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2018届高三数学一轮复习： 第7章 第3节 课时分层训练40

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2018届高三数学一轮复习： 第7章 第4节 课时分层训练41

2018届高三数学一轮复习： 第7章 第4节 课时分层训练41

课时分层训练(四十一)直线、平面平行的判定及其性质A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()【导学号：01772255】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β，且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．]2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确的命题是()图7-4-5A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1FD[由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.]3．(2017·山东济南模拟)如图7-4-6所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()图7-4-6A．异面 B.平行C．相交 D.以上均有可能B[在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.]4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥αB[若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n ⊂α，D 错．]5．给出下列关于互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数为( )【导学号：01772256】A ．3B.2 C ．1 D.0C [①中，当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中，l 与m也可能异面；③中，⎩⎪⎨⎪⎧ l ∥γ，l ⊂α，α∩γ＝n⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确．]二、填空题6．设α，β，γ为三个不同的平面，a ，b 为直线，给出下列条件：①a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a ⊥α，b ⊥β，a ∥b .其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号).【导学号：01772257】②④ [在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．在④中，a ⊥α，a ∥b ⇒b ⊥α，从而α∥β，④满足．]7．如图7-4-7所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．图7-4-72 [在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.]8．(2016·衡水模拟)如图7-4-8，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．图7-4-8平面ABC ，平面ABD [连接AM 并延长交CD 于E ，则E 为CD 的中点．由于N 为△BCD 的重心，所以B ，N ，E 三点共线，且EM MA ＝EN NB ＝12，所以MN ∥AB .于是MN ∥平面ABD 且MN ∥平面ABC .]三、解答题9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图7-4-9所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．图7-4-9[解](1)点F，G，H的位置如图所示.5分(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.7分又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.9分又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.12分10．(2017·西安质检)如图7-4-10，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.图7-4-10求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.[证明](1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.2分又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.5分(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.7分因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.10分因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是()【导学号：01772258】图7-4-11A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°C[因为截面PQMN是正方形，所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A，B正确．又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．]2．如图7-4-12所示，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．图7-4-121[设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD.∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.]3．如图7-4-13所示，在三棱锥P-ABC中，平面P AC⊥平面ABC，P A⊥AC，AB⊥BC，设D，E分别为P A，AC的中点．图7-4-13(1)求证：DE∥平面PBC.(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：∵点E是AC中点，点D是P A的中点，∴DE∥PC.2分又∵DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.5分(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.7分证明如下：取AB的中点F，连接EF，DF.由(1)可知DE∥平面PBC.∵点E是AC中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC.10分又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC.又∵DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面PBC，∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行.12分。

2018年高考数学(人教A版)一轮复习课时分层提升练三1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词Word版含解析

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课时分层提升练三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017·唐山模拟)命题“∀x∈,x3+x≥0”的否定是( )A.∀x∈,x3+x<0B.∀x∈,x3+x≥0C.∃x0∈,+x0<0D.∃x0∈,+x0≥0【解析】选 C.命题“∀x∈,x3+x≥0”的否定是“∃x0∈,+x0<0”.【加固训练】“∃x0∉M,p(x0)”的否定是( )A.∀x∈M,p(x)B.∀x∉M,p(x)C.∀x∉M,p(x)D.∀x∈M,p(x)【解析】选C.命题“∃x 0∉M,p(x0)”的否定是“∀x∉M,p(x)”.2.(2017·长沙模拟)若命题p:∃x0∈R,x0-2>0,命题q:∀x∈R,<x,则下列说法正确的是( )A.命题p∨q是假命题B.命题p∧(q)是真命题C.命题p∧q是真命题D.命题p∨(q)是假命题【解析】选B.显然p是真命题,当x=时,==>=x,所以q是假命题,所以q是真命题,由“或”“且”命题的真值表知B正确.【加固训练】已知命题p:{1}⊆{1,2},q:∅∈{0},则下列命题为真的是( ) A.p B.p∧q C.p∧(q) D.(p)∨q【解析】选C.由子集的意义知p真,q假,所以p假,p∧q假,p∧(q)真,(p)∨q假.3.(2017·郑州模拟)若命题“∃x0∈R,使+(a-1)x0+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是( )A.[-1,3]B.[1,4]C.(1,4)D.(-∞,-1]∪[3,+∞)【解析】选 A.由题意,知“∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0”是真命题,所以Δ=(a-1)2-4≤0,解得-1≤a≤3.4.(2017·武汉模拟)“a和b都不是偶数”的否定形式是( )A.a和b至少有一个是偶数B.a和b中至多有一个是偶数C.a是偶数,b不是偶数D.a和b都是偶数【解析】选A.“a和b都不是偶数”的反面是“a和b中一个是偶数,一个不是偶数或a和b都是偶数”即“a和b中至少有一个是偶数”.5.(2017·南昌模拟)下列说法中正确的是( )A.若命题p:∀x∈R有x2>0,则p:∀x∈R有x2≤0B.若命题p:>0,则p:≤0C.若p是q的充分不充要条件,则p是q的必要不充分条件D.方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±【解析】选C.A选项,因为p:∃x 0∈R有≤0,所以错误;B选项,因为p:≤0或x=1,所以错误;C选项,若p⇒q,其等价命题为q⇒p,即p是q的必要不充分条件,所以正确;D选项,当a=0时,也有唯一解,所以错误.【加固训练】1.已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(q);④(p)∨q中,真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】选C.由不等式的性质,得p真,q假.由含“或、且、非”的命题的真假判断得到①假,②真,③真,④假.2.(2017·汕头模拟)下列说法正确的是( )A.命题“若ax2<bx2,则a<b”的逆命题是真命题B.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题C.命题“p且q”为假命题,则命题“p”和命题“q”均为假命题D.命题“∃t0∈R,-t0≤0”的否定是“∀t∈R,t2-t>0”【解析】选D.因为当x=0时,若a<b,则ax2<bx2不成立,所以A不正确;因为原命题“若x=y,则sinx=siny”为真,其逆否命题也为真,所以B不正确;因为p与q中只要有一个为假,则p且q为假,所以C不正确;命题D显然为真.3.设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )A.p∨qB.p∧qC.(p)∧(q)D.p∨(q)【解析】选A.当非零向量a,c方向相同且都和非零向量b垂直时,有a·b=0,b·c=0成立,但是a·c=0不成立,可知命题p是假命题,命题p是真命题;易知命题q为真命题,命题q是假命题.结合复合命题的真假判断方法知,选项A正确.4.已知命题p:函数y=a x(a>0且a≠1)在R上是增函数,命题q:log a2+log2a≥2(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是( ) A.p∨q B.p∧qC.(p)∧qD.p∨(q)【解析】选D.当0<a<1时,y=a x在R上是减函数,因此p假,p真,当a=时,log a2+log2a=-2<2,因此q假,q真.从而命题p∨(q)为真命题.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017·济南模拟)已知p:x2-x≥6,q:x∈Z,若“p∧q”,q都是假命题,则x的值组成的集合为.【解析】因为“p∧q”为假命题,q为假命题,故q为真命题,p为假命题,即得x的值为-1,0,1,2.答案:{-1,0,1,2}7.已知命题p:“∃x0∈R,-mx0+1≤0”,若p真,则实数m的取值范围是.【解题提示】联系二次函数的图象求解.【解析】因为二次函数y=x2-mx+1的图象开口向上,若p真,则Δ=(-m)2-4≥0,即m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)8.已知下列命题.①∃x0∈,sinx0+cosx0≥;②∀x∈(3,+∞),x2>2x+1;③∃x0∈R,+x0=-1;④∀x∈,tanx>sinx.其中真命题为.(填序号)【解析】对于①,当x0=时,sinx0+cosx0=,所以此命题为真命题;对于②,当x∈(3,+∞)时,x2-2x-1=(x-1)2-2>0,所以此命题为真命题;对于③,∀x∈R,x2+x+1=+>0,所以此命题为假命题;对于④,当x∈时,tanx<0<sinx,所以此命题为假命题.答案:①②三、解答题9.(10分)已知命题p:关于x的不等式a x>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},命题q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.【解析】由关于x的不等式a x>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},知0<a<1; 由函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,知不等式ax2-x+a>0的解集为R,则解得a>.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”,故或解得a≥1或0<a≤,故实数a的取值范围是∪[1,+∞).(20分钟40分)1.(5分)(2017·石家庄模拟)已知函数f(x)=log2(x+a)+log2(x-a)(a ∈R).命题p:∃a∈R,函数f(x)是偶函数;命题q:∀a∈R,函数f(x)在定义域内是增函数,那么下列命题为真命题的是( )A.qB.p∧qC.(p)∧qD.p∧(q)【解析】选C.因为当a≥0时,由得x>a,即函数的定义域为(a,+∞),当a<0时,由得x>-a,即函数的定义域为(-a,+∞).所以命题p为假.因为y=log2(x+a)是增函数,y=log2(x-a)是增函数,所以函数f(x)=log2(x+a)+log2(x-a)在定义域内是增函数,即q为真.故q为假,p∧q为假,(p)∧q为真,p∧(q)为假.2.(5分)(2017·太原模拟)已知命题p:∃x 0∈R,-mx0=0,q:∀x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(q)为假命题,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.[0,2]C.RD.【解题提示】根据p∨(q)为假命题确定p,q的真假,再根据p,q的真假求m的取值范围.【解析】选B.由p∨(q)为假命题知p假q真.由p假知命题“∀x∈R,e x-mx≠0”为真命题,即函数y=e x与y=mx的图象无交点.设直线y=mx与曲线y=e x相切的切点为(x′0,y′0),则切线方程为y-=(x-x′0),又切线过原点,则可求得x′0=1,y′0=e,从而m=e,所以命题p为假时有0≤m<e.命题q为真时有Δ=m2-4≤0.即-2≤m≤2.综上知,m的取值范围是0≤m≤2.3.(5分)(2017·鞍山模拟)设命题p:函数y=sin2x的最小正周期为;命题q:函数y=cosx的图象关于直线x=对称,则下列判断正确的是( )A.p为真B.q为假C.p∧q为假D.p∨q为真【解析】选C.由题设知p是假命题,q是假命题,故p∧q为假命题. 【加固训练】R,2-x0>,命题q:∀a∈(0,+(2017·成都模拟)已知命题p:∃x∞)且a≠1,log a(a2+1)>0,给出下列结论:①命题p∨q是假命题;②命题p∧q是真命题;③命题p∨q是假命题;④命题p∧q是真命题.其中正确的是.【解析】对于命题p:∃x 0∈R,2-x0>,当x0=0时,此式成立,故是真命题;命题q:∀a∈(0,+∞)且a≠1,log a(a2+1)>0,当0<a<1时,对数式的值是负数,故命题q是假命题.由此知命题p∨q是真命题,命题p∧q是真命题,命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题.答案:②4.(12分)已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求a 的取值范围.【解析】由2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0,所以x=或x=-a,所以当命题p为真命题时,≤1或|-a|≤1,所以|a|≤2.又“只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0”.即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个公共点,所以Δ=4a2-8a=0,所以a=0或a=2.所以当命题q为真命题时,a=0或a=2.因为命题“p∨q”为假命题,所以a>2或a<-2;即a的取值范围为a>2或a<-2.5.(13分)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,q:实数x满足(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【解析】由x2-4ax+3a2<0,a>0得a<x<3a,即p为真命题时,a<x<3a,由得即2<x≤3,即q为真命题时2<x≤3.(1)a=1时,p:1<x<3.由p∧q为真知p,q均为真命题,则即2<x<3,所以实数x的取值范围为(2,3).(2)设A={x|a<x<3a},B={x|2<x≤3},由题意知p是q的必要不充分条件,所以B A,有所以1<a≤2,所以实数a的取值范围为(1,2].关闭Word文档返回原板块。

2018届高三数学理一轮总复习课时规范训练：第七章 立

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课时规范训练 [A 级 基础演练]1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π3 B ．π C.4π3D ．12π解析：选A.由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积V ＝V 柱－2V 半球＝π×12×2－2×12×43π×13＝23π，选A.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2π B ．13π6C.7π3D ．5π2解析：选B.由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4解析：选B.这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π.4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．1＋2 2C ．2＋ 3D ．2 2解析：选C.如图，该四面体有两个面为等腰直角三角形，另外两个面为正三角形．故该四面体的表面积S ＝2×12×2×2＋2×12×2×2×32＝2＋ 3.5．(2017·沈阳质检)四面体A ­BCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.32π3B ．12πC ．16πD ．32π解析：选C.将四面体A ­BCD 补形成正三棱柱，则其外接球的球心为上、下底面的中心连线的中点，底面△BCD 的外接圆半径为3，所以外接球的半径R ＝（3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝2，球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2解析：选 C.根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V ­ABCD ，其中VB ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 是边长为1的正方形，VB ＝1.所以四棱锥中最长棱为VD .连接BD ，易知BD ＝2，在Rt △VBD 中，VD ＝VB 2＋BD 2＝ 3.7．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A.233B ．476C ．6D ．7解析：选A.由三视图画出几何体的直观图如图所示．该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体．其体积为V ＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233.8.某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．解析：依题意，题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，其中该圆锥的底面半径是1、高是2，因此题中的几何体的体积等于23－13π×12×2＝8－2π3.答案：8－2π39．(2016·高考天津卷)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为 m 3.解析：根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m 、高为1 m 的平行四边形，四棱锥的高为3 m ，故其体积为13×2×1×3＝2(m 3)．答案：210．(2017·大连模拟)直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，AA 1＝22，则球O 的表面积为 ．解析：由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即22＋22＋（22）2＝4，故球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π.答案：16π[B 级 能力突破]1．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23B ．33C.43D ．32解析：选A.如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，则△BHC中BC 边的高h ＝22. ∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E ­ADG ＋V F ­BHC ＋V AGD ­BHC ＝2V E ­ADG ＋V AGD ­BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.2．如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．5＋ 3B ．5＋2 3C ．4＋2 2D ．4＋2 3解析：选A.由三视图可知该几何体的直观图如图所示，该图是一个六面体ABCDEFG ，其中底面ABCD 为正方形，AF ∥CG ，且AF ＝CG ＝1，DE ∥AF ，且DE ＝2AF ，易计算出EF ＝BF ＝BG ＝EG ＝2，所以四边形EFBG 为菱形，其对角线长分别为2和6，故该几何体的表面积S ＝1×1＋12×1×1×2＋12×(1＋2)×1×2＋12×6×2＝5＋3，故选A.3．(2017·广西三市联考)三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，∠BAC ＝120°，PA ＝AB ＝AC ＝2，则此三棱锥外接球的体积为 ．解析：设△ABC 外接圆的半径为r ，三棱锥外接球的半径为R ，∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，∴2r ＝2332＝4，∴r ＝2，由题意知PA ⊥平面ABC ，则将三棱锥补成三棱柱可得R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 2＝5，∴此三棱锥外接球的体积为43π·(5)3＝2053π. 答案：2053π4．若一个几何体的表面积和体积相同，则称这个几何体为“同积几何体”．已知某几何体为“同积几何体”，其三视图如图所示，则a 的值为 ．解析：根据几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱，如图所示，可得其体积为12(a ＋2a )·a ·a ＝32a 3，其表面积为12·(2a＋a )·a ·2＋a 2＋a 2＋2a ·a ＋2a ·a ＝7a 2＋2a 2，所以7a 2＋2a 2＝32a 3，解得a ＝14＋223. 答案：14＋223。

2018届高三数学(理)一轮总复习课时规范训练第七章立体几何7-5Word版含答案

2018届高三数学(理)一轮总复习课时规范训练第七章立体几何7-5Word版含答案

课时规范训练[A级基础演练]1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C.∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a.故选C.2．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：选D.由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β解析：选B.m与n的位置关系为平行，异面或相交，∴A错误；根据面面垂直的性质可知B正确；由题中的条件无法推出α⊥β，∴C错误；只有当m与n相交时，结论才成立，∴D错误．故选B.4．如图，P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B．它们两两垂直C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析：选A.∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，又DA⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB，同理可证平面PAB⊥平面PBC.5．(2017·佳木斯名校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β，其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.①中，α∥β，且m⊥α，则m⊥β，因为l⊂β，所以m⊥l，所以①正确；②中，α⊥β，且m⊥α，则m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，可能相交，所以②不正确；③中，m⊥l，且m⊥α，l⊂β，则α与β可能平行，可能相交，所以③不正确；④中，m∥l，且m⊥α，则l⊥α，因为l⊂β，所以α⊥β，所以④正确，故选B.6．设α，β是空间中两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： (填序号)．解析：因为当n⊥β，m⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④⇒②正确；同理②③④⇒①也正确．答案：①③④⇒②或②③④⇒①7．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若a∥α且b∥α，则a∥b；(2)若a⊥α且a⊥β，则α∥β；(3)若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；(4)若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.上面命题中，所有真命题的序号是．解析：(1)中a与b可能相交或异面，故不正确．(2)垂直于同一直线的两平面平行，正确．(3)空间中存在γ，使得γ与α，β都垂直．(4)空间中只需直线l⊥α且l⊄β就可以．答案：(2)(3)(4)8．已知△ABC的三边长分别为AB＝5，BC＝4，AC＝3，M是AB边上的点，P是平面ABC 外一点．给出下列四个命题：①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P­ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，且M是AB边的中点，则有PA＝PB＝PC；③若PC＝5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为152；④若PC＝5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为23.其中正确命题的序号是．(把你认为正确命题的序号都填上)解析：由题意知AC ⊥BC ，对于①，若PA ⊥平面ABC ，则PA ⊥BC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC ，因此该三棱锥P ­ABC 的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得M 为△ABC 的外心，所以MA ＝MB ＝MC .∵PM ⊥平面ABC ，则PM ⊥MA ，PM ⊥MB ，PM ⊥MC ，由三角形全等可知PA ＝PB ＝PC ，故②正确；对于③，要使△PCM 的面积最小，只需CM 最短，在Rt△ABC 中，CM min ＝125，∴S △PCM min ＝12×125×5＝6，故③错误；对于④，设P 点在平面ABC 内的射影为O ，且O 为△ABC 的内心，由平面几何知识得△ABC 的内切圆半径r ＝1，且OC ＝2，在Rt△POC 中，PO ＝PC 2－OC 2＝23，∴点P 到平面ABC 的距离为23，故④正确． 答案：①②④9.(2016·高考北京卷)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .(1)求证：DC ⊥平面PAC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAC ；(3)设点E 为AB 的中点．在棱PB 上是否存在点F ，使得PA ∥平面CEF ？说明理由． 证明：(1)因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥DC .又因为DC ⊥AC ，PC ∩CA ＝C ，所以DC ⊥平面PAC .(2)因为AB ∥DC ，DC ⊥AC ，所以AB ⊥AC .因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥AB ，且PC ∩AC ＝C ，所以AB ⊥平面PAC ，且AB ⊂面PAB .所以平面PAB ⊥平面PAC .(3)棱PB 上存在点F ，使得PA ∥平面CEF .证明如下：如图，取PB 中点F ，连接EF ，CE ，CF .又因为E 为AB 的中点，所以EF ∥PA .又因为PA ⊄平面CEF ，所以PA ∥平面CEF .10.如图，四棱锥P ­ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面PAC .证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC . 因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点．又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC.[B级能力突破]1．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①m∥n或m，n异面，故①错误；②根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知②正确；③m∥α或m⊂α，m∥β或m⊂β，故③错误；④根据面面垂直的性质以及面面平行的判定可知④错误，所以真命题的个数为1，故选B.2．如图所示，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是 (填上所有正确的序号)．①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.解析：取AE的中点F，连接MF，NF，则MF∥DE，NF∥AB∥CE，从而平面MFN∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；又AE⊥MF，AE⊥NF，所以AE⊥平面MFN，从而AE⊥MN，②正确；又MN与AB是异面直线，则③错误．答案：①②3．如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD＝4，BD＝43，AB＝2CD＝8.(1)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；(2)求四棱锥P ­ABCD 的体积．解：(1)证明：在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝43，AB ＝8，∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD .(2)过点P 作PO ⊥AD 于O ，则PO ⊥AD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD .即PO 为四棱锥P ­ABCD 的高．又△PAD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝4×32＝2 3. 在Rt△ADB 中，斜边AB 上的高为4×438＝23，此即为梯形ABCD 的高． ∴S 梯形ABCD ＝4＋82×23＝12 3. ∴V P ­ABCD ＝13×123×23＝24. 4．如图，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝4，AE ＝2，EF ＝1.(1)求证：BC ⊥AF ；(2)若点M 在线段AC 上，且满足CM ＝14CA ，求证：EM ∥平面FBC ； (3)试判断直线AF 与平面EBC 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 解：(1)证明：因为EF ∥AB ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA ⊥BC .由已知得AB ⊥BC 且EA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面EABF .又AF ⊂平面EABF ，所以BC ⊥AF .(2)证明：如图，过点M 作MN ⊥BC ，垂足为点N ，连接FN ，则MN ∥AB .因为CM ＝14AC ，所以MN ＝14AB .又EF ∥AB 且EF ＝14AB ，所以EF ═∥MN ， 所以四边形EFNM 为平行四边形，所以EM ∥FN .又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，所以EM ∥平面FBC .(3)直线AF 垂直于平面EBC .证明如下：由(1)可知，AF ⊥BC .在四边形ABFE中，AB＝4，AE＝2，EF＝1，∠BAE＝∠AEF＝90°，所以tan∠EBA＝tan∠FAE＝12，则∠EBA＝∠FAE.设AF∩BE＝P，因为∠PAE＋∠PAB＝90°，所以∠PBA＋∠PAB＝90°，则∠APB＝90°，即EB⊥AF.又EB∩BC＝B，所以AF⊥平面EBC.。

2018年高考数学(人教A版)一轮复习课时分层提升练七2-4指数函数Word版含解析

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课时分层提升练七指数函数(30分钟65分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2017·宜春模拟)已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于( )A.5B.7C.9D.11【解析】选B.因为f(x)=2x+2-x,f(a)=3,所以2a+2-a=3.所以f(2a)=22a+2-2a= (2a+2-a)2-2=9-2=7.2.(2017·长沙模拟)下列函数中值域为正实数的是( )A.y=-5xB.y=C.y=D.y=【解析】选B.A中,y=-5x≤0,B中,因为1-x∈R,y=的值域是正实数,所以y=的值域是正实数,C中,y=≥0,D中,y=,由于2x>0,故1-2x<1,又1-2x≥0,故0≤y<1,故符合条件的只有B.3.(2017·甘肃模拟)若函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在[-2,1]上的最大值为4,最小值为b,且函数g(x)=(2-7b)x是减函数,则a+b= ( ) A.1 B.2 C. D.【解析】选A.当a>1时,f(x)=a x是增函数,f(1)=a=4,则b=f(-2)=4-2=,此时2-7b=2->0,g(x)为增函数,不合题意,当0<a<1时,f(x)=a x是减函数,f(-2)=a-2=4,a=,则b=f(1)=,此时2-7b=2-<0,g(x)为减函数,符合题意,所以a+b=1.【加固训练】函数y=2x-2-x是( )A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减【解析】选A.令f(x)=2x-2-x,则f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,排除C,D.又函数y=-2-x,y=2x均是R上的增函数,故y=2x-2-x在R上为增函数.4.(2017·益阳模拟)已知a=,b=,c=,则下列关系式中正确的是( )A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c【解析】选B.把b化简为b=,而函数y=在R上为减函数,>>,所以<<,即b<a<c.5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]【解析】选B.由f(1)=得a2=.又a>0,所以a=,因此f(x)=.因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).6.函数y=+1的图象关于直线y=x对称的图象大致是( )【解析】选A.由题意知,函数y=+1的图象过点(0,2),关于直线y=x对称的图象一定过(2,0)这个点.由于原函数为减函数,故所求函数也为减函数,由此可以排除B,C,D.7.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}= ( )A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}【解析】选B.f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=f(-x)=2-x-4.所以f(x)=当f(x-2)>0时,有或解得x>4或x<0.二、填空题(每小题5分,共10分)8.已知函数f(x)=a2x-4+n(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(m,2),则m+n= .【解析】当2x-4=0,即x=2时,y=1+n,即函数图象恒过点(2,1+n),又函数图象恒过定点P(m,2),所以m=2,1+n=2,即m=2,n=1,所以m+n=3. 答案:39.(2017·石家庄模拟)方程=3的解是.【解析】由=3得,1+3-x=3+3×3x,即3×(3x)2+2×3x-1=0,即(3x+1)(3×3x-1)=0,所以3x=,x=-1.答案:-1【加固训练】1.(2017·广州模拟)已知0≤x≤2,则y=-3·2x+5的最大值为.【解析】令t=2x,因为0≤x≤2,所以1≤t≤4,又y=22x-1-3·2x+5,所以y=t2-3t+5=(t-3)2+,因为1≤t≤4,所以t=1时,y max=.答案:【误区警示】解决本题易忽视换元后新元的取值范围致误,如本题令t=2x后,若忽视t的取值范围,则会误认为t∈R或t∈[0,2],从而出现错误.2.函数f(x)=的值域为.【解析】令t=x2-2x,则有y=f(x)=,根据二次函数的图象可求得t ≥-1,结合指数函数y=的图象可得0<y≤,即0<y≤4.答案:(0,4]三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2017·太原模拟)计算:(·)6-4-·80.25-(-2017)0.【解析】原式=·-4×-·-1=22·33-7-2-1=98.11.化简:÷×.【解析】原式=÷×=××=×a×=a2.(20分钟40分)1.(5分)(2017·保定模拟)已知2x=7y=k,-=4,则k的值是( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意x=log2k,y=log7k,所以-=-=log k2-log k7=log k=4,k4=,k=.2.(5分)(2017·南昌模拟)设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有( )A.f<f<fB.f<f<fC.f<f<fD.f<f<f【解题提示】根据f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(x)=f(2-x),由此可把f,f转化为[1,+∞)上的函数值.【解析】选B.由已知条件可得f(x)=f(2-x).所以f=f,f=f.又因为f(x)=3x-1在[1,+∞)上递增,所以f>f>f.即f>f>f.【方法技巧】比较函数值大小的方法(1)单调性法:先利用相关性质,将待比较函数值调节到同一单调区间内,然后利用该函数在该区间上的单调性比较大小.(2)图象法:先利用相关性质作出函数的图象,再结合图象比较大小.3.(5分)已知函数f(x)=2x-,函数g(x)=则函数g(x)的最小值是.【解析】当x≥0时,g(x)=f(x)=2x-为单调增函数,所以g(x)≥g(0)=0;当x<0时,g(x)=f(-x)=2-x-为单调减函数,所以g(x)>g(0)=0,所以函数g(x)的最小值是0.答案:04.(12分)(2017·岳阳模拟)已知函数f(x)=x.(1)讨论f(x)的奇偶性.(2)求证:f(x)>0.【解析】(1)因为2x-1≠0,所以x≠0,所以定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因为f(x)=,所以f(-x)====f(x).因为定义域关于原点对称,所以f(x)是偶函数.(2)当x>0时,2x>1.所以f(x)=x>0.又f(x)在定义域上是偶函数,由偶函数图象关于y轴对称知,当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)>0,所以在定义域上恒有f(x)>0.5.(13分)已知定义在R上的函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=,求x的值.(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)当x<0时,f(x)=,无解;当x≥0时,f(x)=2x-,由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0,看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或2x=-,因为2x>0,所以x=1.(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1),因为22t-1>0,所以m≥-(22t+1),因为t∈[1,2],所以-(22t+1)∈[-17,-5],故m的取值范围是[-5,+∞).关闭Word文档返回原板块。

2018届高考数学(文)大一轮复习课时分层训练第3章三角函数、解三角形第7节课时分层训练23Word版含答案

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课时分层训练(二十三)正弦定理、余弦定理应用举例A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图3­7­9所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A 在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )【导学号：31222135】图3­7­9A．a km B.3a kmC.2a km D．2a kmB2．如图3­7­10，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )图3­7­10A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°D3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( ) 【导学号：31222136】A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里A4．如图3­7­11，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为 ( )图3­7­11A．8 km/h B．6 2 km/hC．234 km/h D．10 km/hB5．如图3­7­12，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ( )图3­7­12A．30° B．45°C．60°D．75°B二、填空题6．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．【导学号：31222137】167．如图3­7­13，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC ＝45°，则塔AB的高是________米. 【导学号：31222138】图3­7­1310 68．如图3­7­14所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．图3­7­1463三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)图3­7­15在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°，∠ABD ＝45°， ∴∠ADB ＝45°，∴AD ＝AB ＝80，∴BD ＝80 2.3分 在△ABC 中，BC sin 30°＝ABsin 45°，∴BC ＝AB sin 30°sin 45°＝80×1222＝40 2.6分在△DBC 中，DC 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 60° ＝(802)2＋(402)2－2×802×402×12＝9 600.∴DC ＝406，航模的速度v ＝40620＝26米/秒. 12分10．如图3­7­16，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．图3­7­16(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．(1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.3分 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28. 所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/小时.7分(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，9分 即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.12分 B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m 到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( ) 【导学号：31222139】A．50 m B．100 mC．120 m D．150 mA2．(2014·全国卷Ⅰ)如图3­7­17，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.图3­7­171503．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．图3­7­18在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝1003，连接QM(图略)，在△PQM中，∠QPM＝60°，3分又PQ＝1003，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100 3.6分在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，∴BQ＝1005，cos θ＝55.9分在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA＝100 5.即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米.12分。

(江苏专用)2018高考数学一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第38课 直接证明与间接证明课时分层训练

第七章数列、推理与证明第38课直接证明与间接证明课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的个数有____________．(填序号)①②③④⑤[由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．]2．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理实数根，则a，b，c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是____________．(填序号)①假设a，b，c至多有一个是偶数；②假设a，b，c至多有两个偶数；③假设a，b，c都是偶数；④假设a，b，c都不是偶数．④[“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a，b，c都不是偶数．]3．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是____________.【导学号：62172207】①ac2<bc2；②a2>ab>b2；③1a<1b；④ba>ab.②[a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab.又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，即a2>ab>b2.]4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac <3a”索的因应是________．(填序号)①a－b>0; ②a－c>0；③(a－b)(a－c)>0; ④(a－b)(a－c)<0.③[由题意知b2－ac<3a⇐b2－ac<3a2⇐(a＋c)2－ac<3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇐－2a 2＋ac ＋c 2<0 ⇐2a 2－ac －c 2>0⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0.]5．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设__________．x ≠－1且x ≠1 [“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”．]6．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是__________．m <n [法一(取特殊值法)：取a ＝2，b ＝1，得m <n .法二(分析法)：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．]7．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab≥2成立的条件的个数是__________．3 [要使b a ＋a b ≥2，只要b a >0，且a b>0，即a ，b 不为0且同号即可，故有3个．] 8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)____________0.(填“>”“<”或“＝”) 【导学号：62172208】< [∵x 1＋x 2>0，∴x 1>－x 2，又f (x )是奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减， 故f (x )在R 上单调递减， 故f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)， 所以f (x 1)＋f (x 2)<0.]9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为____________．A ≤B ≤C [∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数．∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C .] 10．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2…，x n ，有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sinx 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为____________．332[∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 且A 、B 、C 、∈(0，π)，∴f A ＋f B ＋f C3≤f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.]二、解答题11．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . [证明] 要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立， 只需证：2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0， 即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0， 即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.∵a ≥b >0，∴a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0， 从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立， ∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .12．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列；(2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？ 【导学号：62172209】 [解] (1)证明：假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3， 即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列； 当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3， 即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)， 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列； 当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy____________.(填序号) ①都大于2; ②至少有一个大于2；③至少有一个不小于2; ④至少有一个不大于2.③ [因为x >0，y >0，z >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋z x ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.]2．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则下列说法正确的是____________．(填序号)①△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形； ②△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形；③△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形； ④△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形；④ [由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形． 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．]3．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N ＋)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N ＋)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <16.[解] (1)由已知可得，当n ∈N ＋时，a n ＋1＝a n3a n ＋1.两边取倒数得，1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n＋3，即1a n ＋1－1a n＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝2，公差为3的等差数列，其通项公式为1a n ＝1a 1＋(n －1)×3＝2＋(n －1)×3＝3n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1.(2)证明：由(1)知a n ＝13n －1，故b n ＝a n a n ＋1＝13n －1×1n ＋－1＝1n －n ＋＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－18＋…＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝16－13×13n ＋2. 因为13n ＋2>0，所以T n <16.4．若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值；(2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题设得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ， 即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3.因为b >1，所以b ＝3. (2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a >－2)上是“四维光军”函数， 因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧h a ＝b ，h b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．。

2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课时规范训练：《第七章 立体几何》7-1 Word版含解析

课时规范训练A组基础演练1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有()A．20B．15C．12 D．10解析：选D.如图，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱解析：选D.球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥O-ABC，当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何设置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.3．如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图．在主视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的左视图是( )解析：选B.由直观图和主视图、俯视图可知，该几何体的左视图应为面P AD ，且EC 投影在面P AD 上，故B 正确．4．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析：选 C.注意到在三视图中，俯视图的宽度应与左视图的宽度相等，而在选项C 中，其宽度为32，与题中所给的左视图的宽度不相等，C 不可能．5．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为()解析：选B.还原正方体，如图所示，由题意可知，该几何体的主视图是选项B.6．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD 平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为()A．4 cm2B．4 2 cm2C．8 cm2D．8 2 cm2解析：选C.依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC、AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2. 7．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A-BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()A.22B.12C.24D.14解析：选D.由正视图与俯视图可得三棱锥A -BCD 的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为22，所以侧视图的面积为S ＝12×22×22＝14，选D.8．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( ) A.32B ．1 C.2＋12 D. 2解析：选 D.由题意可知该正方体的放置如图所示，侧视图的方向垂直于面BDD 1B 1，正视图的方向垂直于面A 1C 1CA ，且正视图是长为2，宽为1的矩形，故正视图的面积为2，因此选D.9．如图，E 、F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AD 1、B 1C 上的动点(不含端点)，则四边形B 1FDE 的俯视图可能是( )解析：选B.由画几何体的三视图的要求可知，点E在底面的正投影应落在线段A1D1上(不含端点)，点F在底面的正投影应落在线段B1C1上(不含端点)，而B1与D在底面的正投影分别为B1和D1，故四边形B1FDE在底面ABCD上的正投影为四边形，结合选项知选B.10．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.还原正方体，如图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°.B组能力突破1．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为()A．2 3 B. 3C．2 2 D．4解析：选A.观察三视图可知，该几何体是正三棱柱，底面边长、高均为2，所以，其左视图是一个矩形，边长分别为2,2sin 60°＝3，其面积为2 3.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．12 B．18C．24 D．30解析：选C.由三视图还原几何体知，该几何体如图所示，其体积V ＝VB 1-ABC ＋VB 1-A 1ACC 1＝13×12×3×4×2＋13×3×5×4＝24.3．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正视图的面积为2 3.答案：2 34．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为________．解析：由题意知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，设平行四边形OABC的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′，∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2. 答案：24 25．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P -ABC 的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为________．解析：如题图所示，设正方体的棱长为a ，则三棱锥P -ABC 的正(主)视图与侧(左)视图都是三角形，且面积都是12a 2，所以所求面积的比值为1. 答案：16．如图，三棱锥A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB ＝BC ＝CD ＝2，则该三棱锥的侧视图(投影线平行于BD )的面积为________．解析：∵AB ⊥平面BCD ，投影线平行于BD ，∴三棱锥A -BCD 的侧视图是一个以△BCD 的BD 边上的高为底，棱锥的高为高的三角形，∵BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝CD ＝2，∴△BCD 中BD 边上的高为2，故该三棱锥的侧视图(投影线平行于BD )的面积S ＝12×2×2＝ 2. 答案： 2。

[配套K12]2018高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第4节 垂直关系课时分层训练 文 北师大版

课时分层训练(三十九) 垂直关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·西安六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且mαB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥βC[由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．]2．(2017·天津河西模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB[A中，α∥β或α与β相交，不正确．B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确．C中，l∥β或lβ，C不正确．对于D中，l与β的位置关系不确定．]3．如图7­4­10，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立．．．的是( )图7­4­10A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABCD[因为BC∥DF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．] 4．(2017·南昌二模)已知α，β是两不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n异面”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[分别垂直于两个相交平面的两条直线可能异面，也可能相交，所以“α，β相交”不一定有“直线m，n异面”；而当直线m，n异面时，两个平面不可能平行，否则若α∥β，则必有m∥n，与直线m，n异面矛盾．因此“α，β相交”是“直线m，n异面”的必要不充分条件，故选B.]5．如图7­4­11，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )图7­4­11A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDEC[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]二、填空题6．如图7­4­12所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC等) [由定理可知，BD⊥PC.图7­4­12∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC 平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .]7．如图7­4­13，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是________．【导学号：66482338】图7­4­13π3[取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥平面BB 1C 1C . 所以∠ADE 为直线AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设三棱柱的所有棱长为a ， 在Rt △AED 中，AE ＝32a ，DE ＝a 2. 所以tan ∠ADE ＝AE DE ＝3，则∠ADE ＝π3.故AD 与平面BB 1C 1C 所成的角为π3.]8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)②③④ [对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l α，n ∥l ，又m ⊥α，所以m ⊥l ，所以m ⊥n ，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m α，所以m ，β没有公共点，由线面平行的定义可知m ∥β，故正确．对于④，因为m ∥n ，所以m 与α所成的角和n 与α所成的角相等．因为α∥β，所以n 与α所成的角和n 与β所成的角相等，所以m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故正确．]三、解答题9. (2015·北京高考)在三棱锥V ­ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．图7­4­14(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V ­ABC 的体积．[解] (1)证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB . 3分又因为VB 平面MOC ，所以VB ∥平面MOC . 5分 (2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB . 又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC 平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB .所以平面MOC ⊥平面VAB . 8分(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 9分 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C ­VAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V ­ABC 的体积与三棱锥C ­VAB 的体积相等，所以三棱锥V ­ABC 的体积为33. 12分10．⊙O 的直径AB ＝4，点C ，D 为⊙O 上两点，且∠CAB ＝45°，F 为BC 的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图7­4­15②)．①②图7­4­15(1)求证：OF∥平面ACD；(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，1分又因为F为的中点，所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，3分又AC平面ACD，OF平面ACD，所以OF∥平面ACD. 5分(2)存在，E为AD中点，因为OA＝OD，所以OE⊥AD. 7分又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．所以OC⊥平面OAD. 9分又AD平面OAD，所以AD⊥OC，由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，所以AD⊥平面OCE.又AD平面ACD，所以平面OCE⊥平面ACD. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·贵州贵阳二模)如图7­4­16，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是( )图7­4­16A．O是△AEF的垂心B ．O 是△AEF 的内心C ．O 是△AEF 的外心D ．O 是△AEF 的重心A [由题意可知PA ，PE ，PF 两两垂直， 所以PA ⊥平面PEF ，从而PA ⊥EF ，而PO ⊥平面AEF ，则PO ⊥EF ，因为PO ∩PA ＝P ， 所以EF ⊥平面PAO ，所以EF ⊥AO ，同理可知AE ⊥FO ，AF ⊥EO ， 所以O 为△AEF 的垂心．]2．如图7­4­17，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .图7­4­17【导学号：66482339】a 或2a [∵B 1D ⊥平面A 1ACC 1，∴CF ⊥B 1D .为了使CF ⊥平面B 1DF ，只要使CF ⊥DF (或CF ⊥B 1F )． 设AF ＝x ，则CD 2＝DF 2＋FC 2，∴x 2－3ax ＋2a 2＝0，∴x ＝a 或x ＝2a .]3．(2016·四川高考)如图7­4­18，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .图7­4­18(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .[解] (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点． 理由如下：连接CM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 2分 所以四边形AMCB 是平行四边形， 所以CM ∥AB .又AB 平面PAB ，CM 平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)5分 (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD . 8分 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ， 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB .又BD 平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD . 12分。

2018年高考数学人教A版一轮复习课时分层提升练 四十二 7-4直线、平面平行的判定及其性质 含解析 精品

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课时分层提升练四十二直线、平面平行的判定及其性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017·烟台模拟)已知l,m,n是三条不重合的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,给出下列四个命题:①若m∥n,n⊂α,则m∥α;②若直线m,n与平面α所成的角相等,则m∥n;③存在异面直线m,n,使得m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.对于①,m也可能在α内,①错误;对于②,直线m,n也可能相交或异面,②错误;对于③,命题成立;对于④,因为l∥γ,l⊂α,α∩γ=n,所以l∥n,同理l∥m,所以m∥n,④正确.综上可知③④正确.2.(2017·南昌模拟)已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,有下列命题:①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;③若m,n是两条异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.若m⊥n,m⊥α,则直线n与平面α平行或在平面α内,所以①错误;若m⊥α,n⊥β,m∥n,则n⊥α,垂直于同一直线的两平面平行,所以α∥β,所以②正确;若m,n是两条异面直线,过空间内一点O作m′∥m,n′∥n,则m′,n′确定一个平面γ,若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥γ,β∥γ,所以α∥β,则③正确;由线面垂直的判定定理可知④正确.3.下面四个正方体图形中,点A,B为正方体的两个顶点,点M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是( )A.①②B.①④C.②③D.③④【解析】选A.由线面平行的判定定理知①②可得出AB∥平面MNP.4.在三棱锥P-ABC中,点D在PA上,且PD=错误！未找到引用源。

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1
课时分层训练(四十)
空间点、直线、平面之间的位置关系
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2015·湖北高考)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，
q：l1，l2不相交，则( )
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
A [若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行
直线或异面直线，故p⇒q，qD⇒/p，故p是q的充分不必要条件．]
2．已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，
则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个
数为( )
A．0 B.1
C．2 D.3
B [法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还
可能异面，所以①②错，③显然成立．
法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确．]
3．(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，
β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行
B．相交或异面
C．平行或异面
2

D．相交、平行或异面
D [依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．]
4．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，
则下列结论一定正确的是( )
【导学号：01772251】
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
D [如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若
l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.

若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为
l4，则l1与l4相交且垂直．
因此l1与l4的位置关系不能确定．]
5．(2017·河北师大附中月考)三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与AC、AB所成的
角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，则A1B与AC1所成角的正弦值为
( )

A．1 B.13

C.33 D.63
D [如图所示，把三棱柱补形为四棱柱ABDC-A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，
则BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角，设A1B＝a，在△

A1BD1中，A1B＝a，BD1＝3a，A1D1＝2a，∴sin∠A1BD1＝63.]
3

二、填空题
6.如图7-3-7所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C
的中点，有以下四个结论：

图7-3-7
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)
③④ [由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与
MB1为异面直线．
因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，
且角为60°.]
7. (2017·佛山模拟)如图7-3-8所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的
中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．

图7-3-8
60° [取A1C1 的中点E，连接B1E，ED，AE，
4

在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，
设AB＝1，则A1A＝2，AB1＝3，B1E＝32，AE＝32，故∠AB1E＝60°.]
8．如图7-3-9，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥
CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
【导学号：01772252】

图7-3-9
4 [取CD的中点为G(图略)，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所
在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平
面内，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线
EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]
三、解答题
9.如图7-3-10所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C
1

的中点．问：

图7-3-10
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
[解] (1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.
5

因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.2分
又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线.5分
(2)直线D1B和CC1是异面直线.6分
理由：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设
D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，10分
这与B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假设不成立，
即D1B和CC1是异面直线.12分
10．如图7-3-11所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中

点．已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2.求：

图7-3-11
(1)三棱锥P-ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．

[解] (1)S△ABC＝12×2×23＝23，
三棱锥P-ABC的体积为
6

V＝13S△ABC·PA＝13×23×2＝433.5分
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面
直线BC与AD所成的角(或其补角).8分

在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，cos∠ADE＝22＋22－22×2×2＝34.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为34.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·南昌二模)设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确
的是( )
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α
C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α
D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α
B [若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；
若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；
若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误．]
2.如图7-3-12，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，
且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF
所成的角的余弦值为________.
【导学号：01772253】
7

图7-3-12
3
6
[取DE的中点H，连接HF，GH.

由题设，HF綊12AD，
∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．
在△GHF中，可求HF＝2，
GF＝GH＝6，

∴cos∠GFH＝22＋62－622×2×6＝36.]
3．(2016·广州模拟)已知三棱锥A-BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成
60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．
[解] 如图，取AC的中点P.连接PM，PN，又点M，N分别是BC，AD的
中点，

则PM∥AB，且PM＝12AB，
PN∥CD，且PN＝12CD，
所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角).6分
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，
①若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其
补角)．
又因为AB＝CD，所以PM＝PN，
8

则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，
即AB和MN所成的角为60°.9分
②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形，
所以∠PMN＝30°，即AB和MN所成的角为30°.
综上，直线AB和MN所成的角为60°或30°.12分

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