FFT造成的频谱混叠，栅栏效应，频谱泄露，谱间干扰
改进的FFT在电能质量监测系统中的应用
９４收稿日期:2010-12-25作者简介:郭桂香(1963-),讲师,主要研究方向为机械工程及其自动化。
改进的FFT 在电能质量监测系统中的应用郭桂香(江西理工大学应用科学学院机电工程系 江西赣州，341000)摘 要：随着社会的发展，电能质量问题越来越受到关注。
可以及时、详细、精确地掌握电力系统电网的电能质量状况，正确、合理地评估电网的电能质量水平显得尤为重要。
本文采用改进的ＦＦＴ 对电力系统谐波进行分析，同时采取加窗、插值修正算法等配套措施，可以防止频谱泄漏，实时精确地计算谐波频率相位和幅值。
仿真结果验证此方法的可行性。
关键词：快速傅里叶变换；电能质量；谐波分析；频谱Abstract: With the development of the society , the problem of power quality has been become more and more concerned. Can be timely and correctly grasp the grid power quality power system status, and correctly and reasonably assess the level of the grid power quality is particularly important. In this paper, the improved FFT was applied in the analysis of power system,while taking additional windows interpolated and other supporting measures to prevent spectral leakage, and it canaccurately calculate the phase and amplitude of harmonic frequencies in real-time. Simulation results show the feasibility of the method.Key words: FFT ; Power quality ; Analysis of harmonic ; Spectrum中图分类号：ＴＭ９３１ 文献标识码：Ｂ 文章编号：１００１－９２２７（２０１１）０２－００９４－０２０ 引 言电能质量的稳定性和安全性问题，需要通过其各项指标的显示来进行判断。
数字信号处理 实验报告 实验二 应用快速傅立叶变换对信号进行频谱分析
数字信号处理实验报告实验二应用快速傅立叶变换对信号进行频谱分析2011年12月7日一、实验目的1、通过本实验，进一步加深对DFT 算法原理合基本性质的理解，熟悉FFT 算法 原理和FFT 子程序的应用。
2、掌握应用FFT 对信号进行频谱分析的方法。
3、通过本实验进一步掌握频域采样定理。
4、了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT 。
二、实验原理与方法1、一个连续时间信号)(t x a 的频谱可以用它的傅立叶变换表示()()j t a a X j x t e dt +∞-Ω-∞Ω=⎰2、对信号进行理想采样，得到采样序列()()a x n x nT =3、以T 为采样周期，对)(n x 进行Z 变换()()n X z x n z +∞--∞=∑4、当ωj ez =时，得到序列傅立叶变换SFT()()j j n X e x n e ωω+∞--∞=∑5、ω为数字角频率sT F ωΩ=Ω=6、已经知道：12()[()]j a m X e X j T T Tωωπ+∞-∞=-∑ ( 2-6 )7、序列的频谱是原模拟信号的周期延拓，即可以通过分析序列的频谱，得到相应连续信号的频谱。
（信号为有限带宽，采样满足Nyquist 定理）8、无线长序列可以用有限长序列来逼近，对于有限长序列可以使用离散傅立叶变换（DFT ）。
可以很好的反映序列的频域特性，且易于快速算法在计算机上实现。
当序列()x n 的长度为N 时，它的离散傅里叶变换为：1()[()]()N knN n X k DFT x n x n W-===∑ 其中2jNN W eπ-=，它的反变换定义为：101()[()]()N knN k x n IDFT X k X k W N --===∑比较Z 变换式 ( 2-3 ) 和DFT 式 ( 2-7 )，令kN z W -=则1()()[()]|kNN nkN N Z W X z x n W DFT x n ---====∑ 因此有()()|kNz W X k X z -==k N W -是Z 平面单位圆上幅角为2kNπω=的点，也即是将单位圆N 等分后的第k 点。
fft 频谱 栅栏效应 修正
FFT（Fast Fourier Transform）是一种常用的频谱分析方法，它可以将时域信号转换为频域信号，并且在工程实践中具有广泛的应用。
然而，在进行频谱分析时，人们常常会遇到一些问题，比如频谱泄漏、频谱分辨率不足等。
其中，栅栏效应是频谱分析中的一种常见问题，它会对频谱分析结果造成一定的影响。
为了解决栅栏效应带来的问题，人们提出了一些修正方法，本文将对FFT频谱、栅栏效应以及其修正方法进行探讨。
一、FFT频谱分析1. 时域信号与频域信号时域信号是指随着时间变化而变化的信号，比如声音信号、振动信号等。
频域信号是指信号在频域上的表现，它可以展现出信号的频率成分、幅度大小等信息。
FFT可以将时域信号转换为频域信号，从而方便对信号的频率成分进行分析。
2. FFT算法原理FFT算法是一种快速计算离散傅里叶变换的算法，它可以高效地计算出时域信号的频率成分。
在工程实践中，FFT算法被广泛应用于信号分析、滤波器设计、通信系统等方面。
3. 频谱分辨率频谱分辨率是指能够区分两个不同频率成分的最小频率间隔，它决定了频谱分析的精度。
频谱分辨率越高，表示能够更准确地区分各个频率成分，对于频域信号的分析非常重要。
二、栅栏效应1. 栅栏效应的定义在进行频谱分析时，人们通常会使用FFT算法对时域信号进行频谱分析。
然而，当信号的周期与FFT窗口的周期不一致时，就会出现栅栏效应。
栅栏效应表现为频谱中出现虚假的频率成分，从而影响了频谱分析的准确性。
2. 栅栏效应的产生原因栅栏效应的产生主要是由于时域信号的周期与FFT窗口的周期不一致所导致的。
当时域信号的周期无法被FFT窗口整除时，就会出现栅栏效应。
这是因为FFT算法是将时域信号周期性延拓后再进行频谱分析的，如果时域信号的周期与FFT窗口的周期不一致，就会导致频谱分析结果出现偏差。
3. 栅栏效应的影响栅栏效应会使频谱分析结果出现虚假的频率成分，从而影响对信号频率成分的准确分析。
FFT的Matlab仿真分析
对信号作FFT的一般分析栅栏效应和频谱泄露栅栏效应：离散采样，数字处理造成对频谱的观察只能在有限点上，好像透过栅栏观察景物一样；频谱泄露：对信号的截断加窗，有限时间的信号在频谱上造成一定宽度频谱，从而造成在频谱的其它频率点上出现不应有的谱峰。
采样加窗后实正弦信号的频谱：FFT得到的结果：注意信号的相位z FFT的结果是矢量，有相位信息，但是我们使用更多的是幅度信息，对相位信息容易忽略；z各个信号频率分量的相位决定着信号在时域的具体波形；z FFT频谱中相同频率点上的值是矢量叠加的整数频点采样问题FFT的物理分辨率是采样率 / 采样点数，如果所分析的信号频率为该值的整数倍，那么通过“栅栏”对频谱观察时可以正好看到信号频谱的实在位置，并且观察到sinc函数的过零点（如果补零，要求信号频率为名义分辨率倍数）。
看一下演示：左边各图：1000MHz采样，1000点数据，不同点FFT（末尾补零），10MHz 正弦信号分析右边各图：1000MHz采样，1000点数据，不同点FFT（末尾补零），10.5MHz正弦信号分析1000点FFT8000点FFT8192点FFT一个实例----我的本科毕业设计@2004.Spring功能：测量两路同频率正弦信号的相位差，频率。
原理：对信号采样，在FPGA中进行浮点FFT运算，分别求得两路信号在本次采样过程中的起始相位，再求两相位之差，即为两信号相位差，结果送PIC单片机整理，再显示在LCD上。
图示说明：系统带有幅度，相位差，频率可控的双路DDFS信号发生电路，可用于自闭环测试，评估对系统的性能。
图示为系统对两路486Hz，相位差90度的正弦模拟信号采样分析的结果（包括时域采样波形，频率，相位差），可见FFT对信号的相位分析具有相当高的精度。
分析sinc函数z连续Sinc函数的过零点位置是N/t, N=1,2,3…,或-1，-2，-3，t是矩形脉冲宽度；z离散sinc函数的过零点在k * N/n, k=1,2,3…, 其中N是数据总点数，n是数据不为0的点数，即过零点周期是占空比的倒数，但是极限是占空比50%的情况（占空比20%和80%的数据过零点周期相同，只是直流分量不同，对应频率分量的相位为相反数）。
傅里叶变换频率泄漏
傅里叶变换频率泄漏
傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个时间域（时域）的连续信号转换为频域的信号，这样可以从信号的频率分布来分析信号的特性。
然而，傅里叶变换在实际应用中存在频率泄漏问题。
频率泄漏是指当信号的频率不是严格符合傅里叶变换的离散频率点时，傅里叶变换结果中会出现额外的频率分量，这些分量来源于原信号与离散频率点之间的插值效应。
频率泄漏会导致对信号频率的分析产生误差，特别是对于窄带信号或含有多个频率成分的信号。
常见的频率泄漏情况包括：
1. 窗函数导致的泄漏：在傅里叶变换时，信号通常会乘以一个窗函数以限制信号的时间范围。
然而，窗函数会导致信号在频率域上的光谱形状变化，从而引入频率泄漏。
2. 频谱分辨率限制引起的泄漏：傅里叶变换是基于有限时间窗口的信号的，因此无法精确地解析频率。
当信号频率与离散频率点之间的差距很小时，傅里叶变换结果会产生泄漏。
为减少频率泄漏，并提高傅里叶变换的精度，可以采取以下措施：
1. 使用合适的窗函数：选择合适的窗函数可以减少频率泄漏，常见的窗函数包括汉宁窗、布莱克曼窗等。
2. 增加信号采样点数：增加采样点数可以提高频域分辨率，减少泄漏效应。
3. 使用高分辨率的傅里叶变换方法：如快速傅里叶变换（FFT）、最小二乘傅里叶拟合（LSFT），这些方法可以提
高变换的精度。
总之，频率泄漏是傅里叶变换中的一个常见问题，需要采取适当的措施和方法来减少泄漏效应，保证信号频率分析的准确性。
DFT分析信号频谱
x[k ] X (e )
jw
x[k]
k
x[k ]e
jkw
X(ejw)
...
0 k
...
0
2 p p
p
2p
w
图3 离散非周期信号及其频谱
x[ k ] 4.离散时间周期信号 ~
~ ~ x [k ] X [m]
~ x [k ]
N 1 k 0
~ x [k ]e
窗函数一：
矩形窗
1 0 k N w[k ] 0 其它
1 0.8
时域波形
0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30 35
40 30
幅度频谱
20 10 0 -1
-0.5
0
0.5
1
矩形窗：
1 0 k N w[k ] 0 其它
sin( Nw / 2) WN (e ) DTFT{RN [k ]} e sin( w / 2)
j
2p mk N
~ X [m]
...
-N 0 N k
...
-N 0 N m
图4 离散周期信号及其频谱
问题提出： 如何利用数字方法分析信号的频谱？
x(t ) X ( j)
x(t )e
jt
dt
1 jn0t xT (t ) X (n0 ) xT (t )e dt T T
512点DFT幅频特性
10
150 100 50 0
0
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
|X(k)|
DSP实验报告-周期信号的频谱分析处理
实验报告一、实验目的和要求谱分析即求信号的频谱。
本实验采用DFT/FFT技术对周期性信号进行谱分析。
通过实验，了解用X(k)近似地表示频谱X(ejω)带来的栅栏效应、混叠现象和频谱泄漏，了解如何正确地选择参数（抽样间隔T、抽样点数N）。
二、实验内容和步骤2-1 选用最简单的周期信号：单频正弦信号、频率f=50赫兹，进行谱分析。
2-2 谱分析参数可以从下表中任选一组（也可自定）。
对各组参数时的序列，计算：一个正弦周期是否对应整数个抽样间隔？观察区间是否对应整数个正弦周期？2-3 对以上几个正弦序列，依次进行以下过程。
2-3-1 观察并记录一个正弦序列的图形（时域）、频谱（幅度谱、频谱实部、频谱虚部）形状、幅度谱的第一个峰的坐标（U，V）。
2-3-2 分析抽样间隔T、截断长度N（抽样个数）对谱分析结果的影响；2-3-3 思考X(k)与X(e jω)的关系；2-3-4 讨论用X(k)近似表示X(ejω)时的栅栏效应、混叠现象、频谱泄漏。
三、主要仪器设备MATLAB编程。
四、操作方法和实验步骤（参见“二、实验内容和步骤”）五、实验数据记录和处理clc;clf;clear;%清除缓存%第一组数据的MATLAB程序（之后几组只需要将参数改变即可） T=0.000625;length=32;n=0:length-1;t=0:0.0001:31;%原序列和采样序列xn=sin(2*pi*50*n*T);xt=sin(2*pi*50*t);%画第一幅图（原序列和采样序列）figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,xt);xlabel('t');ylabel('xt');axis([0,0.2,-1.1,1.1]);title('原序列时域');subplot(2,1,2);stem(n,xn ,'filled');xlabel('n');ylabel('xn');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样后序列时域');%画第二幅图（采样序列实部、虚部、模和相角）figure(2);subplot(2,2,1);stem(n,real(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('real(xn)');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样序列的实部');subplot(2,2,2);stem(n,imag(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('imag(xn)');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样序列的虚部');subplot(2,2,3);stem(n,abs(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('abs(xn)');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样序列的模');subplot(2,2,4);stem(n,angle(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('angle(xn)');axis([0,length,-(pi+0.5),pi+0.5]);title('采样序列的相角');%计算DFTDFT=fft(xn,length);%画第三幅图（DFT的幅度、实部和虚部）figure(3);subplot(3,1,1);stem(n,abs(DFT) ,'filled');xlabel('k');%DFT后的频域变量为kylabel('abs(DFT)');title('DFT 幅度谱');subplot(3,1,2);stem(n,real(DFT) ,'filled');xlabel('k');ylabel('real(DFT)');title('DFT的实部');subplot(3,1,3);stem(n,imag(DFT) ,'filled');xlabel('k');ylabel('imag(DFT)');title('DFT的虚部');六、实验结果与分析实验结果：第一组数据：实验名称：DFT/FFT的应用之一 确定性信号谱分析姓名：张清学号：3110103952 P.4第二组数据：第三组数据：第四组数据：第五组数据：第六组数据：6-1 实验前预习有关概念，并根据上列参数来推测相应频谱的形状、谱峰所在频率（U）和谱峰的数值（V）、混叠现象和频谱泄漏的有无。
数字信号处理实验：基于FFT谱分析中的误差分析及处理
学生实验报告2020 —— 2021 学年第 1学期实验课程数字信号处理实验地点主教414学院电子信息工程学院专业通信工程学号姓名实验项目基于FFT谱分析中的误差分析及处理实验时间10.20 实验台号预习成绩报告成绩一、实验目的1.在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉FFT算法及其程序的编写2.熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。
3.了解应用FFT对非周期信号进行频谱分析所面临的问题并掌握其解决方法。
二、实验原理对非周期序列进行频谱分析应注意的问题1、混叠三、预习内容1.混叠，泄漏，栅栏效应的概念2.应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法3.应用FFT对非周期信号进行频谱分析所面临的问题并掌握其解决方法4．傅里叶变换的相关性质四、实验内容（一）完成如下实验内容的学习和调试1. 对有限长序列进行谱分析（2）将上述有限长序列x(n)[1,2,3,2,1]末尾补零到N=1000点，使用FFT计算其频谱。
2. 对无限长序列进行谱分析用FFT进行无限长序列的频谱分析，首先要将无限长序列截断成一个有限长序列。
序列长度的取值对频谱有较大的影响，带来的问题是引起频谱的泄漏和波动。
已知一个无限长序列为, x(n)=0(n＜0),采样频率Fs=20Hz，要求用FFT求其频谱。
3. 对模拟信号进行谱分析（一）用FFT计算下列连续时间信号的频谱，并观察选择不同的Ts和N值对频谱特性的影响。
（二）记录实验图形结果并结合基本原理，理解每一条语句的含义；（三）讨论有限长序列谱分析时增加分辨率的措施和方法；（四）谈论连续信号谱分析时不同时域采样频率及点数N不同时对频谱分析的影响；（五）对模拟信号进行谱分析，选择采样频率Fs=64Hz，变换区间长度N分别取8、32和64，用FFT分析其频谱。
记录结果并对比、分析和讨论。
五、实验步骤Fs=10;xn=[1,2,3,2,1];N=length(xn);D=2*pi*Fs/N;k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);X=fftshift(fft(xn,N));subplot(1,2,1);plot(k*D,abs(X),'o:');title('幅度频谱');xlabel('rad/s');subplot(1,2,2);plot(k*D,angle(X),'o:');title('相位频谱');xlabel('rad/s');Fs=10;N=1000;xn=[1,2,3,2,1];Nx=length(xn);xn=[1,2,3,2,1,zeros(1,N-Nx-1)];D=2*pi*Fs/N;k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);X=fftshift(fft(xn,N));subplot(1,2,1);plot(k*D,abs(X)); title('幅度频谱');xlabel('rad/s'); subplot(1,2,2);plot(k*D,angle(X)); title('相位频谱');xlabel('rad/s');Fs=20;C=[8,16,128];for r=0:2;N=C(r+1);n=0:N-1;xn=exp(-0.5*n);D=2*pi*Fs/N;k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);X=fftshift(fft(xn,N));subplot(3,2,2*r+1); plot(k*D,abs(X));axis([-80,80,0,3]);subplot(3,2,2*r+2);stairs(k*D,angle(X));axis([-80,80,-1,1]);endT0=[0.5,0.25,0.125,0.125];N0=[256,256,2048,2048];for r=1:4;Ts=T0(r);N=N0(r);n=0:N-1;xn=exp(-0.5*n);D=2*pi/(N*Ts);xa=exp(-0.01*n*Ts).*(sin(2*n*Ts)+sin(2.1*n*Ts)+sin(2.2*n*Ts)); k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);Xa=Ts*fftshift(fft(xa,N));[r,Xa(1)]subplot(2,2,r);plot(k*D,abs(Xa));axis([1,3,1.1*min(abs(Xa)),1.1*max(abs(Xa))]);end六、总结分析1.离散时间信号的FFT变换，其频谱是以抽样点数N为周期的周期延拓2.当N2为N1的整数倍时，以为抽样点数的抽样的图形就是在以为抽样点数的抽样图形的每两个点之间插入N2/N1个点的谱图形。
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FFT造成的频谱混叠，栅栏效应，频谱泄露，谱间干扰
FFT造成的频谱混叠，栅栏效应，频谱泄露，谱间⼲扰
fft在分析频谱分析的时候，会有下⼲四个⼲⼲的误差：
（1）频谱混叠：奈奎斯特定理已被众所周知了，所以⼲乎所有⼲的都知道为了不让频谱混叠，理论上采样频谱⼲于等于信号的最⼲频率。
那和时域上联系起来的关系是什么呢？
采样周期的倒数是频谱分辨率，最⼲频率的倒数是采样周期。
设定采样点数为N，采样频率fs，最⼲频率fh，故频谱分辨率f=fs/N,⼲fs>=2fh，所以可以看出最⼲频率与频谱分辨率是相互⼲盾的，提⼲频谱分辨率f的同时，在N确定的情况下必定会导致最⼲频率fh的减⼲；同样的，提⼲最⼲频率fh的同时必会引起f的增⼲，即分辨率变⼲。
（2）栅栏效应：由于dft是只取k=0,1,2,.......N-1,只能取到离散值，如果频谱之间相隔较⼲的话也许会将⼲些中间的信息丢失掉，⼲⼲fft计算dft是不可避免的，解决的办法就是增加采样点数N。
这样频谱间隔变⼲，丢失信息的概率减⼲。
另外，增加0可以更细致观察频域上的信号，但不会增加频谱分辨率。
（3）频谱泄露：是由加窗函数引起的，同样是计算量的问题（⼲fft⼲dft必需要加窗函数），时域上的相乘，频域上卷积，引起信号的频谱失真，只有在很少的情况下，频谱泄露是不会发⼲的，⼲部分情况都会引起泄露。
如
x(n)=cos(2π/N),(n=0,1,2,3.....N-1,) N点的fft则不会发⼲泄露，但2N，或N+1，N+2等均会引起失真，⼲引起失真可以从表达式上可以看出 X(K)=卷积以后的频谱在2π/N*k的取样值，所以如果是2N 的dft，为2π/2N*K,相当于N点dft结果各个值中间再取样了⼲个值，⼲2π/(N+2)*k,就与N点fft完全不⼲样了。
解决办法，可以扩⼲窗函数的宽度（时域上的宽了，频域上就窄了，（时域频域有相对性），也就是泄露的能量就⼲了），或者不要加矩形的窗函数，可以加缓变
的窗函数，也可以让泄露的能量变下。
因为泄露会照成频谱的扩⼲，所以也可能会造成频谱混叠的现象，⼲泄露引起的后果就是降低频谱分辨率。
频谱泄露会令主谱线旁边有很多旁瓣，这就会造成谱线间的⼲扰，更严重就是旁瓣的能量强到分不清是旁瓣还是信号本⼲的，这就是所谓的谱间⼲扰。