向量复习讲义
沪教版-八年级数学-平面向量的运算复习讲义资料-学生版
，则0a = ；，则0a -= ．的相反向量A ，则AB BC CA ++=的边爬行一周回到点A ，则A 1，那么图1图2图3试一试：化简下列各式：①AB ＋BC ＋CA ；②AB —AC ＋BD —CD ；③OA —OD ＋AD ；NQ ＋QP ＋MN —MP ．结果为零向量的个数是（）B 、2C 、3D 、4例题2：如图，正六边形ABCDEF 的中心是O ，已知AO a = ，AB b = ，用a ，b表示以下向量：EF =______________，CF =______________，FA=______________，CE =______________，AE=______________，AC =______________.试一试：如图，已知向量AB a = 、BC b = 、CD c = 、DE d = ；试用a 、b 、c 、d表示下列向量：（1）AB AC - ；（2）AB AE - ．【达标练习】1．已知正方形ABCD 的边长为1，AB a = ,BC b = ，则a b +为．2．在□ABCD 中，AC ＝a ，AB ＝b，则BC =．3．在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+ ，且AB AD =，那么四边形ABCD 为（）A 、矩形B 、菱形C 、正方形D 、不是矩形、菱形的四边形4．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设OA a = ，OB b = ，OC c = ，OD d =，则（）A 、0a b c d +++=B 、0a b c d -+-=C 、0a b c d +--= D 、0a b c d --+= 5．化简：（1）()()AB CD BE DE -+-=；（2）()BC DA MB CM --+=．【课后作业】1．下列结论正确的有（）①向量AB 与向量BA是两个平行向量；②若a 、b 都是模为1的向量，则a =b ；③两个向量相等的条件是它们的方向和大小必须相同；④对任意一个向量a ，都有0a >．A 、1个；B 、2个；C 、3个；D 、4个．2．等边△ABC 中，设AB =a ，BC=b ，CA =c ，则下列错误的是（）A 、a b c == ；B 、0a b c ++= ；C 、a b c == ；D 、0a b c ++=．3．下列关系式：①0AB BA += ；②0AB BA +=；③0AB BA += ；④0AB BA += ；正确的个数有（）A 、1；B 、2；C 、3；D 、4．4．在□ABCD 中，下列等式成立的是（）A 、AB CD AD BD +=+ B 、AB CD AC BD +=- C 、AB CD AC BD-=+ D 、AB CD AC BD -=- 5．已知□OBCA 中，点D 在OB 上．（1）填空：OA AC +=；AD OB - =；与AC平行的向量有．（2）求作：OA CD AD +-．6．已知，在△ABC 中，BC 、CA 、AB 的中点分别为D 、E 、F ；设BC a = ，CA b =．（1）用向量a 、b分别表示向量AD 、BE 、CF ；（2）求AD ＋BE ＋CF．。
2025数学大一轮复习讲义北师大版 第五章 §5.4 平面向量中的综合应用
对于 A，由题意可得P→A·P→B－P→B·P→C＝P→B·(P→A－P→C)＝P→B·C→A＝0，
所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，
故A正确；
对于
B，如图设A→E＝
→ AB →
，A→F＝
→ AC →
，则|A→E|＝|A→F|＝1，
|AB|
|AC|
以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形
32yx·32xy＝3，
故2x＋y的最小值为3.
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题 例 3 (2024·开封模拟)已知等边△ABC 的边长为 3，P 为△ABC 所在平面
内的动点，且|P→A|＝1，则P→B·P→C的取值范围是
A.－32，92 C.[1,4]
√B.－12，121
D.[1,7]
方法一 如图，建立平面直角坐标系，
设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π]，
∴B(
3，0)，C
23，23，
∴P→B＝(
3－cos
θ，－sin
θ)，P→C＝
23－cos
θ，32－sin
θ，
∴P→B·P→C＝(
3－cos
θ)
23－cos
θ－sin
θ32－sin
θ＝52－32
3 cos
设△ABC外接圆的半径为R，
则 R2＝R22＋ 222，
解得 R＝1，CD＝1＋ 22，
∴S△ABC＝12|AB||CD|＝12×
2×1＋
22＝1＋2
2 .
思维升华
用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题―设――向――量→向量问题―计――算→解决向量问题―还――原→解决几何问题.
高三一轮总复习高效讲义第7章第6节利用空间向量求空间角、距离课件
解：(1)证明：如图，连接 AC 交 BD 于 H，连接 MH，
则 MH 为△ ACE 的中位线，所以 MH∥CE，又因为 MH⊄平面 CEF，CE⊂平面 CEF， 所以 MH∥平面 CEF．
因此，OM∥平面 ABD1E1；(2)易知点 D(0，2，0)，C( 3 ，1，0)，D1(0，2，4)，A(0，
－2，0)，A1(0，－2，4)，B( 3 ，－1，0)，设平面 AA1B1B 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)，
→ AB
＝(
3
，1，0)，AA1＝(0，0，4)，由nn··AA→AB1＝＝43zx2＝2＋0y，2＝0，
在平行四边形 BDEF 中，DB∥EF，BD⊄平面 CEF，EF⊂平面 CEF， 所以 BD∥平面 CEF 又因为 MH∩DB＝H
∴平面 CEF∥平面 BDM．
(2)取 BC 的中点 O，连接 OF，OH，则 OF⊥平面 ABCD， OH⊥BC，
因为 BF＝ 13 ，BO＝2，所以 OF＝ BF2－BO2 ＝3． 以 O 为坐标原点，OC，OH，OF 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
＝|－4＋0－1| 5
＝
5
．
答案： 5
4．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面PAB与平面 PCD所成的角为________．
解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x 轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝PA＝1，则A(0，0， 0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．
2．直线与平面所成的角
备战高考数学一轮复习讲义微专题9 抓住“爪形图”破解向量问题
抓住“爪形图”破解向量问题引例 (人A 必二P26例1)如图，OA →，OB →不共线，且AP →＝tAB →(t ∈R )，用OA →，OB→表示OP →.(引例)【解答】 因为AP→＝tAB →，所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tAB →＝OA →＋t (OB →－OA →)＝OA→＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.平面向量共线定理：如图，若OA →，OB →不共线，设OP →＝λOA →＋μOB →，则A ，P ，B 三点共线的充要条件为λ＋μ＝1.“爪形结构”图：如图，若OC →＝kOP →，则OP→＝1k (xOA →＋yOB →)＝x k OA →＋y k OB →(A ，B ，P 三点共线)，所以x k ＋yk ＝1，即x ＋y ＝k .向量共线定理及其应用例1 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1) 若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；【解答】 若m ＋n ＝1，则OP→＝mOA →＋(1－m )·OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，所以OP→－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，所以BP →与BA →共线．又因为BP →与BA →有公共点B ，所以A ，P ，B 三点共线．(2) 若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.【解答】 若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP→＝λBA →，所以OP →－OB →＝λ(OA→－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →，所以mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA →，OB →不共线，所以⎩⎨⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，所以m ＋n ＝1. 变式 在△ABC 中，AE→＝2EB →，AF →＝3FC →，连接BF ，CE ，且BF ∩CE ＝M ，若AM→＝xAE →＋yAF →，则x －y 等于( C ) A. －112 B. 112 C. －16D. 16解析： 因为AE→＝2EB →，所以AE →＝23AB →，所以AM →＝xAE →＋yAF →＝23xAB →＋yAF →.由B ，M ，F 三点共线得23x ＋y ＝1①.因为AF →＝3FC →，所以AF →＝34AC →，所以AM→＝xAE →＋yAF→＝xAE →＋34yAC →.由C ，M ，E 三点共线得x ＋34y ＝10②.联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝23，所以x －y ＝12－23＝－16.等和线的应用(λ＋μ＝k )例2 如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，D 在边BC 上，延长AD 到点P ，使得AP ＝9.若P A →＝mPB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－m PC →(m 为常数)，则CD 的长度是 185或0 .(例2)解析： 因为A ，D ，P 三点共线，所以可设P A →＝λPD →(λ>0)．因为P A →＝mPB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－m PC →，所以λPD →＝mPB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－m PC →，即PD →＝m λPB →＋32－mλPC→.若m ≠0且m ≠32，则B ，D ，C 三点共线，所以m λ＋32－m λ＝1，解得λ＝32.因为AP ＝9，所以AD ＝3.因为AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，所以BC ＝5.设CD ＝x ，∠CDA ＝θ，则BD ＝5－x ，∠BDA ＝π－θ，则由余弦定理可得cos θ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝x6，cos(π－θ)＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝(5－x )2－76(5－x ).因为cos θ＋cos(π－θ)＝0，所以x 6＋(5－x )2－76(5－x )＝0，解得x ＝185，所以CD 的长度为185.当m ＝0时，P A →＝32PC →，C ，D 重合，此时CD 的长度为0.当m ＝32时，P A →＝32PB →，B ，D 重合，此时P A ＝12，不合题意，舍去．变式 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是 2 .(变式)解析： 方法一：以O 为坐标原点，OA→所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)．由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6.又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x＋y 取得最大值2.(变式(1))方法二：(等和线法)令x ＋y ＝k ，如图(2)所示，所有与直线AB 平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k 取得最大值，由等和线法可知k ＝|DO→||OE →|＝2.(变式(2))“爪”形图主要有以下两种：(一)平面向量共线定理：已知OA →＝λOB →＋μOC →，若λ＋μ＝1，则A ，B ，C 三点共线；反之亦然．(二)等和线：如图，平面内一组基底{OA→，OB →}及任一向量OP →，OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k (定值)；反之也成立．我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．(1) 当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2) 当等和线在点O 和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3) 当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1＋∞)； (4) 当等和线过点O 时，k ＝0；(5) 若两等和线关于点O 对称，则定值k 互为相反数； (6) 定值k 的变化与等和线到点O 的距离成正比．。
教师高一数学复习总结讲义(向量、三角变换)
高一数学复习讲义向量、三角变换一、知识感悟（具体知识点详见前复习讲义）1．向量作为数学工具，在前几年的高考命题中，主要考查用向量知识解决夹角和距离等问题，随着新课标的推行和普及，在高考命题中，本内容将会越来越受重视，用向量知识解决物理问题，进行学科之间的交叉和渗透也是将来的一种命题趋势。
（1）向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小。
正确理解向量的有关概念是解决向量基本题的关键，需注意零向量等特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可。
向量的基本运算可以类比于物理矢量作图和运算。
（2）向量的共线定理和基本定理是向量章节的核心内容，特别是基本定理，需要理解其本质（即物理中力的分解），用基底表示某个向量问题的基本技巧是：①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果。
（3）平面向量的数量积是向量的核心内容，高考的一个命题点，重在考查数量积的概念、运算律、性质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等，解答题重在与几何、三角、代数等结合的综合题。
（4）向量的坐标表示，其原理是平面向量的基本定理，其实质是把向量问题转化为实数的运算问题，其核心是数形结合；向量解题首先得确定选择何种向量（纯向量、坐标形式）来解题。
（5）用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算、性质、法则，推出所要求证的结论。
要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件及几何性质的应用。
2．解答三角恒等变换问题，首先要求熟练记忆公式，并通过一定的训练提高恒等变形能力，三角求值是今后高考命题的重点内容；三角恒等变换主要涉及三类题目：化简、求值和证明，具体使用公式常有三用：正用、逆用、变用。
3．三角函数式的变换要遵循“三看”原则。
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有项数尽量少，次数尽量低，尽量不含分母，尽量不含根式等。
第一节 平面向量的概念讲义--高三数学一轮复习备考
平面向量与复数第一节平面向量的概念一、课程标准1.向量概念(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．2.向量运算(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积；(5)通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．新高考命题方向：主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量基本定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目，偶尔会在解答题中作为工具出现．考查理性思维、数学探究、数学抽象学科素养．二、知识梳理知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于长度的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为01.对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任意向量平行；(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制． 知识点二 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：a ＋b ＝ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝ ；当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝ ；λ(a ＋b )＝知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 ． 知识点四 平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是θ＝0或θ＝π⇔ ，⇔a ⊥b• 温馨提醒 •对于两个非零向量a 与b ，由于当θ＝0°时，a ·b >0，所以a ·b >0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要不充分条件；a ·b ＝0也不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b .2．平面向量的数量积 (1)投影向量①如图，设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD →＝b ，分别过A ，B 作CD 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图，在平面内任取一点O 作OM → ＝a ，ON →＝b ，过M 作ON 的垂线，垂足为M 1，则就是向量a 在向量b 上的投影向量，设与b 方向相同的单位向量为e ，〈a ，b 〉为θ，则＝(|a |cos θ)e .两个向量数量积的几何意义：a ·b 等于a 在b 上的投影数量与b 的模的乘积． (2)向量数量积的运算律①a ·b ＝ ；②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝ ；③(a ＋b )·c ＝ ．• 温馨提醒 •1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在用|a |＝a 2 求向量的模时，一定要先求出a 2再进行开方．三、基础自测1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )A ．共线B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线 2．已知a·b ＝－122 ，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33 D ．33．(易错题)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．05．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA → ＝a ，OB → ＝b ，则DC → ＝________，BC →＝________(用a ，b 表示).四、核心题型题型一 平面向量的有关概念及线性运算例1（1） (多选)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中正确的是( )A .|a |＝|b |＝1B ．a ·b ＝1C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0D ．当a ，b同向时，a ＝b（2）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a | ＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b(3)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB → ＝4EC → ，则ED →＝( )A ．56 AB → －43 AC → B ．43 AB → －56 AC → C ．56 AB → ＋43 AC →D ．43AB → ＋56AC →题型二 平面向量共线定理的应用例2(1)已知两个非零向量a ，b 互相垂直，若向量m ＝4a ＋5b 与n ＝2a ＋λb 共线，则实数λ的值为( )A ．5B ．3C ．52 D ．2(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA → ＝a ＋2b ，BC → ＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．B ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线(3)已知O 为△ABC 内一点，且AO → ＝12 (OB → ＋OC → )，AD → ＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23题型三 平面向量的数量积及应用例3(1)已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2.若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE → ·DF →＝( )A ．8B ．10C ．12D ．14(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM → ＝2MA → ,CN →＝2NA → ，则BC → ·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0(3) 已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a 在向量e 上的投影向量．(4)(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________． (5)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3(6)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．五、变式训练1.如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC → ＝14 AB → ，BE → ＝2EC → ，且AE → ＝rAB → ＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．42..设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A ．7B ．10C ．13D ．44.非零向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c ，a 与b 的夹角为π6 ，|b |＝4，则c 在a 上的投影向量的长度为( )A ．2B ．23C ．3D ．4六、作业一轮复习资料《课时作业》437页 A 组：全部 B 组：2、3。
“向量法求空间点到平面的距离”教案讲义
2、向量数量积公式a•b abcos(a与b的夹角）二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离
向量法求空间点到平面的距离
（Excellent handout training template）
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
F(4,2,0)，G(0,0,2)．
xD
C
EF(2,2,0),EG(2,4,2), F
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
练习1
Thank you.
演讲结速，谢谢观赏！
线 B段 的 O 长度。
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
分别是 求点 B
AB、AD 的中点，GC⊥平面 到平面 EFG 的距离.
ABCD，且
GC＝2z，
G
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，
2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析 第6节 空间向量在立体几何中的应用
第六节空间向量在立体几何中的应用1．空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l01平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔02n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔03n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔04n·m＝0 l⊥αn∥m⇔05n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔06n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔07n·m＝02．设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则3.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝10|cos 〈a ，n 〉|＝11|a ·n ||a ||n |．4．(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝12〈AB →，CD →〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝13|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角的大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．5．用向量法求空间距离(1)点到直线的距离已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点．则点P 到直线l 的距离为14__AP →2－（AP →·u ）2．(2)点到平面的距离已知平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点．则点P 到平面α的距离为15|AP →·n ||n |．(3)线面距和面面距可以转化为点面距求解．1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|.2．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两个半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．()(4)直线l的一个方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1，1)，l⊄α，则l∥α.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册1.4.1练习T1改编)已知直线l的一个方向向量为a＝(－3，2，5)，平面α的一个法向量为b＝(1，x，－1)，若l∥α，则x＝()A．4B．3C．2D．1答案A解析因为l∥α，所以a⊥b，即a·b＝0，即－3＋2x－5＝0，解得x＝4.故选A.(2)已知两条异面直线的方向向量分别是m＝(－2，1，2)，n＝(3，－2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足()A．sinθ＝－147B．sinθ＝147C．cosθ＝147D．cosθ＝－147答案C解析因为θ，π2，所以cosθ＝|cos〈m，n〉|＝|m·n||m||n|＝63×14＝147，sinθ＝1－cos2θ＝357.故选C.(3)若平面α的法向量为a＝(3，－1，2)，平面β的法向量为n＝(－6，2，－4)，则() A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．无法确定答案A解析由题意，得n＝－2a，则n∥a，α∥β.故选A.(4)已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，则点C到直线AB的距离为() A．2B．5C．23D．25答案B解析因为AB →＝(2，－1，2)，AC →＝(1，－2，4)，所以AC →在AB →方向上的投影数量为AB →·AC →|AB →|＝2＋2＋84＋1＋4 4.设点C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|AC →|2－42＝1＋4＋16－16＝ 5.故选B.考点探究——提素养考点一利用空间向量证明平行、垂直例1如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP＝2，AB ＝1，E 为棱PC 的中点．证明：(1)BE ⊥DC ；(2)BE ∥平面PAD ；(3)平面PCD ⊥平面PAD .证明依题意，以A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)．(1)因为BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .(2)因为AB →＝(1，0，0)为平面PAD 的一个法向量，而BE →·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE ⊥AB ，又BE ⊄平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(3)由(2)知平面PAD 的一个法向量为AB →＝(1，0，0)，PD →＝(0，2，－2)，DC →＝(2，0，0)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·PD →＝0，·DC →＝0，y －2z ＝0，x ＝0，取y ＝1，得n ＝(0，1，1)．因为n ·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n ⊥AB →.所以平面PCD ⊥平面PAD .【通性通法】利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤【巩固迁移】1．(2023·山东青岛二中模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和正方形B 1C 1CB 的中心．求证：(1)AC 1⊥平面A 1BD ；(2)EF ∥平面A 1BD ；(3)平面B 1EF ∥平面A 1BD .证明(1)设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C 1(2，2，2)，A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，D (0，2，0)，AC 1→＝(2，2，2)，A 1B →＝(2，0，－2)，A 1D →＝(0，2，－2)，因为AC 1→·A 1B →＝0，AC 1→·A 1D →＝0，所以AC 1⊥A 1B ，AC 1⊥A 1D ，由于A 1B ∩A 1D ＝A 1，所以AC 1⊥平面A 1BD .(2)由(1)知，AC 1→＝(2，2，2)是平面A 1BD 的一个法向量．E (1，1，2)，F (2，1，1)，EF →＝(1，0，－1)，AC 1→·EF →＝0，EF ⊄平面A 1BD ，所以EF ∥平面A 1BD .(3)由(1)，得B 1(2，0，2)，B 1F →＝(0，1，－1)，设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·EF →＝x －z ＝0，·B 1F →＝y －z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，1，1)．AC 1→＝2n ，显然，平面B 1EF 与平面A 1BD 不重合，所以平面B 1EF ∥平面A 1BD .考点二利用空间向量求空间角(多考向探究)考向1求异面直线所成的角例2(2024·河南洛阳模拟预测)如图四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且各棱长均相等，E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为()A ．36B ．63C ．13D ．12答案A解析连接AC 与BD 交于点O ，连接PO ，由题意，得AC ⊥BD ，且PO ⊥平面ABCD ，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设四棱锥P －ABCD 各棱长均为2，则AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝2，PO ＝2，可得A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，则，22，则AE →－2，22，PC →＝(－2，0，－2)，设异面直线AE 与PC所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AE →，PC →〉|＝|AE →·PC →||AE →||PC →|＝|（－2）×（－2）＋22×（－2）|2＋12＋12×2＋0＋2＝36.故选A.【通性通法】向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系．(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量．(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．【巩固迁移】2.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝1，P 是DF 的中点，则异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为________．答案4515解析因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，交线为AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面ABEF .又AF ⊂平面ABEF ，所以AD ⊥AF，因为∠BAF ＝90°，所以AF ⊥AB ，又AD ⊥AB ，所以以A 为原点，AB →，AD →，AF →的方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz ，则B (1，0，0)0，，1C (1，2，0)，所以BE →－12，0，CP →1，－1所以cos 〈BE →，CP →〉＝BE →·CP →|BE →||CP →|＝4515，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为4515.考向2求直线与平面所成的角例3在如图所示的几何体ABCED 中，EC ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，CE ＝CA ＝CB ＝2DB ，∠ACB ＝90°，M 为AD 的中点．(1)证明：EM ⊥AB ；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．解(1)证明：由EC ⊥平面ABC ，AC ，BC ⊂平面ABC ，得EC ⊥AC ，EC ⊥BC ，又∠ACB ＝90°，则AC ⊥BC ，故以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设DB ＝1，则CE ＝CA ＝CB ＝2.∴A (2，0，0)，B (0，2，0)，E (0，0，2)，D (0，2，1)，M 1，1，12，∴EM →1，1，－32AB →＝(－2，2，0)，则EM →·AB →＝－2＋2＋0＝0，∴EM →⊥AB →，即EM ⊥AB .(2)由(1)，知BM →＝1，－1，12AE →＝(－2，0，2)，DE →＝(0，－2，1)，设平面ADE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AE →＝－2x ＋2z ＝0，·DE →＝－2y ＋z ＝0，取x ＝2，得y ＝1，z ＝2，∴n ＝(2，1，2)，设直线BM 与平面ADE 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈BM →，n 〉|＝|BM →·n ||BM →||n |＝49.因此直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值为49.【通性通法】向量法求线面角的两种方法(1)分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的角(夹角为钝角时取其补角)，取其余角就是斜线与平面所成的角．【巩固迁移】3．(2023·全国甲卷)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2，A 1C ⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，A 1到平面BCC 1B 1的距离为1.(1)求证：AC ＝A 1C ；(2)若直线AA 1与BB 1的距离为2，求AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．解(1)证明：如图，∵A 1C ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴A 1C ⊥BC ，又BC ⊥AC ，A 1C ∩AC ＝C ，A 1C ，AC ⊂平面ACC 1A 1，∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂平面BCC 1B 1，∴平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1.过A 1作A 1O ⊥CC 1于点O ，又平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1＝CC 1，A 1O ⊂平面ACC 1A 1，∴A 1O ⊥平面BCC 1B 1.∵A 1到平面BCC 1B 1的距离为1，∴A 1O ＝1.在Rt △A 1CC 1中，A 1C ⊥A 1C 1，CC 1＝AA 1＝2，A 1O ＝1，∴O 为CC 1的中点，∴CO ＝C 1O ＝1，又A 1O ⊥CC 1，∴AC ＝A 1C ＝A 1C 1＝2，∴AC ＝A 1C .(2)连接A 1B ，AC 1，∵AC ＝A 1C ，BC ⊥A 1C ，BC ⊥AC ，∴Rt △ACB ≌Rt △A 1CB ，∴BA ＝BA 1.过B 作BD ⊥AA 1于点D ，则D 为AA 1的中点，又AA 1＝2，∴A 1D ＝AD ＝1，∵直线AA 1与BB 1的距离为2，∴BD ＝2，∴A 1B ＝AB ＝5，在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝ 3.解法一：以C 为原点，CA ，CB ，CA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图所示，则C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，3，0)，B 1(－2，3，2)，C 1(－2，0，2)，∴CB →＝(0，3，0)，CC 1→＝(－2，0，2)，AB 1→＝(－22，3，2)，设平面BCC 1B 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·CB →＝0，·CC 1→＝0，0，＋2z ＝0，取x ＝1，则y ＝0，z ＝1，∴平面BCC 1B 1的一个法向量为n ＝(1，0，1)．设AB 1与平面BCC 1B 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB 1→〉|＝|n ·AB 1→||n ||AB 1→|＝1313.∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为13 13 .解法二：延长AC，使AC＝CM，连接C1M，由CM∥A1C1，CM＝A1C1，知四边形A1CMC1为平行四边形，∴C1M∥A1C，∴C1M⊥平面ABC，又AM⊂平面ABC，∴C1M⊥AM，在Rt△AC1M中，AM＝2AC＝22，C1M＝A1C＝2，∴AC1＝（22）2＋（2）2＝10.在Rt△AB1C1中，AC1＝10，B1C1＝BC＝3，∴AB1＝（10）2＋（3）2＝13.又A到平面BCC1B1的距离为1，∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为113＝1313.考向3求二面角例4(2024·九省联考)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，AA1＝2，∠C1CB＝∠C1CD，∠C1CO＝45°.(1)证明：C1O⊥平面ABCD；(2)求二面角B－AA1－D的正弦值．解(1)证明：连接BC1，DC1.因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以BC＝DC，又因为∠C 1CB ＝∠C 1CD ，CC 1＝CC 1，所以△C 1CB ≌△C 1CD ，所以BC 1＝DC 1，又点O 为线段BD 的中点，所以C 1O ⊥BD .在△C 1CO 中，CC 1＝2，OC ＝12AC ＝2，∠C 1CO ＝45°，所以cos ∠C 1CO ＝22＝C 1C 2＋OC 2－C 1O 22×C 1C ×OC，解得C 1O ＝2，则C 1C 2＝OC 2＋C 1O 2，所以C 1O ⊥OC .又OC ∩BD ＝O ，OC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以C 1O ⊥平面ABCD .(2)由题知正方形ABCD 中AC ⊥BD ，又C 1O ⊥平面ABCD ，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0，2，0)，D (0，－2，0)，A (2，0，0)，C (－2，0，0)，C 1(0，0，2)，则AA 1→＝CC 1→＝(2，0，2)，AB →＝(－2，2，0)，AD →＝(－2，－2，0)，设平面BAA 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，1·m ＝0，·m ＝0，＋2z 1＝0，1＋2y 1＝0，令x 1＝1，则m ＝(1，1，－1)，设平面DAA 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，1·n ＝0，·n ＝0，＋2z 2＝0，2－2y 2＝0，令x 2＝1，则n ＝(1，－1，－1)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13×3＝13，设二面角B －AA 1－D 的大小为θ，则sin θ＝223，所以二面角B －AA 1－D 的正弦值为223.【通性通法】向量法求二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意有时需要结合实际图形判断所求角是锐二面角还是钝二面角．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．【巩固迁移】4.(2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4.点A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2＝1，BB 2＝DD 2＝2，CC 2＝3.(1)证明：B 2C 2∥A 2D 2；(2)点P 在棱BB 1上，当二面角P －A 2C 2－D 2为150°时，求B 2P .解(1)证明：以C 为原点，CD ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则C (0，0，0)，C 2(0，0，3)，B 2(0，2，2)，D 2(2，0，2)，A 2(2，2，1)，∴B 2C 2→＝(0，－2，1)，A 2D 2→＝(0，－2，1)，∴B 2C 2→∥A 2D 2→，又B 2C 2，A 2D 2不在同一条直线上，∴B 2C 2∥A 2D 2.(2)设P (0，2，λ)(0≤λ≤4)，则A 2C 2→＝(－2，－2，2)，PC 2→＝(0，－2，3－λ)，D 2C 2→＝(－2，0，1)，设平面PA 2C 2的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，·A 2C 2→＝－2x 1－2y 1＋2z 1＝0，·PC 2→＝－2y 1＋（3－λ）z 1＝0，取z 1＝2，得y 1＝3－λ，x 1＝λ－1，∴n ＝(λ－1，3－λ，2)．设平面A 2C 2D 2的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，·A 2C 2→＝－2x 2－2y 2＋2z 2＝0，·D 2C 2→＝－2x 2＋z 2＝0，取x 2＝1，得y 2＝1，z 2＝2，∴m ＝(1，1，2)．又二面角P －A 2C 2－D 2为150°，∴|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n ||m |＝6（λ－1）2＋（3－λ）2＋22×6＝|cos150°|＝32，化简可得，λ2－4λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝3，∴P (0，2，1)或P (0，2，3)，∴B 2P ＝1.考点三利用空间向量求空间距离例5如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DA ，DC 和DD 1的长分别为1，2，1.求：(1)顶点B 到平面DA 1C 1的距离；(2)直线B 1C 到平面DA 1C 1的距离．解(1)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)．设平面DA 1C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为DA 1→＝(1，0，1)，DC 1→＝(0，2，1)，·DA 1→＝0，·DC 1→＝0，＋z ＝0，y ＋z ＝0，取y ＝1，得x ＝2，z ＝－2，则n ＝(2，1，－2)．而向量C 1B →＝(1，0，－1)，所以顶点B 到平面DA 1C 1的距离d ＝|n ·C 1B →||n |＝|2＋0＋2|4＋1＋4＝43.(2)直线B 1C 到平面DA 1C 1的距离等于点B 1到平面DA 1C 1的距离．因为C 1B 1→＝(1，0，0)，所以点B 1到平面DA 1C 1的距离d 1＝|n ·C 1B 1→||n |＝|2＋0＋0|4＋1＋4＝23.故直线B 1C 到平面DA 1C 1的距离为23.【通性通法】1．点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点．过点P 作平面α的垂线l ，交平面α于点Q ，则n 是直线l 的方向向量，且点P 到平面α的距离就是AP →在直线l上的投影向量QP →的长度．PQ ＝|AP →·n |n ||＝|AP →·n |n ||＝|AP →·n ||n |.2．点到直线的距离(1)设过点P 的直线l 的单位方向向量为n ，A 为直线l 外一点，点A 到直线l 的距离d ＝|PA →|2－（PA →·n ）2.(2)若能求出点在直线上的投影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．(3)线面距和面面距直线到平面的距离和平面到平面的距离可以转化为点到平面的距离进行求解．【巩固迁移】5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为()A ．2B ．3C ．23D ．33答案D 解析由正方体的性质，得AB 1∥DC 1，D 1B 1∥DB ，AB 1∩D 1B 1＝B 1，DC 1∩DB ＝D ，且AB 1⊂平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1，DC 1⊂平面BDC 1，DB ⊂平面BDC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1，则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离．以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，由正方体的棱长为1，得A (1，0，0)，B (1，1，0)，A 1(1，0，1)，C (0，1，0)，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)，所以CA 1→＝(1，－1，1)，BA →＝(0，－1，0)，AB 1→＝(0，1，1)，B 1D 1→＝(－1，－1，0)．连接A 1C ，由CA 1→·AB 1→＝(1，－1，1)·(0，1，1)＝1×0＋(－1)×1＋1×1＝0，CA 1→·B 1D 1→＝(1，－1，1)·(－1，－1，0)＝1×(－1)＋(－1)×(－1)＋1×0＝0，所以CA 1→⊥AB 1→，即CA 1⊥AB 1，CA 1→⊥B 1D 1→，即CA 1⊥B 1D 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，可知CA 1⊥平面AB 1D 1，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝CA 1→＝(1，－1，1)，则两平面间的距离d ＝|BA →·n ||n |＝|0×1＋（－1）×（－1）＋0×1|12＋（－1）2＋12＝13＝33.故选D.6.(2024·云南大理期中)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ＝2AB ＝2BC ＝2，E 为线段DD 1的中点，F 为线段BB 1的中点．(1)求直线FC 1到直线AE 的距离；(2)求点A 1到平面AB 1E 的距离．解(1)根据题意，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A (1，0，0)，A 1(1，0，2)，E (0，0，1)，C 1(0，1，2)，B 1(1，1，2)，F (1，1，1)，B 1E →＝(－1，－1，－1)，A 1B 1→＝(0，1，0)，FC 1→＝(－1，0，1)，AE →＝(－1，0，1)，故FC 1→∥AE →，又EF→＝(1，1，0)，设直线FC 1到直线AE 的距离为d 1，则d 1即为点F 到直线AE 的距离，因此d 1＝|EF →|2－AE →·EF →|AE →|2＝62，则直线FC 1到直线AE 的距离为62.(2)设平面AB 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·AE →＝－x ＋z ＝0，n ·B 1E →＝－x －y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，所以n ＝(1，－2，1)．设点A 1到平面AB 1E 的距离为d 2，可得d 2＝|A 1B 1→·n ||n |＝|（0，1，0）·（1，－2，1）|1＋4＋1＝63，则点A 1到平面AB 1E 的距离为63.课时作业一、单项选择题1.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，PQ 与直线A 1D 和AC 都垂直，则直线PQ 与BD 1的关系是()A ．异面直线B ．平行直线C ．垂直不相交D ．垂直且相交答案B 解析设正方体的棱长为1，以D 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(1，0，1)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，D 1(0，0，1)，B (1，1，0)，DA 1→＝(1，0，1)，AC →＝(－1，1，0)，BD 1→＝(－1，－1，1)，∵BD 1→·DA 1→＝0，BD 1→·AC →＝0，∴BD 1⊥A 1D ，BD 1⊥AC ，∴BD 1与直线A 1D和AC 都垂直，又PQ 与直线A 1D 和AC 都垂直，∴PQ ∥BD 1.故选B.2．若直线l 的一个方向向量为m ，平面α的一个法向量为n ，则可能使l ∥α的是()A ．m ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0)B ．m ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1)，C ．m ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1)D ．m ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)答案D 解析要使l ∥α成立，需使m ·n ＝0，将选项一一代入验证，只有D 满足m ·n ＝1×0－1×3＋3×1＝0.故选D.3．已知v 为直线l 的方向向量，n 1，n 2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，给出下列说法：①n 1∥n 2⇔α∥β；②n 1⊥n 2⇔α⊥β；③v ∥n 1⇔l ∥α；④v ⊥n 1⇔l ⊥α.其中说法正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案B 解析n 1∥n 2⇔α∥β，故①正确；n 1⊥n 2⇔α⊥β，故②正确；v ∥n 1⇔l ⊥α，故③错误；v ⊥n 1⇔l ∥α或l ⊂α，故④错误．故选B.4.(2023·山东临沂模拟)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 的中点，则下列说法正确的是()A ．直线PB 与直线A 1D 垂直，直线PB ∥平面B 1D 1CB ．直线PB 与直线D 1C 平行，直线PB ⊥平面A 1C 1DC ．直线PB 与直线AC 异面，直线PB ⊥平面ADC 1B 1D ．直线PB 与直线B 1D 1相交，直线PB ⊂平面ABC 1答案A 解析连接DB ，A 1B ，D 1B 1，D 1C ，B 1C .由正方体的性质可知BA 1＝BD ，P 是A 1D 的中点，所以直线PB 与直线A 1D 垂直．由正方体的性质可知DB ∥D 1B 1，A 1B ∥D 1C ，所以平面BDA 1∥平面B 1D 1C ，又PB ⊂平面BDA 1，所以直线PB ∥平面B 1D 1C ，故A 正确；以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D 1(0，0，1)，0PB →1，D 1C →＝(0，1，－1)，显然直线PB 与直线D 1C 不平行，故B 不正确；直线PB 与直线AC 异面，正确，因为DA →＝(1，0，0)，PB →·DA →＝12≠0，所以直线PB 与平面ADC 1B 1不垂直，故C 不正确；直线PB 与直线B 1D 1异面，不相交，故D 不正确．故选A.5.(2023·四川眉山高三校考模拟预测)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ⊥平面ACC 1A 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与AB 1所成角的余弦值为()A ．225B ．53C ．55D ．35答案C 解析在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ，AB ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AC ，CC 1⊥AB ，又BC ⊥平面ACC 1A 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AC ，所以CA ，CC 1，CB 互相垂直，以C 为原点，CA ，CC 1，CB 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设CA ＝CC 1＝2CB ＝2，则C (0，0，0)，A (2，0，0)，B 1(0，2，1)，B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，可得AB 1→＝(－2，2，1)，BC 1→＝(0，2，－1)，所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－13×5＝55，所以直线BC 1与AB 1所成角的余弦值为55.故选C.6.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为()A ．3B ．22C ．23D ．55答案D 解析以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则G(1，λ，1)，D1(0，0，1)，，0，1所以D1E→，0，D1F→，1，GE→，－λ，设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则·D1E→＝x－12z＝0，·D1F→＝x＋y－12z＝0，令x＝1，则y＝0，z＝2，所以平面D1EF的一个法向量为n＝(1，0，2)．点G到平面D1EF的距离为|GE→·n||n|＝|－12×2|5＝55.故选D.7．(2024·湖北武汉模拟)已知圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上不重合的三点，AB为底面的直径，SA＝AB，M为SA的中点．设直线MC与平面SAB所成的角为α，则sinα的最大值为()A．3－1B．2－1C．3＋1D．2＋1答案A解析以AB的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设SA＝AB＝4，则M(0，－1，3)，设C(x，y，0)，且x2＋y2＝4，由对称性不妨设0<x<2，则MC→＝(x，y＋1，－3)，易知平面SAB的一个法向量为m＝(1，0，0)，据此有sinα＝MC→·m|MC→||m|＝xx2＋（y＋1）2＋3＝12×－（y＋4）－12y＋4＋8≤4－23＝3－1，当且仅当y＝23－4时等号成立．综上可得，sinα的最大值为3－1.8.(2024·山西长治期末)如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC 的中点，O 是AC 的中点，∠ABC ＝2π3，则折后平面OEF 与平面ABC 夹角的余弦值为()A ．217B ．1111C ．31313D ．31111答案A解析连接OB ，OD .因为菱形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，所以平面ADC ⊥平面ABC ，因为四边形ABCD 是菱形，O 是AC 的中点，所以OD ⊥AC ，OB ⊥AC ，而平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，OD ⊂平面ADC ，所以OD ⊥平面ABC ，而OB ⊂平面ABC ，所以OD ⊥OB .以O 为原点，OB ，OC ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2，则D (0，0，1)，，－32，，32，OE →，－32，OF →＝，32，设平面OEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·OE →＝0，·OF →＝0，－32y ＋12z ＝0，＋32y ＝0，取y ＝1，则x ＝－3，z ＝3，则n ＝(－3，1，3)，易得平面ABC 的一个法向量为OD →＝(0，0，1)，所以平面OEF 与平面ABC 夹角的余弦值为|n ·OD →||n ||OD →|＝217.故选A.二、多项选择题9．(2023·贵州名校联考)下列命题正确的是()A ．已知a ＝(－1，1，2)，b ＝(0，2，3)，直线l 1的方向向量为k a ＋b ，直线l 2的方向向量为2a －b 且l 1⊥l 2，则k ＝－34B ．若直线l 的方向向量为e ＝(1，0，3)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－6)，则直线l ∥αC ．已知直线l 过P 0(x 0，y 0，z 0)，且以u ＝(a ，b ，c )(abc ≠0)为方向向量，P (x ，y ，z )是直线l 上的任意一点，则有x －x 0a ＝y －y 0b ＝z －z 0cD ．已知平面α的法向量为n ＝(1，1，1)，A (－1，1，1)为平面α上一点，P (x ，y ，z )为平面α上任意一点，则有x ＋y ＋z ＋1＝0答案AC解析对于A ，a ＝(－1，1，2)，b ＝(0，2，3)，k a ＋b ＝(－k ，k ＋2，2k ＋3)，2a －b ＝(－2，0，1)，因为l 1⊥l 2，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝4k ＋3＝0，所以k ＝－34，故A 正确；对于B ，直线l 的方向向量为e ＝(1，0，3)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－6)，则有n ＝－2e ，所以n ∥e ，所以l ⊥α，故B 错误；对于C ，直线l 过P 0(x 0，y 0，z 0)，且以u ＝(a ，b ，c )(abc ≠0)为方向向量，P (x ，y ，z )是直线l 上的任意一点，则有P 0P →＝(x －x 0，y －y 0，z －z 0)，P 0P →∥u ，即P 0P →＝λu ，－x 0＝λa ，－y 0＝λb ，－z 0＝λc ，则x －x 0a ＝y －y 0b ＝z －z 0c，故C 正确；对于D ，平面α的法向量为n＝(1，1，1)，A (－1，1，1)为平面α上一点，P (x ，y ，z )为平面α上任意一点，则有AP →＝(x ＋1，y －1，z －1)，则n ·AP →＝x ＋y ＋z －1＝0，故D 错误．故选AC.10.(2024·四川成都调研)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝π3，AB＝2AD ＝2PD ，PD ⊥底面ABCD ，则()A ．PA ⊥BDB ．PB 与平面ABCD 所成的角为π6C ．异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为255D ．平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为77答案ABC解析对于A ，因为∠DAB ＝π3，AB ＝2AD ，由余弦定理可得BD ＝AD 2＋4AD 2－2AD ×2AD ×12＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，即BD ⊥AD ，由PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，可得BD ⊥PD ，又AD ∩PD ＝D ，AD ，PD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以PA ⊥BD ，故A 正确；对于B ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠PBD 就是PB 与平面ABCD 所成的角，又tan ∠PBD ＝PD BD ＝33，所以∠PBD ＝π6，故B 正确；对于C ，显然∠PCD (或其补角)为异面直线AB 与PC 所成的角，易得cos ∠PCD ＝CD PC ＝255，故C 正确；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD ＝1，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0，0，1)，AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝(－1，0，0)，设平面PAB的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，·AB →＝0，·PB →＝0，1＋3y 1＝0，1－z 1＝0，取y 1＝1，则x 1＝z 1＝3，即n＝(3，1，3)，设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，·PB →＝0，·BC →＝0，2－z 2＝0，2＝0，取y 2＝1，则x 2＝0，z 2＝3，即m ＝(0，1，3)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝277，即平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为277，故D 不正确．故选ABC.三、填空题11．已知点A (1，0，2)，B (－1，1，2)，C (1，1，－2)，则点A 到直线BC 的距离是________．答案1055解析BA →＝(2，－1，0)，BC →＝(2，0，－4)，BA →·BC →＝4，|BA →|＝5，|BC →|＝25，cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝45×25＝25，又0°≤〈BA →，BC →〉≤180°，所以sin 〈BA →，BC →〉＝＝215，所以点A 到直线BC 的距离为d ＝|BA →|sin 〈BA →，BC →〉＝5×215＝1055.12.(2024·湖南新化县第一中学期末)如图，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点O ，PA ＝AB ＝2，若OG ∥平面EFC ，则AG ＝________．答案23解析如图所示，以A 为原点，AB →，AD →，AP →的方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意可得C (2，2，0)，O (1，1，0)，F (1，0，1)，E (0，1，1)，所以FC →＝(1，2，－1)，FE →＝(－1，1，0)，设平面EFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·FC →＝0，n ·FE →＝0，x ＋2y －z ＝0，－x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝3，所以n ＝(1，1，3)．设G (0，0，a )，0≤a ≤2，则OG →＝(－1，－1，a )，因为OG ∥平面EFC ，则n ·OG →＝0，所以－1－1＋3a ＝0，解得a ＝23所以G 0，0，23即AG ＝23.13．(2024·山东泰安期末)设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD 1B＝λ.当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是________．答案13，1解析以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D 1(0，0，1)，则D 1B →＝(1，1，－1)，所以D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，所以PA →＝PD 1→＋D 1A →＝(－λ，－λ，λ)＋(1，0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝PD 1→＋D 1C →＝(－λ，－λ，λ)＋(0，1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于PA →·PC →<0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，即(λ－1)(3λ－1)<0，解得13<λ<1，因此λ的取值范围是13，114.(2023·湖北武汉华中师大附中二模)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，CC 1＝2，D ，E 分别是线段AC ，CC 1的中点，C 1在平面ABC 内的射影为D .若点F 为线段B 1C 1上的动点(不包括端点)，则锐二面角F －BD －E 的余弦值的取值范围为________．答案12，32解析连接C 1D ，因为C 1在平面ABC 内的射影为D ，所以C 1D 垂直于平面ABC 内DB ，AD 这两条线段，又因为底面是边长为2的等边三角形，D 是线段AC 的中点，所以DB ⊥AD ，因此建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，B (3，0，0)，C (0，－1，0)，C 1(0，0，3)，B 1(3，1，3)，0，－12，32C 1B 1→＝(3，1，0)，DE →0，－12，32DB →＝(3，0，0)，设F (x ，y ，z )，C 1F →＝λC 1B 1→(0<λ<1)，则(x ，y ，z －3)＝(3λ，λ，0)，故F (3λ，λ，3)，所以DF →＝(3λ，λ，3)，设平面BDE 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，m ·DE →＝0，m ·DB →＝0，即－12b ＋32c ＝0，3a 0，取b ＝3，得a ＝0，c ＝3，所以m ＝(0，3，3)．设平面BDF 的法向量为n ＝(d ，e ，f )，n ·DF →＝0，n ·DB →＝0，3＋λe ＋3f ＝0，3＝0，取e ＝3，得d ＝0，f ＝－λ，所以n＝(0，3，－λ)，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝|33－3λ|32＋（3）2×（3）2＋（－λ）2＝|3－λ|23＋λ2＝12（3－λ）23＋λ2，令3－λ＝t (t ∈(2，3))，所以|cos 〈m ，n 〉|＝12t 212－6t ＋t 2＝设s则|cos〈m，n〉|＝12112s2－6s＋1，二次函数y ＝12s2－6s＋1＝＋14的图象开口向上，对称轴为直线s＝14，所以当s，该二次函数单调递增，又－6×13＋1＝13，－6×12＋1＝1，所以12s2－6s＋1所以112s2－6s＋1∈(1，3)，即|cos〈m，n〉|即锐二面角F－BD－E的余弦四、解答题15.(2023·新课标Ⅱ卷)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC ＝60°，E为BC的中点．(1)证明：BC⊥DA；(2)点F满足EF→＝DA→，求二面角D－AB－F的正弦值．解(1)证明：连接AE，DE，因为E为BC的中点，DB＝DC，所以DE⊥BC，①因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形，所以AC＝AB，所以AE⊥BC，②由①②，且AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE，而DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA.(2)不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为BD⊥CD，所以BC＝22，DE＝2，因为△ACD 与△ABD 均为等边三角形，所以AC ＝AB ＝2，所以AE ⊥BC ，AE ＝2，所以AE 2＋DE 2＝4＝DA 2，所以AE ⊥DE ，又DE ∩BC ＝E ，DE ，BC ⊂平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD .以E 为原点，ED ，EB ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则E (0，0，0)，D (2，0，0)，A (0，0，2)，B (0，2，0)，设平面DAB 与平面ABF 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，二面角D －AB －F 的平面角为θ，而AB →＝(0，2，－2)，因为EF →＝DA →＝(－2，0，2)，所以F (－2，0，2)，即有AF →＝(－2，0，0)，1·DA →＝0，1·AB →＝0，1＋2z 1＝0，－2z 1＝0，取x 1＝1，所以n 1＝(1，1，1)．2·AB →＝0，2·AF →＝0，－2z 2＝0，2＝0，取y 2＝1，所以n 2＝(0，1，1)，所以|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23×2＝63，所以sin θ＝1－69＝33，所以二面角D －AB －F 的正弦值为33.16.(2024·浙江台州模拟)如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为6，截面ACC 1A 1的面积为6.(1)求点B 到平面ACC 1A 1的距离；(2)若AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，AA 1＝6，求直线BD 1与平面CC 1D 1D 所成角的正弦值．解(1)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABC －A 1B 1C 1是三棱柱，V B －ACC 1A 1＝23V ABC －A 1B 1C 1＝13V ABCD －A 1B 1C 1D 1＝2，设点B 到平面ACC 1A 1的距离为d ，则V B －ACC 1A 1＝13S 四边形ACC 1A 1·d ＝13×6d ＝2，所以d ＝1，即点B 到平面ACC 1A 1的距离为1.(2)在▱ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，所以四边形ABCD 是菱形，连接BD 交AC 于点O ，则BO ＝1，由(1)知点B 到平面ACC 1A 1的距离为1，所以BO ⊥平面ACC 1A 1.设点A 1在直线AC 上的射影为点H ，则S ▱ACC 1A 1＝AC ·A 1H ＝23A 1H ＝6，则A 1H ＝3，且BO ⊥A 1H ，AH ＝AA 21－A 1H 2＝（6）2－（3）2＝3，所以点O 与点H 重合，即A 1O ⊥AO .以O 为原点，OA ，OB ，OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则B (0，1，0)，A (3，0，0)，D (0，－1，0)，A 1(0，0，3)，根据AA 1→＝DD 1→＝(－3，0，3)，AB →＝DC →＝(－3，1，0)，则D 1(－3，－1，3)，BD 1→＝(－3，－2，3)，设平面CC 1D 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，1→·n ＝－3x ＋3z ＝0，·n ＝－3x ＋y ＝0，取x ＝1，则n ＝(1，3，1)，设直线BD 1与平面CC 1D 1D 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈BD 1→，n 〉|＝|BD 1→·n ||BD 1→||n |＝|－3－23＋3|10×5＝65，所以直线BD 1与平面CC 1D 1D 所成角的正弦值为6517.(2024·海南华侨中学模拟)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝1，AA 1>AB ，E ，F 分别是侧棱BB 1，DD 1上的动点，且平面AEF 与平面ABC 所成角的大小为30°，则线段BE 的长度的最大值为()A ．13B ．33C ．12D ．22答案B解析依题意，AB ，AD ，AA 1两两互相垂直，以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设BE ＝m ，DF ＝n (m ≥0，n ≥0，且m ，n 不同时为0)，则A (0，0，0)，E (1，0，m )，F (0，1，n )，所以AE →＝(1，0，m )，AF →＝(0，1，n )．设平面AEF 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，·AE →＝（x ，y ，z ）·（1，0，m ）＝x ＋mz ＝0，·AF →＝（x ，y ，z ）·（0，1，n ）＝y ＋nz ＝0，取z ＝1，得x ＝－m ，y ＝－n ，则u ＝(－m ，－n ，1)，显然v ＝(0，0，1)为平面ABC 的一个法向量．因为平面AEF 与平面ABC 所成角的大小为30°，所以cos30°＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u ·v ||u ||v |＝|（－m ，－n ，1）·（0，0，1）|m 2＋n 2＋1＝1m 2＋n 2＋1，即32＝1m 2＋n 2＋1，得m 2＋n 2＝13，所以m＝13－n2，所以当n＝0时，m取得最大值，为33.故选B.18.(2024·云南昆明一中高三开学考试)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB⊥AC，AA1＝AB＝AC＝2，∠A1AC＝60°，过A1A的平面交线段B1C1于点E(不与端点重合)，交线段BC于点F.(1)证明：AA1∥EF；(2)若BF＝2FC，求直线A1C1与平面AFC1所成角的正弦值．解(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥CC1，AA1⊄平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，所以AA1∥平面BCC1B1，又过A1A的平面AA1EF∩平面BCC1B1＝EF，所以AA1∥EF.(2)在平面AA1C1C内过A作AP⊥AC，因为平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，所以AP⊥平面ABC，又AB⊥AC，则可构建以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，又AA1＝AB＝AC＝2，∠A1AC＝60°，且BF＝2FC，所以A (0，0，0)，A 1(0，1，3)，C 1(0，3，3)，，43，则A 1C 1→＝(0，2，0)，AC 1→＝(0，3，3)，AF →，43，设m ＝(x ，y ，z )为平面AFC 1的法向量，·AC 1→＝3y ＋3z ＝0，·AF →＝23x ＋43y ＝0，取y ＝1，则x ＝－2，z ＝－3，则m ＝(－2，1，－3)，所以cos 〈m ，A 1C 1→〉＝22×22＝24，所以直线A 1C 1与平面AFC 1所成角的正弦值为24.19.(2023·河北石家庄二模)如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，P 为棱A 1B 1上一点，且PA ＝PB ，F 为CD 的中点．(1)证明：AB ⊥PF ；(2)若AB ＝AD ＝PD ＝2.当直线PB 与平面PCD 所成的角为45°，且二面角P －CD －A 的平面角为锐角时，求三棱锥B －APD 的体积．解(1)证明：取AB 的中点E ，连接PE ，EF ，∵PA ＝PB ，∴PE ⊥AB ，∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ，又PE ∩EF ＝E ，∴AB ⊥平面PEF ，∵PF ⊂平面PEF ，∴AB ⊥PF .(2)如图，以F 为原点，FC →，EF →的方向分别为x ，y 轴正方向，过F 与平面ABCD 垂直的直线向上的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (－1，－2，0)，B (1，－2，0)，C (1，0，0)，D (－1，0，0)，设P (0，a ，h )，h 为P 到平面ABCD 的距离，则PB →＝(1，－2－a ，－h )，PD →＝(－1，－a ，－h )，CD →＝(－2，0，0)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·PD →＝0，·CD →＝0，x －ay －hz ＝0，2x ＝0，取y ＝－h ，则z ＝a ，∴n ＝(0，－h ，a )，又PD ＝2，∴a 2＋h 2＝3，(*)设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，sin θ＝|PB →·n ||PB →||n |＝|2h |1＋（2＋a ）2＋h 2×3＝22，解得a ＝0或a ＝－32，当a ＝0时，平面PCD 的法向量为n ＝(0，－h ，0)，则平面PCD 与平面ABCD 垂直，此时二面角P －CD －A 的平面角为直角，∴a ＝0舍去，∴a ＝－32，代入(*)可得h ＝32，∴V B －APD ＝V P －ABD ＝13×12×2×2×32＝33.20.(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝22，PB ＝PC ＝6，BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD ＝5DO ，点F 在AC 上，BF ⊥AO .(1)证明：EF ∥平面ADO ；(2)证明：平面ADO ⊥平面BEF ；(3)求二面角D －AO －C 的正弦值．解(1)证明：设AF ＝tAC ，则BF →＝BA →＋AF →＝(1－t )BA →＋tBC →，AO →＝－BA →＋12BC →，因为BF ⊥AO ，则BF →·AO →＝[(1－t )BA →＋tBC →－BA →＋12BC (t －1)BA →2＋12tBC →2＝4(t －1)＋4t ＝0，解得t ＝12，则F 为AC 的中点，因为D ，E ，O ，F 分别为BP ，AP ，BC ，AC 的中点，于是EF ∥PC ，DO ∥PC ，即EF ∥DO ，又EF ⊄平面ADO ，DO ⊂平面ADO ，所以EF ∥平面ADO .(2)证明：因为D ，O 分别为BP ，BC 的中点，所以DO ＝12PC ＝62，则AD ＝5DO ＝302，因为AO ＝AB 2＋BO 2＝6，所以DO 2＋AO 2＝AD 2＝152，则DO ⊥AO ，由(1)可知EF ∥DO ，所以EF ⊥AO ，又AO ⊥BF ，BF ∩EF ＝F ，BF ，EF ⊂平面BEF ，则AO ⊥平面BEF ，又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .(3)如图，以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系，则B (0，0，0)，A (2，0，0)，O (0，2，0)，AO →＝(－2，2，0)．因为PB ＝PC ，BC ＝22，所以设P (x ，2，z )，z ＞0，则BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋12AP →＝(2，0，0)＋12(x －2，2，z )x ＋22，22，z 2由(2)知AO ⊥BE ，所以AO →·BE →＝(－2，2，0)·x ＋22，22，z 20，所以x ＝－1.又PB ＝6，BP →＝(x ，2，z )，所以x 2＋2＋z 2＝6，所以z ＝3，则P (－1，2，3)．由D 为BP 的中点，得－12，22，则AD →－52，22，设平面DAO 的法向量为n 1＝(a ，b ，c )，1·AD →＝0，1·AO →＝0，－52a ＋22b ＋32c ＝0，2a ＋2b ＝0，取a ＝1，则n 1＝(1，2，3)．易知平面CAO 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，设二面角D －AO －C 的大小为θ，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝36＝22，所以sin θ＝1－12＝22，故二面角D －AO －C 的正弦值为22.。
平面向量复习讲义
平面向量复习讲义一. 向量有关概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；uuu3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是uuu.ABL）；|AB|4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5. 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a // b，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0）；6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a的相反向量是一a。
女口下列命题：（1）若a b，则a b。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC，则ABCD是平行四边形。
（4）若ABCD是平行四边形，uiin LLir r r r r r r r r r r r r则AB DC。
（5）若a b, b c，则 a c。
（6）若a//b,b//c，则a//c。
其中正确的是____________（答：（4）（5））二. 向量的表示方法：1 .几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2 .符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3.坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，——r r r tj为基底，则平面内的任一向量a可表示为a xi y j x,y，称x, y为向量a的坐标，a = x, y叫做向量a的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析 第2节 平面向量基本定理及坐标表示
第二节平面向量基本定理及坐标表示课标解读考向预测1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.预计2025年高考，平面向量基本定理与坐标表示及运算仍是考查的重点，题型还是以选择题或填空题为主，中低档难度.必备知识——强基础1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个01不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，02有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个03基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个04互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝05(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝06(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝07(λx 1，λy 1)，|a |＝08x 21＋y 21．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝09(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝10（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2．4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔11x 1y 2－x 2y 1＝0．1．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y2)，则点P 2．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设{a ，b }是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y1y 2.()(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．()答案(1)√(2)×(3)√2．小题热身(1)已知平面向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝()A ．(－2，－1)B ．(－2，1)C ．(－1，0)D ．(－1，2)答案D解析∵a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，∴12a ，32b ，∴12a －32b －32，12＋(－1，2)．故选D.(2)(人教B 必修第二册6.2.4例4改编)若P 1(1，3)，P 2(4，0)，且P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则点P 的坐标为()A ．(2，2)B ．(3，－1)C ．(2，2)或(3，－1)D ．(2，2)或(3，1)答案D解析由题意可知P 1P 2→＝(3，－3)．若P 1P →＝13P 1P 2→，则点P 的坐标为(2，2)；若P 1P →＝23P 1P 2→，则点P 的坐标为(3，1)．故选D.(3)(人教A 必修第二册6.3例5改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________．答案(1，5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.故顶点D 的坐标为(1，5)．(4)(人教A 必修第二册6.3例1改编)如图，OA →，OB →不共线，且AP →＝tAB →(t ∈R )，用OA →，OB →表示OP →，则OP →＝________．答案(1－t )OA →＋tOB→解析∵AP →＝tAB →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tAB →＝OA →＋t (OB →－OA →)＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.考点探究——提素养考点一平面向量基本定理的应用例1(2024·山东青岛二中阶段考试)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆O 于点D ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则向量AD →＝()A ．a ＋bB ．12a ＋bC ．a ＋12bD ．a ＋23b答案C解析设圆O 的半径为r ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，所以∠BAC ＝π3，∠ACB＝π6，又∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆O 于点D ，所以∠ACB ＝∠BAD ＝∠CAD ＝π6，则根据圆的性质得BD ＝AB ，又因为在Rt △ABC 中，AB ＝12AC ＝r ＝OD ，所以四边形ABDO 为菱形，所以AD →＝AB →＋AO →＝a ＋12b .故选C.【通性通法】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．提醒：(1)一个基底中的两个向量必须是同一平面内的两个不共线向量．(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．【巩固迁移】1．(2023·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________．答案12解析由题图可设CG →＝xCE →(0<x <1)，则CG →＝x (CB →＋BE →)＝＋12CD ＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.考点二平面向量的坐标运算例2已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝()A B －133，C D －133，答案D解析∵a －2b ＋3c ＝0，∴c ＝－13(a －2b )．∵a －2b ＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13，4)，∴c＝－13(a －2b )－133，故选D.【通性通法】1．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．2．向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．【巩固迁移】2．(2024·吉林期末)已知向量OA →＝(2，3)，OB →＝(4，－1)(O 为坐标原点)，P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标是()A ．(2，－4)B ．(3，1)C ．(－2，4)D ．(6，2)答案B解析因为点P 是线段AB 的中点，所以OA →＋OB →＝2OP →，设P (x ，y )，＋4＝2x ，－1＝2y ，＝3，＝1，所以点P 的坐标是(3，1)．故选B.考点三平面向量共线的坐标表示(多考向探究)考向1利用向量共线求向量或点的坐标例3设点A (2，0)，B (4，2)，若点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|，则点P 的坐标为()A ．(3，1)B ．(1，－1)C ．(3，1)或(1，－1)D ．(3，1)或(1，1)答案C解析∵A (2，0)，B (4，2)，∴AB →＝(2，2)，∵点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|，∴AB →＝2AP→或AB →＝－2AP →，故AP →＝(1，1)或AP →＝(－1，－1)，故点P 的坐标为(3，1)或(1，－1)．故选C.【通性通法】利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x ，y )，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x ，y 的值．提醒：(1)a ∥b 的充要条件不能表示为x 1x 2＝y1y 2，因为x 2，y 2有可能为0.(2)当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y1y 2等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．【巩固迁移】3．已知O 为坐标原点，点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3，3)解析解法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3)．解法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3)．考向2利用向量共线求参数例4已知AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，BC →∥DA →，则x ＋2y 的值为()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案B解析因为AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，所以AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(4＋x ，y－2)，所以DA →＝(－x －4，2－y )，因为BC →∥DA →，所以x (2－y )＝y (－x －4)，所以2x ＋4y ＝0，即x ＋2y ＝0.故选B.【通性通法】平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．【巩固迁移】4．(2023·四川成都三模)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1，3)，则“a 与b 共线”的充要条件是()A ．x ＝±2B ．x ＝2C ．x ＝－2D ．x ＝12答案A解析因为a ∥b ，a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1，3)，所以(x ＋1)(x －1)＝3，所以x ＝±2.故选A.考点四解析法(坐标法)在向量中的应用例5如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝________．答案85解析解法一：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →BN →－12，AC →＝(1，1)，∵AC →＝λAM →＋μBN →－12μ，λ2＋－12μ＝1，μ＝1，＝65，＝25，∴λ＋μ＝85.解法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →，又AC →＝AB →＋AD →－μ2＝1，μ＝1，＝65，＝25，∴λ＋μ＝85.【通性通法】通过建立坐标系，把复杂的几何运算转化为便于操作的代数运算，使向量问题化繁为简．【巩固迁移】5．(2024·广西宾阳中学阶段练习)已知直角坐标平面内有不共线的三点A (1，1)，B (2，1)，D (4，5)．(1)求以线段AB ，AD 为邻边的平行四边形ABCD 两条对角线AC ，BD 的长；(2)设点P 满足AP →＝(3，3)，试判断点P 是在△ABD 的BD 边上，还是在△ABD 的外部？请说明理由．解(1)∵A (1，1)，B (2，1)，D (4，5)，∴AB →＝(1，0)，AD →＝(3，4)，BD →＝(2，4)，AC →＝AB →＋AD →＝(1，0)＋(3，4)＝(4，4)，∴AC ＝|AC →|＝42＋42＝42，BD ＝22＋42＝2 5.(2)∵BD 的中点为E (3，3)，A (1，1)，∴AE →＝(2，2)，又AP →＝(3，3)，∴AP →＝32AE →，由32>1知点P 在AE 的延长线上，∴点P 不是在△ABD 的BD 边上，而是在△ABD 的外部．课时作业一、单项选择题1．(2024·南京模拟)设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |＝()A ．5B ．6C ．17D ．26答案A解析由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，所以b＝(－2，－4)，3a＋b＝(3，6)＋(－2，－4)＝(1，2)，|3a＋b|＝12＋22＝ 5.故选A.2．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1－2e2与－e1＋2e2答案D解析对于A，设e1＋e2＝λe1，＝1，＝0，无解，故e1与e1＋e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对于B，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，＝1，2＝2λ，无解，故e1－2e2与e1＋2e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对于C，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，＝1，＝－λ，无解，故e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对于D，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以e1－2e2与－e1＋2e2为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底．故选D.3．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若m＝－3，则a＝(9，－9)＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×(－1)－(－9)×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．4．在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P.若AP→＝xAB→＋yAF→，则x＋y＝() A．2B．52C．3D．72答案B解析如图，记正六边形ABCDEF 的中心为点O ，连接OB ，OD ，易证四边形OBCD 为菱形，且P 恰为其中心，于是FP →＝32FO →＝32AB →，因此AP →＝AF →＋FP →＝32AB →＋AF →，因为AP →＝xAB →＋yAF →，所以x ＝32且y ＝1，故x ＋y ＝52.故选B.5．(2023·大理模拟)在△ABC 中，D 是直线AB 上的点．若2BD →＝CB →＋λCA →，记△ABC 的面积为S 1，△ACD 的面积为S 2，则S1S 2＝()A ．λ6B ．λ2C ．13D ．23答案D解析依题意作图，如图所示，设BD →＝μBA →＝μ(CA →－CB →)＝－μCB →＋μCA →，由条件BD →＝12CB →＋λ2CA →，得μ＝－12，λ2＝μ＝－12，BD →＝－12BA →，∴点D 在AB 的延长线上，并且AD ＝32AB ，∴S 1S 2＝AB AD ＝23.故选D.6.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若BC →＝a ，BA →＝b ，BE →＝3EF →，则BF →＝()A ．1225a ＋925b B ．1625a ＋1225b C ．45a ＋35bD ．35a ＋45b答案B解析由题得BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋34EA →＝BC →＋34(EB →＋BA →)＝BC →－34BF →＋解得BF →＝1625BC →＋1225BA →，即BF →＝1625a ＋1225b .故选B.7．(2024·广东湛江摸底)若{α，β}是一个基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底{α，β}下的坐标．现已知{p ，q }，{m ，n }为基底，且p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)，m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)，向量a 在基底{p ，q }下的坐标为(－2，2)，则a 在基底{m ，n }下的坐标为()A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)答案D解析∵a 在基底{p ，q }下的坐标为(－2，2)，∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4)．设(x ，y )为a 在基底{m ，n }下的坐标，则a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，即(2，4)＝(－x＋y ，x ＋2y )－x ＝2，＋2y ＝4，＝0，＝2.∴a 在基底{m ，n }下的坐标为(0，2)．故选D.8.地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若OA →＝a ，OB →＝b ，则AF →＝()A ．－52a －12bB －32bC ＋33bD －33b解析以AB 的中点M 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设|AB |＝2，则O (0，3)，A (－1，0)，B (1，0)，F (1，2＋23)，所以OA →＝(－1，－3)，OB →＝(1，－3)，AF →＝(2，2＋23)．设AF →＝λOA →＋μOB →，λ＋μ＝2，－3λ－3μ＝2＋23，＝－2－33，＝－33.所以AF→＝－－33OB →，即AF →－33b .故选D.二、多项选择题9．(2024·山东省实验中学月考)如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()A ．λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个C ．若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0答案BC解析由平面向量基本定理可知，A ，D 正确；对于B ，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B 错误；对于C ，当两个向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，或当λ1e 1＋μ1e 2为非零向量，而λ2e 1＋μ2e 2为零向量(λ2＝μ2＝0)时，λ不存在，故C 错误．故选BC.10．(2023·山东聊城模拟)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则下列结论正确的是()A ．AC →＝12a ＋bB ．BC →＝－12a ＋bC ．BM →＝－13a ＋23bD ．EF →＝－14a ＋b解析AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →＝12a ＋b ，故A 正确；BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB→＝－12a ＋b ，故B 正确；BM →＝BA →＋AM →＝－AB →＋23AC →＝－a＋＝－23a ＋23b ，故C 错误；EF →＝EA →＋AD →＋DF →＝－12AB →＋AD →＋14AB →＝－14a ＋b ，故D 正确．故选ABD.11．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是()A ．－2B ．12C ．1D ．－1答案ABD解析因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A ，B ，C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.所以只要m ≠1，A ，B ，C 三点就可构成三角形．故选ABD.三、填空题12．设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，若向量AB →＝2i ＋3j ，BC →＝i －2j ，则AC →的坐标是________．答案(3，1)解析AC →＝AB →＋BC →＝2i ＋3j ＋i －2j ＝3i ＋j ，所以AC →的坐标是(3，1)．13．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，若点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．答案(2，4)解析∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC →＝2AB →，设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4－x ，2－y )，又AB →＝(1，－1)，∴(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，－x ＝2，－y ＝－2，＝2，＝4，∴点D 的坐标为(2，4)．14．在直角梯形ABCD 中，A ＝90°，B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案0，12解析由已知得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →.因为点E 在线段CD 上，所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)．因为AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →＝AD →＋λ2AB →，又AE →＝AD →＋μAB →，所以μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.15．(多选)如图，B 是AC 的中点，BE →＝2OB →，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则下列结论中正确的是()A ．当x ＝0时，y ∈[2，3]B ．当P 是线段CE 的中点时，x ＝－12，y ＝52C ．若x ＋y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．当P 在C 点时，x ＝1，y ＝2答案BC解析当OP →＝y OB →时，点P 在线段BE 上，所以1≤y ≤3，故A 错误；当P 是线段CE 的中点时，OP →＝OE →＋EP →＝3OB →＋12(EB →＋BC →)＝3OB →＋12－2OB →＋AB →)＝3OB →＋12(－2OB →＋OB →－OA →)＝－12OA →＋52OB →，故B 正确；当x ＋y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，故点P 的轨迹是一条线段，故C 正确；因为OB →＝12(OC →＋OA →)，所以OC →＝2OB →－OA →，则OP →＝－OA →＋2OB →，所以x ＝－1，y ＝2，故D 错误．故选BC.16．(多选)(2023·潮汕模拟)已知集合E 是由平面向量组成的集合，若对任意a ，b ∈E ，t ∈(0，1)，均有t a ＋(1－t )b ∈E ，则称集合E 是“凸”的，则下列集合中是“凸”的的是()A ．{(x ，y )|y ≥e x }B ．{(x ，y )|y ≥ln x }C ．{(x ，y )|x ＋2y －1≥0}D ．{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}答案ACD解析设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝t a ＋(1－t )b ，则C 为线段AB 上一点，因此一个集合E 是“凸”的就是E 表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示，观察选项A ，B ，C ，D 所对图形知，B 不符合题意，A ，C ，D 符合题意．故选ACD.17．若在△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝π4，BC ＝3，AD 为BC 边上的高，O 为AD 上靠近点A的三等分点，且AO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ－2μ＝________．答案0解析由题意可知，在Rt △ABD 中，AB ＝2，∠ABC ＝π4，所以BD ＝1，所以BD ＝13BC ，所以AO →＝13AD →＝13(AB →＋BD →)＋13BC ＝13AB →＋19(BA →＋AC →)＝29AB →＋19AC →，又因为AO →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝29，μ＝19，所以λ－2μ＝29－29＝0.18．如图，矩形LMNK 中，LM ＝6，sin ∠MLN ＝23，⊙E 的半径为1，且E 为NK 的中点，P为圆E 上的动点，设MP →＝λML →＋μMN →，则λ＋μ的最小值为________．答案54解析如图，建立平面直角坐标系，由LM ＝6，sin ∠MLN ＝23，解得MN ＝1255，则M 3，－1255N (3，0)，L －3，－1255设P (cos θ，sin θ)，因为MP →＝λML →＋μMN →，MP →＝cos θ－3，sin θ＋1255，ML →＝(－6，0)，MN →0，1255所以MP →＝cos θ－3，sin θ＋1255＝λ(－6，0)＋0，1255cos θ－3＝－6λ，sin θ＋1255＝1255μ，λ＝3－cos θ6，μ＝512sin θ＋1，所以λ＋μ＝32＋512sin θ－16cos θ＝32＋14sin(θ＋φ)，当sin(θ＋φ)＝－1时，λ＋μ取得最小值54.。
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题型三 共线向量问题
【例3】 （12分）设两个非零向量a与b不共线，
(1)若向量AB =a+b，向量BC =2a+8b，向量CD =3（a-b）.
求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.
方法点拨：（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注
意待定系数法的运用和方程思想.
（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共
点时，才能得出三点共线.
定时检测
一、选择题
1.（2009·湖南理，2）对于非零向量a、b,“a+b=0”是“a∥b”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知O为△ABC内一点，且 =0，则△AOC与△ABC的面积之比是（ ）
A.1∶2B.1∶3 C.2∶3 D.1∶1
3.(2008·全国Ⅰ理，3)在△ABC中，向量AB =c， AC =b,若点D满足 BD=2DC ，则 AD 等于 （ ）
A. cb3132 B.bc3235 C. cb3132 D. cb3231
4.（2008·广东理，8）在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若
向量AC=a, BD =b,则AF 等于 （ ）
A. ba2141 B.ba3132 C. ba4121 D.ba3231
5.已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a+b与c共线，b+c与a共线，那么a+b+c等于（ ）
A.a B.b C.c D.0
7.设e1、e2是两个不共线的向量，已知AB =2e1+ke2， CB =e1+3e2，CD =2e1-e2，若A、B、D三点共线，则实
数k的值为 .
8.在△ABC中，向量CA =a，CB =b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则向量AP 可用a、
b表示为 .
11.若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb， （a+b）三向量的终点在同一条直线上？
12.已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：EF=21(AB+CD)
OBOCOA2