江苏历届高考题分类汇编三角函数

历届江苏高考试题汇编（三角函数1）（2010江苏高考第10题） 10、定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______▲_____。

（2010江苏高考第13题）13、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C ab+=，则tan tan tan tan C C AB+=____▲_____。

（2010江苏高考第17题） 17、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？ （2011江苏高考第7题） 7、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________ （2011江苏高考第8题）8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________ （2011江苏高考第15题）15、（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,（1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.（2012江苏高考第11题）11.设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为▲． （2012江苏高考第15题） 15.（本小题满分14分） 在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =u u u r u u u r u u u r u u u rg g ． （1）求证：tan 3tan B A =； （2）若5cos C =，求A 的值．（2013江苏高考第1题）1．（5分）（2013?江苏）函数y=3sin （2x+）的最小正周期为 ．（2013江苏高考第15题）15．（14分）（2013?江苏）已知=（cos α，sin α），=（cos β，sin β），0＜β＜α＜π． （1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值． （2012江苏高考第18题）9第题图18．（16分）（2013?江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（2010江苏高考第10题） 10、定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______▲_____。

[解析]考查三角函数的图象、数形结合思想。

线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=23。

线段P 1P 2的长为23（2010江苏高考第13题）13、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b aC ab+=，则tan tan tan tan C C AB+=____▲_____。

[解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。

一题多解。

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。

当A=B 或a=b 时满足题意，此时有：1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C-==+，2tan2C =，1tan tan 2tan 2A B C===，tan tan tan tan C CA B+=4。

（方法二）226cos 6cos b aC ab C a b a b+=⇒=+，2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C A B C A B C A B C A B+++=⋅=⋅=⋅由正弦定理，得：上式=22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅ （2010江苏高考第17题） 17、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(3)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；(4)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？[解析]本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

（1）tan tan H H AD AD ββ=⇒=，同理：tan HAB α=，tan h BD β=。

AD—AB=DB ，故得tan tan tan H H h βαβ-=，解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--。

因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。

（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H hdAD DB dαβ-====，()H H h d d-+≥（当且仅当d =取等号）故当d =tan()αβ-最大。

因为02πβα<<<，则02παβ<-<，所以当d =α-β最大。

故所求的d是。

（2011江苏高考第7题） 7、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________ 解析：22tan()11tan tan 1tan 44tan tan(),2tan 443tan 229tan()141tan x x x x x x x x x xππππ+-+-===++（－）＝＝＝－（2011江苏高考第8题）8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________ 解析：由图可知：72,,2,41234T A πππω==-==22,,33k k πϕπϕππ⨯+==- （2011江苏高考第15题）15、（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,（1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.解析：（1）sin()2cos ,sin 3cos ,63A A A A A ππ+=∴=∴=Q（2）22221cos ,3,2cos 8,223A b c a b c bc A c a c ==∴=+-==Q由正弦定理得：22sin sin c cA C=，而222sin 1cos ,3A A =-=1sin 3C ∴=。

（也可以先推出直角三角形） （2012江苏高考第11题）11.设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为▲． 【答案】50217【解析】根据4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2571251621)6(cos 2)32cos(2=-⨯=-+=+παπα， 因为0)32cos(φπα+，所以25242571)32sin(2=⎪⎭⎫⎝⎛-=+πα，因为9第题图502174sin)32cos(4cos)32sin(]4)32sin[()122sin(=+-+=-+=+ππαππαππαπα. 【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高. （2012江苏高考第15题） 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =u u u r u u u r u u u r u u u rg g ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos 5C =求A 的值．【答案及解析】【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中. （2013江苏高考第1题）1．（5分）（2013?江苏）函数y=3sin （2x+）的最小正周期为 π ．考点： 三角函数的周期性及其求法． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质．分析：将题中的函数表达式与函数y=Asin （ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期．解答：解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π（2013江苏高考第15题）15．（14分）（2013?江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：平面向量及应用．分析：（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．解答：解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题．（2012江苏高考第18题）18．（16分）（2013?江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）作出相应的图形，根据cosC的值，求出tanC的值，设出BD表示出DC，由cosA的值，求出tanA的值，由BD表示出AD，进而表示出AB，由CD+AD=AC，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出AB的长；（2）设乙出发xmin后到达点M，此时甲到达N点，如图所示，表示出AM与AN，在三角形AMN中，由余弦定理列出关系式，将表示出的AM，AN及cosA的值代入表示出MN2，利用二次函数的性质即可求出MN取最小值时x的值；（3）由（1）得到BC的长，由AC的长及甲的速度求出甲到达C的时间，分两种情况考虑：若甲等乙3分钟，此时乙速度最小，求出此时的速度；若乙等甲3分钟，此时乙速度最大，求出此时的速度，即可确定出乙步行速度的范围．解答：解：（1）∵cosA=，cosC=，∴tanA=，tanC=，如图作BD⊥CA于点D，设BD=20k，则DC=15k，AD=48k，AB=52k，由AC=63k=1260m，解得：k=20，则AB=52k=1040m；（2）设乙出发xmin后到达点M，此时甲到达N点，如图所示，则AM=130xm，AN=50（x+2）m，由余弦定理得：MN2=AM2+AN2﹣2AM?ANcosA=7400x2﹣14000x+10000，其中0≤x≤10，当x=min时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短；（3）由（1）知：BC=500m，甲到C用时为1260÷50=（min），若甲等乙3分钟，则乙到C用时为+3=（min），在BC上同时为（min），此时乙的速度最小，且为500÷=≈29.07（m/min）；若乙等甲3分钟，则乙到C用时为﹣3=（min），在BC上用时为（min），此时乙的速度最大，且为500÷=≈35.21（m/min），则乙步行的速度控制在[29.07，35.21]范围内．点评：此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．。