2019年高二数学学业水平模拟试卷(3)及答案解析

3 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(三)

一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)

1. 已知α＝130°，则角α的终边在( )

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2. 已知集合A ＝{ |x (x ＋2)(x －1)＝0}，那么下列结论正确的是( )

A. －2∈A

B. 1?A

C. 2∈A

D. －1∈A

3. 函数y ＝lg(x ＋1)的定义域是( )

A. (0，＋∞)

B. (－∞，＋∞)

C. [－1，＋∞)

D. (－1，＋∞)

4. 如果直线x －2y －1＝0和y ＝kx 互相平行，则实数k 的值为( )

A. 2

B. 12

C. －2

D. 0

5. 已知a ＝(2，4)，b ＝(x ，2)，且a ⊥b ，则x 的值是( )

A. 4

B. 1

C. －1

D. －4

6. 在空间中，下列命题正确的是( )

A. 平行于同一平面的两条直线平行

B. 平行于同一直线的两个平面平行

C. 垂直于同一直线的两条直线平行

D. 垂直于同一平面的两条直线平行

7. 焦点在x 轴上，且a ＝3，b ＝2的双曲线的标准方程是( )

A. x 23－y 22＝1

B. y 23－x 22＝1

C. x 29－y 24＝1

D. y 29－x 24＝1

8. “x ＝0”是“xy ＝0”的( )

A. 充要条件

B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既不充分又不必要条件

9. 在数列{a n }中，已知a n ＋1＝2a n ，且a 1＝1，则数列{a n }的前五项的和等于(

)

A. －25

B. 25

C. －31

D. 31

10. 若a >b ，则下列各式正确的是( )

A. a ＋2>b ＋2

B. 2－a >2－b

C. －2a >－2b

D. a 2>b 2

11. 不等式(x ＋1)(x ＋2)<0的解集是( )

A. { |x －2

B. { |x x <－2或x >－1}

C. { |x 1

D. { |x x <1或x >2}

12. 在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，∠A ＝π4，则∠B ＝( )

A. 30°

B. 30°或150°

C. 60°

D. 60°或120°

13. 在不等式2x ＋y －6<0表示的平面区域内的点是( )

A. (0，1)

B. (5，0)

C. (0，7)

D. (2，3)

14. 函数y ＝cos 2x －sin 2x 是( )

A. 周期为2π的奇函数

B. 周期为2π的偶函数

C. 周期为π的奇函数

D. 周期为π的偶函数

15. 计算8·sin 15°·cos 15°·cos 30°·cos 60°的结果为( )

A. －12

B. 12

C. －32

D. 32

16. 圆x 2＋y 2－ax ＋2＝0经过点A (3，1)，则圆的半径为( )

A. 8

B. 4

C. 2

D. 2

17. 已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1经过(－5，0)和(0，4)，则它的离心率为( ) A. 54 B. 53 C. 45 D. 35

18. 设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＝n 2

＋n ＋c ，则c 的值为( ) A. －1 B. 1 C. 0 D. 2

(第19题)

19. 如图为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的( )

A. m <0，n >1

B. m >0，n >1

C. m >0，0

D. m <0，0

20. 平面上满足约束条件?????x ≥2，x ＋y ≤0，x －y －6≤0

的点(x ，y )形成的区域为D ，且区域D 和E 关于直线y ＝2x －1对称，则区域D 和区域E

中距离最近的两点的距离为( ) A. 3 B. 5 C. 2 5 D. 4

21. 函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )

A. (2, 1)

B. (1，0)

C. (0，1)

D. (1，2)

22. 已知AB →＝(3，－1)，n ＝(2，1)，且n ·AC →＝7，则n ·BC →＝( )

A. －2

B. 0

C. 2

D. －2或2

23. 若函数f (x )＝k －2x

1＋k ·2

x (k 为常数)在定义域上为奇函数，则k 的值为( ) A. 1 B. －1 C. 0 D. －1或1

24. 某同学研究了①y ＝x －1；②y ＝x －2；③y ＝x 3

；④y ＝x 1

3其中的一个函数，并给出两个性质：(1)定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}；(2)值域是{y |y ∈R 且y ≠0}，如果他给出的两个性质中，有一个正确，一个错误，则他研究的函数是( )

A. ①

B. ②

C. ③

D. ④

(第25题)

25. 如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( ) A. 2 33 B. 6

2

C. 2

D. 3

二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)

26. 抛物线y 2＝2x 的通径为________．

27. 在△ABC 中，∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝________．

28. y ＝log a x (a >1)在[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为________．

29. 若点P (x ，y )在直线x ＋2y －4＝0上运动，则它的横、纵坐标之积的最大值是________．

30. 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|AB →－AC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．

三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)

31. (本题7分)已知0<α<π

2，sin α＝4

5.

(1)求tan α的值；

(2)求cos2α＋sin ? ????α＋π

2的值．

32. (本题7分，有A 、B 两题，任选其中一题完成，两题都做，以A 题计分)

(A)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别是PD 、BC 的中点．

(1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：AD ⊥PB .

,[第32题(A)]) ,[第32题(B)])

(B)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．

(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；

(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．

33. (本题8分)在等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝1

na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .

34. (本题8分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．

(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；

(2)如果OA →·OB →＝－4，求证：直线l 必过一定点，并求出该定点．

3 2014高中学业水平考试《数学》模拟试卷(三)

1. B

2. A

3. D

4. B

5. D

6. D

7. C

8. B 9. D 10. A 11. A 12. A 13. A 14. D

15. D 16. D 17. D 18. C 19. D 20. C

21. C 22. C 23. D 24. B

25. B [提示：|OB |＝b ，|O F 1|＝c .∴k PQ ＝b c ，k MN ＝－b c .直线PQ 为：y ＝b c (x ＋c )，两条渐近线为：y ＝b a x .由?????y ＝b c （x ＋c ），y ＝b a x ，

得Q (ac c －a ，bc c －a )．由?????y ＝b c （x ＋c ），y ＝－b a x ，

得P (－ac c ＋a ，bc c ＋a )．∴直线MN 为y －bc c ＋a ＝－b c (x －－ac c ＋a )，令y ＝0得x M ＝c 3c 2－a 2.又∵|MF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴3c ＝x M ＝c 3c 2－a 2，解得e 2

＝c 2a a ＝32，即e ＝62.] 26. 2 27. 2 28. 32 29. 2

30. 直角三角形 [解析：|BC →|＝|BA →＋CA →|，根据平行四边形法则，对角线相等，所以∠A 为直角．]

31. 解：(1)∵cos α＝35，∴tan α＝43. (2)cos2α＋sin ?

????α＋π2＝1－2sin 2α＋cos α＝825. 32. (A)证明：(1)取PA 的中点G ，连接BG ，EG ，则EG 綊BF ，∴四边形BFEG 为平行四边形，∴EF ∥BG ，∴EF ∥平面PAB . (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，又AB ⊥AD ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PB . (B)(1)连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，∴M 为AB ′的中点．又∵N 为B ′C ′的中点，∴MN ∥AC ′，又∵MN ?平面A ′ACC ′，AC ′?平面A ′ACC ′，∴MN ∥平面A ′ACC ′.

(第32题)

(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系Oxyz ，如图所示，设AA ′＝1，则AB ＝AC

＝λ，于是A (0，0，0)，B (λ，0，0)，C (0，λ，0)，A ′(0，0，1)，B ′(λ，0，1)，C ′(0，λ，1)，∴M ? ????λ2，0，12，N ? ??

??λ2，λ2，1.设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，得?????λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12

z 1＝0，可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，得?

????－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0，可取n ＝(－3，－1，λ)，∵二面角A ′－MN －C 为直二面角，∴m ·n ＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝ 2.

33. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则 a n ＝a 1＋(n －1)d .∵?

????a 7＝4，a 19＝2a 9，∴?????a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ），解得a 1＝1，d ＝12. ∴{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1

2. (2)b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，∴S n ＝? ????21－22＋? ????22－23＋…＋? ????2n －2n ＋1＝2n n ＋1

. 34. 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1，0)，设l ：x ＝ty ＋1代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，

y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2，＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝

－3.

(2)设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB

→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2，＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4

＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2，0)．