(完整)第十六章分式知识点和典型例习题,推荐文档.docx
人教版八年级数学第十六章分式知识点总结
第十六章 分式知识点及典型例子一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，且B 中含有未知数，那么式子BA 叫做分式。
二、在分式中，如果________,则分式AB 有意义；如果________,则分式A B无意义；如果________且_________不为零时，则分式A B的值为零；如果__________,则分式0A B > 如果____________,则分式0A B <； 例1.下列各式aπ，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
例2.下列分式，当x 取何值时有意义。
（1）2132x x ++； （2）2323x x +-。
例3. 当x________时，分式2134x x +-的值为正数，当x________时，分式2134x x +-的值为负数 例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
当x_________时，分式2361x x -+的值为负数。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变,用字母表示为_________________________________.分式的分子、分母和分式本身的符号改变其中任何____个，分式的值不变.四、约分：把分式的分子与分母的公因式约去，这样的分式变形叫做分式的约分，约分的理论依据是分式的___________________。
约分的方法：分式的分子与分母同除以他们的公因式，如果分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的__________;如果分式的分子或分母是多项式，就先__________,再判断公因式进行约分。
最简分式：分子与分母没有____________的分式，叫做最简分式。
（注意约分一定要彻底）五、通分：利用分式的基本性质把几个异分母的分式化为_________的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
第十六章分式全章总结
全章总结一、知识结构图二、专题总结 （一）知识技能专题 ◆专题1：分式运算的常用技巧专题概说：分式的知识通过类比会发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知.由分数的定义、基本性质、通分、约分、分数的加减乘除等运算法则类比引入学习分式的相关知识.从分数的一些运算技巧类比引入了分式的运算技巧，无一不体现类比思想的重要性，同时运算也是中考的重要内容例1：化简 34241211111x x x x x x +++++-+解：原式=2234241211111x x x x x x x x ++++-++--=2342412121x x x x x x ++++- =2243441)1)412(12(1x x x x x x x x +--+++- =33444141x x x x -++ =344388(1)(1)4141x x x x x x +---+ =7881x x - 点拨：有些异分母分式相加，最简公分母很复杂，如果采用一般方法先通分再加减会很繁琐，甚至无法求出结果，本题先把前面两个分式相加减，再把所得结果与第三个分式相加减，顺次运算下去，即顺次相加法，就容易解决例2：计算：1111+(1)(1)(2)(2)(3)(2009)(2010)a a a a a a a a ++++++++++…解：原式=1111----12320101111+122009a a a a a a a a ++++++++++（））））（（…（ =1111----12320101111+122009a a a a a a a a ++++++++++… =120101a a +—=2010(2010)a a +=220102010a a+ 点拨：对于分子相同，分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，这样的分式无法进行通分，因此，可以用公式：111(1)1n n n n =-++，这样可以抵消一些项，即巧用裂项法；要注意裂项法计算时可能会出现公式：1111(()n n k k n n k=-++）●专题1的即时练习1．计算：2411241-111x x x x ++++++ 2．计算：1271651231222++++++++x x x x x x◆专题2：与增根有关的问题专题概说：分式方程我们通常转化为已经学习过的整式方程来解决．在去分母时，方程两边同时乘以所有分母的最简公分母．这种转化可能是等价转化，也就是说转化前的分式方程的解与转化后的整式方程的解完全一致；也可能是非等价转化，即在将分式方程转化为整式方程的过程中，x 的的取值范围发生了变化，这时整式方程的解不一定是原分式方程的解，这种解题过程中增加的根称为分式方程的增根． 例3：a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根？ 解： 在方程两边同时乘以(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x ax x ++=-整理，得(1)10a x -=- 如果方程有增根，则x=2或-2当x=2时，(1)210a -⨯=-，解得4a =- 当x=-2时，(1)(2)10a -⨯-=-，解得6a = 所以，当46a =-或时，原方程会产生增根点拨：分式方程的增根是使最简公分母为零的根，但增根一定是由分式方程得到的整式方程的根。
新人教版八年级数学下册第十六章分式知识点总结
第十六章 分式知识点及典型例子一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
例1.下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b--，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.下列分式，当x 取何值时有意义。
（1）2132x x ++； （2）2323x x +-。
例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。
A ．121x +B ．21x x +C ．231x x +D ．2221x x + 例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
例5.已知1x -1y =3，求5352x xy y x xy y+---的值。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ）四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。
例6.不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。
例7.不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。
例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y-++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。
例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+- 例10.通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a - 例11.已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x 的值． C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=例12.已知x+1x =3，求2421x x x ++的值． 五、分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式分类总结
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
分式知识点整理
用心教育个性化辅导讲义第十六章 分式知识点整理 1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
例1.下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
例2.下列分式，当x 取何值时有意义。
（1）2132x x ++； （2）2323x x +- 变式练习：已知2-=x 时，分式ax b x +-无意义，4=x 时，分式的值为零，则____=+b a 。
例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。
A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x + 例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ）例5.不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。
例6.不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。
3.分式的通分和约分：关键先是分解因式例7.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y-++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。
例8.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+- A A C B B C •=•A A C B B C ÷=÷例9.通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a - 例10.已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x 的值． 例11.已知x+1x=3，求2421x x x ++的值．4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
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第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲分式的运算【知识要点】 1. 分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值 ( 通分与约分 )4.幂的运算法则【主要公式】 1. 同分母加减法则:b c b c a0a a a2. 异分母加减法则 :b d bc da bc daa 0, c 0 ;a c ac ac ac3. 分式的乘法与除法b d bd bc bd bd:?ac,d a?aca c a c4.同底数幂的加减运算法则 : 实际是合并同类项5. 同底数幂的乘法与除法m n=am+n mn m－n; a●a; a÷a =a6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a m b n, (a m)n=a mn7. 负指数幂 :a-p =1p a0=1a8.乘法公式与因式分解: 平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a±b) 2= a 2±2ab+b2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义b , x2y 21【例 1】下列代数式中：x ,1x y,a,xy ，是分式的有：.2a b x y x y题型二：考查分式有意义的条件【例 2】当x有何值时，下列分式有意义（ 1）x 4（2）3x（ 3）x2（ 4）6 x（ 5）1x 4x2221| x | 3x1x题型三：考查分式的值为0 的条件【例 3】当x取何值时，下列分式的值为0.（ 1）x 1（2） | x | 2（3） x22x 3x 3x24x2 5 x6题型四：考查分式的值为正、负的条件【例 4】（ 1）当x为何值时，分式4为正；8x（ 2）当x为何值时，分式35x为负；(x1)2（ 3）当x为何值时，分式x2为非负数 .x3练习：1．当 x 取何值时，下列分式有意义：（ 1）1（2）3 x（ 3）16 | x | 311( x 1) 21x2．当 x 为何值时，下列分式的值为零：（ 1） 5 | x1 |（2）25 x 2x 426x5x3．解下列不等式（ 1） | x | 2（2）x 53 0x 1x 2 2x（二）分式的基本性质及有关题型A A M A M 1．分式的基本性质：B B MB Ma a a a 2．分式的变号法则：bbbb【例 4】已知： x12 ，求 x 21 的值 .xx 2【例 5】若 | x y1 | ( 2x 3)20 ，求1 的值 .4x 2 y练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数 .（ 1） 0.03x 0.2y0.4a 3 b（2） 1 50.08x 0.5y1ab4102．已知： x1 3 ，求 x 2的值 .xx 2x 4 13．已知：11 3 ，求 2a 3ab2b的值 .abb ab a 4．若 a22a b26b 100 ，求 2ab的值 .3a 5b5．如果 1x2 ，试化简| x2 | x 1 | x | .2 x | x 1|x题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（三）分式的运算1 x2 y （2） 0.2a0.03b1．确定最简公分母的方法：（ 1） 2 31 x 1 y0.04a b①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；3 4②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.题型二：分数的系数变号2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.（ 1） x y（ 2）a （ 3）a题型一：通分x ybba题型三：化简求值题【例 1】将下列各式分别通分 .【例 3】已知：1 1 5 ，求2x 3xy 2y 的值 .cbaa bxy x 2xyy（ 1） 2ab ,3a 2c ,5b 2 c；（ 2） a b,2b 2a ；提示：整体代入，①x y3xy ，②转化出1 1（ 3） 1 x2 ；（ 4） a 2,1x y .x2,1 2x x2 ,x 2xx 22 a题型二：约分【例 2】约分：（ 1） 16 x 2y ；（ 3） n2m 2 ；（3） x2x 2 .20xy 3m nx 2 x 6题型三：分式的混合运算【例 3】计算：（ 1） ( a2b)3( c 2 )2(bc) 4；（ 2） ( 3a3) 3 (x2y 2) (yx) 2；c abax yy x（ 3）m 2nnn 2m ； （ 4） a21a 1 ；n m m n ma （ 5） 1 1 2 x4x 3 8 x 71 x 21 x4；1 x 1 x1 x8（ 6）111；(x 1)( x1) (x 1)( x3) ( x3)( x 5)（ 7） (x 2 44 x 1) ( x22x )x 24x2x 1题型四：化简求值题【例 4】先化简后求值（ 1）已知： x1 ，求分子 1x 284 [(x 2 4 1) ( 1 1)] 的值；4x 2 x（ 2）已知：xy z ，求 xy 2 yz 3xz 的值；234x2y2z2（ 3）已知：231 021 1a，试求 (aa2)(aa ) 的值 .a题型五：求待定字母的值【例 5】若13x M N ，试求 M , N 的值 .x 2 1x 1x 1练习：1．计算（ 1）2a 5a 1 2a 3 ； （ 2） a 2bb 2 2ab ；2(a 1)2(a 1)2(a 1)a b a （ 3）ab ca 2b3cb2c；（ 4） ab2b 2 ；a b cb c ac a b a b4ab 4ab ) ；（ 6）11 2 ；（ 5） (a b )( a b1 x1 x 2a b a b1 x（ 7）121.( x 2)( x3)( x 1)( x 3)( x 1)(x2)2．先化简后求值（ 1）a1a24 1，其中 a 满足 a 2a 0 .a2 a 22a 1a 21（ 2）已知 x : y 2 : 3 ，求 (x 2y 2) [( xy ) (xy )3 ] x 的值 .xyxy 23．已知：5 x 4AB ，试求 A 、 B 的值 .(x 1)( 2x 1) x12x14．当 a 为何整数时，代数式399a805的值是整数，并求出这个整数值 .a 2（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例 1】计算：（ 1） (a2 ) 3(bc 1)3 （ 2） (3x 3 y 2 z1 )2 (5xy 2 z3 ) 2（ 3） [ (a b) 3(ab) 5 ] 2 （ 4） [( x y) 3 (xy) 2 ]2 (x y) 6(a b)2(ab) 4题型二：化简求值题【例 2】已知 xx15 ，求（ 1） x 2x 2 的值；（ 2）求 x 4x 4的值 .题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：（1）(3103)(8.2102)2；（ 2）(4 103)2(21023.【例 2】解下列方程)练习：（ 1）x4x 44；（2） x 7 x 9 x 10 x 6 x 1x x 6 x 8x 9x 51．计算：（ 1）(11)(1)2 | 1 |(1 3 )0(0.25)200742008提示：（1）换元法，设x y ；（2）裂项法，x711. 3553x1x6x6（2）(313n2)2(m2n)3【例 3】解下列方程组m(2ab 2 ) 2(a 2 b) 2111(1)（3）x y2 (3a3 b2 )(ab 3 )2111( 2)y z3（4） [4( x y)2( x y)2]2111(3) 2z x4 [2( x y)1(x y)]2．已知 x25x10 ，求（ 1） x x 1，（ 2） x2x 2的值 .题型三：求待定字母的值第二讲分式方程【例 4】若关于x的分式方程21m有增根，求 m 的值.x3x3【知识要点】 1.分式方程的概念以及解法;【例 5】若分式方程2x a1的解是正数，求a 的取值范围.x22. 分式方程产生增根的原因2a 3. 分式方程的应用题提示：0且 x 2 ， a 2 且 a 4 .x3【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数;题型四：解含有字母系数的方程2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母 .3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 .【例 6】解关于x的方程（一）分式方程题型分析x a c(c d0)题型一：用常规方法解分式方程b x d【例 1】解下列分式方程提示：（1） a,b,c, d 是已知数；（ 2） c d0 .（ 1）13；（ 2）210 ；（3）x 14 1 ；（ 4）5 x x 5题型五：列分式方程解应用题x1x x3x x 1x21x 3 4 x练习：提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记1．解下列方程：验根 .（ 1）x 12 x0 ；（ 2）x24；题型二：特殊方法解分式方程x 1 1 2 x x3x3（ 3）2x232 2 ；（4）7 31 7 x 2xxx 2x x x 2x 21（ 5） 5x 4 2x 5 1（6） 11 112x 4 3x 2 2x 1 x 5 x 2 x 4（ 7）x x 9 x 1 x 8x2x7x1 x62．解关于 x 的方程：（ 1）11 2 (b 2a) ；（ 2） 1 a1 b(a b) .ax ba xb x3．如果解关于 x 的方程k 2x会产生增根，求 k 的值 .x 2x24．当 k 为何值时，关于x 的方程x3k1 的解为非负数 .x2 (x 1)( x 2)5．已知关于 x 的分式方程2a1 a 无解，试求 a 的值 .x1（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程， 通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例 1．解方程：1x 3x 2二、化归法例 2．解方程：121 x 21 x三、左边通分法例 3：解方程：x8 1 x 8 x7 7四、分子对等法例 4．解方程：1a 1b (a b)axbx五、观察比较法例 5．解方程：4 x5 x 2 172 4 x45x六、分离常数法例 6．解方程：x 1 x 8 x 2 x 7x2 x9 x3 x 8七、分组通分法例 7．解方程：1 1 1 1x2 x5 x3 x4（三）分式方程求待定字母值的方法例 1．若分式方程x 1m 无解，求 m 的值。