微积分中的极限模拟试题
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^4 \)D. \( f(x) = x^5 \)答案：B2. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 曲线 \( y = e^x \) 在点 \( x = 1 \) 处的切线斜率是多少？A. \( e^0 \)B. \( e^1 \)C. \( e^2 \)D. \( e^3 \)答案：B4. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的不定积分是什么？A. \( x\ln(x) \)B. \( x + 1 \)C. \( \frac{1}{x} \)D. \( x\ln(x) - x \)答案：D5. 以下哪个选项是二阶导数？A. \( f'(x) \)B. \( f''(x) \)C. \( f'''(x) \)D. \( f^{(4)}(x) \)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值是 ________。
答案：02. 曲线 \( y = \ln(x) \) 在 \( x = e \) 处的切线方程是________。
答案：\( y = 1 + \frac{1}{e}(x - e) \)3. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的不定积分是 ________。
答案：\( -\cos(x) + C \)4. 函数 \( f(x) = x^3 \) 的二阶导数是 ________。
答案：\( 6x \)5. 极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\) 的值是 ________。
大专微积分试题及答案
大专微积分试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值是：A. 0B. 1C. 4D. -4答案：B2. 曲线 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x \) 在 \( x = 3 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 3C. 9D. 12答案：A3. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)答案：B4. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的定义域是：A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, \infty) \)C. \( (-\infty, \infty) \)D. \( \{0\} \)答案：B5. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是：A. \( e^{-x} \)B. \( e^x \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( \frac{1}{e^x} \)答案：B6. 积分 \( \int (3x^2 - 2x + 1) dx \) 的结果是：A. \( x^3 - x^2 + x + C \)B. \( x^3 + 2x^2 + x + C \)C. \( 3x^3 - 2x^2 + x + C \)D. \( 3x^3 + 2x^2 + x + C \)答案：C7. 函数 \( y = \sin x \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分是：A. 0B. 1C. 2D. \( \frac{\pi}{2} \)答案：D8. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 2x \) 交点的横坐标是：A. 0B. 1C. 2D. 4答案：B9. 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D10. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 的连续区间是：A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, \infty) \)C. \( (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \)D. \( \{0\} \)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的导数是 \( \_\_\_\_\_ \)。
考研微积分模拟题九套
考研微积分模拟题模拟题11. 函数2)2)(1()2sin()(---=x x x x x x f 在下列哪个区间有界？（A ）)0,1(-; (B))1,0(; (C))2,1(; (D))3,2(2. 讨论函数x e x x x f cos sin )(=的奇偶性，周期性和有界性.3. 设函数)(x f 和)(x g 在定义域上是单调函数,试证函数[])(x g f 在定义域也是单调函数.4. 设函数)(x f 在区间],[b a 和],[c b 上单调增加,试证)(x f 在区间],[c a 上仍单调增加.5. 设函数)(x f 和)(x g 在D 上有界,试证函数)()(x g x f ±和)()(x g x f ⋅在D 上也有界.6. 证明函数x x y cos =在),0(+∞上无界.7. 设)(x f 为定义在),(l l -的奇函数,若)(x f 在),0(l 内单调增加,证明)(x f 在)0,(l -内也单调增加.8.设[]x 表示不超过x 的最大整数，证明：函数[]x x x f -=)(为周期函数.模拟题21.证明：若1a =1n a +=12n =，，则数列{}n a 收敛，并求其极限.2. 求极限21321lim 222n n n→∞-⎛⎫+++⎪⎝⎭. 3. 证明：)1lim 2x x →+∞=. 4. 讨论函数21()lim 1nn x f x x →+∞+=+的连续性,若有间断点,判别其类型. 5. 设ln()()lim 1n n n e x f x n →+∞+=+ (0>x ),讨论)(x f 的连续性. 6. 设函数2cos 1()211x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，， ,求函数)(x f 的连续区间和间断点,并对间断点分类.7. 设函数()f x 在()-∞+∞，上连续，且()()lim lim 0x x f x f x x x →+∞→-∞==，证明：至少存在一个()ξ∈-∞+∞，，使得()0f ξξ+=.8.证明：曲线sin y x =与直线3x y h =+至少有一个交点.模拟题31. 设函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，试求。
考研数学三(微积分)模拟试卷204
考研数学三（微积分）模拟试卷204(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设在(( )．（分数：2.00）A.a＞0，b＞0B.a＜0，b＜0C.a≥0，b＜0 √D.以≤0，b＞0解析：解析：因为在(－∞，+∞)内连续，所以b＜0，选C．3.设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f''(x)＞0，f'(x)＜0，则当x＞0时有( )．（分数：2.00）A.f''(x)＜0，f'(x)＜0 √B.f''(x)＞0，f'(x)＞0C.f''(x)＞0，f'(x)＜0D.f''(x)＜0，f'(x)＞0解析：解析：因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(－x)=－f(x)，f'(－x)=f'(x)，f''(－x)=f''(x)，即f'(x)为偶函数，f''(x)为奇函数，故由x＜0时，有f''(x)＞0，f'(x)＜0，得当x＞0时有f''(x)＜0，f'(x)＜0，选A．4.设f'(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f'(a)=0，且f''(x)≥k(k＞0)，则f(x) 在(a，+∞)内的零点个数为( )．（分数：2.00）A.0个B.1个√C.2个D.3个解析：解析：因为f'(a)=0，且f''(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f'(a)(x－a)+其中ξ介于a与x再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f'(a)=0，且f''(x)≥k(k＞0)，所以f'(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选B．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设f(x)一阶连续可导，且f(0)=0．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）6.设函数y=y(x)y=y(x)在x=ln2处的法线方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：当x=ln2时，t=±1；当t=±1时，y=0．(1)当t=－1时，由∫ 0y e u2du+∫ t21arcsinudu=0两边对t求导数得－2tarcsint 2 =0，则(2)当t=1时，由∫ 0y e u2du+∫ t21 arcsinudu=0两边对t求导得－2tarcsint 2 =0，则即法线方程为．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）8.设f(x)连续，且∫ 0x tf(2x－2，f(1)=1，求∫ 12 f(x)dx．（分数：2.00）填空项1:__________________解析：解析：由∫ 0x tf(2x－t)dt ∫ x2x(2x－u)f(u)(－du) =∫ x2x(2x－u)f(u)du=2x∫ x2x f(u)du －∫ x2x uf(u)du 得2x∫ x2x f(u)du－∫ x2x uf(u)du= arctanx 2，等式两边对x求导得2∫ x2x f(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)+xf(x)= 整理得2∫ x2x fud(u)－xf(x)= 取x=1得2∫2 f(u)du－19.设y(x)为微分方程y''－4y'+4y=0满足初始条件y(0)=1，y'(0)=2的特解，则∫ 01 y(x)dx= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：y''－4y'+4y=0的通解为y=(C 1+C 2x)e 2x，由初始条件y(0)=1，y'(0)=2得C 1=1，C 2=0，则y=e 2x，于是三、解答题(总题数：19，分数：40.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 5在区间(-∞, -3)上的单调性是（）。
A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：B2. 极限lim(x→0) (x^2 - 1)/(x - 1)的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数y = ln(x)的导数是（）。
A. 1/xB. xC. ln(x)D. 1答案：A4. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2在点(1, 0)处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C5. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1的极值点是（）。
B. x = 3C. x = 1 或 x = 3D. 无极值点答案：C6. 函数y = e^x的不定积分是（）。
A. e^x + CB. e^x - CC. ln(e^x) + CD. ln(e^x) - C答案：A7. 曲线y = x^2 + 2x + 1与直线y = 3x + 2相切的切点坐标是（）。
A. (-1, 1)C. (2, 6)D. (3, 11)答案：B8. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是（）。
A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A9. 函数y = sin(x)的不定积分是（）。
A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. -sin(x) + C答案：B10. 曲线y = ln(x)绕x轴旋转一周形成的立体体积是（）。
A. πB. 2πC. π^2D. 2π^2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的二阶导数是 ________。
答案：6x - 612. 函数y = e^(-x)的不定积分是 ________。
答案：-e^(-x) + C13. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是 ________。
2019微积分期中模拟考试题(A卷)
2019年秋季学期基础学部大一学生模拟考试(A卷) 课程:微积分考试时间: 2019年11月日学号: 姓名:…………………………………………………………………………………………………………………选择题（每题1分，总分20分）1. 设f（x）在（a,b）内连续，且x0∈（a,b），则在点x0处（）A、f（x）的极限存在，且可导B、f（x）的极限存在，但不一定可导C、f（x）的极限不存在D、f（x）的极限不一定存在2. 当x→0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（）A、x1000B、1−cos xC、1−ln x4D、arc tan x3.limsinx√1−cosx3arctan(4√1−cosx3)=( )A、-4B、−12 C、2 D、144. 下列函数中在(-1,1)上满足罗尔定理的函数是（）A、y=|x|B、y=√x23 C、y=x3+1 D、y=x2+15. 若f(−x)=f(x) (-∞<x<+∞)，在(-∞，0)内有f′(x)>0 , f′(x)<0,则f(x)在(0,+∞)内有（）A、f′(x)>0，f′′(x)<0B、f′(x)>0，f′′(x)>0C、f′(x)<0，f′′(x)<0D、f′(x)<0，f′′(x)>06. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为（）A、3B、52 C、2 D、327. 设y=f(cos x)∙cos(f(x))，且f可导，则y′=（）A、f´(cos x)∙sin x∙sin(f(x))f′(x)B、f´(cos x)∙cos(f(x))+f(cos x)∙[−sin(f(x))]C、−f′(cos x)∙sin x∙cos(f(x))−f(cos x)∙sin(f(x))∙f′(x)D、f´(cos x)∙cos(f(x))−f(cos x)∙sin(f(x))∙f′(x)8.设函数y={√1−asin2x−bx2,x≠02,x=0在点x=0处连续，则a+b =（）A、-3B、3C、2D、-29. 设函数f(x)=|x3−1|φ(x),其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的（）A、充分必要条件B、必要但不充分条件C、充分但不必要条件D、既不充分又不必要条件10. f(x)与g(x)在R 有定义，f(x)连续且大于0，g(x)有间断点，则f(g(x))、g(f(x))、g(x)f(x)、f(x)g(x)中，必有间断点的函数个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、311. 函数f (x )=1x满足拉格朗日中值定理条件的区间是（ ） A 、[-2,2] B 、[1,2] C 、[-2,0] D 、[0,1]12. 设函数f(x)=lim n→∞√1+|x |3n n，则f(x)在(−∞,+∞)内（ ）A 、处处可导.B 、恰有一个不可导点.C 、恰有两个不可导点.D 、至少有三个不可导点. 13. 设函数y =f(x)具有二阶导数，且f ′(x)>0，f ″(x)>0，Δx 为自变量x 在x 0处的增量，Δy 与dy 分别为f(x)在点x 0处对应的增量与微分.若Δx >0，则（ ）A 、0<dy <ΔyB 、0<Δy <dyC 、Δy <dy <0D 、dy <Δy <0 14. 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是（ ） A 、若lim x→0f(x)x存在，则f (0)=0 B 、若limx→0f(x)+f(−x)x 存在，则f (0)=0C 、若limx→0f(x)x 存在，则f ′(0)存在 D 、若lim x→0f(x)−f(−x)x 存在，则f ′(0)存在 15. 设{x =sint y =tsint +cost （t 为参数），则d 2ydx 2|t=π4 =（ ）A.√2B.2C.4 D .√3 16. 函数f (x )=x 2−x x 2−1√1+1x2的无穷间断点的个数为（ ） A 、0. B 、1 C 、2. D 、3 17. 函数y =ln (1−2x )在x =0处的n 阶导数y (n )(0)=（ ）A 、2n (n −1)!B 、−2n n!C 、2n n!D 、−2n (n −1)!18. 设函数f (x )=(e x −1)(e 2x −2)………(e nx −n),其中n 为正整数，则f′(0)= （ ） A 、(−1)n−1(n −1)! B 、(−1)n (n −1)! C 、(−1)n−1n! D 、(−1)n n!19. 设f ′(x)在[a , b]上连续，且f ′(a)>0, f ′(b)<0，则下列结论中错误的是（ ）A 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) >f(a)B 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) > f(b)C 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f ′(x 0)=0D 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) =020. 下列关于数列{x n }的极限是a 的定义，正确的有（ ）个 ①对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n −a |＜ε成立②对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n −a |＜cε成立 c 为正常数 ③对于任意给定的正整数m ，存在正整数N,当n ＞N 时，|x n −a |＜1m成立 ④对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ≥N 时，|x n −a |＜ε成立 A 、2 B 、3 C 、1 D 、4基础学部百思堂 2019年11月2日参考答案1. B[解析] 由函数f （x ）在（a ，b ）内连续的定义知，lim x→x 0f (x )=f (x 0)，因此f （x ）在点x 0处的极限存在，但不一定可导如：f （x ）=|x|，在x =0处连续，但是不可导 2. C[解析] x1000与x 同阶，1−cos x 等价于x 22，1−ln x 4等价于−x 4，arc tan x 与x 同阶，所以c 为高阶无穷小3. D[解]lim sinx √1−cosx 3arctan(4√1−cosx 3)=lim sinx √1−cosx34√1−cosx3-lim 4√1−cosx3=lim x→0(e sinx −1)4(x 22)13+14-lim x→0sinx4(x 22)13=144. C5. C [解析] f(-x)=f(x)，则−f ′(−x )=f ′(x )所以，f 1(x )为奇函数，同理，f ′′(x )为偶函数，已知在(-∞，0)内有f ′(x )>0 , f ′′(x )<0则有χϵ(0,+∞)时f ′(x )<0，f ′′(x )<06. C[解析] ∵f （x ）=ax 2+bx+c∴f ′（x ）=2ax+b ，f ′（0）=b ＞0 ∵对任意实数x 都有f （x ）≥0∴a ＞0，c ＞0，b 2-4ac ≤0即 b 2≤4ac b ≤2√acf (1)f ′(0)=a+b+c b =1+a+cb≥1+2√acb≥1+bb =27. C[解析] 复合函数求导 导数的四则运算y`=[f(cosx)]`cos(f(x))+f(cosx)[cos(f(x))]`=f`(cosx)(-sinx)cos(f(x))+f(cosx)[-sin(f(x))]f`(x) =-f`(cosx)sinxcos(f(x))-f(cosx)sin(f(x))·f`(x) 8. A 9. A[解析] 若|x 3−1|φ(x)在x=1处可导，则lim h→0+|(1+h)3−1|φ(h)h= lim h→0−|(1+h)3−1|φ(h)h所以lim h→0+h 3+3h 2+3h h φ(h) = lim h→0−−h 3−3h 2−3hhφ(h) 所以必有lim h→0φ(x)=0若φ(x )=0 则lim h→0+|(1+h)3−1|φ(h)h= lim h→0−|(1+h)3−1|φ(h)h= 0所以，在1处可导所以，充要条件 10. B[解析] 对于f(g(x))， g(x)有间断点，但只要f(x)为常函数，则f(g(x))无间断点；对于g(f(x))，只要间断点小于等于0，因为f(x)＞0，则间断点无法取到； 对于g(x)/f(x)，f(x)>0，g(x)有间断点，则一定有间断点；对于第四个复合函数，仍然可以考虑常函数来举出反例 11. B 12. C[解析]当|x |<1时，f(x)=lim n→∞√1+|x |3n n=1；当|x |=1时，f(x)=lim n→∞√1+1n=1；当|x |>1时，f(x)=lim n→∞|x|3(1|x|3n+1)1n=|x |3.即f(x)={−x 3,1,x 3,x <−1,−1≤x ≤1,x >1. 可见f(x)仅在x=±1时不可导，故应选(C).13. A[解析]因为f ′(x)>0, 则f(x)严格单调增加f ″(x)>0,则f(x)是凹的又Δx >0,故0<dy <Δy 14. D[解析]本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
挑战极限微积分的复杂练习题解析
挑战极限微积分的复杂练习题解析在学习微积分的过程中，我们经常遇到各种复杂的练习题，这些题目对于我们来说既是挑战，也是机会。
通过分析和解决这些复杂题目，我们可以更深入地理解微积分的原理和应用，提高自己的问题解决能力。
本文将针对一些具有挑战性的微积分练习题进行解析，帮助读者更好地掌握这门学科。
1. 题目1先让我们来看一个例子。
假设有函数 f(x) = e^x * (cos x + sin x)，我们的目标是求出它的极值点。
首先，我们需要计算它的导数。
根据链式法则和和的导数法则，我们可以得到：f'(x) = (e^x * (cos x + sin x))' = e^x * (cos x + sin x)'= e^x * (cos x + cos x - sin x) = 2e^x * cos x - e^x * sin x现在，要求函数 f(x) 的极值点，我们需要找到它的导数 f'(x) 的零点。
即使化简方程 2e^x * cos x - e^x * sin x = 0 就可以求得极值点的 x 坐标。
用初等函数解这个方程是相当困难的，但我们可以通过将它转化为三角方程来求解。
利用欧拉公式 e^(ix) = cos x + i sin x，我们可以得到以下方程：2e^x * cos x - e^x * sin x = 02e^x * (cos x + i sin x) - e^x * (sin x + i cos x) = 02e^x * e^(ix) - e^x * e^(-ix) = 02e^((1+i)x) - e^((-1+i)x) = 0现在，我们可以将指数函数的定义 e^a = e^(Re(a)) * (cos Im(a) + i sin Im(a)) 应用到方程中：2e^x * e^(ix) - e^x * e^(-ix) = 02e^((1+i)x) - e^((-1+i)x) = 02 * e^x * (cos x + i sin x) - e^x * (cos x - i sin x) = 0(2cos x + 2i sin x) - (cos x - i sin x) = 0将实部和虚部分开，我们可以得到方程组：2cos x - cos x = 02sin x + sin x = 0解这个方程组，我们可以得到 x 的值。
考研数学三(微积分)模拟试卷10(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，则φ(x/y)的表达式为A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正确答案：A 涉及知识点：微积分2．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正确答案：A 涉及知识点：微积分3．若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B 涉及知识点：微积分4．设u=e-x sinx/y,则э2 u/эxэy 在点（2,1/π）处的值________。
正确答案：π2/э2 涉及知识点：微积分5．设an＞0(n=l，2，…)，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件正确答案：B解析：解决数列极限问题的基本方法是：求数列极限转化为求函数极限;利用适当放大缩小法(夹逼定理);利用定积分定义求某些和式的极限. 知识模块：微积分6．“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n>N时，恒有｜xn-a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的A．充分条件但非必要条件B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分条件又非必要条件正确答案：C解析：函数与极限的几个基本性质：有界与无界，无穷小与无穷大，有极限与无极限(数列的收敛与发散)，以及它们之间的关系，例如，有极限→(局部)有界，无穷大→无界，还有极限的不等式性质及极限的运算性质等．知识模块：微积分7．设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛正确答案：B 涉及知识点：微积分8．函数f(x)=[丨x丨sin(x-2)]/[x(x-1)(x-2)2]存下列哪个区间内有界．A．(-1，0)B．(1，0)C．(1，2)D．（2,3）正确答案：A 涉及知识点：微积分9．设f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=ex/10，则当x充分大时有A．g(x)<h(x)<f(x)．B．f(x)<g(x)<h(x)．C．h(x)<g(x)<f(x)D．g(x)<f(x)<h(x)．正确答案：C 涉及知识点：微积分10．设函数f(x)任(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛．B．若{xn}单调，则{f（xn）}收敛．C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛.D．符{f(xn)}单调，则{xn}收敛．正确答案：B 涉及知识点：微积分11．设可微函数f(x，y)在点(xo，yo)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(xo，y)在y=yo处的导数等于零．B．f(xo，y)存y=yo处的导数大于零．C．f(xo，y)在y=yo处的导数小于零．D．f(xo，y)在y=yo处的导数不存在．正确答案：D 涉及知识点：微积分12．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是A．C[y1(x)-y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正确答案：B 涉及知识点：微积分13．y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+y2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2.B．λ=-1/2,μ=-1/2.C．λ=2/3,μ=1/3.D．λ=2/3,μ=2/3.正确答案：A 涉及知识点：微积分14．微分方程y”+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：微积分填空题15．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则a=______,b=______.正确答案：1,-1/6 涉及知识点：微积分16．已知当x→0时，函数f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则k=_______,c=______.正确答案：3,4 涉及知识点：微积分17．设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz丨(1，0)=___________.正确答案：2edx+(e+2)dy 涉及知识点：微积分18．设z=(x+ey)x，则θz/θx丨(1，0)=___________.正确答案：2ln2+1 涉及知识点：微积分19．设函数z=(1+x/y)x/y,则dz丨(1，1)=___________.正确答案：-(2ln2+1) 涉及知识点：微积分20．设z=f(xy,x/y)+g(y/x)，其中f,g均可微，则θz/θx=________.正确答案：yf1’+(1/y)f2’-(y/x2)g’涉及知识点：微积分21．设函数f(u)可微，且f(0)=1/2，则z=f(4x2-y2)在点(1，2)处的全微分dz 丨(1，2)=_________.正确答案：4dx-2dy 涉及知识点：微积分22．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案：2/x 涉及知识点：微积分23．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案：1/x 涉及知识点：微积分24．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：微积分25．微分方程y”-4y=e2x的通解为________.正确答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x 涉及知识点：微积分26．二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y’+3y=2e2x的通解为y=_______.正确答案：C1ex+C2e3x+2e2x 涉及知识点：微积分27．差分方程yt+1-yt=t2t的通解为_______.正确答案：C+(t-2)2t 涉及知识点：微积分28．差分方程2yt+1+10yt-5t=0的通解为_______.正确答案：C(-5)t+5/12(t-1/6) 涉及知识点：微积分29．某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元．若以W1表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是__________．正确答案：Wt=1．2t-1+2解析：第t年的工资总额W1(百万元)是两部分之和，其中一部分是同定追加额2(百万元)，另一部分比前一年的工资总额Wt-1多20％，即是Wt-1的1：2倍．于是可得Wt满足的差分方程是Wt=1.2t-1+2．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高等数学微积分第2章第5节极限的存在性定理
故 { x n } 单调
综上所述, 数列编辑极ppt 限存在.
4
设
lim
n
xn
a
由 xn1xn22xn 两边取极限,得:
aa22a
得 a1
a0 (舍去)
编辑ppt
5
例2
设
x1
2,xn1
2 1 ,n1,求
xn
lim
n
xn
.
解 (1)求值 假设 lnim xn A
则
1
ln im xn1
2 ln im xn
即 A 2 1 A1 2
A
因 xn 2
故 A1 2.
编辑ppt
6
(2)存在性 对 0,
要使
xn
A
1
1
(2 )(2 )
xn1
A
11
xn1 A
xn1 A Ax n1
xn1 A 4
xn2 A
42
x1 A 4n1
2 1 4 n1
只需 nlog4
211
故极限存在.
编辑ppt
取
N log4
且
lnim lim
00 1 0
n n
所以 原式 0.
编辑ppt
13
1
例5 求 lim (1n2n3n4n5n)n. n
解 因为
1
1
1
1
5 ( 5 n ) n (1n2n3n4n5n)n( 5 5 n ) n 5 5 n
lim5 5
且
n
1
lim(55n ) 5
n
所以 原式 5.
第五节 极限的存在性定理
定理2.14 单调有界数列必有极限.
极限的四则运算_经济数学——微积分（第2版）（微课版）_[共4页]
第１章 函数、极限与连续２９ ２．判断下列变量当狓→？时，为无穷小；当狓→？时，为无穷大．（１）１狓槡－５ （２）ｌｎ（２＋狓） （３）１ｌｎ（３－狓）（４）ｅ２＋狓 （５）ｅ－１狓 （６）狓－３狓２－４３．证明狓ｃｏｓ１狓为狓→０时的无穷小．４．计算下列极限，并说明理由．（１）ｌｉｍ狓→∞１狓２ｓｉｎ狓 （２）ｌｉｍ狓→∞ａｒｃｃｏｔ狓狓５．当狓→０时，判断下列无穷小关于狓的阶．（１）狓５ （２）３槡狓 （３）２狓 （４）狓－狓２１ ６ 极限的运算法则 学习要求１．掌握极限的四则运算法则．２．了解复合函数极限运算法则．３．熟练掌握极限的计算．研究函数的极限，目的之一是计算函数的极限．在前几节中，我们曾计算过几个简单函数的极限，但要计算较为复杂一些的函数极限，还需要掌握极限的运算法则．1．6．1 极限的四则运算极限的运算法则为了叙述方便，这里的ｌｉｍ可表示自变量的六种变化过程中任意一种情况下的极限：狓→狓０，狓→狓＋０，狓→狓－０，狓→∞，狓→＋∞，狓→－∞．在下列同一命题中，考虑的是狓的同一变化过程．定理１．７ 如果ｌｉｍ犳（狓）＝犃，ｌｉｍ犵（狓）＝犅，其中犃，犅为常数，那么（１）ｌｉｍ［犳（狓）±犵（狓）］＝犃±犅；（２）ｌｉｍ犳（狓）犵（狓［］）＝犃犅；（３）ｌｉｍ犳（狓）犵（狓）＝犃犅（犅≠０）．下面只证（１）和（３），（２）可类似证明．【证】 由ｌｉｍ犳（狓）＝犃，ｌｉｍ犵（狓）＝犅及定理１．５，有犳（狓）＝犃＋α（狓），犵（狓）＝犅＋β（狓）其中α（狓），β（狓）为同一变化过程中的无穷小．于是有犳（狓）±犵（狓）＝（犃±犅）＋［α（狓）±β（狓）］。
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微积分中的极限模拟试题
在微积分学习中，极限是一个重要的概念，它帮助我们理解函数的趋势和变化规律。
通过极限的概念，我们能够解决各种问题，包括函数的连续性、求导、积分等。
为了帮助大家更好地理解极限的概念和应用，下面给出一些极限模拟试题。
1. 求以下函数的极限：
a) lim(x→2) (3x^2 - 4x + 2)
b) lim(x→0) (sinx / x)
c) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x
2. 求以下含参数的函数的极限：
a) lim(x→0) (x^n * sin(1/x)), 其中n为正整数
b) lim(x→0) (x^n * e^(-1/x)), 其中n为正整数
3. 求以下函数的无穷极限：
a) lim(x→∞) (1 + 1/(2x))^x
b) lim(x→∞) (x^m * e^(-nx)), 其中m和n为正整数
4. 使用极限的性质计算以下极限：
a) lim(x→1) [(2x + 1)^3 - 5] / (x - 1)
b) lim(x→0) (x * cosx) / sinx
c) lim(x→∞) [(x + 1)/(x - 1)]^x
5. 使用夹逼定理求以下极限：
a) lim(x→∞) sqrt(x^2 + 3x) - x
b) lim(n→∞) (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) - ln(n)
以上是一些微积分中的极限模拟试题，希望能够帮助大家更好地理解极限的概念和应用。
同时，在解答问题的过程中，需要熟练掌握极限的性质和运算法则，并结合夹逼定理等方法来求解。
希望大家能够通过不断练习和思考，加深对极限的理解，为后续微积分的学习打下良好的基础。
当然，除了以上提供的模拟试题，微积分中的极限还有许多应用和拓展。
在学习的过程中，我们可以进一步探索其他类型的极限问题，并运用极限的概念来解决实际问题。
同时，通过与同学的互动讨论和与老师的交流，我们可以更好地理解和应用微积分中的极限概念。
希望大家能够积极参与讨论和思考，共同提高对微积分的理解和应用能力。
通过以上的极限模拟试题，我们可以更好地掌握微积分中的极限概念和运算法则。
希望大家能够在解答问题的过程中，查漏补缺，不断提高，为后续微积分的学习打下坚实的基础。
加油！。