Ⅰ.设计题目DFT 在信号频谱分析中的应用Ⅱ.设计目的掌握离散傅里叶变换的有关性质，利用Matlab 实现DFT 变换。
了解DFT 应用，用DFT 对序列进行频谱分析，了解DFT 算法存在的问题及改进方法。
学习并掌握FFT 的应用。
Ⅲ.设计原理所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换。
连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。
工程实际中，经常遇到的连续信号Xa(t),其频谱函数Xa(jW)也是连续函数。
数字计算机难于处理，因而我们采用DFT 来对连续时间信号的傅里叶变换进行逼近，进而分析连续时间信号的频谱。
Ⅳ.实现方法离散傅里叶变换是有限长序列的傅里叶变换，它相当于把信号的傅里叶变换进行等频率间隔采样，并且有限长序列的离散傅里叶变换和周期序列的离散傅里叶级数本质是一样的。
快速傅里叶变换（FFT ）并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法，并且主要是基于这样的思路而发展起来的：（1）把长度为N 的序列的DFT 逐次分解成长度较短的序列的DFT 来计算。
（2）利用WN(nk)的周期性和对称性，在DFT 运算中适当的分类，以提高运算速度。
（对称性nkNnk NW W N-=+2，12-=NN W ;周期性nkN nk N nrN N k rN n NW W W W ---==)(，r 为任意整数,1=nrNN W ）离散傅里叶变换的推导：离散傅里叶级数定义为nk j N k p p ek x Nn x N21)(1)(π∑-==（1-1） 将上式两端乘以nm j Neπ2-并对n在0~N-1求和可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑∑∑∑∑-=---=-=-=---=-10)(110101)(1N2N2N2)()(1)(N n m k n j N N k p N n N k m k n j pN n nm j pe k X ek XNen xπππ 因为{m k 1mk 0)(N )(1)(N 2N2N2-1-1N 11=≠---=-==∑m k j m k j N n m k n je eeNπππ所以∑∑-=-=--=110)()()(N2N k p N n nm j p m k k X en x δπ 这样∑-=-=10N2)()(N n nm j p p en x m X π用k 代替m 得∑-=-=1N2)()(N n nk j p P en x k X π（1-2）令N2πj N eW -=则（1-2）成为DFS []∑-===10)()()(N n nkN p p p W n x k X n x （1-3）（1-1）成为IDFS []∑-=-==1)(1)()(N n nkN pp p W k XNn x k X （1-4）式（1-3）、（1-4）式构成周期序列傅里叶级数变换关系。
用DFT(FFT)对连续信号进行频谱分析
电子信息工程系实验报告课程名称：数字信号处理Array实验项目名称：用DFT(FFT)对连续信号进行频谱分析实验时间：班级：通信姓名： xxp 学号：一、实验目的:1．掌握用DFT（FFT）对模拟信号进行谱分析的方法，理解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT。
2．熟悉应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法。
二、实验原理：1．用DFT（FFT）对连续信号进行频谱分析用DFT（FFT）对模拟信号做谱分析是一种近似的谱分析。
首先一般的模拟信号(周期信号除外)的频谱是连续谱，而用FFT做谱分析得到的是数字谱，因此应该取FFT的点数多一些，用它的包络作为模拟信号的近似谱。
另外，如果模拟信号不是严格的带限信号，会因为频谱混叠现象引起谱分析的误差，这种情况下可以预先将模拟信号进行预滤，或者尽量将采样频率取高一些。
最后要注意一般的模拟信号是无限长的，分析时要截断，截断的长度与对模拟信号进行频谱分析的分辨率有关。
如果要进行谱分析的模拟信号是周期信号，最好选择观测时间是信号周期的整数倍，如果不知道信号的周期，要尽量选择观测时间长一些，以减少截断效应的影响。
在运用DFT（FFT）对模拟信号进行谱分析的过程中主要可能产生以下三种误差：(1) 混叠现象对模拟信号进行谱分析时首先要对其采样，当采样速率不满足Nyquist定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原模拟信号的频谱。
避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解，在一般情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。
(2) 截断效应实际中我们往往用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积，所得的频谱是原序列频谱的扩展。
dft习题及答案
dft习题及答案DFT习题及答案离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是数字信号处理中的重要概念，它可以将时域信号转换为频域信号，从而帮助我们分析信号的频谱特性。
在学习DFT的过程中，练习习题是非常重要的，下面我们就来看一些常见的DFT习题及答案。
1. 问题：计算长度为N的序列x[n]的DFT，其中x[n] = {1, 2, 3, 4}，N=4。
答案：首先，根据DFT的定义公式可以得到：X[k] = Σn=0到N-1 x[n] * e^(-j2πnk/N)将x[n]代入公式中，可以得到：X[0] = 1 + 2 + 3 + 4 = 10X[1] = 1 + 2e^(-jπ/2) + 3e^(-jπ) + 4e^(-j3π/2) = 1 - 2j - 3 - 4j = -2 - 6jX[2] = 1 + 2e^(-jπ) + 3e^(-j2π) + 4e^(-j3π) = 1 - 2 - 3 + 4 = 0X[3] = 1 + 2e^(-j3π/2) + 3e^(-j3π) + 4e^(-j9π/2) = 1 + 2j - 3 - 4j = -2 + 2j因此，序列x[n]的DFT为X[k] = {10, -2-6j, 0, -2+2j}。
2. 问题：给定一个长度为N的序列x[n]，求其幅度谱和相位谱。
答案：幅度谱和相位谱可以通过DFT的结果来计算。
幅度谱的计算公式为|X[k]| = sqrt(Re(X[k])^2 + Im(X[k])^2)，相位谱的计算公式为∠X[k] =arctan(Im(X[k])/Re(X[k])。
通过计算DFT得到的结果X[k]，可以分别计算出每个频率点的幅度和相位，从而得到幅度谱和相位谱。
3. 问题：给定一个长度为N的序列x[n]，求其逆DFT。
答案：逆DFT的计算公式为x[n] = (1/N) * Σk=0到N-1 X[k] * e^(j2πnk/N)。
DFT分析信号频谱
2500
三、利用DFT分析连续非周期信号的频谱
x (t )
抽样 离散化
x[k ]
周期化
~ x[ k ]
DFT实现
~[ m ] X
A T
X ( j)
A
X (e )
A T
jw
m
m
2p 2p
w
N
m
假设连续信号持续时间有限，频带有限
讨论：
（1） x (t )无限长，其频带有限
加窗
DFT
x (t )
200 0
0
100
200
300
k
400
500
600
0
0
500
1000
k
1500
2000
2500
时域波形
10
x(n)
继续修改程序， 将时域信号取为 2048点，作2048 点DFT。
0
-10
0
500
1000
n 幅频特性
1500
2000
2500
1000
|X(k)|
500
0
0
500
1000
k
1500
2000
图1 连续非周期信号及其频谱
2. 连续时间周期信号 xT (t )
1 jn0t xT (t ) X (n0 ) xT (t )e dt T T
x (t ) T
X(nΩ0)
-T
0
T
t
0
Ω
图2 连续周期信号及其频谱
3.离散时间非周期信号 x[k ]
x[k ] X (e )
x(t)
X(jΩ)
实验三、利用DFT分析模拟信号频谱
——电子信息工程
2、对连续时间非周期信号的DFT逼近
X ( j) x(t)e jtdt
x(t) 1 X je jtd
2
1）将 x(t)在 t 轴上等间隔（T）分段
t nT dt T dt T
n
X ( j) x(t)e jtdt x(nT )e jnT T n
(
jk0 )
1 N
DFS[ x(n)]
x(n) N IDFS[X ( jk0)]
——电子信息工程
T=1/16; n=-16:16; xn=Heaviside (n*T+1)Heaviside(n*T -1) Xk=fft(xn,256 ); Xk=fftshift(T* abs(Xk)); w=1/T/256*(128:127); plot(w,Xk)
改善方法： 增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密
——电子信息工程
频率分辨率
F0 1/T0
提高频率分辨率方法： 增加信号实际记录长度 补零并不能提高频率分辨率
——电子信息工程
实验三 利用DFT分析模拟信号频谱
——电子信息工程
DFT公式：
X(k)
N 1
x(n)W
kn N
N 1
j 2 nk
x(n)e N
n0
n0
——电子信息工程
1、利用DFT对非周期连续时间信号傅里叶变换对的逼近
利用DFT对连续时间傅里叶变换逼近的全过程：
抽样
xa (t) t nT
N
0T 2 / N
T0 NT
——电子信息工程
2）频域截断：长度正好等于一个周期
N 1
x(nT ) X ( jk0 )e jk0nT
实验一 利用DFT分析信号频谱
实验一 利用DFT 分析信号频谱一、实验目的1.加深对DFT 原理的理解。
2.应用DFT 分析信号的频谱。
3.深刻理解利用DFT 分析信号频谱的原理，分析实现过程中出现的现象及解决方法。
二、实验设备与环境计算机、MATLAB 软件环境。
三、实验基础理论 1.DFT 与DTFT 的关系DFT 实际上是DTFT 在单位圆上以k Njezπ2=的抽样，数学公式表示为：∑-=-===102)(|)()(2N n k Njez en x z X k X k Njππ ,1,..1,0-=N k（2—1） 2、利用DFT 求DTFT方法一：利用下列公式：)2()()(1∑-==-=N k k j Nkk X e X πωφω（2—2）其中21)2/sin()2/sin()(--=N j eN N ωωωωφ为内插函数方法二：实际在MATLAB 计算中，上述插值运算不见得是最好的办法。
由于DFT 是DTFT 的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为Nπ2,所以如果我们增加数据的长度N ，使得到的 DFT 谱线就更加精细，其包络就越接近DTFT 的结果，这样就可以利用DFT 计算DTFT 。
如果没有更多的数据，可以通过补零来增加数据长度。
3、利用DFT 分析连续时间函数利用DFT 分析连续时间函数是，主要有两个处理：①抽样，②截断 对连续时间信号)(t x a 一时间T 进行抽样，截取长度为M ，则 nT j M n a tj a a e nT x T dt et x j X Ω--=+∞∞-Ω-∑⎰==Ω)()()(10 （2—3）再进行频域抽样可得 )()(|)(122k TX enT x T j X M M n n Nk ja NTk a ==Ω∑-=-=Ωππ （2—4）因此，利用DFT 分析连续时间信号的步骤如下： （1）、确定时间间隔，抽样得到离散时间序列)(n x .（2）、选择合适的窗函数和合适长度M ，得到M 点离散序列)()()(n w n x n x M =. （3）、确定频域采样点数N ，要求N ≥M 。
利用FFT对信号进行频谱分析
∑-=--==101,....,0,)(1)(N k nk N N n W k X N n x (3.2) 离散傅立叶反变换与正变换的区别在于N W 变为1-N W ，并多了一个N 1的运算。
因为N W 和1-N W 对于推导按时间抽取的快速傅立叶变换算法并无实质性区别，因此可将FFT 和快速傅立叶反变换（IFFT ）算法合并在同一个程序中。
2．利用FFT 进行频谱分析若信号本身是有限长的序列，计算序列的频谱就是直接对序列进行FFT 运算求得)(k X ，)(k X 就代表了序列在[]π2,0之间的频谱值。
幅度谱 )()()(22k X k X k X I R +=相位谱 )()(arctan )(k X k X k R I =ϕ 若信号是模拟信号，用FFT 进行谱分析时，首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后就可按照前面的方法用FFT 来对连续信号进行谱分析。
按采样定理，采样频率s f 应大于2倍信号的最高频率，为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混叠低通滤波器。
用FFT 对模拟信号进行谱分析的方框图如下所示。
3.在运用DFT 进行频谱分析的过程中可能产生三种误差：(1)混叠序列的频谱是被采样信号频谱的周期延拓，当采样速率不满足Nyquist 定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。
避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解。
在一般情况下，为了保证不出现频谱混叠，在采样前，先进行抗混叠滤波。
(2)泄漏实际中我们往往用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的DFT 来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积，所得的频谱是原序列频谱的扩展。
抗混叠低通滤波器 采样T=1/f s N 点FFT泄漏不能与混叠完全分开，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成混叠。
数字信号处理实验五 用FFT做 频谱分析
波形如下:
波形如下:
(2) 用FFT计算下面连续信号的频谱，并观察选择不 同的采样周期Ts和序列长度N值对频谱特性的影响: 程序如下:
clear;close all fs=4;T=1/fs; Tp=4;N=Tp*fs; N1=[N,4*N,8*N]; T1=[T,2*T,4*T]; for m=1:3
n=1:N1(m); x1=exp(-0.01*T); x2=sin(2*n*T)+sin(2.1*n*T)+sin(2.2*n*T); x=x1*x2; xk=fft(x,51) fk=[0:50]/51/T subplot(3,2,2*m-1); stem(fk,abs(xk)/max(abs(xk)),'k.'); xlabel(T1(m)); ylabel(N1(m)); if m==1
实验内容： (1)已知有限长序列x(n)=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0],要求: 用FFT求该序列的DFT、IDFT的图形。 程序如下:
xn=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]; n=length(xn); k=0:n-1; subplot(2,2,1); stem(k,xn,'k.'); title('x(n)'); Xk=fft(xn,n); subplot(2,1,2); stem(k,abs(Xk)); title('Xk=DFT(xn)'); xn1=ifft(Xk,n); subplot(2,2,2);
title('序列长度') end end for m=1:3 n=1:14; x1=exp(-0.01*T1(m)); x2=sin(2*n*T1(m))+sin(2.1*n*T1(m))+sin(2.2*n*T1(m)); x=x1*x2; xk=fft(x,51) fk=[0:50]/51/T subplot(3,2,2*m); stem(fk,abs(xk)/max(abs(xk)),'k.'); xlabel(T1(m)); ylabel(N1(m)); if m==1
实验2 利用DFT计算模拟信号和离散信号
实验2利用DFT 计算模拟信号和离散信号实验目的：1. 通过应用DFT 分析模拟信号的频谱，加深对DFT 的理解；2. 通过应用DFT 进一步加深对离散信号DTFT 和DFT 的概念及其相互关系的理解。
一、利用DFT 计算连续周期信号的频谱 1. 实验原理连续周期信号在满足一定条件下，可以展开为傅里叶级数：00()()jk tk x t X jk e∞Ω=-∞=Ω∑傅里叶级数的系数0()X jk Ω按下式求得：000/20/21()()T jk tT X jk x t edtT -Ω-Ω=⎰式中0T 是周期信号的周期，002T πΩ=是基本角频率（通称基频），0k Ω为k 次谐波频率。
0()X jk Ω是离散频率的复函数，称为频谱函数，可表示为：0arg[()]00()()j X jk X jk X jk e ΩΩ=Ω0()X jk Ω 反映了组成周期信号的不同频率谐波分量的幅度随频率变化的特性，即幅度谱；0arg[()]X jk Ω反映了不同谐波分量的初相角随频率变化的特性，即相位谱。
连续周期信号傅里叶变换的示意图如下图所示。
可以看出，时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数，而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数相对应。
连续周期信号的频谱求解步骤：① 根据抽样定理，确定时域抽样间隔T;抽样频率:s 2m f f ≥ 抽样间隔:s 112mT f f =≤式中 为信号的最高频率 ② 计算一个周期内的抽样点数N;式中 为频率分辨率 ③ 使用fft 命令作N 点FFT 计算，求得()X k ;④ 最后求得连续周期信号的频谱为2. 实验内容（1） 已知一连续信号为其中12100Hz,120Hz f f ==。
试利用DFT 分析其频谱。
1()()X jk X k NΩ=2s m c cff N f f ≥=∆∆m f c f ∆12()cos(2)cos(2)x t f t f t ππ=+解：信号()x t 的最高频率2120Hz m f f ==，抽样频率2240Hz s m f f ≥=，取抽样频率600Hz s f =；最低的频率分辨率为2120Hz c f f f ∆=-=，最少的信号样点数为6003020s c f N f ≥==∆。
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数字信号处理课程中利用DFT分析模拟信号频谱的几个问题
作者：刘会衡王正强宋立新
来源：《计算机时代》2021年第06期
摘要： DFT是数字信号处理课程中一种最重要的、应用最广泛的变换。
利用DFT可以分析模拟信号的频谱，但谱分析过程中存在频谱混叠、栅栏效应和截断效应等问题。
在改善这些问题的同时，需要注意高密度频谱和高分辨率频谱的区别。
通过Matlab仿真可以直观明了地观察到这些问题，能有效提高教学效果。
关键词： DFT; 谱分析; 数字信号处理; 模拟信号
中图分类号：TN911.72 文献标识码：A 文章编号：1006-8228（2020）06-13-04
Abstract： The DFT （Discrete Fourier Transform） is one of the most important and widely used transformations in the course of digital signal processing. DFT can be used to analyze the spectrum of analog signal， but there are some problems in the process of spectrum analysis， such as spectrum aliasing， fence effect and truncation effect. When improving these problems， it is necessary to pay attention to the difference between high-density spectrum and high-resolution spectrum. Matlab simulation can directly and clearly observe these problems， which can effectively improve the teaching effect.
Key words： DFT; spectrum analysis; digital signal processing; analog signal
0 引言
数字信号处理课程是电子信息类、自动化、机械工程等专业的一门重要专业基础课程[1]。
主要内容包括离散时间信号和系统的基本概念以及时域分析方法、离散时间信号的FT和ZT变换、离散时间信号的DFT和FFT变换、系统的网络结构、FIR和IIR滤波器的设计等内容。
数字信号处理课程是本科阶段专业领域一门非常重要的课程，理论性比较强，同时也是一门实践性和应用性都很强的课程[2]。
课程的公式多，理论概念复杂，数学推导抽象，学生不容易理解和掌握[2-3]。
在实际教学过程中，可以借助Matlab等仿真软件，以直观形象的方式来展现复杂的理论及其应用情况[4-5]。
DFT变换是数字信号实际应用中最常用的一种方法和手段，例如，利用DFT分析模拟信号的频谱，课程也对这一应用做了讲解，但在应用过程中，存在各种分析误差以及频谱分辨率等问题。
1 DFT变换
设x（n）是一个长度为M的有限长序列，则x（n）的N点DFT变换：
这里，N为DFT变换的长度，N≥M。
DFT变换在时域是离散的、非周期的，在频域也是离散的、非周期的，所以适合计算机进行处理。
2 利用DFT进行谱分析
设x（t）为长Tp的有限长模拟信号，频谱X（jΩ）的最高频率为fc，现要求利用DFT对x（t）进行谱分析。
DFT只能分析数字信号，所以首先需要对模拟信号进行采样得到离散信号，然后进行DFT变换。
假设采样频率为fs，采样间隔为Ts，采用后的信号为x（n）。
从信号与系统知识可知：时域抽样，频域周期延拓。
抽样后，信号x（n）的FT变换为：
从而实现了模拟信号的DFT谱分析。
3 DFT谱分析的几个问题
以单余弦信号为例，利用DFT进行谱分析。
⑴频谱混叠
要进行DFT谱分析，首先要把模拟信号采樣得到离散信号。
x（t）的最高频率为
1000Hz，根据采样定理Hz。
如果采样频率fs不满足采样定理，则将会在fs/2附近发生频率混叠现象，此时用DFT进行谱分析，必然在fs/2附近产生较大误差。
工程中一般取fs=（3-5）fc。
确定采样频率fs前，一般需对信号进行预滤波，以滤除高于折叠频率的频率成分。
在本信号分析中，取采样频率fs=4fc=4000Hz，则序列为：
⑵栅栏效应
由上述分析可知，对于有限长的带限信号，在满足时域采样定理时，可用利用DFT变换分析模拟信号的频谱，即可由X（k）恢复出X（jΩ）或x（t）。
但由于X（jΩ）是连续的频谱，而X（k）是离散的频谱，所以由X（k）无法看到X（jΩ）的全部频谱，而只能看到N个离散采样点处的频谱，就像隔着栅栏看外面的风景，这就是DFT谱分析产生的栅栏效应。
要改善栅栏效应，可在数据末尾添加一些0值实现。
⑶截断效应
实际谱分析中，模拟信号的x（t）可能是无限长的信号，计算机无法进行处理，需要进行截断，例如利用矩形窗进行截断，截断长度为Tp（数据长度为N）：
对式⑼求FT变换得到有限长序列y（n）的频谱，如图2所示。
余弦信号的频谱是在±1000Hz处的两根谱线，而图2所示截断信号y（n）的频谱显然不同，这是因为对信号做了截断处理，产生了误差。
截断效应的第一个表现是频谱泄露，x（n）原来的频谱是在±1000Hz处的两根谱线，而截断后信号的频谱向±1000Hz两边进行了扩展，即频谱从±1000Hz处向外泄露了。
截断效应的第二个表现是谱间干扰，从图2可以看出±1000Hz 处的两根谱线不断向两边扩展，引起了频谱重叠，相互间发生了干扰，其原因是矩形窗的旁瓣引起的。
要改善截断效应，可以采用缓慢变换的窗函数，如海宁窗、布莱克曼窗等，并截取更长的数据长度，以获得更多的数据信息。
⑷频谱密度与频谱分辨率
利用DFT对模拟信号进行谱分析，会产生栅栏效应。
要改善栅栏效应，也即增加频谱密度，可以通过在数据末尾添加0值来实现。
仍以信号x（t）/x（n）为例，若截取信号长度
N=10，截取后的信号y1（n）的序列图如图3所示，图中虚线表示连续的余弦信号x（t）。
其M=10点的DFT频谱如图4所示。
图中虚线为y1（n）的FT变换。
从图中可以看出，DFT变换就是在内对序列的连续频谱进行M点的等间隔抽样。
但是，由于只截取了10点的数据长度，频谱密度不高，要得到高密度的频谱，可以在数据末尾添加多个0来实现。
这里在x（n）的后面添加90个0，即：
其M=100点的DFT频谱如图6所示。
对比图4和图6可以看出，在数据末尾添加0值，可以得到高密度的频谱，但频谱分辨率并没有改善，仍然无法观察到±1000Hz处的两根谱线。
其M=100点的DFT频谱如图8所示。
从图8可以看出，增加了截取的数据长度后，包含了更多的数据信息，频谱的分辨率提高了，从而可以精确得到模拟信号x（t）的频谱。
4 结束语
DFT变换中，信号是有限长的，其频谱也是带限的，非常适合计算机进行处理，所以DFT是数字信号处理中一种应用性很强的重要变换。
利用DFT变换可以对模拟信号进行谱分析，但会产生频谱混叠、栅栏效应和截断效应等问题。
要避免频谱混叠，需对模拟信号进行预滤波处理以获取信号最高频率，同时满足采样定理。
要改善栅栏效应，得到高密度频谱，可通
过在数据末尾添加0值来实现，由于并未改变数据的信息量，所以该方式无法提高频谱分辨率。
要减小截断效应，获得高分辨率频谱，除了采用缓慢变换的窗函数外，最有效的方法是截取更长的数据，以保留更多的有用信息。
在实际教学过程中，通过Matlab仿真，可以直观地观察到信号频谱的变化及其特征，将复杂、难懂的概念和应用，以简单直观的方式呈现给学生，能有效的提高学习效果。
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