高中数学《复数代数形式的乘除运算》导学案

3．2.2复数代数形式的乘除运算

1．复数的乘法法则

设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝□01(ac －bd)＋(ad＋bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把

i2换成□02－1，并且把实部和虚部分别合并．

2．复数的乘法运算律

设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，有

交换律：z1·z2＝z2·z1；

结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；

分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.

3．共轭复数

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为□03共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫□04共轭虚数．

4．复数除法的法则

(a＋b i)÷(c＋d i)＝□05ac＋bd

c2＋d2＋

bc－ad

c2＋d2

i (c＋d i≠0)．

由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．

共轭复数的性质

(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．

(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z－?z∈R.

利用这个性质，可以证明一个复数是实数．

(3)z·z－＝|z|2＝|z－|2∈R.z与z－互为实数化因式．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．()

(2)若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 2

2＝0，则z 1＝z 2＝0.( )

(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做 (1)复数

3

i ＋1

＝________. (2)复平面内，复数z ＝2i

1＋i

(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第________象限．

(3)复数2－1

i 的共轭复数是________．

答案 (1)32－3

2i (2)四 (3)2－i

探究1 复数的乘除运算 例1 (1)复数

3＋2i 2－3i －3－2i

2＋3i

＝( ) A ．0 B ．2 C ．－2i D ．2i

(2)若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)·i 的实部为________．

[解析] (1)解法一：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝

(3＋2i )(2＋3i )－(3－2i )(2－3i )

(2－3i )(2＋3i )

＝

6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9

＝26i

13＝2i.

解法二：

3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i (2－3i )2－3i －－i (2＋3i )

2＋3i

＝i ＋i ＝2i.

(2)(z 1－z 2)·i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]·i ＝(－2＋20i)·i ＝－20－2i ， ∴(z 1－z 2)·i 的实部为－20. [答案] (1)D (2)－20

拓展提升

(1)复数的乘法可以把i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方

法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．

(2)实数集中的乘法公式、幂的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成立．

【跟踪训练1】 计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解 (1)原式＝

－2＋3i 1＋2i

＝

(－2＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )

＝

(－2＋6)＋(3＋4)i

12＋22

＝45＋7

5i.

(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 探究2 共轭复数

例2 z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i

D ．1－i

[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，又z ＋z －＝2，即(a ＋b i)＋(a －b i)＝2，所以2a ＝2，解得a ＝1.又(z －z －)i ＝2，即[(a ＋b i)－(a －b i)]·i ＝2，所以b i 2＝1，解得b ＝－1.所以z ＝1－i.

[答案] D 拓展提升

(1)复数的代数形式为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 为实部、b 为虚部．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数就是z －＝a －b i(a ，b ∈R )．

(2)对于复数的四则运算：加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化来进行．

【跟踪训练2】 已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2. 解 因为z ＝1＋i ，

所以az ＋2b z －

＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.

因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z －＝(a ＋2z )2，

得????? a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2)，解得????? a 1＝－2，b 1＝－1或?????

a 2＝－4，

b 2＝2.

所以所求实数为a 1＝－2，b 1＝－1或a 2＝－4，b 2＝2. 探究3 复数i n 的周期性运算 例3 计算：(1)

2＋2i (1－i )2＋?

??

??21＋i 2020

； (2)1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2019. [解] (1)2＋2i

(1－i )2

＋? ??

??

21＋i 2020 ＝2＋2i

－2i ＋? ??

??22i 1010＝i(1＋i)＋? ????1i 1010

＝－1＋i ＋(－i)1010＝－1＋i －1＝－2＋i. (2)解法一：∵i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0，n ∈N *，

∴1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2019＝1＋i ＋i 2＋(i 3＋i 4＋i 5＋i 6)＋(i 7＋i 8＋i 9＋i 10)＋…＋(i 2015＋i 2016＋i 2017＋i 2018)＋i 2019＝1＋i ＋i 2＋i 3＝0.

解法二：1＋i ＋i 2＋…＋i 2019＝1－i 20201－i ＝1－i 505×41－i ＝1－1

1－i ＝0.

拓展提升

i n (n ∈N *)的性质

根据复数乘法法则，容易得到i 的n 次幂的计算法则， 即

n ∈N *时，i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，其中i 0＝1，i －n ＝1i

n (n

∈N *)．

另外，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.

【跟踪训练3】 (1)当z ＝－

1－i

2

时，z 100＋z 50＋1的值等于( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i

(2)计算? ????1＋i 1－i 6

＋2＋3i 3－2i 的值为________． 答案 (1)D (2)－1＋i

解析 (1)∵z 2

＝?

????－1－i 22＝－2i

2＝－i ，

∴z 100＋z 50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1 ＝[(－i)2]25＋(－i)＋1＝－1－i ＋1＝－i. (2)原式＝??????(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )

3＋2

＝i 6

＋6＋2i ＋3i －6

5

＝－1＋i.

1.复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.

2.共轭复数性质可以用来解决一些复数问题.

3.复数问题实数化思想

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.

1．复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i

答案 A

解析 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.选A. 2．复数

2

1－i

等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i

解析 2

1－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，∴选A.

3．(1＋i)2－

2－i

2＋i

＝________. 答案 －35＋14

5i

解析 (1＋i)2－2－i

2＋i

＝2i －(2－i )25＝－35＋14

5i.

4．(1－2i)(3＋4i)(－1＋i)＝________. 答案 －9＋13i

解析 (1－2i)(3＋4i)(－1＋i)＝(11－2i)(－1＋i)＝－9＋13i. 5．把复数z 的共轭复数记作z －，已知i·z －

＝4＋3i ，求z z －.

解 由i·z －＝4＋3i 得z －

＝4＋3i i ＝3－4i ，所以z ＝3＋4i. 所以z z －＝3＋4i

3－4i ＝(3＋4i )2(3－4i )(3＋4i )＝－7＋24i 25.

A 级：基础巩固练

一、选择题

1．若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．1＋i C ．－1＋i D ．1－i 答案 B

解析 解法一：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z i ＝(a ＋b i)i ＝－b ＋a i ＝1＋i ，得a ＝1，b ＝－1，则z ＝1－i ，所以z －＝1＋i.

解法二：复数z ＝1＋i

i ＝(1＋i)(－i)＝1－i ，则z 的共轭复数z －＝1＋i. 2．已知复数z 满足z (1＋i)＝－i ，则|z |＝( ) A.12 B.2

2 C ．1 D. 2

解析 因为z ＝－i 1＋i ＝－i (1－i )

(1＋i )(1－i )

＝－1－i 2，所以|z |＝2

2.

3．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 1·z 2＝( )

A ．12＋13i

B ．13＋12i

C ．－13i

D ．13i

答案 D

解析 因为复数z 1＝3＋2i 在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称的点表示的复数z 2＝2＋3i ，所以z 1·z 2＝(3＋2i)(2＋3i)＝13i.故选D.

4．在复平面内，复数z ＝2

3－i

＋i 3对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

答案 D

解析 复数z ＝23－i ＋i 3＝2(3＋i )(3－i )(3＋i )－i ＝3＋i 5－i ＝35－45i ，其在复平面上对

应的点位于第四象限．

5．已知a

1＋i ＝1－b i ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a －b i|＝( )

A ．3

B ．2

C ．5 D. 5 答案 D

解析 a ＝(1－b i)(1＋i)＝1＋b ＋(1－b )i ，由复数相等的充要条件可知????? a ＝1＋b ，1－b ＝0，∴?????

a ＝2，

b ＝1，

∴|a －b i|＝

a 2＋

b 2＝ 5.

6．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z 1＝1－2i ，则z 2

z 1

的虚部为( )

A.35 B ．－35 C.45 D ．－45 答案 D

解析 因为z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝1－2i ，所以z 2＝－1－2i ，z 2z 1＝－1－2i 1－2i ＝－(1＋2i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )

＝－(－3＋4i )5＝35－45i ，所以其虚部为－4

5.

二、填空题

7．若复数(1＋a i)2(i 为虚数单位，a ∈R )是纯虚数，则复数1＋a i 的模是________．

答案

2

解析 因为(1＋a i)2＝1－a 2＋2a i 是纯虚数，所以1－a 2＝0且2a ≠0，所以a 2＝1，复数1＋a i 的模为

1＋a 2＝ 2.

8．定义运算??

????a

b c d ＝ad －bc ，则符合条件????

??1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z ＝________.

答案 3－i

解析 ∵??????1 －1z z i ＝4＋2i ，∴z i ＋z ＝4＋2i ，即z (1＋i)＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i

1＋i ＝3

－i.

9．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2

，z －是z 的共轭复数，则z ·z －

＝________.

答案 1

4 解析 z ＝

3＋i (1－3i )2

＝

3＋i

－2－23i

＝－34＋i

4，所以z ·z －＝

? ????－34＋i 4·? ????－34－i 4＝1

4

. 三、解答题

10．设z ＝12＋3

2i(i 是虚数单位)，求z ＋2z 2＋3z 3＋4z 4＋5z 5＋6z 6. 解 z 2＝－12＋3

2i ，z 3＝－1， z 4＝－12－32i ，z 5＝12－3

2i ，z 6＝1，

所以原式＝? ????

12＋32i ＋(－1＋3i)＋(－3)＋(－2－23i)＋? ????52

－

532i ＋6＝3

－33i.

B级：能力提升练

11．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.

(1)求复数z的共轭复数．

(2)若w＝z＋a i，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．

解(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，

所以复数z的共轭复数为－2－4i.

(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应向量为(－2,4＋a)，

其模为4＋(4＋a)2＝20＋8a＋a2.

又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2 5.

由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，

所以实数a的取值范围是－8≤a≤0.

12．已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部为2.

(1)求复数z；

(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

解(1)设z＝a＋b i(a，b∈R)，由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2ab i，所以2ab＝2.所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.

(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，

－1)，所以S△ABC＝1

2|AC|×1＝1

2×2×1＝1.

当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.

所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1

2|AC|×1＝1

2×2×1

＝1，即△ABC的面积为1.