苏州市2009年高一教学调研测试数学

09年高考数学卷江苏含详解

【答案】0.2
【解析】略
6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，
投中的次数如下表：
学生
甲班
乙班
1号
6
6
则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2 ★ .
【答案】
【解析】略
2 5
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W ★ .
参考公式：
样本数据 x1, x2 ,, xn 的方差 s2
1 n
n
i1
( xi
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置
上.
1.若复数 z1 4 29i, z2 6 9i ，其中 i 是虚数单位，则复数 (z1 z2 )i 的实部为★. 【答案】 20
3号
7
6
f
(m)
4号
8
7
f
5号 7 9
开始
S 0 T 1 S T2 S
S 10
Y
W S T 输出W
结束
(n) ，则 m, n 的大小
T T 2
N
关系为 ★ .
【答案】 m n
【解析】略
11.已知集合 A x | log2 x 2， B (, a) ，若 A B 则实数 a 的取值范围是
【解析】略
2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ，| a | 2,| b | 3 ，则向量 a 和向量 b 的数量积
aAb ★ .
【答案】3
【解析】 aAb 2 3 3 3。 2
3.函数 f (x) x3 15x2 33x 6 的单调减区间为 ★ . 【答案】 (1,11)

2009年江苏省高考数学试卷及详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,n x x x L 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．若复数i z i z 96,29421+=+=其中i 是虚数单位，则复数i z z )(21-的实部为．2．已知向量a 和向量b 的夹角为30o，3||,2||==b a ，则向量a 和向量b 的数量积b a ⋅= ．3．函数63315)(23+--=x x x x f 的单调减区间为．4．函数)sin(ϕω+=x A y （ϕω,,A 为常数，0,0>>ωA ）在闭区间[]0,π-上的图象如图所示，则ω= ．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2．5，2．6，2．7，2．8，2．9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0．3m 的概率为．6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号 2号 3号 4号 5号甲班6 7 7 8 7 乙班 6 76 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为2s = ．7．右图是一个算法的流程图，最后输出的=W ．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．9．在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线310:3+-=x x y C 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为．10．已知215-=a ，函数x a x f =)(，若实数m 、n 满足)()(n f m f <，则m 、n 的大小关系为．11．已知集合{}),(,2log |2a B x x A -∞=≤=，若B A ⊆则实数a 的取值范围是),(+∞c ，其中c =12．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号（写出所有真命题的序号）13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，2121,,,B B A A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点，F 为其右焦点，直线21B A 与直线F B 1相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令),2,(1⋅⋅⋅=+=n a b n n ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}82,37,19,23,53--中，则q 6= ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）设向量)sin 4,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(β-β=ββ=αα=c b a （1）若a 与c b 2-垂直，求)tan(β+α的值；（2）求c b +的最大值;（3）若16tan tan =βα，求证：a ∥b16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，E 、F 分别是B A 1、C A 1的中点，点D 在11C B 上，C B D A 11⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面FD A 1⊥平面C C BB 11．．17．（本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足7,725242322=+=+S a a a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）试求所有的正整数m ，使得21++m m m a a a 为数列{}n a 中的项．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆4)1()3(:221=-++y x C 和圆4)5()4(:222=-+-y x C ．（1）若直线l 过点)0,4(A ，且被圆1C 截得的弦长为32，求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．19．(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为am m +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为a n n +．如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为21h h ．现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为甲h ，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为乙h(1)求甲h 和乙h 关于A m 、B m 的表达式；当B A m m 53=时，求证：甲h =乙h ； (2)设B A m m 53=，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．20．(本小题满分16分)设a 为实数，函数a x a x x x f --+=)(2)(2．(1)若1)0(≥f ，求a 的取值范围；(2)求)(x f 的最小值；(3)设函数),(),()(+∞∈=a x x f x h ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式1)(≥x h 的解集．数学Ⅱ 参考公式：2222(1)(21)123.6n n n n ++++++=L 21．[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 - 1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD ．求证：AB ∥CD ．B ．选修4 - 2：矩阵与变换，求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵． C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为,13()x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，0t >）．求曲线C 的普通方程． D ．选修4 - 5：不等式选讲：设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME=2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式．23．（本题满分10分）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈L （a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈L （a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程022=++b ax x有实数根的概率．（1）求2n T 和2n P ；（2）求证：对任意正整数n ≥2，有n P n 11->．2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案及解读数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1． -20【解析】本题考查了复数的基本运算,属基础概念题．由i z i z 96,29421+=+=, 可得i i i i z z 220)202()(21--=+-=-, 则复数i z z )(21-的实部为-20．2． 3【解析】本题考查了复数的数量积公式及其简单应用．由向量a 和向量b 的夹角为ο30， 3||,2||==b a ，可得330cos 32=⨯⨯=⋅οb a ．3．)11,1(-【解析】本题考查了导数法求函数的单调区间问题．由63315)(23+--=x x x x f ,可得)1110(333303)(22--=--='x x x x x f , 令0)(<'x f 可解得111<<-x ,∴函数63315)(23+--=x x x x f 的单调减区间为)11,1(-．4． 3【解析】本题考查了由三角函数图象求三角函数解析式问题．由图象可得该函数的周期为ωπ=π=232T , ∴3=ω． 5．51【解析】本题考查了古典概型问题,从2．5，2．6，2．7，2．8，2．9，这五个数据中任意抽取2个有2．5 , 2．6; 2．5 , 2．7; 2．5 , 2．8; 2．5 , 2．9; 2．6 , 2．7; 2．6 , 2．8;2．6 , 2．9; 2．7 , 2．8; 2．7 , 2．9; 2．8 , 2．9，共10种抽取方法, 其中长度恰好相差0．3m 仅2．5 , 2．8; 2．6 , 2．9两组, 即得2,10==m n , ∴它们的长度恰好相差0．3m 的概率为51102===n m P ． 6．52【解析】本题考查了统计初步中样本数据的方差的求解问题,属简单的公式应用问题．同时也考查了学生的估算能力．由图表可得7)78776(51=++++=甲x , 7)97676(51=++++=乙x , ∴52)01001(512=++++=甲S , 56)40101(512=++++=乙S ,22乙甲S S < , ∴两组数据的方差中较小的一个为522=S ．本题也可由表格估算出22乙甲S S <，因此，不必计算2乙S 7． 22【解析】本题考查了算法的流程图,以循环结构为主要考查对象,是近几年高考中常见的命题方式．由流程图可得, 第一次循环时得到的S 与T 的值分别为1-0=1,1; 第二次循环时得到的S 与T 的值分别为9-1=8,3; 第三次循环时得到的S 与T 的值分别为25-8=17,5, 此时退出循环结构得22517=+=W ．8． 1:8【解析】本题考查了推理与证明中合情推理之中类比推理的应用．由于相似的几何图形中面积比是边长的平方比, 类比的相似的几何体的体积比是棱长的立方比, 即若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1:8．9． (-2, 15)【解析】本题考查了导数的几何意义, 曲线方程对应的函数的导数的几何意义是曲线上某点的切线的斜率．由21032=-='x y 可解得2±=x , ∵切点P 在第二象限内，∴2-=x , 由此可得点P 的坐标为(-2, 15)．10． n m <【解析】本题考查了指数函数及指数函数的单调性的应用．∵)1,0(215∈-=a , ∴函数x a x f =)(为R 上的减函数，又∵)()(n f m f >, ∴n m <．11． 4【解析】本题考查了对数不等式及集合的子集运算,此题中要注意对数函数的定义域及集合边界值的验证．由已知条件可得{}(]4,02log |2=≤=x x A ,),(a B -∞=，若B A ⊆则4>a ,即得4=c ．12． (1)(2)【解析】本题考查了平面与平面、直线与平面的平行与垂直的位置关系,是高考中常见的开放题型之一．若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β,这是两个平面平行的判定定理,即(1)正确；若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行,这是直线与平面平行的判定定理,即(2)正确；设α和β相交于直线l ，α内有一条直线垂直于l ，但该直线不一定能够垂直β内两条相交直线,即直线l 不一定垂直于平面β,所以平面α和β不一定垂直,即(3)不正确; 直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条相交直线垂直,即(4)不正确, 综上可得真命题的序号为(1)(2)．13．572-【解析】本题考查了直线方程，两直线的交点及椭圆的几何意义,离心率的考查是高考客观题考查的热点．由已知条件可得直线21B A 的方程为1=-+-bx a x ①, 直线F B 1的方程为1=-+b y c x ②,联立①②可得两直线交点T 的坐标为(c a ac -2,c a c a b -+)(),则线段OT 的中点M 的坐标为(ca ac -,)(2)(c a c ab -+),代入椭圆12222=+b y a x 可得222)(4)(4c a c a c -=++,即得03102=-+e e ,解之得725±-=e ,∵)1,0(∈e , ∴572-=e ．【别解】设)sin ,cos (θθb a M ，则)sin 2,cos 2(θθb a T ，由T B A 21共线得a b a a b =+θθcos 2sin 2化简得1cos 2sin 2+θ=θ ① 由FT B 1共线得cb a b b =θ+θcos 2sin 2化简得θ=+θcos 2)1sin 2(e ② 由①②解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=θ-=θ)1(21sin 1cos e ee e 代入1sin cos 22=θ+θ得03102=-+e e ，解得725+-=e ．14． -9【解析】本题考查了等比数列的通项与基本量的求解问题,此题利用等比数列构造另一个数列,利用所构造数列的性质去研究等比数列是高考的热点问题．由已知数列{}n b 有连续四项在集合{}82,37,19,23,53--中，则数列{}n a 必有连续四项在集合{}81,36,18,24,54--中, 若公比q 为正则该数列的四项必均为正或均为负值, 显然不合题意, 所以公比q 必为负值,又由1>q 知1-<q ,按此要求在集合{}81,36,18,24,54--中取四个数排成数列可得数列81,54,36,24--或54,36,24,18-- (此数列不成等比数列,故舍去), ∵数列81,54,36,24--的公比23-=q , ∴96-=q ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．[15题解析] 本小题主要考查向量的基本概念、数乘、数量积，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明等基本能力．满分14分．（Ⅰ）由a 与c b 2-垂直，02)2(=⋅-⋅=-⋅c a b a c b a ，即0)cos(8)sin(4=β+α-β+α，2)tan(=β+α．（Ⅱ）)sin 4cos 4,cos (sin β-ββ+β=+c b ，β+ββ-β+β+ββ+β=+22222sin 16sin cos 32cos 16cos cos sin 2sin c b β-=ββ-=2sin 1517cos sin 3017，最大值为32，所以c b +的最大值为24．由16tan tan =βα得βα=βαcos cos 16sin sin ，即0sin sin cos 4cos 4=βα-β⋅α，所以a ∥b ． [16题解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．满分14分．（Ⅰ）因为E ，F 分别是C A B A 11,的中点，所以EF ∥BC ，又ABC EF 面⊄，ABC BC 面⊂，所以EF ∥平面ABC ．（Ⅱ）因为直三棱柱111C B A ABC -，所以1111C B A BB 面⊥，D A BB 11⊥，又C B D A 11⊥，所以C C BB D A 111面⊥，又FD A D A 11面⊂，所以平面⊥FD A 1平面C C BB 11．[17题解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力．满分14分．（1）设公差为d ，则23242522a a a a -=-，由性质得)()(33434a a d a a d +=+-，因为0≠d ，所以034=+a a ，即0521=+d a ，又由77=S 得726771=⨯+d a ，解得51-=a ，2=d ,所以{}n a 的通项公式为72-=n a n ，前n 项和n n S n 62-=．(2)（方法一）32)52)(72(21---=++m m m a a a m m m ,设t m =-32，则68)2)(4(21-+=--=++tt t t t a a a m m m , 所以t 为8的约数因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±当2,1-==m t 时，3752,368=-⨯=-+t t ，是数列{}n a 中的项；当1,1=-=m t 时，,1568-=-+tt 数列{}n a 中的最小项是5-，不符合．所以满足条件的正整数2=m （方法二）因为222222186)2)(4(++++++++-=--=m m m m m m m m a a a a a a a a 为数列{}n a 中的项，故28+m a 为整数，又由（1）知：2+m a 为奇数，所以1322±=-=+m a m ，即2,1=m经检验，符合题意的正整数只有2=m这两种解法看似相同，但却有本质的区别，解法二是紧扣数列通项公式解题，而解法一是紧扣等差数列的概念解题，学生掌握的基本思路是解法二，本题是中极题．[18题解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力．满分16分．(1)设直线l 的方程为：)4(-=x k y ，即04=--k y kx 由垂径定理，得：圆心1C 到直线l 的距离，1)232(422=-=d 结合点到直线距离公式，得：114132=+---k kk化简得：247,,0.07242-===+k or k k k 求直线l 的方程为：0=y 或)4(247--=x y ，即0=y 或028247=-+y x (2) 设点P 坐标为),(n m ，直线1l 、2l 的方程分别为：)(1),(m x k n y m x k n y --=--=-，即：011,0=++--=-+-m kn y x k km n y kx因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得：：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等．故有：1115411322+++--=+-+--km kn k k kmn k ，化简得：5)8(,3)2(-+=+---=--n m k n m n m k n m 或关于k 的方程有无穷多解，有：⎩⎨⎧=-+=+-⎩⎨⎧=--=--0508,0302n m n m n m m m 或解之得：点P 坐标为)213,23(-或)21,25(-． [19题解析] 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分． (1) [][])20,5,12,3(,203,512∈∈+⋅+=+⋅+=B A B B A A B B A A m m m m m m h m m m m h 乙甲当B A m m 53=时，)5)(20(51253532++=+⋅+=B B B B B B B m m m m m m m h 甲,)20)(5(20353532++=+⋅+=B B BB B B B m m m m m m m h 乙,h 甲=h 乙（2）当B A m m 53=时，h ==甲由[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∈51,201120,5B B m m 得，故当2011=B m 即12,20==A B m m 时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为510．（3）（方法一）由（2）知：5100=h 由5105120=≥+⋅+=h m m m m h B B A A 甲得：25512≤+⋅+B B A A m m m m ，令y m x m B A ==5,3则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41,y x ，即：25)1)(41(≤++y x ．同理，由5100=≥h h 乙得：25)41)(1(≤++y x 另一方面，[]5,241,41,1,41,∈++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈y x y x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈++2,251,1y x25)41)(1(,25)1)(41(≥++≥++y x y x 当且仅当41==y x ，即B A m m =时，取等号．所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得00h h h h ≥≥乙甲和同时成立，但等号不同时成立．方法二：由⑵知320=h ，因为 9425100201536122020351212≤++⋅++=+⋅+⋅+⋅+=yy x x y x x y y x h h 乙甲所以，当32,32≥≥乙甲h h 时，有32==乙甲h h ，因此，不能取到B A m m ,的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立．[20题解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．满分16分（1）若1)0(≥f ，则1112-≤⇒⎩⎨⎧≥<⇒≥-a a a a a（2）当a x ≥时，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=+-=0,320,20),3(0),()(,23)(22min22a a a a a a f a a f x f a ax x x f 当a x ≤时，⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=⎩⎨⎧<≥-=-+=0,20,20),(0),()(,2)(22min22a a a a a a f a a f x f a ax x x f 综上⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=0,320,2)(22mina a a a x f （3）),(+∞∈a x 时，1)(≥x h 得012322≥-+-a ax x ，222812)1(124a a a -=--=∆当2626≥-≤a a 或时，),(,0+∞∈≤∆a x ；当2626<<-a 时，△>0,得：⎪⎩⎪⎨⎧>≥-+----ax a a x a a x 0)323)(323(22 讨论得：当)26,22(∈a 时，解集为),(+∞a ; 当)22,26(--∈a 时，解集为⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞-+⋃--,323]323,(22a a a a a ; 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22,22a 时，解集为⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞-+,3232a a ．数学Ⅱ[A ．选修4 - 1几何证明选讲答案] ：本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB=∠BDA ，故A 、B 、C 、D 四点共圆，从而∠CBA=∠CDB ．再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB=∠DBA ．因此∠DBA=∠CDB ，所以AB ∥CD ．[B ．选修4 - 2：矩阵与变换答案] ：本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力．满分10分．解：设矩阵A 的逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡w y z x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡10011223 ＝ w y z x 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤++⎢⎣⎡+100122322z 3 ＋w y w y z x x ，故⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+,12,023,,02,123w y w y z x z x解得：3,2,2,1-===-=w y z x ，从而A 的逆矩阵为⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-=-32211 A ． [C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程答案] ：本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力．满分10分．解：因为212-+=t t x ，所以3122y t t x =+=+，故曲线C 的普通方程为：2360x y -+= [ D ．选修4 - 5：不等式选讲答案] ：本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力．满分10分．证明：3322222232(32)3()2()(32)().a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=-- 因为a ≥b ＞0,所以a b -≥0，2232a b -＞0，从而22(32)()a b a b --≥0，即3332a b +≥2232a b ab +．[必做题第22题答案] ：本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）由题意，可设抛物线C 的标准方程为px y 22=，因为点)2,2(A 在抛物线C 上，所以1=p ，因此，抛物线C 的标准方程为x y 22=．（2）由（1）可得焦点F 的坐标是)0,21(，又直线OA 的斜率为122=，故与直线OA 垂直的直线的斜率为1-，因此，所求直线的方程是021=-+y x ．（3）解法一：设点D 和E 的坐标分别为),(11y x 和),(22y x ，直线DE 的方程是)(m x k y -=，0≠k 将m kyx +=代入x y 22=，有0222=--km y ky ，解得kmk y 22,1211+±=．由DE ME 2=知)121(221122-+=++mk mk ，化简得m k 42=．因此22122212212))(11()()(y y ky y x x DE -+=-+-=)4(49)21(4)11(2222m m k mk k +=++=．所以)0(423)(2>+=m m m m f ．解法二：设),2(),,2(22t t E s s D ，由点)0,(m M 及DMME 2=得)0(20),2(22122s t s m m t -=--=-．因此2,2s m s t =-= 所以)0(423)2()22()(222222>+=--+-==m m m s s s s DE m f ．[必做题第23题答案] ：本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力．满分10分．（1）解：因为方程022=++b ax x 有实数根，所以0442≥-=∆b a ，即2a b ≤（i ）当2n a n ≤≤时，有22a n ≤，又2,,2,1n b ⋅⋅⋅∈，故总有b ，有12+-n n 种取法，b有2n 种取法，所以共有22)1(n n n +-组有序数组),(b a 满足条件；（ii ）当11-≤≤n a 时，满足21ab ≤≤的b有2a个，故共有6)12)(1()1(3212222--=-+⋅⋅⋅+++n n n n 组有序数组),(b a 满足条件．由（i ）（ii ）可得6)1346(6)12)(1()1(23222++-=--=+-=n n n n n n n n n n T n ，从而32346134622n n n n n T P n n ++-==．⑵证明：我们只需证明：对于随机选取的n b a ,,2,1,⋅⋅⋅∈，方程022=++b ax x 无实数根的概率nP n 11<-．若方程022=++b ax x 无实数根，则0442<-=∆b a ，即b a <2的有序数组),(b a 的组数小于n n ，从而，方程022=++b ax x 无实数根的概率nn n n P n 112=<-，所以n P n 11->．试卷综合解读与评析2009年高考江苏卷保持了2008年高考江苏卷的特点，以稳为主，稳中有变，更加体现新课程理念，所有试题的建构，不偏不怪，难易得当，紧扣考纲，贴近课本．注重考查基础知识，基本技能，基本数学思想和方法，对当前高中数学教学和高三数学复习备考有着鲜明的导向作用．下面从数学I、II试题的答案，别解、知识点、苏教版教材的出处，考纲要求，课本要求，用到的数学思想方法，容易导致失误的地方等方面进行综合解读．（要说明的是：江苏高考试题分文、理科，除选修的科目不同外，语、数、外三门必修科目的设置也有同有异：英语科目文理科试题相同，分值为120分；数学、语文两门必修科目，文理试题的设置分I、II两部分，对于文科和理科的考生数学和语文的I卷试题相同、分值均为160分，对理科生要加考数学II试题，文科考生要加考语文II试题分值均为40分．这样语数外三门必修科目文、理试题的总分值一样——200分+160分+120分=480分．）1．数学I试题（文理同卷）填空题部分填空题没有难度，从1至12题都平铺直叙，送分送到位，13、14题属于中档题，也容易拿分，没有难题．对照考纲和教材将14条填空题进行分析和解读如下：（附：表中的“等级”是指：江苏《考试说明》将考点要求分成A、B、C三个等级，其中C级要求最高，B 级次之、Ａ级要求最低；表中的“层次”是指：江苏教材上的习题分为三个层次即：感受·理解、思考·运用和探究·拓展）2 数学I试题（文理同卷）解答题部分对于15题，此题主要考查平面向量数量积的坐标运算，两角和与差的三角函数，二倍角的正弦，考纲要求分别为C、C、B，坚持了重点知识重点考查的原则，数学思想方法主要考查了转化思想题型常规，思路清晰可循，三基好的考生容易得满分．对于16题，此题是立体几何题，仍然是考察平行与垂直的证明，题目简单明了，但要注重过程，判定定理的条件必须写全，线面平行是三个条件，面面垂直是两个条件，但之前需证明线面垂直，那是五个条件．对于17、18题第一小问，比较简单，但第二小问难度加大．17题数列题的第一小问是基本量的运算，大多考生不会有问题，第二小问有一丝数论的味道，题目简洁而又精彩！18题是解析几何题，考查直线与圆的位置关系，第二小问思路其实比较清晰，因为圆1C 与圆2C 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线 2l 被圆2C 截得的弦长相等，所以圆1C 的圆心到直线1l 的距离和圆2C 的圆心到直线2l 的距离相等，列出等式，题目中要求“存在无数对直线”转化为“等式有无数解”即可，但是字母运算较复杂，考察考生的耐心与细心．对于19题，此题主要考查函数与基本不等式等基础知识，比较好地考查了考生对信息的接收、加工和输出等数据处理能力，数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力达到有效考查综合素质的目的．考查与以往不同的是，大题的顺序有了明显的颠倒，数列难度下降了很多，放在了大题第三题的位置，而以往应用题是不会放在这个位置的，虽然难度适中，以生活中的满意度为背景，但题干中的字比较多，问题的表述较长，变量均以字母形式出现，提高了应用题的难度，这就要求考生多读几遍题目，多读几遍还是可以理解的，第⑴、⑵小题能够做出，第⑶小题有点难度；有些考生就承受不了了，所以对最后一题也有心理干扰，这也是广大考生不太适应的又一方面，从中可以看到今年的高考试卷在知识与能力考查的同时，体现了对课改新理念的创新与发展．对于20题，此题主要考查函数的概念、性质、图像及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数型结合、分类讨论的思想方法．这样的的分类讨论其实高中训练得很多了，但在考场上想得满分也并不容易．第（3）小问不要考生写过程，只要结果，需要一定的数学直觉思维，如果结合图形问题可以得到很好地解决，命题很有新意，不落浴套，具有较强的选拔功能．3．数学Ⅱ附加题（理科做）今年是执行必做、选做分卷考试新模式的第二年，附加题部分难度控制的比较适中，在全省考生慢慢接受并熟悉了这种模式后，相比去年，今年的选作题方面考点上没有任何的变动，但圆锥曲线、函数中不等关系的证明出现在该部分作为压轴考题，难度明显比去年有了很大的提升． 4 全卷综合点评 4．1 全卷综合解读2009年高考数学试题，对考试说明中的8个C 级要求的知识点和B 级要求中传统的问题都进行了有效的考查，在保持题型稳定的基础上，进行适度的改革和创新，试卷贴近教学实际，坚持能力立意，全面检测考生的数学素养，充分体现新课程的基本理念．试卷主要有以下几个方面的特点：4．1．1 多题把关，有效发挥选拔功能第17，18题第二小问，第19题、第20题的第三问有一定的难度，改变了过去一题或两题把关的习惯，在凸显文理公平基础上，命题者这样处理对不同层次考生群体更有区分度，有利于高校选拔人才．基于同样的原因，数学Ⅱ附加题（理科做）部分，两道必做题对数学语言的转化以及数学思想方法有一定的要求，相对较难，其他试题很简单．4．1．2 能力立意，旨在考察数学素养全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学思维能力和应用意识．许多试题实际上并不难，对于知识点考生很熟悉，但需要考生自主综合所学知识，才能解决问题，如第17题第二问，其实是恒成立问题．许多试题若能先想清楚问题的关键或本质，确定了合适的解题思路和方向后再动手，解答会容易的多，否则会陷入繁琐的运算之中，比如第13题，第14题．部分题目在考查基础知识点上有所创新，题目设计灵活．如数学卷第17题第（2）问，第18题第（2）问，都是对一个问题进行纵向探究，考查学生创新意识，同时要求学生掌握通性通法，淡化特殊技巧，例如第18题第（2）问，如果用几何方法解决在考场上几乎不能成功，试题的设问已将几何法排除在外，命题者的意思很明确，考察解析几何的本质——用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合和等价转化的重要数学思想4．1．3 引领课改，全面体现课程标准试卷以朴素的数学知识为载体，综合考查最基本的数学思想和方法，体现了高考命题重实质、重内涵的指导思想，注重通性通法、淡化特殊技巧，对中学数学教学有较好的导向作用．不少试题注意在具体的情景中、在解决问题的过程中突出考查学生数学思想和数学方法．如第20题以二次函数为载体，重点考查分类谈论、数形结合思想，其中的第三问，只要直接写出解，不需要过程，打破了长期以来人们所固有的解答题不能以图代证的模式，给平时积极主动、勇于探索的考生有发挥的空间．这也是新课改的明确要求，新课程标准明确指出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一，人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳推理、空间想象、抽象概括……等思维过程”．另外，试题加强了对应用意识和创新意识的考查，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断，例如第19题以生活中的满意度为背景，问题的表述较长，需要考生耐心读懂题目，但模式识别方便，同时还考查了学生将文字语言转化为数学语言的能力．4．1．4 保持稳定，凸显公平公正原则（1）整卷试题呈现：低起点、入手宽、由易到难，逐步深入、多题把关的格局，全卷结构、题型包括难度都基本稳定，依据考试说明，突出对教材基本内容的考查．填空题比较平和，不需太繁的计算，考生普遍感觉顺手．许多试题源于课本，略高于课本，如第1、2、3、4、5、7、11、15题等，都由课本例题、习题进行恰当变更、迁移、综合、创新整合而成，给人以似曾相识的感觉．最后6个解答题由易到难，涉及的知识内容基础、常规，入手容易，但深入有一定困难．附加题部分，选做题对知识点的考查单一，结论要求明确，学生入手较易．（2）通览全卷试题和答案：不见偏题怪题、人为陷阱，处处体现人文关怀、呈现关爱．如填空题14题，求6q ，正常应该求q ，有谬常理．细细想来，为命题者的良苦用心所折服，这是因为如果所编题目答案q 是整数，学生很易猜到，失去考察知识的意义，现在所编题目的23-=q ，凭借以前阅卷的经验，学生的答案很易将“—”和分数线“——”连在一起成为“23”，从而引起失分，试题中“求6q ”可以有效避免这种非智力因素的失分；再如，填空题11题按常理该设问为“求实数a 的范围”，而试题中设问为“实数a 的取值范围是),(+∞c ，其中c = ____”，从中大家不难发现命题者的用心，还有应用题的表述命题者不惜大量篇幅，也是为了学生只要认真读题就不会因为审题困难而失分．（3）试卷注重对重点知识的考察，但编制题目时目的很明确——只针对性地考察要考知识、方法，不人为设置其他难点，避免因为其他知识的不熟悉而解答错误．例如新增内容“导数”，试题中填空题部分两次用到，但难度都很低，这是因为新课标只要求“能利用导数研究函数单调性、会用导数求简单函数的极值和最值”， “导数”其实在中学教材中只是一种“工具”的地位，要重点考察但不会考很复杂的函数，以免考生因为求导数出错而失误．再如立体几何的考察，载体是直三棱柱，只考察了基本的平行与垂直的证明，这是因为理科学过空间向量，如果考角与距离或比较难的证明，那样对于文科生就极不公平．其他的题目基本都是如此．以上三点是试卷所呈现的实际情况，如果我们进一步地思考可以发现命题者这样做的真正原因——保持稳定、体现公平．江苏高考的现行模式才第二年，数学I 试题文科和理科同卷，而他们所用的教材必修部分相同，选修部分不同，文科教材要简单些，另外他们的数学基础也不同，而高校录取时是同等录取，这就要求数学命题时文理要公平，做到真正公平很困难，唯一的办法就“简单”——载体简单、知识点单一，只有这样才能相对公平．还有应用题的编拟也体现了另一公平——城乡考生之间的公平，试题中的应用题背景对所有学生是公平的．4．2 备考备战的几点启示4．2．1 平时教学要灵活、有变化，模式教学已不适应平时的教学活动要灵活、要开展一题多变、多题一解、一题多解的数学解题教学模式，要注重情境教学，揭示知识的生成、发展和应用的过程，不能因为教学时间的有限而给学生不同知识点以不同的模式化，学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应积极倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，发挥学生学习的主动性．平时教学要严格按课程标准和考试说明进行，对教材内容不要人为地加深和无限地拓展，或是反复训练自认为重要的个别问题，这样浪费学生很多宝贵时间，在高考中将会处于劣势． 4．2．2 高考试题没有绝对，吃透课程标准是关键。

江苏省苏州市常熟市2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题(含答案)

常熟市2023-2024学年高一下学期期中调研数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（）A.B. C.D. 2. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（）A.B. C. D.3. 已知，都是锐角，，，则（）A.B. C. D.4. 沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（）．A.B.C.D.5. 将曲线上所有点向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，则的方程为（）A. B. z 1z =-i z 1e 2e ()12R m e ke k =-+∈ 1225n e e =+k =5252-25-25αβ35=cos α()5sin 13αβ-=cos β=1665336556656365AB A 30ADE ∠=︒45ACE ∠=︒DM CN h ==()0,0CD a h a =>>D C E AD AC AB AB h +h +)1a h+)1a h-+1π:2sin 6C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π62C 2C π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C. D. 6. 已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（）A.B. 4C.D. 67. 在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（）A. B. C. D. 8. 已知锐角中，，则边上的高的取值范围为（）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 函数的图象的一条对称轴可以是（）A. B. C. D. 10. 已知复数，是方程两根，则（）A.B. C. D. 11. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形，是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是（）的12sin2y x =1π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭z 11z -=24i z ++i 1-1+ABCD E F AD CD 3AE ED =DF FC =AF BE G BC a = BA b = =AG 361111a b - 361111a b-+631111a b -631111a b-+ABC V π6AB C ==AB (0,3+(3,3+(3,3+(6,3+()()πsin 23f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 5π12x =-π12x =-π12x =5π12x =1z 2z 210x x ++=121z z +=121z z ==212z z =33121z z ==ABCDEFGH P ABCDEFGHA. 在上投影向量为B.C. 的最大值为2D. 若在线段上（含端点），且，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知角满足，则______．13. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边，，，求面积的公式．这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即：．现有的三边，，满足，且的面积，若点是边的中点，则______．14. 已知函数，若为奇函数，为偶函数，且上至少有2个实根，至多有3个实根，则函数的对称轴为______（写出一个即可），正整数的所有可能取值之和为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15 已知向量，，．的.AD AB1)AB+ AF AE HG HFAF AE HG HF⋅⋅=⋅⋅ ()()PA PB PE PF +⋅+P BC AP x AB y AH =+x y +[1,2+αsin cos αα-=sin2α=a b c S S =ABC V a b c ::1:2:a b c =ABC V =S D AB =CD ()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x =π0,6⎛⎫⎪⎝⎭()f x ω()1,1OA =-()2,3OB =- ()1,2OC m m =--（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．16. 复数平面内表示复数的点分别满足下列条件：（1）位于第四象限；（2）位于第一象限或第三象限；（3）位于直线上．求实数的取值范围．17. 已知函数的最大值为3．（1）若的定义域为，求的单调递增区间；（2）若，，求的值．18. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周脾算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图1所示）．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的，，与中间一个小等边拼成的一个较大的等边．记的面积为，的面积为，的面积为．（1）若，求；（2）设，当时，求以及值．19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则的的AB OC ⊥m OA BCP m ()()22815514i z m m m m =-++--y x =m ()22sin cos cos f x x x x x m =+-+()f x []0,π()f x 01125x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos2x ACF △BAD V CBE △DEF V ABC V DEF V 1S ABD △2S ABC V 3S 13AF AD = 13S S π06BAD θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭23S S =θAF AD Ox Oy π0π,2θθθ⎛⎫<<≠ ⎪⎝⎭1e 2e x y xOy θθ12OM xe ye =+把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．（1）求向量，的仿射坐标；（2）当时，求；（3）设，若对恒成立，求的最大值．(),x y OM(),OM x y = θ()3,1OA = ()1,1OB =2OA OB + -OA OB π3θ=cos AOB ∠AOB α∠=OA tOB -≥R t ∀∈cos α常熟市2023-2024学年高一下学期期中调研数学简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】①. （答案不唯一）②. 51四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）（2）【16题答案】【答案】（1）或（2）或或（3）【17题答案】【答案】（1）单调递增区间为和（2【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1）（2（379π4x=5m=2m=23m-<<57m<<2m<-35m<<7m>293m=π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦413π12θ=()()7,3,2,0。

2009届江苏统考试卷(12套)-江苏省大丰市2009年高三年级调研考试数学试题

5.已知复数 z1 m 2i, z2 3 4i, 若
z1 为实数，则实数 m= ▲ . z2
6.一个总体中的 80 个个体编号为 0， l， 2， ……， 79，并依次将其分为 8 个组，组号为 0， 1， …， 7，要用（错位）系统抽样的方法抽取一个容量为 8 的样本．即规定先在第 0 组随机抽取一个号码，记为 i，依次错位地得到后面各组的号码，即第 k 组中抽取个位数为 i+k （当 i＋k<10）或 i+k－10（当 i＋k≥10）的号码．在 i=6 时，所抽到的 8 个号码是▲ . xy 0 ， D x A B 7.过△ ABC 的重心任作一直线分别交 AB， AC 于点 D、 E．若A ， AE y AC ，
A E
C
D
17.(本题满分 14 分) 某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了 20 天的测试，人为地调控每天产品的单价 P （元/件）：前 10 天每天单价呈直线下降趋势（第 10 天免费赠送品尝），后 10 天呈直线上升，其中 4 天的单价记录如下表：时间（将第 x 天记为 x） 1 10 11 18 x 9 0 1 8 单价（元/件）P 而这 20 天相应的销售量 Q （百件/天）与 x 对应的点 ( x, Q) 在如图所示的半圆上．（Ⅰ）写出每天销售收入 y （元）与时间 x （天）的函数关系式 y f ( x) ；（Ⅱ）在这 20 天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价 P 定为多少元为好？（结果精确到 1 元）
16. (本题满分 14 分) 如图，已知空间四边形 ABCD 中，BC AC, AD BD ，E 是 AB 的中点．求证：（1） AB 平面 CDE；（2）平面 CDE 平面 ABC ．（3）若 G 为 ADC 的重心,试在线段 AE 上确定一点 F,使得 GF 平面 CDE． B

江苏镇江市2009-2010学年第一学期期中调研高一数学试卷

江苏镇江市2009－2010学年第一学期期中调研高一数学试卷时间:120分钟满分:160分 2009.11一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．分解因式:256a a --= ▲ ．2．集合{10},{0,1},A B A B ==⋃－，则= ▲ ．3．若函数2()1f x x =+的定义域为{}1,0,1- ，则它的值域为 ▲ ．403(1)2log 1lg2lg5π-+--= ▲ ．5．已知集合[)()1,4,,A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ▲ ．6．函数2log y x =与12log y x =的图象关于 ▲ 对称．（填x 轴、y 轴或原点）7、函数)4lg(51)(2-+-=x x x f 的定义域为 ▲ ．8．如右图所示，集合M 与N 都是全集U 的子集，则图中阴影部分可以用M 、N 、U 表示为 ▲ ．9．下列函数中四个函数(1)y x = (2)0.2log y x = (3)12y x =(4)1()2x y = 中，在R 上单调递减的是 ▲ ．10．若50.330.3,log 5,log 5,M N P ===则用“<”连接 M N P 、、的大小关系为 ▲ ．11．集合A 、B 都是实数集R ，已知映射：:f A B →，把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素31x x -+，则在映射f 作用下，集合B 中的元素1与集合A 中所能对应的元素所组成的集合是 ▲ ．12．若函数()22x xf x k -=-⋅为偶函数，则实数k = ▲ ． 13．已知定义在实数集R 上的奇函数()f x 在区间[)0,+∞上是单调增函数，若(lg )(1)f x f <-，则x 的取值范围为 ▲ ．14．某同学在研究函数 f (x ) = x 1 + | x |(x R ∈) 时，分别给出下面几个结论： ①等式()()0f x f x -+=在x R ∈时恒成立；②函数 f (x ) 的值域为 (－1,1)；③若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；④方程()0f x x -=有三个实数根. 其中正确结论的序号有 ▲ ．(请将你认为正确的结论的序号都填上)二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（本小题14分）设全集为R ，集合{}2340,A x x x x R =+->∈,2{|60,}B x x x x R =--<∈．求（1）B A ；（2）()R A B ð；（3） A ðB R .16．（本小题14分）已知)(x f 是一次函数，且(0)3,(1)5f f ==.（1）求()f x 的解析式；（2）若当21x -≤≤时，函数()30f x tx t ++>恒成立，求实数t 的取值范围17．（本小题14分）已知函数1()1x f x x -=+，函数2()log ()g x f x = （1）求()f x 的定义域；（2）判断()g x 的奇偶性；（3）画出函数()y f x =的图像，并写出图像的对称中心.18．（本小题16分）二次函数)(x f y =满足：①1)0(=f ；②x x f x f 2)()1(=-+.（1）求)(x f 的解析式；（2）求)(x f 在区间]1,1[-上的最大值和最小值；（3）设()(),g x f x a =-求()g x 在区间]1,1[-上的最大值.19．（本小题16分）已知函数22()22x xx xf x --+=- (1)求()f x 的定义域和值域；(2)写出()f x )的单调区间，并用定义证明()f x 在所写区间上的单调性.20．(本小题满分16分)定义在R 上的函数f (x )满足：如果对任意x 1，x 2∈R ，都有)]()([21)2(121x f x f x x f +≤+，则称函数f (x )是R 上的凹函数．已知二次函数)0,()(2≠∈+=a R a x ax x f ．（1）当1=a 时,试判断函数f (x )是否为凹函数,并说明理由；（2）如果函数f (x )对任意的x ∈[0，1]时，都有1)(≤x f ，试求实数a 的范围。

2009年江苏高考数学试题及参考答案（详解详析版）

2009年江苏⾼考数学试题及参考答案（详解详析版）2009年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的⽅差221111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中⼀、填空题：本⼤题共14⼩题，每⼩题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．. 1.若复数1 2429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★.【答案】20- 【解析】略2.已知向量a 和向量b 的夹⾓为30，||2,||==a b a 和向量b 的数量积= a b ★ .【答案】3【解析】232=?= a b 。

3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为★ .【答案】(1,11)- 【解析】2()330333(11)(1)f x xx x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

4.函数s i n ()(y A x A ω?ω?=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所⽰，则ω= ★ .【答案】3 【解析】32T π=，23T π=，所以3ω=， 5.现有5根⽵竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中⼀次随机抽取2根⽵竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为★ . 【答案】0.2 【解析】略6.某校甲、⼄两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学⽣进⾏投篮练习，每⼈投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的⽅差中较⼩的⼀个为s =★ .【答案】25【解析】略7.右图是⼀个算法的流程图，最后输出的W = ★ .【答案】22 【解析】略8.在平⾯上，若两个正三⾓形的边长的⽐为1：2，则它们的⾯积⽐为1：4，类似地，在空间，若两个正四⾯体的棱长的⽐为1：2，则它们的体积⽐为★ . 【答案】1：8 【解析】略9.在平⾯直⾓坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第⼆象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为★ . 【答案】(2,15)- 【解析】略 10.已知12a-=，函数()xf x a =，若实数,m n 满⾜()()f m f n >，则,m n 的⼤⼩关系为★ . 【答案】m n < 【解析】略 11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ?则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =★ .【答案】4【解析】由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ?知4a >，所以c =4。

全国高中数学联赛江苏赛区2009年初赛试题答案

全国高中数学联赛江苏赛区2009年初赛试题答案班级__________ 姓名__________一、填空题（每小题7分，共70分）1．已知sin cos 1αβ=，则cos()αβ+=________ 解：因为|sin |1α≤，|cos |1β≤，而sin cos 1αβ=；所以sin 1α=，cos 1β=或sin 1α=-，cos 1β=-；所以22k παπ=+，2l βπ=或者22k παπ=-，2l βππ=+()k l Z ∈、；所以2()2k l παβπ+=++()k l Z ∈、；故cos()0αβ+=．2．已知等差数列{}n a 的前11项的和为55，去掉一项k a 后，余下10项的算术平均值为4；若15a =，则k =________解：设公差为d ，则得：15551111105511022d d d =-⨯+⨯⨯⇒=⇒=；因此，554101552(1)11k a k k =-⨯==-+-⇒=．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e =________解：由2222(2)2210b c a a c ac e e e =⨯⇒-=⇒+-=⇒． 4．已知13119133x x x-+=--，则实数x =________ 解：原方程即为：2133433033313(31)xx x x x x=⇒-⨯+=⇒=--或31x =（舍去）；所以实数1x =．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ；R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为________BCDAPQ R M NR Q PADCB解法一：A B 、到平面PQR 的距离分别为三棱锥APQR 与BPQR 的以三角形PQR 为底的高;故其比值等于这两个三棱锥的体积比．111111122323318APQR APQD APCD ABCD ABCD V V V V V ==⨯=⨯⨯=；而1214(1)3339BPQ BCD BDQ CPQ BCD BCD S S S S S S =--=--⨯=；414492918RBPQ RBCD ABCD ABCD V V V V ==⨯=；所以A B 、到平面PQR 的距离的比是1:4．解法二：可以求出平面PQR 与AB 的交点来求此比值：在平面BCD 内，延长PQ BD 、交于点M ，则M 为平面PQR 与棱BD 的交点．由Menelaus 定理知：1BM DQ CP MD QC PB ⋅⋅=，而12DQ QC =，12CP PB =，故4BMMD=．在平面ABD 内，作射线MR 交AB 于点N ，则N 为平面PQR 与AB 的交点．由Menelaus 定理知：1BM DR AN MD RA NB ⋅⋅=＝1，而4BM MD =，1DR RA =，故14AN NB =．所以A B 、到平面PQR 的距离的比是1:4．6．设3()log f x x =()0f x ≥的x 的取值范围是________ 解：定义域(0, 4]；在定义域内()f x 单调增，且(3)0f =；故()0f x ≥的x 的取值范围为：[3, 4]．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为30003cm 的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ；若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水________3cm ．解：设净水器的长、高分别为x ，y cm ，则300xy =；30(20)(60)30(12006020)V x y x y xy =++=+++30(1200300)≥+30(15001200)=+81000=所以去掉净水器体积，至少可以存水78000cm 3．B8．设点O 是ABC ∆的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC AO ⋅=________ 解：设||||||AO BO CO R ===；则()BC AO BO OC AO BO AO OC AO ⋅=+⋅=⋅+⋅OB OA OC OA =⋅-⋅22cos 2cos 2R C R B =-222(2sin 2sin )R B C =-2211(2sin )(2sin )22R B R C =- 22125(1213)22=-=-． 9．设数列{}n a 满足：1122n n n a a a ++=-(1, 2, 3,)n =，2009a =2009项的和为________解：若10n a +≠，则122n n a a +=-，所以20082a =20072a ==20062a =，2005a一般的，若n a ≠0，1，2，则122n n a a +=-；（这里由已知条件，不可能取到0、1、2的）所以11121n n n a a a +-+-=-，2122n n a a -+=-，31n n a a -+=，从而4n n a a -=；所以200912342009200520062007200820051502()502()2008k k a a a a a a a a a a a ==++++=++++=∑ 10．设a 是整数，01b ≤<，若22()a b a b =+，则b =________ 解：若a 为负整数，则20a >，而2()0b a b +<，此不可能，故0a ≥．于是22()2(1)010, 1, 2a b a b a a a =+<+⇒≤<=；当0a =时，0b =；当1a =时，22210b b b +-=⇒；当2a =时，22201b b b +-=⇒．说明：本题也可以这样说：求实数x ，使[]22{}x x x =⋅．EBCD A二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．在直角坐标系xOy 中，直线240x y -+=与椭圆22194x y +=交于A B 、两点，F 是椭圆的左焦点，求以O F A B 、、、为顶点的四边形的面积．解：取方程组：22493624x y x y ⎧+=⎨=-⎩，代入消去x 得：22564280y y -+=；解此方程得：2y =，1425y =，即得：(0, 2)B ，7214(, )2525A -；又左焦点1(F ；连OA 把四边形AFO B 分成两个三角形；得：17211412(7222522525S =⨯⨯+=+．（本题有好几个方法，有兴趣者自己想一想）12．如图，设D 、E 是ABC ∆的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12，求BC ．解：由AD AC ACD AC AB=⇒∆∽ABC ∆ABC ACD BCE ⇒∠=∠=∠；所以12CE BE ==，16AE AB BE =-=；所以22222214161211cos 22141616AC AE CE A AC AE +-+-===⋅⨯⨯；所以222222112cos 1428214287916BC AC AB AC AB A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=⨯；所以21BC =．13, x y 成立，求k 的取值范围．法一：显然0k >；于是平方可得：2222(2)(21)(1)0k x y k x k y ≤+⇒---≥对0x y >、恒成立；令0t =>，则可得：222()(21)2(1)0f t k t t k =--+-≥对一切0t >恒成立；当2210k -≤时，不等式不能恒成立，所以必有：2210k ->；此时当2121t k =-时，()f t 取得最小值4222222221223(23)121212121k k k k k k k k k ---+-==----；当2210k ->且2230k -≥，即k 当且仅当223k =即40x y =>时等号成立；所以k 的取值范围是 )+∞．法二：由Cauchy 不等式：21(1)(2)2x y ≤++；即≤x y 、成立；当k <14x =，1y =32=；而32k =，两者矛盾，即不等式不能恒成立．而当k ≥x y 、所以不等式恒成立时，k 的取值范围是 )+∞． 14．（1）写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；（2）是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．解：对于任意*n N ∈，20, 1(mod 4)n ≡；设a b 、是两个不同的自然数；①若0(mod 4)a ≡或0(mod 4)b ≡，或2(mod 4)a b ≡≡；则均有0(mod 4)ab ≡，此时，102(mod 4)ab +≡，所以10ab +不是完全平方数； ②若1(mod 4)a b ≡≡或3(mod 4)a b ≡≡，则1(mod 4)ab ≡，此时103(mod 4)ab +≡，所以10ab +不是完全平方数；于是，10ab +是完全平方数的必要不充分条件是：a ≡/(mod 4)b 且a 与b 均不能被4整除．（1）由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的；例如取2a =，3b =，13c =，则223104⨯+=，2213106⨯+=，2313107⨯+=，即2，3，13是满足题意的一组自然数．（2）由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数；这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加 10后不是完全平方数；得证．。

【精品文档】2009年江苏高考数学试卷

【精品文档】2009年江苏高考数学试卷2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学?注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1题——第14题)、解答题(第15题——第20题)。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

参考公式:nn1122sxxxx,,,其中(),xxx,,,的方差样本数据,,ii12nnn,,11ii一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上. (((((((((izizi,，,，429,691.若复数，其中是虚数单位，则复数12y ()zzi,的实部为 . 121b||2,||3ab,,302.已知向量和向量的夹角为，，则向量a1 O x ,2,,, ,,bab,和向量的数量积 . a33 32fxxxx()15336,,,，3.函数的单调减区间为 .yAxA,，sin()(,,A,,0,0)[,0],,,,,,,4.函数为常数，在闭区间上的图象如,,图所示，则 .5.现有5根竹竿，它们的长度(单位:m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 .6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表:学生 1号 2号 3号 4号 5号甲班 6 7 7 8 7乙班 6 7 6 7 92s,则以上两组数据的方差中较小的一个为 .S 数学?试卷第 1 页 (共 7 页)7.右图是一个算法的流程图，最后输出的开始 W, .S,08.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4，类似地，在空间，若两个T,1 正四面体的棱长的比为1:2，则它们的体积比为 . 2STS,, TT,，2xoy9.在平面直角坐标系中，点P在曲线3Cyxx:103,,，上，且在第二象限内，已知S,10 N 曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . YWST,，51, xa,fxa(),10.已知，函数，若实数2Wmn,mn,fmfn()(),满足，则的大小关系输出为 .结束 Axx,,|log211.已知集合，,,2Ba,,,(,)c,(,)c，,AB,，若则实数的取值范围是，其中 . a,,12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题:,,,,(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于;,,,ll(2)若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行;,,,,ll,(3)设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直;,,ll(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号 (写出所有真命题的序号). (((22xyxoyAABB,,,13(如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的，,,,1(0)ab121222abFABBF四个顶点，为其右焦点，直线与直线121yT MOT相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段B2 M OT的中点，则该椭圆的离心率为 .O AAx 1 2S 数学?试卷第 2 页 (共 7 页)q||1q,ab14(设是公比为的等比数列，，令若数列有ban,，,1(1,2,),,,,nnnn 6q,,,53,23,19,37,82连续四项在集合中，则 . ,,二、解答题:本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15((本小题满分14分)abc,,,,(4cos,sin),(sin,4cos),(cos,4sin),,,,,,设向量bc,2tan()，,,(1)若与垂直，求的值; a||bc，(2)求的最大值;tantan16,,,b(3)若，求证:?. a16((本小题满分14分)DABCABC,E,FAB,ACBC如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，1111111ADBC, 11EF平面ABC求证:(1)?平面平面AFDBBCC,(2) 111S 数学?试卷第 3 页 (共 7 页)17((本小题满分14分)2222aaaaa,S，,，,7设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足Sn,,nn23457a(1)求数列的通项公式及前项和S; n,,nnaamm，1ma(2)试求所有的正整数，使得为数列中的项. ,,nam，218((本小题满分16分)22xoyCxy:(3)(1)4，，,,在平面直角坐标系中，已知圆和圆 122Cxy:(4)(5)4,，,, 2lA(4,0)l23(1)若直线C过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程; 1ll和(2)设P为平面上的点，满足:存在过点P的无穷多对互相垂的直线，它们分别与12CClClC圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求121122所有满足条件的点P的坐标.y .. 1O 1 x19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单amm价为元，则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为nma，nhh.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的12na，S 数学?试卷第 4 页 (共 7 页)hh综合满意度为. 12现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m元和m元，甲买进A与ABhh卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为. 甲乙3hhhh(1) 求和关于、的表达式;当时，求证:=; mmmm,甲乙甲乙ABAB53(2) 设，当m、m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大,最大的mm,ABAB5综合满意度为多少,hh,，试问能否适当选取、的值，使得和(3) 记(2)中最大的综合满意度为hmm 甲00ABhh,同时成立，但等号不同时成立,试说明理由. 乙020((本小题满分16分)2fxxxaxa()2()||,，,,设为实数，函数. af(0)1,(1) 若，求的取值范围; afx()(2) 求的最小值;hxfxxa()(),(,),,，,hx()1,(3) 设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的((((解集.S 数学?试卷第 5 页 (共 7 页)2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学?(附加题)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1(本试卷共2页，均为非选择题(第21题,第23题)。

闵行区2009学年第二学期高一质量调研考试数学试卷(附答案)

a
2a b
（16 分）
18．（本题满分 12 分）本题共 2 个小题，每小题满分各 6 分．
在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边依次为 a、b、c ， bc 2lg 2 2lg 5 3 ，且 sin A 5 ．
25 （1）求 ABC 的面积；（2）若 b c 6，求 a 的值．
19．（本题满分 14 分）本题共 3 个小题,第 1 小题满分 8 分，第 2、3 小题满分各 3 分．
考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿
纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷满分 100 分，考试时间 90 分钟．
一．填空题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，考生必须在答题纸的相应编号的空
（4 分）
又 0<9-x2≤9, ∴lg(9-x2)≤2lg3，
∴f（x）的值域是（-∞，2lg3]
（7 分）
f(x)单调递增区间是(-3,0]（或（-3,0））
18．（1）由 bc 2lg2 2lg5 3 ，得 bc 5 ，
（10 分）（2 分）
又因为 sin A
5
， cos
A
1 2sin 2
f
(x)
2 sin( 1 2
x
5 6
)
图像在 0,
4 3
下降，故将
5 6
舍去也可）
（7 分）
此时 f (x) 2sin(1 x ) 26
(2)由 2k 1 x 2k 得函数 f (x) 的单调递增区间是
22 6
2
（8 分）
4k

2009年江苏省高考数学试卷及详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,n x x x L 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．若复数i z i z 96,29421+=+=其中i 是虚数单位，则复数i z z )(21-的实部为．2．已知向量a 和向量b 的夹角为30o，3||,2||==b a ，则向量a 和向量b 的数量积b a ⋅= ．3．函数63315)(23+--=x x x x f 的单调减区间为．4．函数)sin(ϕω+=x A y （ϕω,,A 为常数，0,0>>ωA ）在闭区间[]0,π-上的图象如图所示，则ω= ．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2．5，2．6，2．7，2．8，2．9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0．3m 的概率为．6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号 2号 3号 4号 5号甲班6 7 7 8 7 乙班 6 76 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为2s = ．7．右图是一个算法的流程图，最后输出的=W ．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．9．在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线310:3+-=x x y C 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为．10．已知215-=a ，函数x a x f =)(，若实数m 、n 满足)()(n f m f <，则m 、n 的大小关系为．11．已知集合{}),(,2log |2a B x x A -∞=≤=，若B A ⊆则实数a 的取值范围是),(+∞c ，其中c =12．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号（写出所有真命题的序号）13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，2121,,,B B A A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点，F 为其右焦点，直线21B A 与直线F B 1相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令),2,(1⋅⋅⋅=+=n a b n n ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}82,37,19,23,53--中，则q 6= ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）设向量)sin 4,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(β-β=ββ=αα=c b a （1）若a 与c b 2-垂直，求)tan(β+α的值；（2）求c b +的最大值;（3）若16tan tan =βα，求证：a ∥b16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，E 、F 分别是B A 1、C A 1的中点，点D 在11C B 上，C B D A 11⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面FD A 1⊥平面C C BB 11．．17．（本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足7,725242322=+=+S a a a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）试求所有的正整数m ，使得21++m m m a a a 为数列{}n a 中的项．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆4)1()3(:221=-++y x C 和圆4)5()4(:222=-+-y x C ．（1）若直线l 过点)0,4(A ，且被圆1C 截得的弦长为32，求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．19．(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为am m +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为a n n +．如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为21h h ．现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为甲h ，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为乙h(1)求甲h 和乙h 关于A m 、B m 的表达式；当B A m m 53=时，求证：甲h =乙h ； (2)设B A m m 53=，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．20．(本小题满分16分)设a 为实数，函数a x a x x x f --+=)(2)(2．(1)若1)0(≥f ，求a 的取值范围；(2)求)(x f 的最小值；(3)设函数),(),()(+∞∈=a x x f x h ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式1)(≥x h 的解集．数学Ⅱ 参考公式：2222(1)(21)123.6n n n n ++++++=L 21．[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 - 1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD ．求证：AB ∥CD ．B ．选修4 - 2：矩阵与变换，求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵． C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为,13()x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，0t >）．求曲线C 的普通方程． D ．选修4 - 5：不等式选讲：设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME=2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式．23．（本题满分10分）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈L （a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈L （a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程022=++b ax x有实数根的概率．（1）求2n T 和2n P ；（2）求证：对任意正整数n ≥2，有n P n 11->．2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案及解读数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1． -20【解析】本题考查了复数的基本运算,属基础概念题．由i z i z 96,29421+=+=, 可得i i i i z z 220)202()(21--=+-=-, 则复数i z z )(21-的实部为-20．2． 3【解析】本题考查了复数的数量积公式及其简单应用．由向量a 和向量b 的夹角为ο30， 3||,2||==b a ，可得330cos 32=⨯⨯=⋅οb a ．3．)11,1(-【解析】本题考查了导数法求函数的单调区间问题．由63315)(23+--=x x x x f ,可得)1110(333303)(22--=--='x x x x x f , 令0)(<'x f 可解得111<<-x ,∴函数63315)(23+--=x x x x f 的单调减区间为)11,1(-．4． 3【解析】本题考查了由三角函数图象求三角函数解析式问题．由图象可得该函数的周期为ωπ=π=232T , ∴3=ω． 5．51【解析】本题考查了古典概型问题,从2．5，2．6，2．7，2．8，2．9，这五个数据中任意抽取2个有2．5 , 2．6; 2．5 , 2．7; 2．5 , 2．8; 2．5 , 2．9; 2．6 , 2．7; 2．6 , 2．8;2．6 , 2．9; 2．7 , 2．8; 2．7 , 2．9; 2．8 , 2．9，共10种抽取方法, 其中长度恰好相差0．3m 仅2．5 , 2．8; 2．6 , 2．9两组, 即得2,10==m n , ∴它们的长度恰好相差0．3m 的概率为51102===n m P ． 6．52【解析】本题考查了统计初步中样本数据的方差的求解问题,属简单的公式应用问题．同时也考查了学生的估算能力．由图表可得7)78776(51=++++=甲x , 7)97676(51=++++=乙x , ∴52)01001(512=++++=甲S , 56)40101(512=++++=乙S ,22乙甲S S < , ∴两组数据的方差中较小的一个为522=S ．本题也可由表格估算出22乙甲S S <，因此，不必计算2乙S 7． 22【解析】本题考查了算法的流程图,以循环结构为主要考查对象,是近几年高考中常见的命题方式．由流程图可得, 第一次循环时得到的S 与T 的值分别为1-0=1,1; 第二次循环时得到的S 与T 的值分别为9-1=8,3; 第三次循环时得到的S 与T 的值分别为25-8=17,5, 此时退出循环结构得22517=+=W ．8． 1:8【解析】本题考查了推理与证明中合情推理之中类比推理的应用．由于相似的几何图形中面积比是边长的平方比, 类比的相似的几何体的体积比是棱长的立方比, 即若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1:8．9． (-2, 15)【解析】本题考查了导数的几何意义, 曲线方程对应的函数的导数的几何意义是曲线上某点的切线的斜率．由21032=-='x y 可解得2±=x , ∵切点P 在第二象限内，∴2-=x , 由此可得点P 的坐标为(-2, 15)．10． n m <【解析】本题考查了指数函数及指数函数的单调性的应用．∵)1,0(215∈-=a , ∴函数x a x f =)(为R 上的减函数，又∵)()(n f m f >, ∴n m <．11． 4【解析】本题考查了对数不等式及集合的子集运算,此题中要注意对数函数的定义域及集合边界值的验证．由已知条件可得{}(]4,02log |2=≤=x x A ,),(a B -∞=，若B A ⊆则4>a ,即得4=c ．12． (1)(2)【解析】本题考查了平面与平面、直线与平面的平行与垂直的位置关系,是高考中常见的开放题型之一．若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β,这是两个平面平行的判定定理,即(1)正确；若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行,这是直线与平面平行的判定定理,即(2)正确；设α和β相交于直线l ，α内有一条直线垂直于l ，但该直线不一定能够垂直β内两条相交直线,即直线l 不一定垂直于平面β,所以平面α和β不一定垂直,即(3)不正确; 直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条相交直线垂直,即(4)不正确, 综上可得真命题的序号为(1)(2)．13．572-【解析】本题考查了直线方程，两直线的交点及椭圆的几何意义,离心率的考查是高考客观题考查的热点．由已知条件可得直线21B A 的方程为1=-+-bx a x ①, 直线F B 1的方程为1=-+b y c x ②,联立①②可得两直线交点T 的坐标为(c a ac -2,c a c a b -+)(),则线段OT 的中点M 的坐标为(ca ac -,)(2)(c a c ab -+),代入椭圆12222=+b y a x 可得222)(4)(4c a c a c -=++,即得03102=-+e e ,解之得725±-=e ,∵)1,0(∈e , ∴572-=e ．【别解】设)sin ,cos (θθb a M ，则)sin 2,cos 2(θθb a T ，由T B A 21共线得a b a a b =+θθcos 2sin 2化简得1cos 2sin 2+θ=θ ① 由FT B 1共线得cb a b b =θ+θcos 2sin 2化简得θ=+θcos 2)1sin 2(e ② 由①②解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=θ-=θ)1(21sin 1cos e ee e 代入1sin cos 22=θ+θ得03102=-+e e ，解得725+-=e ．14． -9【解析】本题考查了等比数列的通项与基本量的求解问题,此题利用等比数列构造另一个数列,利用所构造数列的性质去研究等比数列是高考的热点问题．由已知数列{}n b 有连续四项在集合{}82,37,19,23,53--中，则数列{}n a 必有连续四项在集合{}81,36,18,24,54--中, 若公比q 为正则该数列的四项必均为正或均为负值, 显然不合题意, 所以公比q 必为负值,又由1>q 知1-<q ,按此要求在集合{}81,36,18,24,54--中取四个数排成数列可得数列81,54,36,24--或54,36,24,18-- (此数列不成等比数列,故舍去), ∵数列81,54,36,24--的公比23-=q , ∴96-=q ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．[15题解析] 本小题主要考查向量的基本概念、数乘、数量积，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明等基本能力．满分14分．（Ⅰ）由a 与c b 2-垂直，02)2(=⋅-⋅=-⋅c a b a c b a ，即0)cos(8)sin(4=β+α-β+α，2)tan(=β+α．（Ⅱ）)sin 4cos 4,cos (sin β-ββ+β=+c b ，β+ββ-β+β+ββ+β=+22222sin 16sin cos 32cos 16cos cos sin 2sin c b β-=ββ-=2sin 1517cos sin 3017，最大值为32，所以c b +的最大值为24．由16tan tan =βα得βα=βαcos cos 16sin sin ，即0sin sin cos 4cos 4=βα-β⋅α，所以a ∥b ． [16题解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．满分14分．（Ⅰ）因为E ，F 分别是C A B A 11,的中点，所以EF ∥BC ，又ABC EF 面⊄，ABC BC 面⊂，所以EF ∥平面ABC ．（Ⅱ）因为直三棱柱111C B A ABC -，所以1111C B A BB 面⊥，D A BB 11⊥，又C B D A 11⊥，所以C C BB D A 111面⊥，又FD A D A 11面⊂，所以平面⊥FD A 1平面C C BB 11．[17题解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力．满分14分．（1）设公差为d ，则23242522a a a a -=-，由性质得)()(33434a a d a a d +=+-，因为0≠d ，所以034=+a a ，即0521=+d a ，又由77=S 得726771=⨯+d a ，解得51-=a ，2=d ,所以{}n a 的通项公式为72-=n a n ，前n 项和n n S n 62-=．(2)（方法一）32)52)(72(21---=++m m m a a a m m m ,设t m =-32，则68)2)(4(21-+=--=++tt t t t a a a m m m , 所以t 为8的约数因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±当2,1-==m t 时，3752,368=-⨯=-+t t ，是数列{}n a 中的项；当1,1=-=m t 时，,1568-=-+tt 数列{}n a 中的最小项是5-，不符合．所以满足条件的正整数2=m （方法二）因为222222186)2)(4(++++++++-=--=m m m m m m m m a a a a a a a a 为数列{}n a 中的项，故28+m a 为整数，又由（1）知：2+m a 为奇数，所以1322±=-=+m a m ，即2,1=m经检验，符合题意的正整数只有2=m这两种解法看似相同，但却有本质的区别，解法二是紧扣数列通项公式解题，而解法一是紧扣等差数列的概念解题，学生掌握的基本思路是解法二，本题是中极题．[18题解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力．满分16分．(1)设直线l 的方程为：)4(-=x k y ，即04=--k y kx 由垂径定理，得：圆心1C 到直线l 的距离，1)232(422=-=d 结合点到直线距离公式，得：114132=+---k kk化简得：247,,0.07242-===+k or k k k 求直线l 的方程为：0=y 或)4(247--=x y ，即0=y 或028247=-+y x (2) 设点P 坐标为),(n m ，直线1l 、2l 的方程分别为：)(1),(m x k n y m x k n y --=--=-，即：011,0=++--=-+-m kn y x k km n y kx因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得：：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等．故有：1115411322+++--=+-+--km kn k k kmn k ，化简得：5)8(,3)2(-+=+---=--n m k n m n m k n m 或关于k 的方程有无穷多解，有：⎩⎨⎧=-+=+-⎩⎨⎧=--=--0508,0302n m n m n m m m 或解之得：点P 坐标为)213,23(-或)21,25(-． [19题解析] 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分． (1) [][])20,5,12,3(,203,512∈∈+⋅+=+⋅+=B A B B A A B B A A m m m m m m h m m m m h 乙甲当B A m m 53=时，)5)(20(51253532++=+⋅+=B B B B B B B m m m m m m m h 甲,)20)(5(20353532++=+⋅+=B B BB B B B m m m m m m m h 乙,h 甲=h 乙（2）当B A m m 53=时，h ==甲由[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∈51,201120,5B B m m 得，故当2011=B m 即12,20==A B m m 时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为510．（3）（方法一）由（2）知：5100=h 由5105120=≥+⋅+=h m m m m h B B A A 甲得：25512≤+⋅+B B A A m m m m ，令y m x m B A ==5,3则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41,y x ，即：25)1)(41(≤++y x ．同理，由5100=≥h h 乙得：25)41)(1(≤++y x 另一方面，[]5,241,41,1,41,∈++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈y x y x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈++2,251,1y x25)41)(1(,25)1)(41(≥++≥++y x y x 当且仅当41==y x ，即B A m m =时，取等号．所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得00h h h h ≥≥乙甲和同时成立，但等号不同时成立．方法二：由⑵知320=h ，因为 9425100201536122020351212≤++⋅++=+⋅+⋅+⋅+=yy x x y x x y y x h h 乙甲所以，当32,32≥≥乙甲h h 时，有32==乙甲h h ，因此，不能取到B A m m ,的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立．[20题解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．满分16分（1）若1)0(≥f ，则1112-≤⇒⎩⎨⎧≥<⇒≥-a a a a a（2）当a x ≥时，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=+-=0,320,20),3(0),()(,23)(22min22a a a a a a f a a f x f a ax x x f 当a x ≤时，⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=⎩⎨⎧<≥-=-+=0,20,20),(0),()(,2)(22min22a a a a a a f a a f x f a ax x x f 综上⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=0,320,2)(22mina a a a x f （3）),(+∞∈a x 时，1)(≥x h 得012322≥-+-a ax x ，222812)1(124a a a -=--=∆当2626≥-≤a a 或时，),(,0+∞∈≤∆a x ；当2626<<-a 时，△>0,得：⎪⎩⎪⎨⎧>≥-+----ax a a x a a x 0)323)(323(22 讨论得：当)26,22(∈a 时，解集为),(+∞a ; 当)22,26(--∈a 时，解集为⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞-+⋃--,323]323,(22a a a a a ; 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22,22a 时，解集为⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞-+,3232a a ．数学Ⅱ[A ．选修4 - 1几何证明选讲答案] ：本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB=∠BDA ，故A 、B 、C 、D 四点共圆，从而∠CBA=∠CDB ．再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB=∠DBA ．因此∠DBA=∠CDB ，所以AB ∥CD ．[B ．选修4 - 2：矩阵与变换答案] ：本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力．满分10分．解：设矩阵A 的逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡w y z x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡10011223 ＝ w y z x 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤++⎢⎣⎡+100122322z 3 ＋w y w y z x x ，故⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+,12,023,,02,123w y w y z x z x解得：3,2,2,1-===-=w y z x ，从而A 的逆矩阵为⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-=-32211 A ． [C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程答案] ：本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力．满分10分．解：因为212-+=t t x ，所以3122y t t x =+=+，故曲线C 的普通方程为：2360x y -+= [ D ．选修4 - 5：不等式选讲答案] ：本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力．满分10分．证明：3322222232(32)3()2()(32)().a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=-- 因为a ≥b ＞0,所以a b -≥0，2232a b -＞0，从而22(32)()a b a b --≥0，即3332a b +≥2232a b ab +．[必做题第22题答案] ：本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）由题意，可设抛物线C 的标准方程为px y 22=，因为点)2,2(A 在抛物线C 上，所以1=p ，因此，抛物线C 的标准方程为x y 22=．（2）由（1）可得焦点F 的坐标是)0,21(，又直线OA 的斜率为122=，故与直线OA 垂直的直线的斜率为1-，因此，所求直线的方程是021=-+y x ．（3）解法一：设点D 和E 的坐标分别为),(11y x 和),(22y x ，直线DE 的方程是)(m x k y -=，0≠k 将m kyx +=代入x y 22=，有0222=--km y ky ，解得kmk y 22,1211+±=．由DE ME 2=知)121(221122-+=++mk mk ，化简得m k 42=．因此22122212212))(11()()(y y ky y x x DE -+=-+-=)4(49)21(4)11(2222m m k mk k +=++=．所以)0(423)(2>+=m m m m f ．解法二：设),2(),,2(22t t E s s D ，由点)0,(m M 及DMME 2=得)0(20),2(22122s t s m m t -=--=-．因此2,2s m s t =-= 所以)0(423)2()22()(222222>+=--+-==m m m s s s s DE m f ．[必做题第23题答案] ：本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力．满分10分．（1）解：因为方程022=++b ax x 有实数根，所以0442≥-=∆b a ，即2a b ≤（i ）当2n a n ≤≤时，有22a n ≤，又2,,2,1n b ⋅⋅⋅∈，故总有b ，有12+-n n 种取法，b有2n 种取法，所以共有22)1(n n n +-组有序数组),(b a 满足条件；（ii ）当11-≤≤n a 时，满足21ab ≤≤的b有2a个，故共有6)12)(1()1(3212222--=-+⋅⋅⋅+++n n n n 组有序数组),(b a 满足条件．由（i ）（ii ）可得6)1346(6)12)(1()1(23222++-=--=+-=n n n n n n n n n n T n ，从而32346134622n n n n n T P n n ++-==．⑵证明：我们只需证明：对于随机选取的n b a ,,2,1,⋅⋅⋅∈，方程022=++b ax x 无实数根的概率nP n 11<-．若方程022=++b ax x 无实数根，则0442<-=∆b a ，即b a <2的有序数组),(b a 的组数小于n n ，从而，方程022=++b ax x 无实数根的概率nn n n P n 112=<-，所以n P n 11->．试卷综合解读与评析2009年高考江苏卷保持了2008年高考江苏卷的特点，以稳为主，稳中有变，更加体现新课程理念，所有试题的建构，不偏不怪，难易得当，紧扣考纲，贴近课本．注重考查基础知识，基本技能，基本数学思想和方法，对当前高中数学教学和高三数学复习备考有着鲜明的导向作用．下面从数学I、II试题的答案，别解、知识点、苏教版教材的出处，考纲要求，课本要求，用到的数学思想方法，容易导致失误的地方等方面进行综合解读．（要说明的是：江苏高考试题分文、理科，除选修的科目不同外，语、数、外三门必修科目的设置也有同有异：英语科目文理科试题相同，分值为120分；数学、语文两门必修科目，文理试题的设置分I、II两部分，对于文科和理科的考生数学和语文的I卷试题相同、分值均为160分，对理科生要加考数学II试题，文科考生要加考语文II试题分值均为40分．这样语数外三门必修科目文、理试题的总分值一样——200分+160分+120分=480分．）1．数学I试题（文理同卷）填空题部分填空题没有难度，从1至12题都平铺直叙，送分送到位，13、14题属于中档题，也容易拿分，没有难题．对照考纲和教材将14条填空题进行分析和解读如下：（附：表中的“等级”是指：江苏《考试说明》将考点要求分成A、B、C三个等级，其中C级要求最高，B 级次之、Ａ级要求最低；表中的“层次”是指：江苏教材上的习题分为三个层次即：感受·理解、思考·运用和探究·拓展）2 数学I试题（文理同卷）解答题部分对于15题，此题主要考查平面向量数量积的坐标运算，两角和与差的三角函数，二倍角的正弦，考纲要求分别为C、C、B，坚持了重点知识重点考查的原则，数学思想方法主要考查了转化思想题型常规，思路清晰可循，三基好的考生容易得满分．对于16题，此题是立体几何题，仍然是考察平行与垂直的证明，题目简单明了，但要注重过程，判定定理的条件必须写全，线面平行是三个条件，面面垂直是两个条件，但之前需证明线面垂直，那是五个条件．对于17、18题第一小问，比较简单，但第二小问难度加大．17题数列题的第一小问是基本量的运算，大多考生不会有问题，第二小问有一丝数论的味道，题目简洁而又精彩！18题是解析几何题，考查直线与圆的位置关系，第二小问思路其实比较清晰，因为圆1C 与圆2C 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线 2l 被圆2C 截得的弦长相等，所以圆1C 的圆心到直线1l 的距离和圆2C 的圆心到直线2l 的距离相等，列出等式，题目中要求“存在无数对直线”转化为“等式有无数解”即可，但是字母运算较复杂，考察考生的耐心与细心．对于19题，此题主要考查函数与基本不等式等基础知识，比较好地考查了考生对信息的接收、加工和输出等数据处理能力，数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力达到有效考查综合素质的目的．考查与以往不同的是，大题的顺序有了明显的颠倒，数列难度下降了很多，放在了大题第三题的位置，而以往应用题是不会放在这个位置的，虽然难度适中，以生活中的满意度为背景，但题干中的字比较多，问题的表述较长，变量均以字母形式出现，提高了应用题的难度，这就要求考生多读几遍题目，多读几遍还是可以理解的，第⑴、⑵小题能够做出，第⑶小题有点难度；有些考生就承受不了了，所以对最后一题也有心理干扰，这也是广大考生不太适应的又一方面，从中可以看到今年的高考试卷在知识与能力考查的同时，体现了对课改新理念的创新与发展．对于20题，此题主要考查函数的概念、性质、图像及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数型结合、分类讨论的思想方法．这样的的分类讨论其实高中训练得很多了，但在考场上想得满分也并不容易．第（3）小问不要考生写过程，只要结果，需要一定的数学直觉思维，如果结合图形问题可以得到很好地解决，命题很有新意，不落浴套，具有较强的选拔功能．3．数学Ⅱ附加题（理科做）今年是执行必做、选做分卷考试新模式的第二年，附加题部分难度控制的比较适中，在全省考生慢慢接受并熟悉了这种模式后，相比去年，今年的选作题方面考点上没有任何的变动，但圆锥曲线、函数中不等关系的证明出现在该部分作为压轴考题，难度明显比去年有了很大的提升． 4 全卷综合点评 4．1 全卷综合解读2009年高考数学试题，对考试说明中的8个C 级要求的知识点和B 级要求中传统的问题都进行了有效的考查，在保持题型稳定的基础上，进行适度的改革和创新，试卷贴近教学实际，坚持能力立意，全面检测考生的数学素养，充分体现新课程的基本理念．试卷主要有以下几个方面的特点：4．1．1 多题把关，有效发挥选拔功能第17，18题第二小问，第19题、第20题的第三问有一定的难度，改变了过去一题或两题把关的习惯，在凸显文理公平基础上，命题者这样处理对不同层次考生群体更有区分度，有利于高校选拔人才．基于同样的原因，数学Ⅱ附加题（理科做）部分，两道必做题对数学语言的转化以及数学思想方法有一定的要求，相对较难，其他试题很简单．4．1．2 能力立意，旨在考察数学素养全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学思维能力和应用意识．许多试题实际上并不难，对于知识点考生很熟悉，但需要考生自主综合所学知识，才能解决问题，如第17题第二问，其实是恒成立问题．许多试题若能先想清楚问题的关键或本质，确定了合适的解题思路和方向后再动手，解答会容易的多，否则会陷入繁琐的运算之中，比如第13题，第14题．部分题目在考查基础知识点上有所创新，题目设计灵活．如数学卷第17题第（2）问，第18题第（2）问，都是对一个问题进行纵向探究，考查学生创新意识，同时要求学生掌握通性通法，淡化特殊技巧，例如第18题第（2）问，如果用几何方法解决在考场上几乎不能成功，试题的设问已将几何法排除在外，命题者的意思很明确，考察解析几何的本质——用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合和等价转化的重要数学思想4．1．3 引领课改，全面体现课程标准试卷以朴素的数学知识为载体，综合考查最基本的数学思想和方法，体现了高考命题重实质、重内涵的指导思想，注重通性通法、淡化特殊技巧，对中学数学教学有较好的导向作用．不少试题注意在具体的情景中、在解决问题的过程中突出考查学生数学思想和数学方法．如第20题以二次函数为载体，重点考查分类谈论、数形结合思想，其中的第三问，只要直接写出解，不需要过程，打破了长期以来人们所固有的解答题不能以图代证的模式，给平时积极主动、勇于探索的考生有发挥的空间．这也是新课改的明确要求，新课程标准明确指出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一，人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳推理、空间想象、抽象概括……等思维过程”．另外，试题加强了对应用意识和创新意识的考查，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断，例如第19题以生活中的满意度为背景，问题的表述较长，需要考生耐心读懂题目，但模式识别方便，同时还考查了学生将文字语言转化为数学语言的能力．4．1．4 保持稳定，凸显公平公正原则（1）整卷试题呈现：低起点、入手宽、由易到难，逐步深入、多题把关的格局，全卷结构、题型包括难度都基本稳定，依据考试说明，突出对教材基本内容的考查．填空题比较平和，不需太繁的计算，考生普遍感觉顺手．许多试题源于课本，略高于课本，如第1、2、3、4、5、7、11、15题等，都由课本例题、习题进行恰当变更、迁移、综合、创新整合而成，给人以似曾相识的感觉．最后6个解答题由易到难，涉及的知识内容基础、常规，入手容易，但深入有一定困难．附加题部分，选做题对知识点的考查单一，结论要求明确，学生入手较易．（2）通览全卷试题和答案：不见偏题怪题、人为陷阱，处处体现人文关怀、呈现关爱．如填空题14题，求6q ，正常应该求q ，有谬常理．细细想来，为命题者的良苦用心所折服，这是因为如果所编题目答案q 是整数，学生很易猜到，失去考察知识的意义，现在所编题目的23-=q ，凭借以前阅卷的经验，学生的答案很易将“—”和分数线“——”连在一起成为“23”，从而引起失分，试题中“求6q ”可以有效避免这种非智力因素的失分；再如，填空题11题按常理该设问为“求实数a 的范围”，而试题中设问为“实数a 的取值范围是),(+∞c ，其中c = ____”，从中大家不难发现命题者的用心，还有应用题的表述命题者不惜大量篇幅，也是为了学生只要认真读题就不会因为审题困难而失分．（3）试卷注重对重点知识的考察，但编制题目时目的很明确——只针对性地考察要考知识、方法，不人为设置其他难点，避免因为其他知识的不熟悉而解答错误．例如新增内容“导数”，试题中填空题部分两次用到，但难度都很低，这是因为新课标只要求“能利用导数研究函数单调性、会用导数求简单函数的极值和最值”， “导数”其实在中学教材中只是一种“工具”的地位，要重点考察但不会考很复杂的函数，以免考生因为求导数出错而失误．再如立体几何的考察，载体是直三棱柱，只考察了基本的平行与垂直的证明，这是因为理科学过空间向量，如果考角与距离或比较难的证明，那样对于文科生就极不公平．其他的题目基本都是如此．以上三点是试卷所呈现的实际情况，如果我们进一步地思考可以发现命题者这样做的真正原因——保持稳定、体现公平．江苏高考的现行模式才第二年，数学I 试题文科和理科同卷，而他们所用的教材必修部分相同，选修部分不同，文科教材要简单些，另外他们的数学基础也不同，而高校录取时是同等录取，这就要求数学命题时文理要公平，做到真正公平很困难，唯一的办法就“简单”——载体简单、知识点单一，只有这样才能相对公平．还有应用题的编拟也体现了另一公平——城乡考生之间的公平，试题中的应用题背景对所有学生是公平的．4．2 备考备战的几点启示4．2．1 平时教学要灵活、有变化，模式教学已不适应平时的教学活动要灵活、要开展一题多变、多题一解、一题多解的数学解题教学模式，要注重情境教学，揭示知识的生成、发展和应用的过程，不能因为教学时间的有限而给学生不同知识点以不同的模式化，学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应积极倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，发挥学生学习的主动性．平时教学要严格按课程标准和考试说明进行，对教材内容不要人为地加深和无限地拓展，或是反复训练自认为重要的个别问题，这样浪费学生很多宝贵时间，在高考中将会处于劣势． 4．2．2 高考试题没有绝对，吃透课程标准是关键。