(含答案)《参数方程》练习题

《参数方程》练习题

一、选择题：

1．直线l 的参数方程为()x a t

t y b t

=+??

=+?为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1

P 与(,)P a b 之间的距离是（ C ）

A ．1t

B ．12t C

1 D

1 2．参数方程为1()2

x t t t y ?=+

??

?=?为参数表示的曲线是（ D ） A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线

3

．直线112

()x t t y ?=+???

?=-??为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ D ）

A ．(3,3)- B

．( C

．3)- D

．(3, 4．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ D ）

A ．121

2x t y t -?=???=?

B ．sin 1sin x t y t =???=??

C ．cos 1cos x t y t =???=??

D ．tan 1tan x t y t =???=??

5．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2

4()4x t t y t

?=?=?为参数上，则PF 等于

（ C ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

6.直线0

3sin 201cos 20

x t y t ?=-?=+? (t 为参数)的倾斜角是 ( )

.700 C

二、填空题：

7．曲线的参数方程是211()1x t t y t ?

=-

?≠?

?=-?

为参数,t 0，则它的普通方程为_2

(2)

(1)(1)

x x y x x -=

≠-____ 8．点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为

______。

9．已知曲线2

2()2x pt t p y pt

?=?

=?为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么MN =______14p t ___

10．直线cos sin x t y t θθ=??=?与圆42cos 2sin x y αα

=+??=?相切，则θ=_____6π或56π

__________。

11.设曲线C 的参数方程为2x=t

y=t

???（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__2cos sin 0ρθ-θ=_____. 三、解答题：

12．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，

（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。

解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θ

θ

=??

=+?，

22cos sin 1)1x y θθθ?+=++=+

+121x y ≤+≤

（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥

(cos sin )1)14

1

a a π

θθθ∴≥-+-=+-∴≥ 13.分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2

t t t t x e e y e e θθ--?=+????=-??化为普通方程： （1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数； 1．解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且；

当0t ≠时，cos ,sin 11()()2

2

t t t t x y e e e e θθ--=

=

+-

而2

2

1x y +=，即

2

2

22111()()4

4

t

t t t x y e e e e --+

=+-

（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2

t t x e e -=±+，即1,0x y ≥=且；

当,2

k k Z π

θπ=+∈时，0x =，1()2

t t y e e -=±-，即0x =；

当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t t t t x e e y e e θθ--?+=????-=??，即222cos sin 222cos sin t

t x y e x y

e θθθθ-?=+???

?=-??

得222222(

)()cos sin cos sin t t x y x y e e θθθθ

-?=+- 即22

221cos sin x y θθ

-=。

14．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6

π

α=

，（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。

解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ?=+????=+??

，即12112

x y t ?=+???

?=+??

（2）把直

线

1

2

1

1

2

x

y t

?

=+

??

?

?=+

??

代入4

2

2=

+y

x

得222

1

(1)(1)4,1)20

2

t t t

+++=+-=

12

2

t t=-，则点P到,A B两点的距离之积为2

15.

过点P作倾斜角为α的直线与曲线22

121

x y

+=交于点,M N，求PM PN

?的最大值及相应的α的值。

解：设直线为cos()

sin

x t

t

y t

α

α

?

=+

?

?

?=

?

为参数，代入曲线并整理得

22

3

(1sin))0

2

t t

αα

+++=,则12

2

3

2

1sin

PM PN t t

α

?==

+

所以当2

sin1

α=时，即

2

π

α=，PM PN

?的最大值为3

2

，此时0

α=。16.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标

系.已知点A的极坐标为?

?

?

?

?

4

,2

π，直线

l的极坐标方程为a=

-)

4

cos(

π

θ

ρ，且点A 在直线l上。

（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）圆C的参数方程为)

(

sin

,

cos

1

为参数

a

a

y

a

x

?

?

?

=

+

=，试判断直线l与圆C的位置关系.

【解析】（Ⅰ）由点

)4

A π在直线cos()4

a π

ρθ-=上，可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=

（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)，半径1r =

以为圆心到直线的距离12

d =

<，所以直线与圆相交 17.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为

sin x a

y a

?=??

=??. （I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2

π

），判断点P 与直线l 的位置关系；

（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 解：（１）把极坐标下的点)2

,4(π化为直角坐标得：)4,0(P 又点Ｐ的坐标满足直线方程，所以点Ｐ在直线l 上。

（２）因为点Ｑ在曲线Ｃ上，故可设点Ｑ的坐标为)cos ,sin 3(αα，从而点Ｑ到

直线l 的距离为

2

4

)6cos(22|4sin cos 3|++=

+-=π

αααd 2

2)6

cos(2++=π

α，因此当

1)6

cos(-=+π

α时，d 去到最小值，且最小值为2。

18.在直角坐标系xoy 中，直线l

的参数方程为3,22

x y t ?=-

????=??（t 为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C

的方程为ρθ=。

（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P

的坐标为， 求|PA|+|PB|。

【解析】

（Ⅰ）由ρθ=

得220,x y +-=

即22( 5.x y +=

（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C

的直角坐标方程，得22

(3))5+=，

即240,t -+=

由于24420?=-?=>，故可设12,t t 是上述方程的两实根，

所以12124

t t l P t t ?+=??

=??又直线过点故由上式及t 的几何意义得： |PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t

=

19.已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+??

=?（t 为参数），C 2x cos sin y θ

θ

=??=?（θ为参数），

（Ⅰ）当α=3

π时，求C 1与C 2的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 (23)解：

（Ⅰ）当

3π

α=

时，1C

的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=。

联立方程组221)

1

y x x y ?=-??+=?? ，解得1C 与2C 的交点为（1,0

）122?- ??，。 （Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=。

A 点坐标为()2sin ,cos sin ααα-，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：

()21sin 21sin cos 2

x y αααα?=???

?=-??为参数,P 点轨迹的普通方程为2

2

11416x y ??-+= ???。 故P 点轨迹是圆心为1

04

??

???

，

，半径为1

4

的圆。 22.已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数???

?

??==，以坐标原点为极点，x 轴的

正半轴

为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在

2C 上，

且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3

π

（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；

（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。 【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,

),(2,),(2,)3

636

π

πππ

点,,,A B C D

的直角坐标为1,1)--

（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ?

??

=??

=?为参数

222

2

224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 2

5620sin [56,76]?=+∈

21.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆1C ，

直线2C

的极坐标方程分别为4sin ,cos()4

π

ρθρθ=-=

()I 求1C 与2C 的交点的极坐标；()II 设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 的交点连线

的中点，已知直线PQ 的参数方程为33,

().12

x t a t R b y t ?=+?∈?=+??为参数求,a b 的值。

【解析】()I

由cos ,sin x y ρρθρθ===得，

圆1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，直线2C 的直角坐标方程分别为

40x y +-=

由22(2)4,40.x y x y ?+-=?+-=?解得1

2120,2,

4,2,

x x y y ==????

==?? 所以圆1C ，直线2C 的交点直角坐标为(0,4),(2,2)

再

由cos ,sin x y ρρθρθ===，将交点的直角坐标化为极坐

标

(4,)24ππ所以1C 与2C

的交点的极坐标(4,)24ππ

()II 由()I 知，点P ，Q 的直角坐标为(0,2),(1,3)

故直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+= ① 由于直线PQ 的参数方程为

33,().1

2

x t a t R b y t ?=+?∈?=+??为参数消去参数122b ab y x =-+ ②

对照①②可得1,21 2.2

b

ab ?=????-+=??解得1, 2.a b =-= 22. 已知曲线C 1的参数方程为45cos ,

55sin ,x t y t =+??=+?

（t 为参数），以坐标原点为极点，

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C 2的极坐标方程为θρsin 2=.

（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

【解析】将??

?+=+=t

y t

x sin 55cos 54消去参数t ，化为普通方程25)5()4(22=-+-y x ,

即1C ：01610822=+--+y x y x .

将???==θ

ρθρsin cos y x 代入01610822=+--+y x y x 得

016sin 10cos 82=+--θρθρρ.

（Ⅱ）2C 的普通方程为0222=-+y y x .

由?????=-+=+--+0

20161082222y y x y x y x ，解得???==11y x 或???==20y x .

所以1C 与2C 交点的极坐标分别为)4

,2(π，)2

,2(π

23.已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x t

t y t

=??

=?为参数 上，

对应参数分别为t =α 与t =2α（0＜α＜2π）,M 为PQ 的中点. （1）求M 的轨迹的参数方程.

（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.

【解析】（1）依题意有()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2,P Q αααα因此

()cos cos2,sin sin 2M αααα++.

M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αα

αα

=+??

=+?(

)2ααπ<<为参数，0 （2）M 点到坐标原点的距离

()02d απ==<<.当απ=时，0d =，

故M 的轨迹过坐标原点. 24.已知曲线1C ：2cos 22sin x y α

α=??=+?

（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足

2OP OM =,P 点的轨迹为曲线2C

(Ⅰ)求2C 的方程

(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3

π

θ=与1C 的异

于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .

【解析】（I ）设(,)P x y ,则由条件知(,)22

x y

M .由于M 点在1C 上，所以

2cos ,2

22sin .2

x

y αα?=???

?=+?? 即 4cos ,44sin .x y αα=??=+? 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y α

α

=??

=+?（α为参数）

（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=.

射线3

π

θ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3

π

ρ=，

射线3

π

θ=

与2C 的交点B 的极径为28sin 3

π

ρ=.

所以

21||||AB ρρ-==

25.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为?

?

?==φφ

sin cos y x ，为参数）?(曲线

2C 的参数方程为??

?==φ

φ

sin cos b y a x ?,0(>>b a 为参数）。在以O 为极点，x 轴的正半轴

为极轴的极坐标系中，射线l ：αθ=与1C ，2C 各有一个交点。当0=α时，这两个交点间的距离为2，当2

πα=时，这两个交点重合。 （1）分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值；

(2)设当4

πα=时，l 与1C ，2C 的交点分别为11,B A ，当4

π

α-=时，l 与1C ，2C 的

交点为22,B A ，求四边形1221B B A A 的面积。

解：（1）1C 是圆，2C 是椭圆。当0=α，射线l 与1C ，2C 的交点的直角坐标分别是

)0,(),0,1(a ，这两个交点间的距离为2，3=∴a ，当2

π

α=

时，射线l 与1C ，2C 的交点的直角坐标分别是),0(),1,0(b ，1=∴b

（2）1C ，2C 的普通方程分别是19,1222

2

=+=+y x y x ，当4

πα=时，射线l 与1C ，2C 的交点11,B A 的横坐标分别是1010322='=

x x ，，当4

πα-=时，射线l 与1C ，2C 的

两个

交点22,B A 分别与11,B A 关于x 轴对称，所以四边形1221B B A A 是梯形， 故5

2

2))(22(1

221=-'+'=

x x x x S B B A A

26.已知直线:l ?

??=+-=αα

sin cos 1t y t x ，t (为参数，α为l 的倾斜角，且πα<<0)与曲

线 ??

?==θ

θsin cos 2:y x C θ(为参数)相交于A 、B 两点，点F 的坐标为)0,1(

（1）求ABF ?的周长；

（2）若点)0,1(-E 恰为线段AB 的三等分点，求ABF ?的面积。

解：（1）将曲线C 消去θ可得：12

22

=+y x ，直线l 过曲线C 的左焦点)0,1(-'F ，

由椭圆的定义可知ABF ?为||||||||||||||BF AF F B F A BF AF AB ++'+'=++

24422|)||(||)||(|==+=+'++'=a a a BF F B AF F A

（2）可设直线l 的方程为1-=ky x ，若点)0,1(-E 为线段AB 的三等分点，不妨设

2=，),(),,(2211y x B y x A ，则212y y =-

联立???-==-+1

2222ky x y x ，消去x 得：012)2(22=--+ky y k

则???

????

+-=-=+=-=+21

222222212221k y y y k k y y y ，消去2y 得：722=k

此时8

14321222)1(8||222221=

++?=++=-k k k k y y 所以8

14

3||||2

121=

-??=?y y EF S ABF