(word完整版)向量知识点总结,推荐文档

向量知识点总结

一、教学要求：

1. 理解向量（平面向量、空间向量）的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念，掌握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。了解向量的基本定理，掌握向量的数量积及其几何意义，了解用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题，理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。

2. 理解向量（平面向量、空间向量）的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运算及两点间的距离公式。

3. 掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。 二、知识串讲：

平面向量及其运算

（一）向量的基本运算 1. 有关概念

（1）向量——既有大小又有方向的量叫做向量。 常用有向线段表示向量

向量二要素方向

长度⎧⎨

⎪⎩⎪ （）向量的模—有向线段的长度，2||||AB a →→

长度等于的向量叫做单位向量，10a a

a →=→→

|| 零向量（的方向不定），0000→→→

=||

（3）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量叫做平行向量或共线向量。

（）相等的向量——长度相等方向相同4⎧⎨⎪⎩⎪→=→

a b

规定：00→=→

向量可以在平面（或空间）平行移动而不变。 规定：零向量与任一向量平行。 2. 向量有三种形式（或三种表示）

几何表示几何运算←→−−代数表示代数运算←→−−

坐标表示坐标运算←→−−

3. 向量的加法、减法与数乘

（1）向量的加法——三角形法则或平行四边形法则 如图：

向量加法的多边形法则

如图，求a b c →+→+→

（2）向量的减法： a b a b a b →-→=→+-→→→

()，即向量加上的相反向量。

（的箭头指向被减向量）a b →-→

（3）实数与向量的乘积

λλλλλλλλa a a a a a a a →→=→>→<→=→=→⎫

⎬⎪⎪⎭⎪⎪→→

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎪长度·方向：时与同向时与反向时，∥||||||

0000

※∥（）存在唯一实数，使b a a b a →→→≠→⇔→=→0λλ

4. 向量的运算法则（加、减、数乘）

设向量，，及实数，，则：a b c →→→

λμ

①a b b a →+→=→+→

②()()a b c a b c →+→+→=→+→+→

③()λμλμ+→=→+→

a a a ④λλλ()a

b a b →+→=→+→

⑤·||||||λλa a →=→

⑥||||||||||a b a b a b →-→≤→±→≤→+→

（此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式。）

5. 平面向量基本定理（向量的分解定理）

e e a 12→→→

，是平面内的两个不共线向量，那么对该平面内任一向量，存在 唯一实数对，，使得。λλλλ121122a e e →=→+→

（这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一对向量的

和。叫做向量，的线性组合，，叫做表这一平面内所λλ11221212e e e e e e →+→→→→→

有向量的一组基底。

①基底不唯一，关键是不共线②基底给定，分解形式唯一⎛⎝ ⎫⎭⎪ 应用：

设，不共线，点在直线上（即、、三点共线）OA OB P AB A B P →→

⇔→=→+→

+=∈OP OA OB R λμλμλμ且（，）1

（二）向量的坐标运算

1.在直角坐标系内，分别取与轴，轴同方向的两个单位向量，作为基x y i j →→

底，则该平面内任一向量，有且只有一对实数，，使得，a x y a x i y j →→=→+→

称（，）叫做向量的（直角）坐标，记作，，即为向量的坐标表x y a a x y →→

=()

示。

（如图，当把向量的起点移至原点时，（，）是向量终点的a x y a OA A →→=→

()

坐标，即，，，是向量在，轴上的射影，与相等的向量的坐标

A x y x y a x y a →→

也相同。）

2. 向量的坐标运算

已知，，，，a x y b x y R →=→

=∈()()1122λ

则：（）11122a b x i y j x i y j →+→=→+→+→+→

()()

()()()

=+→++→

=++x x i y y j

x x y y 12121212

，

()()(

)（），，设，，，212121122

a b x x y y A x y B x y →-→

=--

(

)BA a b x x y y →=→-→

=--1212

，

()()||AB x x y y =

-+-122122

()()

（），，31111

λλλλa x y x y →

== （三）平面向量的数量积 1. 数量积的概念

设向量，，∠叫做向量与的夹角。记作OA a OB b AOB a b →=→→=→=→→

θ <→→>︒≤<→→

>≤︒a b a b ，，，0180

（）数量·叫做与的数量积（或内积），记作·1||||cos a b a b a b →→→→→→

θ 即··a b a b →→=→→

||||cos θ

（）数量积的几何意义：2

a b a a b a b →→→→→→→

·等于的模与在的方向上的射影的乘积。||||cos θ 2. 数量积的运算法则

（）··，··1000a b b a a a →→=→→→→=→→

=

()（）···2()()()λλλλa b a b a b R →→=→→=→→

∈

（）···3()a b c a c b c →+→→=→→+→→

注意：数量积不满足结合律！

（·）··（·）a b c a b c →→→≠→→→ （），，，，则41122a x y b x y →=→

=()()

()()

a b x y x y x x y y →→

==+·，·，11221212

3. 重要性质

（）设是单位向量，，，则···1e a e e a a e a →=<→→>→→=→→=→

θθ||cos

（）⊥···2001212a b a b x x y y →→⇔→→

=⇔+=

（）∥··或··3a b a b a b a b a b →→⇔→→=→→→→=-→→||||||||