2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年，理1，5分】i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A

【解析】60741513i i i i ?=?=-，共轭复数为i ，故选A ．

【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查． （2）【2015年，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534

石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米夹谷约为（ ）

（A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B

【解析】依题意，这批米夹谷约为28

1534169254

?=石，故选B ．

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础． （3）【2015年，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数

和为（ ） （A ）122

（B ）112 （C ）102 （D ）92

【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x +

中奇数项的二项式系数和为1091

222

?=，故选D ．

【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力．

（4）【2015年，理4，5分】设211(,)X N μσ，2

22

(,)Y N μσ，这两个正态分布密 度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）

（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤

（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C

【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到

()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．

【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，

结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．

（5）【2015年，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；

q ：222222

21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++

+=+++，则（ ） （A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A

【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()1

3n n a

q n a -=≥且0n a ≠；

对命题q ，①当时，成立；

②当时，根据柯西不等式，等式成

立，则

，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 条件．故选A ．

0=n a 22222

2

212

12312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++

+=++

+0≠n a 22

222

2

21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=++

+n

n a a a a a a 132

21-=???==12,,,n a a a

（6）【2015年，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >??

==??-

()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，

则（ ）

（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，

由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >??==??-

sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >??

===-??-

，故选B ．

（7）【2015年，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12

x y +≥

”的概率，

2p 为事件“1

||2x y -≤”的概率，3p 为事件“1

2

xy ≤

”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B

【解析】因为[],0,1x y ∈，

对事件“1

2x y -≥

”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“1

2x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，

对事件“1

2

xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，

由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111?=，根据几何概型公式可

得231p p p <<，故选B ．

【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面

积的大小即可比较大小．

（8）【2015年，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >

个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）

（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <

（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D

【解析】依题意，2

2211a b b e a +??

==+ ???

，()()2

2

221a m b m b m e a m ++++??==+ ?+??，

因为()()()

m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22

b b m a a m +????< ? ?+????

，所以12e e <；

当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22

b b m a a m +????

> ? ?+????

，所以12e e >．

所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．

【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

（9）【2015年，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，

{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合

12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ） （A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30

【答案】C

【解析】因为集合(){}

2

2,1,,A x y x

y x y =

+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点）

， 即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即 25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合

12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D

中的整点（除去四个顶点），即77445?-=个，故选C ．

【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重

复的元素．

（10）【2015年，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，

[]n t n =同时成立．．．．

，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

【答案】B

【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由4

3t ??=??

得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<； 由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由5

5t ??=??得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最

大值是4，故选B ．

【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．

二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．．．．．．．．．．．

答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）

（11）【2015年，理11，5分】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ?= ． 【答案】9

【解析】因为OA AB ⊥，3OA =，()

22

239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ?=?+=+?===．

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．

（12）【2015年，理12，5分】函数2π

()4cos cos()2sin |ln(1)|22

x f x x x x =---+的零点个

数为 ． 【答案】2

【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ??

=----=+--+=-+ ???

，

所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，

所以函数()f x 由2个零点．

【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．

（13）【2015年，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处

时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶 在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．

【答案】1006 【解析】依题意，30BAC ∠=?，105ABC ∠=?，在ABC ?中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=?，

所以45ACB ∠=?，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC

-=

??，即3002BC =m ，在Rt BCD ?中， 因为30CBD ∠=?，3002BC =，所以tan303002

CD BC ?==，所以1006CD =m ． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通

过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．

（14）【2015年，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的

上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．

方程为 ；（2）过点A 任作一条直线

与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NB

MB

=； ②

2NB MA NA

MB

-

=； ③

22NB MA NA

MB

+

=．

其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）()()

2

2

12

2x y -+-=；

（2）①②③ 【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()

1,2C ，

故圆的标准方程为()()

2

2

12

2x y -+-=．

（2）解法一：联立方程组()()

2

2

122x x y =??

?-+-=??

，解得021x y =???=-??或0

21x y =???=+??

，因为B 在A 的上方，

所以()0,21A -，()

0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =， 22MB =+，22NA =-，2NB =，因为

22212

NA NB

-=

=-，

22122

MA MB

=

=-+，

所以NA MA NB MB =

所以(

)

222121222

22

NB MA NA

MB

-=

-

=+-

-=-+，

(

)

2

2

2121222222

NB MA NA

MB

+

=

+

=++

-=-+，正确结论的序号是①②③．

解法二：因为圆心()1,2C ，()

0,2E ∴，

又2AB =，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()

0,21B +，

M ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ， ()(

)

2

2

cos 0sin 21NA ββ??∴=-+-

-?

?

(

)

22cos sin 2

21sin 322βββ=+--+-

()()()4222

21sin 22

212

21sin ββ=---=---()()

2

21

2sin β=--，

()(

)

2

2

cos 0sin 21NB ββ??∴=

-+-+?

?

(

)

22cos sin 2

21sin 322βββ=+-+++

(

)

(

)(

)4222

21sin 22

212

21sin ββ=+-+=+-+(

)(

)

221

2sin β=+-， ()()(

)(

)

2212sin 212121

2212sin NA NB

β

β---∴=

=

=-++-，同理21MA MB

=-．所以NA MA NB

MB

=，

所以

()

22212122222NB MA NA MB -=-=+-

-=-+，

(

)

2

2

2121222222

NB MA NA

MB

+

=

+

=++-=-+，

正确结论的序号是①②③．

【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积

累，属于难题．

（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框

用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【2015年，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的

割线，且3BC PB =，则AB

AC

=_______．

【答案】1

2

【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割定理知，

()2PA PB PC PB PB BC =?=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，

由A PAB PC ??∽，所以

1

2

AB PB AC PA ==． 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力． （16）【2015年，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半

轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t

y t t ?=-????=+

??

( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB = ．

【答案】【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t t

y t t ?

=-????=+

??

，消去t

得224y x -=，联立方程组2234y x y x =??-=?，

解得x y ?=????=??

x y ?=????=??，

即A ??

，B ? ??，

由两点间的距离公式得AB =． 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基

础的计算题．

三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（17）【2015年，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ω?=+π

(0,||)2

ω?><在某一个周期

（1．．．．．．．．．．．

（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图

象的一个对称中心为5π

(,0)12

，求θ的最小值．

解：（1）根据表中已知数据，解得π

5,2,

A ω?===-．数据补全如下表：

且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．

（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π

()5sin(22)6

g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．

令π22π6x k θ+-

=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ．

由于函数()y g x =的图象关于点5π

(,0)12

成中心对称， 令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6

． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ω?=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ω?=+的图象变换规律的

应用，属于基本知识的考查．

（18）【2015年，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，

22b =，q d =，10100S =．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）当1d >时，记n n n

a

c b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=??=?，即1129202a d a d +=??=?，得112a d =??=?或1929a d =??

?=??，故1

212n n n a n b -=-???=??或()11279929

9n n n a n b -?=+??????= ?????

． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故121

2

n n n c --=，

于是234

1357921122222n n n T --=+++++ ① 234511357921

2222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-，故1

23

62n

n n T -+=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． （19）【2015年，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有

一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作 EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．

（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直

角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC

BC

的值．

解：解法一：

（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，

所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ?平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，

所以DE PC ⊥． 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ?平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF ．

由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC ，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．

由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥． 而PD PB P =，所以DG PBD ⊥平面．

故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，

有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π

3

DPF FDB ∠=∠=,

则 2πtan tan 133BD

DPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=．

所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3

时，2DC BC =

． 解法二：

（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角

坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，

(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11

(0,,)22

DE =，于是

0PB DE ?=，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以

PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ?=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑， 四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；

由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π

3

，则

π1

cos 32

||||BP DP BP DP λ?=

==

?

， 解得λ=． 所以

1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π

3

时，DC BC =

【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属

于难题．

（20）【2015年，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛

奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利 1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过 12小时．

Z （单位：元）是一个随机变量．

（1）求Z 的分布列和均值；

（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.

x y W x y x y x y +≤??+≤?

?

-≥??≥≥? （1） 目标函数为 10001200z x y =+．

当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．

将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200

z

y x =-+在y 轴上

的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==?+?=． 当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．

将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200

z

y x

=-+在y 轴上的截

距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==?+?=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，

四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为561200

z

y x =-+，

当6,4x y ==时，直线l ：561200

z

y x =-+在y 轴上的截距最大，

最大获利max 610004120010800Z z ==?+?=．

故最大获利Z 的分布列为

Z

8160 10200 10800 P

0．3 0．5 0．2

（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，

由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3

311110.30.973p p =--=-=．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析

问题解决问题的能力．

（21）【2015年，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆

MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求曲线C 的方程；

（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于

,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探 究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值； 若不存在，说明理由．

解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，

2MD DN =，且||||1DN ON ==，

所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22

0022

00()1,

1.

x t y x y ?-+=??+=?? 即0022,2.t x x t y y -=-??=-?

且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N

也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42

x y x y ==-，

代入22

001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164

x y +=

（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有1

4482OPQ S ?=??=．

②当直线l 的斜率存在时，设直线1

:()2l y kx m k =+≠±，由22

,416,y kx m x y =+??+=?

消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以2222644(14)(416)0k m k m ?=-+-=，即22164m k =+． ①

又由,20,

y kx m x y =+??-=? 可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m

Q k k -++．

由原点O 到直线PQ 的距离为2

1d k

=+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得

2

2

111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ?=?=-=?+=-+-． ②

将①代入②得，22

2241281441

OPQ

k m S k k ?+==--． 当2

1

4

k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ?+==+>--；

当2

1

04

k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ?+==-+--．

因2104k ≤<，则20141k <-≤，2

2214k ≥-，所以2

2

8(1)814OPQ S k ?=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ?的最小值为8．

综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．

【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决

本题的关键．综合性较强，运算量较大．

（22）【2015年，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1

(1)()n n n b n a n n

+=+∈N ，e 为自然对数的

底数．

（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1

(1)n n

+与e 的大小；

（2）计算11b a ，1212b b

a a ，123123

b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；

（3）令1

12

()n

n n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ，证明：e n n T S <．

解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x

f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；

当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减． 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞．

当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x

x +<． 令1x n

=，得1

11e n n +<，即1

(1)e n n +<． ①

（2）11111(1)1121b a =?+=+=；222121212121

22(1)(21)32b b b b a a a a =?=?+=+=；

23331233121231231

33(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =?=?+=+=． 由此推测：1212(1).n n n

b b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②．

①当1n =时，左边=右边2=，②成立．

②假设当n k =时，②成立，即12

12(1)k k

k b b b k a a a =+． 当1n k =+时，1

111(1)(1)1

k k k b k a k +++=++

+，由归纳假设可得 1

112112

1

121121

1(1)(1)(1)(2)1

k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=?=+++=++．所以当1n k =+时，②也成立．

根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．

（3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得

123n n T c c c c =+++

+=11113

1211212312()()()()n

n a a a a a a a a a +++

+

11113

1

2

12312

112()()()()

2341n

n b b b b b b b b b n =

+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)

n b b b n n n n n n =+++++++++???+??++

1211111

(1)()()1211

n b b b n n n n =-+-++-+++

1212n b b b n <+++1212111

(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S ． 即e n n T S <．

【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、

运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．