第二讲函数的极限典型例题
第二讲 函数的极限
一 内容提要 1.函数在一点处的定义
,
0,0)(lim 0
>?>??=→δεA x f x x 使得δ<-00:x x x ,有ε<-A x f )(.
右极限
,
0,0)(lim 0
>?>??=+→δεA x f x x 使得δ<-00:x x x ,有ε<-A x f )(.
左极限
,
0,0)(lim 0
>?>??=-→δεA x f x x 使得δ<-
注1 同数列极限一样,函数极限中的ε同样具有双重性. 注2
δ的存在性(以0x x →为例)
:在数列的“N -ε”定义中,我们曾经提到过,N 的存在性重在“存在”,而对于如何去找以及是否能找到最小的N 无关紧要;对δ也是如此,只要对给定的0>ε,能找到某一个δ,能使δ<-<00x x 时,有ε<-A x f )(即可. 注3 讨论函数在某点的极限,重在局部,即在此点的某个空心邻域内研究)(x f 是否无限趋近于A .
注4 ?=→A x f x x )(lim 0
=+→)(lim 0
x f x x A x f x x =-→)(lim 0
.
注5 ?
??
???≠→∈??=∞→→00,|}{}{)(lim 0x x x x x x A x f n n n n n x x 且,有A x f n n =∞→)(lim ,称为
归结原则――海涅(Heine )定理.它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁.说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化.因此,利用定理必要性的逆否命题,可以方便地验证某些函数极限不存在;而利用定理的充分性,又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题.(会叙述,证明,特别充分性的证明.) 注6 0,
0)(lim 00
>?>??≠→δεA x f x x ,δ<-'<'?00:x x x ,有0)(ε≥-'A x f .
2 函数在无穷处的极限 设)(x f 在),[+∞a 上有定义,则
,
,0)(lim a X A x f x >?>??=∞→ε使得X x x >?:,有ε<-A x f )(. ,,0)(lim a X A x f x >?>??=+∞
→ε使得X x x >?:,有ε<-A x f )(. ,
,0)(lim a X A x f x >?>??=-∞
→ε使得X x x -
注1 ?=∞
→A x f x )(lim =+∞
→)(lim x f x A x f x =-∞
→)(lim .
注2 ?
??
???∞→∈??=∞
→∞→n n n n x x x x A x f |}{}{)(lim ,有A x f n n =∞→)(lim .
3 函数的有界
设)(x f 在),[+∞a 上有定义,若存在一常数0>M ,使得),[+∞∈?a x ,有M x f ≤)(,则称)(x f 在),[+∞a 上有界. 4 无穷大量
,
0,0)(lim 0
>?>??∞=→δG x f x x 使得δ<-00:x x x ,有G x f >)(. ,
0,0)(lim >?>??∞=∞
→X G x f x 使得X x x >?:,有G x f >)(.
类似地,可定义-∞=+→)(lim 0
x f x x ,-∞=-→)(lim 0
x f x x ,∞=+→)(lim 0
x f x x ,∞=-→)(lim 0
x f x x 等.
注 若∞=→)(lim 0
x f x x ,且0>?δ和0>C ,使得δ<-00:x x x ,有0)(>≥C x f ,
则∞=→)()(lim 0
x g x f x x .
特别的,若∞=→)(lim 0
x f x x ,0)(lim 0
≠=→A x g x x ,则∞=→)()(lim 0
x g x f x x .
5 无穷小量
若0)(lim 0
=→x f x x ,则称)(x f 当0x x →时为无穷量.
注1 可将0x x →改为其它逼近过程.
注2 ?=→A x f x x )(lim 0
)()(x A x f α+=,其中0)(lim 0
=→x x x α.由于有这种可以互逆的表
达关系,所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代. 注3 0)(lim 0
=→x f x x ,)(x g 在0x 的某空心邻域内有界,则0)()(lim 0
=→x g x f x x .
注4 0)(lim =∞
→x f x ,且当x 足够大时,)(x g 有界,则0)()(lim 0
=→x g x f x x .
注5 在某一极限过程中,无穷大量的倒数是无穷小量,非零的无穷小量的倒数是无穷大量. 6 函数极限的性质
以下以0x x →为例,其他极限过程类似. (1)A x f x x =→)(lim 0
,则极限A 唯一.
(2)A x f x x =→)(lim 0
,则0,>?M δ,使得δ<-00:x x x ,有M x f ≤)(.
(3)A x f x x =→)(lim 0
,B x g x x =→)(lim 0
,且B A <,则0>?δ,使得δ<-00:x x x ,
有 )()(x g x f <
注 这条性质称为函数的“局部保号性”.在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍. (4)A x f x x =→)(lim 0
,B x g x x =→)(lim 0
,且0>?δ当δ<-<00x x 时,)()(x g x f <则
B A ≤.
(5)A x f x x =→)(lim 0
,B x g x x =→)(lim 0
,则
[]B A x g x f x x ±=±→)()(lim 0
B A x g x f x x ?=?→)()(lim 0
B
A
x g x f x x =→)()(lim
(0≠B ) 要求:①进行运算的项数为有限项;②极限为有限数. 7 夹逼定理 若,
0>?δ使得δ<-00:x x x ,有)()()(x h x g x f ≤≤,且
=→)(lim 0
x f x x A x h x x =→)(lim 0
,则A x g x x =→)(lim 0
.
8 Cauchy 收敛准则
函数)(x f 在0x 的空心邻域内极限存在,0,
0>?>??δε使得x x '''?,,当
δ<-'<00x x ,δ<-''<00x x 时,有ε<''-')()(x f x f .
9 无穷小量的比较 设0)(lim 0
=→x x x α,0)(lim
=→x x x β,且k x x x x =→)
()
(lim
αβ,则 (1)当0=k 时,称)(x β为)(x α的高阶无穷小量,记作)(x β())(x o α=;
(2)当∞=k 时,称)(x β为)(x α的低阶无穷小量; (3)当0≠k 且∞≠k 时,称)(x β为)(x α的同阶无穷小量.
特别的,当1=k 时,称)(x β和)(x α为等价的无穷小量,记作)(x α~)(x β.
注 1 上述定义中,自变量的变化过程0x x →也可用+∞→x ,-∞→x ,∞→x ,
+→0x x ,-
→0x x 之一代替.
注2 当0→x 时,常见的等价无穷小有:
x sin ~x ,x tan ~x ,x cos 1-~2
2x ,1-x e ~x ,)1ln(x +~x ,1)1(-+m
x ~mx 注3 在用等价无穷小替换计算极限时,一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换.因为:
若)(x α~)(x β(P ),则
=)
()(lim
x x f P
β=?)()()()(lim x x x x f P βαα)()
(lim x x f P α
或 =)()(lim x x g P
α=?
)
()
()()(lim x x x x g P
βαβ)()(lim x x g P β (P 为某逼近过程).
而对于非乘积因式,这样的替换可能会导致错误的结果.
注4 在某一极限过程中,若)(x α为无穷小量,则在此极限过程,有 ())()(x o x αα+~)(x α. 10 两个重要极限
(1)1sin lim
0=→x
x
x ; (2)e x x x =+→1
0)1(lim .
二、典型例题
例 用定义证明下列极限: (1)2
1
1)1(lim
2
1
=--→x x x x ;
(2)211lim
2-=-+-∞
→x
x x
x .
例 A x f x x =→)(lim 0
,证明:
(1)若0>A ,则有2
21
)(1lim 0
A x f x x =
→; (2)33
)(lim
A x f x x =→.
例 设)(x f 是],[b a 上的严格严格单调函数,又若对],(b a x n ∈( ,2,1=n ),有
)()(lim a f x f n n =∞
→,试证明:a x n n =∞
→lim .
例 函数)(x f 在点0x 的某邻域I 内有定义,且对{}I x n ??(00,x x x x n n ≠→),且 0010x x x x n n -<-<+(N n ∈?)
,有A x f n n =∞
→)(lim ,证明:A x f x x =→)(lim 0
.
例 设函数)(x f ,)1,0(∈x ,满足0)(→x f (+
→0x ),且 )()2
()(x o x
f x f =-(+→0x ) 则 )()(x o x f =(+
→0x )
问:在题设条件下,是否有0)0(=f 答:否.如??
?=≠=0
10
0)(x x x f .
例 设函数)(x f 在),0(+∞上满足议程)()2(x f x f =,且A x f n =+∞
→)(lim ,则 A x f ≡)((),0(+∞∈x ).
例求下列函数极限
(1)?
?
?
??
?
+
→x
b
a
x
n0
lim(0
,0>
>b
a);
(2)
x
b
a
x
n
??
?
?
??
?
+
→0
lim(0
,0>
>b
a);
(3)
?
?
?
?
?
?
?
+
+
+
→x
x
e
e
x
x
n
sin
1
2
lim
4
1
.
例 求下列极限 (1)1
tan 1tan 1lim
---+→x
n e x
x ; (2))
cos 1(cos 1lim
x x x n --→;
(3)x
e x x
e x x x n 2)ln()ln(sin lim 2220-+-+→.
例 求下列极限:
(1)x
x x e e x
x n cos sin lim tan 0--+→;
(2)2
303cos 2cos cos 1lim x x
x x n -→.
例 求下列极限:
(1)
x
x
x x
n ln
1
lim
1
-
→
;
(2)
2
)
(
lim
x
a
x
a x
x
n
-
+
→
.
例求下列极限:
(1))
1
ln(
1
2
)
(cos
lim x
n
x+
→
;
(2)x
n x
x
)
1
cos
1
(sin
lim+
∞
→
;
(3)设0
>
i
a(n
i,
,2,1
=),求
x
n
x
n
x
x
n n
a
a
a
??
?
?
?
?+
+
+
→
2
1
lim.
例(1)已知0
)
1
(
lim33=
-
-
-
∞
→
b
ax
x
n
,求常数b
a,;
(2)已知5
1
3
)
2
sin
)
(
1
ln(
lim
=
-
+
→x
n
x
x
f
,求
2
)
(
lim
x
x
f
n→
.