2018年高考数学分类汇编之三角函数

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[推荐学习]2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数教师

2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书文北师大版1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：4.三角函数线如图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同．( × ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ ) (5)若α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限． 2．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M (12，y )，则sin α等于( )A.32 B ．±32 C.22 D ．±22答案 B解析由题意知|r |2＝(12)2＋y 2＝1，所以y ＝±32. 由三角函数定义知sin α＝y ＝±32. 3．(2016·潍坊二模)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.4．已知在半径为120 mm 的圆上，有一段弧长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad. 答案 1.2解析由题意知α＝l r ＝144120＝1.2 rad. 5．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ).题型一角及其表示例1 (1)若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．答案 (1)A (2)(2k π＋π4，2k π＋56π)(k ∈Z )解析 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角．所以α为第一或第三象限角．故选A.(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是__________________．(2)(2016·广州模拟)若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ3角的终边相同的角的个数为________．答案 (1){α|α＝π3＋k π，k ∈Z } (2)3解析 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角为π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝π3＋k π，k ∈Z }．(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )，依题意0≤2π7＋2k π3≤2π，k ∈Z ，∴－37≤k ≤187，∴k ＝0,1,2，即在[0,2π]内与θ3角的终边相同的角为2π7，20π21，34π21共3个．题型二弧度制例2 (1)(2016·成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．答案2解析设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . ①若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．解 ①S ＝12lr ＝12αr 2＝12×59π×4＝109π.②由题意知l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，S ＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25.当r ＝5时，l ＝20－2×5＝10，α＝l r＝2(rad)．即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad. 思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( )A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π6(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3D. 3答案 (1)C (2)D解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A 、B 不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.(2)如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt△AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r＝3rr＝ 3.题型三三角函数的概念命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)(2016·广州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________．(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 (1)－64(2)A 解析 (1)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m3＋m2＝24m ， ∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22， ∴cos θ＝－322＝－64.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴Q 点的坐标为(－12，32)．命题点2 三角函数线例4 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为__________________．答案 [2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z )解析要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2k π＋π3，2k π＋5π6) (k ∈Z )．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3](2)满足cos α≤－12的角α的集合为________．答案 (1)A (2){α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }解析 (1)∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }．6．数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为________．(2)(2016·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．思想方法指导在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集．解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，yP ＝1＋PB ＝1－cos 2，所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． (2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．答案 (1)(2－sin 2,1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α＜0 B ．tan α－sin α＜0 C ．cos α－tan α＜0 D ．tan αsin α＜0 答案 B解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ，故选B. 3．(2016·广州一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α等于( )A.155 B.153 C ．－155D ．－153答案 D解析 ∵P (x ，5)，∴y ＝ 5. 又cos α＝24x ＝xr，∴r ＝22， ∴x 2＋(5)2＝(22)2，解得x ＝± 3. 由α是第二象限的角，得x ＝－3，∴tan α＝y x ＝5－3＝－153.4．(2016·九江模拟)若390°角的终边上有一点P (a,3)，则a 的值是( ) A. 3 B ．3 3 C ．－ 3 D ．－3 3答案 B解析 tan 390°＝3a，又tan 390°＝tan(360°＋30°)＝tan 30°＝33， ∴3a ＝33，∴a ＝3 3. 5．已知点P (sin α－cos α，2)在第二象限，则α的一个变化区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π答案 C解析 ∵P (sin α－cos α，2)在第二象限，∴sin α<cos α，∴α的一个变化区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案 B解析由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．答案 (－1，3)解析依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 8．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长为________．答案π3解析设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.9．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角．答案二解析由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角．10．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．答案 (π4，5π4)解析如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4，5π4)． 11．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2(rad)．如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2 rad ，弦长AB 为2sin 1 cm.12．已知角α终边上一点P ，P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，且sin α<0，求cos α＋2tan α的值．解设P (x ，y )，则根据题意，可得|y ||x |＝34.又∵sin α<0，∴α的终边只可能在第三、第四象限．①若点P 位于第三象限，可设P (－4k ，－3k )(k >0)，则r ＝x 2＋y 2＝5k ，从而cos α＝x r ＝－45，tan α＝y x ＝34，∴cos α＋2tan α＝710.②若点P 位于第四象限，可设P (4k ，－3k )(k >0)，则r ＝x 2＋y 2＝5k ，从而cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34，∴cos α＋2tan α＝－710.综上所述，若点P 位于第三象限，则cos α＋2tan α＝710；若点P 位于第四象限，则cos α＋2tan α＝－710.13.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0， sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。

课标通用2018年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

§4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式考纲展示►sin x1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.cos xπ2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．2考点1三角函数的诱导公式诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)ππ＋α－απ－α－α2π＋α2正弦sin α－sin α－sin αsin αcos α______余弦cos α－cos αcos α______ sin α－sin α续表组序一二三四五六正切tan αtan α－tan α______函数名不变函数名改变口诀符号看象限符号看象限记忆奇变偶不变，符号看象限规律答案：cos α－cos α－tan αππ3π(1)[教材习题改编]已知f(x)＝sin( ＋2sin －4cos 2x＋3cos ，则fx＋4) (x－4) (x－4 )- 1 -π( 4 )－的值为()A．0 B．1 C．－5 D．－9答案：C3 π(2)[教材习题改编]已知cos α＝－5，则sin( ＋α)＝________.23答案：－5π 3解析：sin ( ＋α)＝cos α＝－.2 5诱导公式的应用原则：负化正，大化小，化到锐角为终了．sin(－2 010°)的值是________．1答案：2解析：sin(－2 010°)＝－sin 2 010°＝－si n(5×360°＋210°)＝－sin 210°＝－1sin(180°＋30°)＝sin 30°＝.2π 1 πα－[典题1](1)[2017·浙江台州中学高三月考]已知sin( 4)＝3，则cos( ＋α)＝4 ()2 2 1 1A. 2 B．－ 2 C. D．－3 3 3 3[答案] D[解析]根据诱导公式可知，ππππ 1sin (＝－cos ⇒cos ＝－，故选D.α－4) ( ＋2) ( ＋α)α－4 4 3(2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________.[答案] 1[解析]原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋- 2 -300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos210°－cos 300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos30°＋cos 60°sin30°3 3 1 1＝×＋×＝1.2 2 2 22sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α(3)设f(α)＝，其中1＋2sinα≠0，则3ππ1＋sin2α＋cos( ＋α)－sin2( ＋α)2 223πf( ＝________.－ 6 )[答案] 3－2sin α－cos α＋cos α[解析]∵f(α)＝1＋sin2α＋sin α－cos2α2sin αcos α＋cos αcos α1＋2sin α 1＝＝＝，2sin2α＋sin αsin α1＋2sin αtan α23π 1 1( 6 )＝＝∴f－23ππtan( 6 ) tan( 6 )－－4π＋1＝＝3.πtan6[点石成金]利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．考点2同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝________；- 3 -sin αtan α＝.cos α答案：(1)112(1)[教材习题改编]已知cos α＝，且α是第四象限角，则sin α的值为________．135答案：－13解析：由于α是第四象限角，5故sin α＝－1－cos2α＝－.133sin αcos α(2)[教材习题改编]已知tan α＝－2，则＝________.sin2α－cos2α答案：－21.基本关系式的误区：公式形式误区；角的范围误区．下列命题正确的有________．(填序号)①若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1；sin α②若α∈R，则tan α＝恒成立；cos α③sin2α＋cos2α＝sin2θ＋cos2θ.答案：③解析：①只有当α＝β时，才有sin2α＋cos2β＝1；π②因为cos α≠0，则α≠＋kπ，k∈Z；2③根据平方关系式，可得③正确．2．诱导公式应用的常见两种错误：符号；函数名．1(1)若sin(3π＋θ)＝，则sin θ＝________.3π(2)若cos( ＋α)＝m，则sin α＝________.21 答案：(1)－(2)－m3解析：(1)先应用诱导公式一，得- 4 -sin(3π＋θ)＝sin(2π＋π＋θ)＝sin(π＋θ)；再应用公式二，得sin(π＋θ)＝－sin θ，1故sin θ＝－.3π(2)因为＋α可看作是第二象限角，2π所以cos ( ＋α)＝－sin α，故sin α＝－m. 2有关结论．1 π(1) ＝________ .1＋tan2α(x≠kπ＋，k∈Z )2答案：cos2αsin α 1 解析：由sin2α＋cos2α＝1和＝tan α，得tan2αcos2α＋cos2α＝1，故cos α1＋tan2α＝cos2α.(2) 1－sin 2α＝________.答案：|sin α－cos α|解析：因为1－sin 2α＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，所以1－sin 2α＝|sin α－cos α|.1 π[典题2](1)[2017·甘肃兰州诊断]已知sin(π－α)＝log8 ，且α∈，0)，则4 (－2tan(2π－α)的值为()2 5 2 5 2 5 A．－ B. C．± D.5 5 5 5 2[答案] B1 2 [解析]sin(π－α)＝sin α＝log8 ＝－，4 3π又因为α∈(－，0)，25则cos α＝1－sin2α＝，3sin α 2 5所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.cos α 5- 5 -1(2)已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π，则tan α＝________.54[答案]－3[解析]解法一：联立方程Error!1 由①得cosα＝－sin α，5将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形的内角，∴Error!4∴tan α＝－.31解法二：∵sin α＋cos α＝，51(5 )2，∴(sin α＋cos α)2＝1即1＋2sin αcos α＝，2524∴2sin αcos α＝－，2524 49∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.25 2512∵sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π，25∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0.7∴sin α－cos α＝.5由Error!得Error!4∴tan α＝－.3[题点发散1]保持本例(2)中条件不变，sin α－4cos α求：(1) ；5sin α＋2cos α(2)sin2α＋2sin αcos α的值．解：由母题，可知- 6 -4tan α＝－.3sin α－4cos αtan α－4(1) ＝5sin α＋2cos α5tan α＋24 －－43 8＝＝.4 75 ×( 3 )－＋2sin2α＋2sin αcos α(2)sin2α＋2sin αcos α＝sin2α＋cos2α16 8－tan2α＋2tan α9 3 8＝＝＝－.tan2α＋1 16 25＋19sin α＋3cos α[题点发散2]若本例(2)中条件变为“＝5”，求tan α的值．3cos α－sin αsin α＋3cos α解：解法一：由＝5，得3cos α－sin αtan α＋3＝5，即tan α＝2.3－tan αsin α＋3cos α解法二：由＝5，得3cos α－sin αsin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2.[题点发散3]若本例(2)中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－1，求sin α＋cos α的值．31 1解：由tan α＝－，得sin α＝－cos α，3 310 将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，99∴cos2α＝，易知cos α＜0，103 10 10∴cos α＝－，sin α＝，10 1010故sin α＋cos α＝－.5[点石成金]同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型sin θ表达式中含有sin θ，cos θ与tan 切弦主要利用公式tan θ＝化成cos θ- 7 -互化sin θ 正弦、余弦，或者利用公式＝ cos θ θtan θ 化成正切1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋“1”的变换π tan 2θ)＝tan ＝(sin θ±cos4θ)2∓2sin θcos θ表达式中需要利用“1”转化和积利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin表达式中含有 sin θ±cos θ 或 sin转换θcos θ 的关系进行变形、转化 θcos θ11.若 3sin α＋cos α＝0，则的值为( )cos 2α＋2sin αcos α10 5 A. B. 3 3 2 C. D ．－23 答案：A解析：3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0 1⇒tan α＝－，31cos 2α＋sin 2α＝cos 2α＋2sin αcos αcos 2α＋2sin αcos α 1 1＋(－3)21＋tan 2α10 ＝＝＝ . 1＋2tan α 2 31－34 π0， 2．[2017·四川雅安模拟]已知 sin θ＋cos θ＝3，θ∈(4)，则 sin θ－cos θ 的值为( )2 1 A. B.3 3 2 1 C ．－ D ．－3 3答案：C16解析：由题意，知(sin θ＋cos θ)2＝， 9- 8 -16 7∴1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝，9 97 2由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝，9 92可得sin θ－cos θ＝±.3π又∵θ∈( 4)，sin θ<cos θ，0，2∴sin θ－cos θ＝－.3考点3巧用相关角的关系解题π5π2π[典题3](1)已知cos( －θ)＝a(|a|≤1)，则cos( ＋θ)＋s in( －θ)的值是6 6 3 ________．[答案]05πππ[解析]由题意知，cos( ＋θ)＝cos[π－( －θ)]＝－cos( －θ)＝－a.6 6 62πππsin( －θ)＝sin[ ＋( －θ)]3 2 6π＝cos ( －θ)＝a，65π2π∴cos( ＋θ)＋sin( －θ)＝0.6 3π 1 π(2)已知sin( －α)＝2，则cos( ＋α)＝________.3 61[答案]2πππ[解析]∵( －α)＋( ＋α)＝，3 6 2πππ∴cos( ＋α)＝cos[ －( －α)]6 2 3π 1＝sin ( －α)＝.3 2πππ[点石成金]巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α；3 6 3ππππ2ππ3π＋α与－α；＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－θ6 4 4 3 3 4 4等.- 9 -7π 2 11π1.已知sin( ＋α)＝3，则cos( 12 )＝________.α－122答案：－311π11πα－解析：cos ( 12 )＝cos( －α)12ππ＝cos[π－( ＋α)]＝－cos( ＋α)，12 127ππππ 2而sin ( ＋α)＝sin[ ＋( ＋α)]＝cos( ＋α)＝，12 2 12 12 311π 2所以cos( ＝－.α－12 )312．若tan(π＋α)＝－，则tan(3π－α)＝________.21答案：21解析：因为tan(π＋α)＝tan α＝－，21所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝.2[方法技巧] 1.同角三角函数基本关系可用于统一函数．诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．2．三角函数求值与化简的常用方法sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积转换法：利用(sin θ±cosθ)2＝1±2sinθcos θ的关系进行变形、转化．π(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan ＝…4[易错防范] 1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负—脱周—化锐．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．- 10 -真题演练集训31．[2016·新课标全国卷Ⅲ]若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝()464 48A. B.25 2516C．1 D.25答案：Asin α 3解析：解法一：由tan α＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得Error!或Error!cos α 424则sin 2α＝2sin αcos α＝，2516 48 64则cos2α＋2sin 2α＝＋＝.25 25 25cos2α＋4sin αcos α 解法二：cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋sin2α1＋4tan α1＋3 64 ＝＝＝.1＋tan2α9 251＋162．[2014·大纲全国卷]设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则()A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b答案：C解析：∵a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°，sin 35°c＝tan 35°＝，cos 35°又0<cos 35°<1，∴c>b>a.3．[2015·四川卷]已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．答案：－1解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.2sin αcos α－cos2α所以2sin αcos α－cos2α＝sin2α＋cos2α2tan α－1 －4－1＝＝＝－1.tan2α＋1 4＋1课外拓展阅读分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用- 11 -sin kπ＋αcos kπ＋α[典例](1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是sin αcos α()A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}(2)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，则C＝________.[思路分析](1)角中有整数k，应对k是奇数还是偶数进行讨论；(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论．sin αcos α[解析](1)当k为偶数时，A＝＋＝2；sin αcos α－sin αcos α当k为奇数时，A＝－＝－2.sin αcos α所以A的值构成的集合是{2，－2}．(2)由已知，得Error!2①2＋②2，得2cos2A＝1，即cos A＝±，22 3 当cos A＝时，cos B＝，2 2ππ又A，B是三角形的内角，所以A＝，B＝，4 67π所以C＝π－(A＋B)＝.122 3当cos A＝－时，cos B＝－.2 2又A，B是三角形的内角，3π5π7π所以A＝，B＝，不合题意．综上，C＝.4 6 127π[答案](1)C(2)12温馨提示(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用．- 12 -。

高考数学之三角函数知识点总结

三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

角的大小是任意的。

定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。

定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=yx，定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。

【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编三角大题(精解精析)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编三角大题（精解精析）1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)ABC 中,sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．(1)求A 。

(2)若BC =3,求ABC 周长地最大值．【结果】（1）23π。

（2）3+．思路：（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅,2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅,()0,A π∈ ,23A π∴=（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=,即()29AC AB AC AB +-⋅=．22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ （当且仅当AC AB =时取等号）,()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭,解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号）,ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+,ABC ∴周长地最大值为3+．【点睛】本题考查解三角形地相关知识,涉及到正弦定理角化边地应用，余弦定理地应用，三角形周长最大值地求解问题。

求解周长最大值地关键是能够在余弦定理构造地等式中,结合基本不等式构造不等关系求得最值．2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)ABC △地内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ,已知sinsin 2A Ca b A +=．(1)求B 。

(2)若ABC △为锐角三角形,且1c =,求ABC △面积地取值范围．【结果】(1)3B π=;(2)．【官方思路】.(1)由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=,因为sin 0A ≠,所以sinsin 2A CB +=．由A BC 180++=︒,可得sin cos 22A C B +=,故B B Bcos 2sin cos 222=．因为B cos02≠,故B 1sin 22=,因此60=︒B ．(2)由题设及(1)知△ABC 地面积=△ABC S a ．由正弦定理得sin sin(120)1sin sin 2︒-===c A C a C C ．由于△ABC 为锐角三角形,故090︒<<︒A ,090︒<<︒C ．由(1)知120+=︒A C ,所以3090︒<<︒C ,故122<<a ,<<△ABC S ．因此△ABC 面积地取值范围是．【点评】这道题考查了三角函数地基础知识,和正弦定理或者余弦定理地使用（此题也可以用余弦定理求解）,最后考查△ABC 是锐角三角形这个款件地利用．考查地很全面,是一道很好地考题．3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)ABC △地内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ．设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．(1)求A 。

浙江2018版高考数学复习三角函数解三角形3.1导数的概念及运算教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形 3.1 导数的概念及运算教师用书1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f xg x ]′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【知识拓展】(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． (2)[1fx ]′＝－f x [fx2(f (x )≠0)．(3)[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．(4)函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )1．(教材改编)若f (x )＝x ·e x，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．e C ．2e D ．e 2答案 C解析 f ′(x )＝e x＋x ·e x ，∴f ′(1)＝2e.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________.答案－ 2解析因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.4．曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程是________________．答案 5x ＋y ＋2＝0解析因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.题型一导数的计算例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝sin(2x ＋π3)；(5)y ＝ln(2x －5)．解 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(ln x ＋1x )′＝(ln x )′＋(1x)′＝1x －1x2.(3)y ′＝(cos xex )′＝cos x ′·e x －cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x ex. (4)设u ＝2x ＋π3，则y ＝sin u ，则y ′＝(sin u )′·u ′＝cos(2x ＋π3)·2∴y ′＝2cos(2x ＋π3)．(5)令u ＝2x －5，则y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′·u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 (1)B (2)B解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋lnx 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 题型二导数的几何意义命题点1 求切线方程例2 (1)(2016·全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0答案 (1)2x ＋y ＋1＝0 (2)B解析 (1)设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B. 命题点2 求参数的值例3 (2016·舟山模拟)函数y ＝e x的切线方程为y ＝mx ，则m ＝________.(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 答案 (1)e (2)D解析 (1)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ′＝e x，得y ′|x ＝x 0＝0x e ，从而切线方程为y －0x e ＝0x e (x －x 0)，又切线过定点(0,0)，从而－0x e ＝0x e (－x 0)，解得x 0＝1，则m ＝e. (2)∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.故选D. 命题点3 导数与函数图象的关系例4 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )答案 D解析函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是上凸的；当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f x 1x 0－x 1求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．(1)(2016·台州模拟)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12(2)(2016·临海模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2答案 (1)A (2)A解析 (1)设切点的横坐标为x 0，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴2'x y π=＝－1.由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.3．求曲线的切线方程典例若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．错解展示现场纠错解易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝0'x x y =＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 D解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2，所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.2．(2016·东阳模拟)若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(－1,2) B ．(1，－3) C ．(1,0) D ．(1,5)答案 C解析设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝4x 3－1，所以f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，即x 0＝1. 把x 0＝1代入函数f (x )＝x 4－x ，得y 0＝0，所以点P 的坐标为(1,0)．3．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，p ＝134.4．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.5. (2016·杭州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0. 6．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 答案 A解析由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121()4-＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 7．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)ex －1－f (0)x ＋12x 2.那么f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝e x －x ＋12x 2 解析由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x ，所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1.又f (0)＝f ′(1)e －1，所以f ′(1)＝e.从而f (x )＝e x －x ＋12x 2. 8．(2016·金华模拟)曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．答案 12ln 2解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)． ∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.9．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2. *10.已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________．答案－1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1.11．已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率为0'x x y ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.12．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知， ⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．*13.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝203(1)x +(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝203(1)x +(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.。

新高考数学(理)之三角函数与解三角形专题03 诱导公式(解析版)

新高考数学（理）三角函数与平面向量03 诱导公式一、具本目标：（1）能利用单位圆中的三角函数线推导出απαπ±±，2的正弦、余弦、正切的诱导公式. （2）由于诱导公式涉及的公式比较多，记忆时要分清诱导的方向与角的象限. 二、知识概述：1.诱导公式()角函数正弦余弦正切记忆口诀αsinαcosαtan函数名不变符号看象限-αsinαcos-αtan-αsin -αcosαtanαsin-αcos-αtanαcos αsin-函数名改变符号看象限αcos-αsin-2.事实上，对于角()2k k Z πα±∈g的正弦、余弦值有当k 为偶数时，函数名不变，符号看象限；当k 为奇数时，函数名改变，符号看象限.z k ∈απ+k 2α-απ+απ-απ-2απ+2【考点讲解】总的来说就是“奇变偶不变，符号看象限” 3.诱导公式的作用：任意角→)2,0(π的角；原则：负化正，大化小.4.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=（）A ．−2−3B ．−2+3C ．2−3D ．2+3【解析】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒3132 3.313+==+-故选D. 【答案】D【变式】=ο330cos （）A ．21B ．21- C ．23 D ．23-【解析】()2330cos 30360cos 330cos ==-=οοοο.【答案】23 2．【2019优选题】若点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α＝( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12【真题分析】【解析】本题考查的是三角函数的概念及诱导公式，由题意可得sin 5π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12， cos5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32，所以点⎝⎛⎭⎫12，－32在角α的终边上，且该点到角α顶点的距离 r ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1，所以sin α＝321y r-=－32.【答案】C3.【2019优选题】“32πθ=”是“⎪⎭⎫⎝⎛+=θπθ2cos 2tan ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】由题意可知：当32πθ=时，332sin 2322cos 2-=-=⎪⎭⎫⎝⎛+πππ，332tan -=π. 而3tan -=θ时，z k k ∈+=,32ππθ.因此前者是后者的充分不必要条件.【答案】A 【变式】""6a π=是().21sin =-απ的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【解析】().21sin 656=-=-=αππαππα，，得由().621sin πααπ==-不一定能得到但由""6a π=是()21sin =-απ 的充分不必要条件. 【答案】A4．【2019优选题】设函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=22sin πx x f ，R x ∈，则()f x 是（） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数【解析】由()⎪⎭⎫⎝⎛-=22sin πx x f 可得：()x x f 2cos -=，所以此函数是最小正周期为π的偶函数.【答案】B【变式】下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（） A ．⎪⎭⎫⎝⎛+=22cos πx y B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin πx y C ．x x y 2cos 2sin += D ．x x y cos sin += 【解析】由题意可知x x y 2sin 22cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π，所以符合最小正周期为π的奇函数.【答案】A5.【2018优选题】设函数()()R x x f ∈满足()()x x f x f sin +=+π．当π<≤x 0时，()0=x f ，则=⎪⎭⎫⎝⎛623πf （）A ．21 B ．23 C ．0 D ．21-【解析】由题意可得：617sin 611sin 611617sin 617623ππππππ++⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f617sin611sin 65sin 65ππππ+++⎪⎭⎫⎝⎛=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=62sin 62sin 6sin 0πππππππ=212121210=+-+. 【答案】A6.若13cos(),2,22+=-<<ππααπ则sin(2)-=πα（） A.12B.32±C.32D.32-【解析】由13cos(),2,22+=-<<ππααπ可得：1cos()cos ,2παα+=-=-1cos ,2α= 所以sin(2)sin παα-=-.而23sin 1cos 2αα=--=-所以.3sin(2)2πα-=.【答案】 C7.【2017年高考北京卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________．【解析】因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，所以()1sin sin π2πsin 3k βαα=+-==.【答案】138.【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【答案】79-9.【2018优选题】已知712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且04πα<<，则sin α=_____，cos α=_____．【解析】()2512sin cos sin cos 27cos 2sin ==-⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--αααααπαπ .又04πα<< ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 2512cos sin 22αααα则，且0sin cos αα<<，可得34sin ,cos 55αα==【答案】35 4510.【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值；（2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-.1.已知31)22015sin(=+απ，则)2cos(a -π的值为（） A ．31 B ．31- C ．97 D ．97-【模拟考场】【解析】因为31)22015sin(=+απ，所以31cos =α，所以97)192()1cos 2(2cos )2cos(2=--=--=-=-αααπ．选C ．【答案】C 2.已知232cos =⎪⎭⎫⎝⎛-ϕπ，且2πϕ<，则tanφ＝（） A ．33-B ．33C ．3-D ．3 【解析】根据诱导公式23sin 2cos ==⎪⎭⎫⎝⎛-ϕϕπ，又因为2πϕ<，所以20πϕ<<，所以3πϕ=，所以3tan =ϕ．【答案】D3.若3sin()5πα+=，α是第三象限的角，则sincos22sin cos22παπαπαπα++-=--- （） A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【解析】由题意3sin 5α=-，因为α是第三象限的角，所以4cos 5α=-，因此222sincoscossin(cossin )1sin 1222222cos 2sin cos cos sin cos sin222222παπααααααπαπαααααα++-+++====------.【答案】B. 4.已知()()sin 2cos 30πθπθ-++-=，则cos sin cos sin θθθθ+=-（）A. 3B. 3-C.13 D. 13- 【解析】因为()()sin 2cos 30πθπθ-++-=，所以2cos 0sin θθ--= ，可得cos tan 1211tan 2,cos tan 1213sin sin θθθθθθθ++-+=-===---- ，故选C.【答案】C5. 已知3sin()35x π-=，则5cos()6x π-= ( )A.35 B. 45 C. 35- D. 45- 【解析】∵3sin()sin[()]cos()32665x x x ππππ-=-+=+=， ∴53cos()cos[()]cos()6665x x x ππππ-=-+=-+=- 【答案】C6.已知1sin ,(,)322ππθθ=∈-，则3sin()sin()2πθπθ--的值为（）（A ）922 （B ）922- （C ）91 （D ）91-【解析】2122,,cos 1sin 12293ππθθθ⎛⎫∈-∴=-=-=⎪⎝⎭Q , ()312222sin sin sin cos 2339ππθθθθ⎛⎫∴--=-=-⨯=-⎪⎝⎭.故B 正确. 【答案】B7.=ο750sin ．【解析】本题考查的是三角函数求值问题，所以要求将ο750转化为οοο303602750+⨯=再利用诱导公式求ο30角的正弦值即可.由题意可得()2130sin 303602sin 750sin ==+⨯=οοοο.【答案】21 8.若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则cos α的值为__________．【解析】由题意得()1122sin sin ,,,cos 1.3293ππαααπα⎡⎤-==∈∴=--=-⎢⎥⎣⎦Q 【答案】223-9.已知31sin()lg10πθ+=，求cos(3)cos(2)3cos()[cos()1]cos sin()cos 2πθθπθπθθπθθ+-+----+【解析】由题有31sin lg 103θ-=-=-，1sin 3θ∴=，原式cos cos cos [cos 1]cos (cos )cos θθθθθθθ-=+---+221122181cos 1cos 1cos sin θθθθ=+===+-- 【答案】1810.已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-)-3.(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间[,44ππ-]上单调性【解析】()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 34sin cos 333f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213=4sin cos sin 32sin cos 23sin 322x x x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭()()=sin 231-cos 23sin 23cos 2=2sin 23x x x x x π+-=--.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== ()II 解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦I .所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.11.已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点)415,(m P ．（1）求实数m 的值；（2）求1)23sin()sin()2sin(+--+-απαππα的值．【解析】（1）∵角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点)415,(m P ，∴m ＜0， 221514m ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得14m =-；（2）由（1）可知151sin ,cos 44αα==-， ∴1sin()cos 315243sin cos 16151sin()sin()11244πααπααπαα--+===--+++--+--+。

2018年高考理科数学考前集训：三角函数的图象与性质(解析版)

2018年高考理科数学考前集训：三角函数的图象与性质（解析版）[考情分析]三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角变换交汇命题，难度为中档偏下.1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡ 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12⎦⎤＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D. 答案：D2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减解析：根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，23π上单调递减，在⎝⎛⎭⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D. 答案：D3．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：由题意得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4.若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4， f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，故选B. 答案：B4．(2016·高考全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．答案：B5．(2015·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，得φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14 ＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 答案：D6．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是__________．解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1.答案：1函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与变换[方法结论]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：[题组突破]1．(2017·呼和浩特调研)如图是函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的部分图象，则g (x )的图象可能是由f (x )的图象( )A ．向右平移2π3个单位得到的B ．向右平移π3个单位得到的C ．向右平移7π12个单位得到的D ．向右平移π6个单位得到的解析：由题意可得，在函数f (x )＝sin 2x 的图象上，(π8，y )关于对称轴x ＝π4对称的点为(3π8，y )，而17π24－3π8＝π3，故g (x )的图象可能是由f (x )的图象向右平移π3个单位得到的．答案：B2．(2017·河西五市联考)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3D.5π6解析：y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，将其图象向左平移m 个单位后，得到的图象对应的函数解析式为y＝2sin(x ＋m ＋π3)，由题意得，m ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，则m ＝π6＋k π，k ∈Z ，故取k ＝0时，m min ＝π6，故选B.答案：B3．(2017·合肥模拟)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．先向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．先向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．先向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．先向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度解析：先将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin 2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin 2x ＋1的图象，故选B. 答案：B [误区警示]作三角函数图象左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sin ωx (ω＞0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位．由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[方法结论]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式的确定利用函数图象的最高点和最低点确定A ，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点确定φ.[题组突破]1．(2017·贵阳模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，其导数f ′(x )的图象如图所示，则f (π2)的值为( )A ．22 B. 2 C ．－22D ．－24解析：依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝2πω＝4(3π8－π8)＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0＜φ＜π，3π4＜3π4＋φ＜7π4，且f ′(3π8)＝cos(3π4＋φ)＝－1，所以3π4＋φ＝π，φ＝π4 ，f (x )＝12sin(2x ＋π4)，f (π2)＝12sin(π＋π4)＝－12×22＝－24，故选D. 答案：D2．(2017·沈阳模拟)某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－56x ＋3π5 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x －2π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x ＋3π5D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫56x ＋3π5解析：通解：不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，由图知A ＝1，T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，π3是函数的图象递减时经过的零点，于是65×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ可以是3π5，选C.优解：由图象知过⎝⎛⎭⎫π3，0点，代入选项可排除A 、D.又过点⎝⎛⎭⎫34π，－1，代入B ，C 知C 正确．答案：C [误区警示]用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.三角函数的性质[方法结论]1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )． 2．三角函数奇偶性判断y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得． y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 3．三角函数周期性的求法函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的周期为T ＝π|ω|.4．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)． (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[典例] (2017·四川绵阳模拟)已知函数f (x )＝cos x sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)求f (x )在[－π4，π3]上的最大值和最小值．解析：由已知有f (x )＝cos x sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)．(1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为y ＝sin x 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，所以2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )．(3)因为x ∈[－π4，π3]，所以2x －π3∈[－56π，π3]，所以sin(2x －π3)∈[－1，32]，所以f (x )＝12sin(2x －π3)∈[－12，34]．故f (x )在[－π4，π3]上的最大值为34，最小值为－12.[类题通法]1．在求解y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、单调性、对称性及已知区间上的最值问题时往往将ωx ＋φ看作整体，利用y ＝A sin x 的图象与性质进行求解．2．研究三角函数性质时注意数形结合思想的运用．[演练冲关]1．(2017·石家庄模拟)若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于(π2，0)对称，则函数f (x )在[－π4，π6]上的最小值是( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－12D ．－32解析：f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin(2x ＋θ＋π6)，则由题意，知f (π2)＝2sin(π＋θ＋π6)＝0，又0＜θ＜π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在[－π4，π4]上是减函数，所以函数f (x )在[－π4，π6]上的最小值为f (π6)＝－2sin π3＝－3，故选B.答案：B2．(2017·长春质检)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3与y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象关于直线x ＝a 对称，则a 可能是( ) A.π24 B.π12 C.π8D.11π24解析：由题意，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象关于直线x ＝a 对称的图象对应的函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(2a －x )－π3，利用诱导公式将其化为余弦表达式为y ＝ cos ⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2－⎣⎡⎦⎤2(2a －x )－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6－4a ，则y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6－4a ，得a ＝π24.故选A.答案：A3．(2017·上海普陀区调研)已知函数f (x )＝2sin 2x ＋b sin x cos x 满足f ⎝⎛⎭⎫π6＝2. (1)求实数b 的值以及函数f (x )的最小正周期；(2)记g (x )＝f (x ＋t )，若函数g (x )是偶函数，求实数t 的值．解析：(1)由f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，得2×14＋b ×12×32＝2，解得b ＝2 3.则f (x )＝2sin 2x ＋23sin x cos x ＝1－cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)得f (x ＋t )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋t )－π6＋1，所以g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π6＋1，又函数g (x )是偶函数，则对于任意的实数x ，均有g (－x )＝g (x )成立．所以sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2t －π6＋2x ＝ sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2t －π6－2x ，整理得cos ⎝⎛⎭⎫2t －π6sin 2x ＝0. 则cos ⎝⎛⎭⎫2t －π6＝0，解得2t －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以t ＝k π2＋π3，k ∈Z .三角函数与其他知识的交汇问题三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、向量、方程等知识的交汇．[典例] 函数y ＝2sinπx 2＋1的部分图象如图所示，则(OA →＋2OB →)·AB →＝( )A ．－10B ．－5C ．5D ．10解析：令y ＝1，可得sin π2x ＝0，由五点作图法知π2x ＝π，解得x ＝2，故A (2，1)．令y ＝2sin π2x ＋1＝－1，得sin π2x ＝－1，由五点作图法得x ＝3，故B (3，－1)．所以(OA →＋2OB →)·AB →＝(8，－1)·(1，－2)＝8＋2＝10，故选D. 答案：D [类题通法]解决三角函数与其他知识的交汇问题，要充分利用三角函数的图象与性质，如本例充分利用了数形结合思想．[演练冲关]已知定义在区间[0，3π2]上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，当x ≥3π4时，f (x )＝cos x ，如果关于x的方程f (x )＝a 有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为( ) A.54π B.32π C.94π D ．3π解析：依题意作出函数f (x )在区间[0，3π2]上的简图，当直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有交点时，方程f (x )＝a 有解，所以－1≤a ≤0.①当－22＜a ≤0时，f (x )＝a 有2个解，此时S ＝3π2.②当a ＝－22时，f (x )＝a 有3个解，此时S ＝3π4＋3π2＝9π4.③当－1＜a ＜－22时，f (x )＝a 有4个解，此时S ＝2×3π2＝3π.④当a ＝－1时，f (x )＝a 有2个解，此时S ＝3π2.故选A.答案：A。

专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(解析版)

专题05三角函数与解三角形历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 三角函数2019年新课标1理科11 单选题2017 三角函数2017年新课标1理科09 单选题2016 三角函数2016年新课标1理科12 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科02 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科08 单选题2014 三角函数2014年新课标1理科08 单选题2012 三角函数2012年新课标1理科09 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科05 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科11 单选题2010 三角函数2010年新课标1理科09 填空题2018 三角函数2018年新课标1理科16 填空题2015 解三角形2015年新课标1理科16 填空题2014 解三角形2014年新课标1理科16 填空题2013 三角函数2013年新课标1理科15 填空题2011 解三角形2011年新课标1理科16 填空题2010 解三角形2010年新课标1理科16 解答题2019 解三角形2019年新课标1理科17 解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17 解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17 解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17 解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17 解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．2．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x）＝cos（2x）＝sin（2x）的图象，即曲线C2，故选：D．3．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．4．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°．故选：D．5．【2015年新课标1理科08】函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ，kπ），k∈z B．（2kπ，2kπ），k∈zC．（k，k），k∈z D．（，2k），k∈z【解答】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2（）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得ϕ，k∈z，即ϕ，f（x）＝cos（πx）．由2kπ≤πx2kπ+π，求得2k x≤2k，故f（x）的单调递减区间为（，2k），k∈z，故选：D．6．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（）A．3α﹣βB．3α+βC．2α﹣βD．2α+β【解答】解：由tanα，得：，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C．7．【2012年新课标1理科09】已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．8．【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x 上，则cos2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故选：B．9．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ．因此，f（x）cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．10．【2010年新课标1理科09】若，α是第三象限的角，则（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．11．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x或cos x＝﹣1，可得此时x，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．12．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD x，AE x，DE x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m，∴0＜x＜4，而AB x+m x x，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．13．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．14．【2013年新课标1理科15】设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（x）＝sin x﹣2cos x（sin x cos x）sin（x﹣α）（其中cosα，sinα），∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：15．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：216．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．17．【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A ﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A，∵0＜A＜π，∴A．（2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴解得sin（C），∴C，C，∴sin C＝sin（）＝sin cos cos sin．18．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5．19．【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C，∴cos B cos C﹣sin B sin C，∴cos（B+C），∴cos A，∵0＜A＜π，∴A，∵2R2，∴sin B sin C•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c∴周长a+b+c＝3．20．【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C，∴C；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S ab sin C ab，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5．21．【2013年新课标1理科17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（1）若PB，求P A；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，，∴∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得P A2＝PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°．∴P A．（II）设∠PBA＝α，在Rt△PBC中，PB＝BC cos（90°﹣α）＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．22．【2012年新课标1理科17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C a sin C﹣b﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）由正弦定理得：a cos C a sin C﹣b﹣c＝0，即sin A cos C sin A sin C＝sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C＝sin（A+C）+sin C，即sin A﹣cos A＝1∴sin（A﹣30°）．∴A﹣30°＝30°∴A＝60°；（2）若a＝2，△ABC的面积，∴bc＝4．①再利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝（b+c）2﹣3×4＝4，∴b+c＝4．②结合①②求得b＝c＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象，可得：332113441264T ππππω=⋅=-=，解得：2ω=，由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<，可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( ) A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 【答案】C 【解析】由题意，函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则()()123g x g x ==，则22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--，当12711,66x x ππ==-时，122x x -取得最大值，最大值为711252()666πππ⨯--=，故选C.3．将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-【答案】A 【解析】因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++，将其图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，所以()cos()13g x x πϕ=-++，又()(4)g x g x π=-，所以()g x 关于2x π=对称，所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈，即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈，因为0πϕ-<<，所以易得23πϕ=-.故选A4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,),(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（） A ．sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以3()sin()4f x x πω=+，因为3()sin()0444f πππω=+=，由图可知，3244k ππωππ+=+，解得18,k k Z ω=+∈，又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=，所以3()sin(9)4f x x π=+，故答案选D.5．已知函数()cos 3f x x x =-，则下列结论中正确的个数是（）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A由题意，函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①中，由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值，则()f x 的图象不关于直线3x π=对称，故①错； ②中，将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象，故②对； ③中，由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心，故③错； ④中，由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤，解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤，即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈，由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④错．故选：A ．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -++=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程，则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…，故若使得方程有解，则只有△0=，此时6B π=，b =代入方程可得，2440a a -+=，由余弦定理可得，2428cos3022c c+-︒=⨯，解可得，c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选：C ．7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（）． A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B 【解析】由题意，因为672sinCcosA sin A =，可得：614sinCcosA sinAcosA =，即(614)0sinC sinA cosA -⋅=，可得∴614sinC sinA =或0cosA =，又由a b <，则A 为锐角，所以0cosA =不符合舍去，又由正弦定理可得：37c a =，即：73a c =，由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ∵(0,)C π∈，∴23C π=．故选：B ．9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：110．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈，因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号），从而xy 的最小值为1.411．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．【答案】(3π，+∞) 【解析】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．故答案为：(3π，+∞) 12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+，因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2]13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___．【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o，如图：故在Rt ABC∆中，sin4141θθ==，()131343cos120cos22224141241θθθ-=-+=-=oQ，又Q在ACD∆中由余弦定理有()(222413435cos1202341241ADθ+---==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-15．在锐角ABC∆中，角A B C，，的对边分别为a b c，，．且cos cosA Ba b+=23sin C23b=．则a c+的取值范围为_____．【答案】(6,3]【解析】cos cos233A B Ca b a+=Q23cos cos sin3b A a B C∴+=∴由正弦定理可得：23sin cos sin cos sinB A A B B C+=，可得：sin()sin sin A B C B C +==，sin B ∴=，又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,a c ∴+∈.故答案为： (6,.16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==，所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=，又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+，所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解c =即AB 的长为3.17．在ABC ∆中，A B C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值；（Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos 3B =，∴sin 3B =， ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==，由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DCCAD∠，因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin DC BBD C ===.（Ⅱ）由cos cos 2c B b C +=，即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sin a b A B =，∴sin sin 3a Bb A ==，故11sin 222ABC S ab C ==⨯=V 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】（1）⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）【解析】（1）()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称， ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()0f =，5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理，2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V 19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos 10B =，4C π=.（1）求BC 的长；（2）求sin(2)3A π+的值.【答案】（1）5BC =（2【解析】解：（1）因为cos B =，0B π<<，所以sin B ===在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+，于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+，于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭，于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】（Ⅰ）64（Ⅱ）1BC = 【解析】（Ⅰ）在ABD V 中，由正弦定理，得sin sin AD BD ABD A =∠∠．因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6sin ABD ∠=，因为90ABC ︒∠=，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=．在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠．因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-，即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =．21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos2sin 22A b b a B =+. （1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解：（1）由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+，化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =，因为sin 0B ≠，所以4tan 3A =，且A 为ABC ∆的内角，即3cos 5A =. （2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以220256b b =+-，所以2650b b -+=，所以1b =或5.22．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）1. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。

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2018年高考数学分类汇编之三角函数一、选择题1.【2018全国二卷6】在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =A ．BCD ．2.【2018全国二卷10】若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π3.【2018全国三卷4】若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 4．【2018全国三卷9】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π65.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D.46.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7．【2018浙江卷5】函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________．2．【2018全国二卷15】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．3.【2018全国三卷15】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 4.【2018北京卷11】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．5．【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是． 6．【2018江苏卷13】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．7.【2018浙江卷13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a 7b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．三．解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC .2.【2018北京卷15】在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．3.【2018天津卷15】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （I ）求角B 的大小；（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=-．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 7.【2018上海卷18】设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin +（1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =-（）ππ-［，］上的解. 参考答案一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D二、填空题 1. 2.12- 3. 3 4.23 5.π6- 6. 9 7.3721；三．解答题 1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.2.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B ．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A ，∴sin A ．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7=，∴AC 边上的高为33． 3.解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan 3B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b 7．由πsin cos()6b A a B =-，可得3sin 7A =．因为a <c ，故cos 7A =43sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=431133327-． 4.解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()αβ+=225sin()1cos ()αβαβ+-+，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 5.解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则si n θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ）=8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）=sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 6.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 7. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。

（2）4cos 22sin )4(2πππ+=a f ，由题意131)4(+=+=a f π，3=∴a ， x x x f 2cos 22sin 3)(+=∴12cos 2sin 3++=x x 1)62sin(2++=πx ，当],[ππ-∈x 时，即]613,611[62πππ-∈+x ，令21)(-=x f ,则21162sin 2-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，解得：πππ2413,245,2411--=x 或π2419=x8. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。