二次根式知识点及例题

第十六章二次根式知识点一、二次根式

1.定义

0)

a≥

a叫做被开方数．

注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号

．

(2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0．

(3)根指数是2，这里的2可以省略不写．

(4)

形如0)

a≥的式子也是二次根式，它表示b

例题：

1.下列各式中，一定是二次根式的是．

1

2

x

⎫

<⎪

⎭

练习：

1.下列各式中，一定是二次根式的是

．

0,0)

x y

≥≥

知识点二、二次根式有意义的条件

1.0

a≥0

a<

2.从具体的情况总结，如下：

(1)0

A≥；

(2)⋅⋅⋅有意义的条件：

A

B

N

≥

⎧

⎪≥

⎪

⎨

⋅⋅⋅

⎪

⎪≥

⎩

；

(3)0

A>；

(4)二次根式作为分式的分子如

B

A

有意义的条件：

A

B

≥

⎧

⎨

≠

⎩

．

1.当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义．

1

1

x +

+

练习：

知识点三、二次根式的性质（重点，难点）

性质10)a ≥具有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数a 的算式平方根，

具体描述为：0；a 是非负数． 注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0． 例题：

1. (2015.铜盘中学期末卷)若x ，y 为实数，且错误!未找到引用源。,则2015

)

(y

x 的值为________．

3.已知a

,b

4b =+，求a ，b 的值．

2210b b -+=，求22

1

a b a +-的值．

性质2：2(0)a a =≥，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身． 注意：不能忽略0a

≥这一限制条件，导致类似

2

4=-的错误．

性质3(0)

(0)

a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，

即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，(0)a a ≥

；

(0)a a -<． 注意

：不要认为a 2-

的错误．

2的区别与联系：

例题：

(1) 23()5 (2)22(10)- (3) 22(3)3- (4)21

(14)2

2.计算：

(1)23()5 (2)23

()5

- (3)

2(6)- (4)2(3.14)π-

3.当m <3时，2(3)m -=_______．

4.设三角形的三边长为a ，b ，c ，试化简：2222()()()()a b c a b c b a c c b a +++--+-----． 练习： 1.计算：

(1) 2( 3.4) (2) 2( 3.4)- (3) 2(3)π- (4) 2(4)π-

2.若23a <<，则2

2

(2)(3)a a ---等于（ ）

A . 52a -

B . 12a -

C . 25a -

D . 21a - 3.已知实数a b 、在数轴上的位置如图所示，化简：2

2

2

+()a b a b +-．

4.已知a 2224a a a +--的值．

知识点四、二次根式的乘除

1.二次根式的乘法法则0,0)a b =≥≥．

提示：(1)在设计二次根式运算时没有特备说明，所有字母都表示正数；

(2),a b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．

推广()0,0,0,0a b c d ≥≥≥≥．

=0,0a b ≥≥）． 例题： 1.计算：

(1)62⨯ (2) )32(276-⨯ (3))196()121(-⨯-

(4))33)(31(+- (5)

2.化简：(1)1259⨯ (2) 243

2

3.(1)比较__________， (2)比较3655与的大小__________． 练习：

1.计算： (1) )196()121(-⨯- (2) )33)(31(+- (3) (4)

2.化简：(1)12116⨯ (2) 963

2

3.比较6456与的大小__________，(2)比较8338与的大小__________． 3.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：

单项二次根式

有理化因式

两项二次根式

有理化因式 a

a

b a +

b a -

b a + b a + b a + b a -

b a - b a - b n a m + b n a m -

分母有理化的方法与步骤：

（1）现将分子、分母化成最简二次根式；

（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； （3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 例题： 1.

b

a -1化简为（ ）

A . b a -

B .

b a + C .

b a b

a -- D .

b

a b

a -+

2.下列各式中正确的是（ ） A .

121

21-=- B .

52501=

C . 5101000=

D . 6020

40

32=

3.已知a=65+，b=5

61-，则a 与b 的大小关系式是a b.

5.将下列各式分母有理化.

(1)5

1 (2)81

21 (3) 2

235123c b a （4）1

33+ （5）

3

252- （6）

n

m n m +-（m ≠n ）

练习：