北京理工大学数学专业应用随机过程期末试题(MTH17096)

北京理工大学2012-2013学年第一学期

2010级《应用随机过程》期末试题A 卷

一、（15分）设随机过程()X t Yt Z =+，其中Y ,Z 是相互独立的()0,1N 随机变量，求()X t 的数学期望，协方差函数和一维概率密度函数。

二、（15分）设在(]0,t 内到达某商店的顾客数()X t 是具有强度（每分钟）为λ的泊松过程，求：（1）5分钟内来到的顾客数为2人的概率；（2）5分钟内到来的平均顾客数；

（3）设T 为首位顾客到达的时间，计算概率()5P T >。

三、（15分）设质点在线段[]1,5的整数点上作随机游动，n X 表示质点在时刻n 所处的位置，其一步转移概率矩阵为：11000221100022100001110033301000P ????????????=????????????

。 （1）若初始分布为11,,0,0,022?? ???

，求质点在时刻n=1的概率分布； （2）试讨论该Markov 链的状态分类及其各常返闭集的平稳分布。

四、（10分）设Markov 链的状态空间{}0,1,2,I = ，转移概率,10,111,i i i i p p a ---==，

1001,1,2,,1i i i a i a ∞

-=<<==∑ 。

（1）试证明该Markov 链是不可约常返链； （2）试给出此链正常返的充要条件，并求出状态0的平均返回时间。

五、（15分）某实验室有两台机器，每台机器发生故障的概率为μ，发生故障后立即修理，且在h 时间内机器从故障到正常的概率为()h o h λ+。令()X t 表示t 时刻正常工作的机器数，则()X t 是一生灭过程。（1）写出()X t 的Q 矩阵；

（2）写出转移概率所满足的Kolmogorov 向前、向后方程；（3）求平稳分布。

六、（15分）设()()cos X t V at =+Θ，其中()0,2,0,1U EV DV πΘ== ，且,V Θ相互独立。（1）证明()X t 是平稳过程；（2）判断()X t 的均值是否具有各态历经性；

（3）判断()2E X t ????

是否具有各态历经性。（假设4EV <∞） 七、（14分）设()X t 是一个实平稳过程，其谱密度为()[]()()

2,1,10,,11,X c s ωωω?∈-?=?∈-∞-+∞?? 。

令()()21Y t X t =+。

（1）求()X t 的自相关函数()X

R τ；

（2）证明()Y t 是平稳过程，并求出()Y t 的谱密度。

北京理工大学2013-2014学年第一学期

2011级《应用随机过程》期末试题A 卷

一、（15分）设随机过程()cos sin X t Y t Z t =+，其中Y ,Z 是相互独立的()0,1N 随机变量，求()X t 的数学期望，协方差函数和一维概率密度函数。

二、（15分）设某台电话在(]0,t 内收到的呼叫次数()X t 是具有强度（每小时）为λ的泊松过程，求：（1）2小时内没有收到呼叫的概率；（2）2小时内收到的平均呼叫次数；

（3）每相邻两次呼叫之间的平均等待时间。

三、（15分）设质点在线段[]1,4的整数点上作随机游动，n X 表示质点在时刻n 所处的位置，其一步转移概率矩阵为：12003300011110424110022P ????????

??=??????????

。 （1）若初始分布为11,,0,022?? ???

，求质点在时刻n=1的概率分布； （2）试讨论该Markov 链的状态分类及其各常返闭集的平稳分布。

四、（10分）设Markov 链的状态空间{}0,1,2,I = ，转移概率,10,111,i i i i p p a ---==，

1001,1,2,,1i i i a i a ∞

-=<<==∑ 。

（1）试证明该Markov 链是不可约常返链； （2）试给出此链正常返的充要条件，并求出状态0的平均返回时间。

五、（15分）假设有两条通信线路，每条线路发生故障的概率为μ，发生故障后立即修理，且在h 时间内每条线路从故障到正常的概率为()h o h λ+。令()X t 表示t 时刻正常工作的线路数，则()X t 是一生灭过程。（1）写出()X t 的Q 矩阵；

（2）写出转移概率所满足的Kolmogorov 向前、向后方程；（3）求平稳分布。

六、（15分）设()()Z t X t Y =+，其中()X t 是一均值具有各态历经性的平稳过程，且随机变量Y 与()X t 相互独立，并且2

EY <∞。 （1）证明()Z t 是平稳过程；（2）判断()Z t 的均值是否具有各态历经性；

七、（14分）设()X t 是一个实平稳过程，其谱密度为()[]()()

2,1,10,,11,X c s ωωω?∈-?=?∈-∞-+∞?? 。

令()()2Y t X t =+。

（1）求()X t 的自相关函数()X

R τ；

（2）证明()Y t 是平稳过程，并求出()Y t 的谱密度。

北京理工大学2015-2016学年第一学期

2013级《应用随机过程》期末试题A 卷

一、（18分）设随机过程()X t Ut φ=+，其中随机变量,U φ相互独立，

()()0,1,0,2U N U φπ ，求()X t 的数学期望，相关函数和协方差函数。

原题中还有“ω是常数”这种bug 。。。。。。

二、（18分）设在(]0,t 内到达某商店的顾客数()X t 是具有强度（每分钟）为λ的泊松过程。

（1）求5分钟内来到的顾客数为2人的概率及等待首位顾客到达的平均时间；

设到达另一商店的顾客数()Y t 是具有强度为()t λ的非齐次泊松过程。

（2）求5分钟内来到的平均顾客数及等待首位顾客到达时间的分布函数。

三、（18分）设质点在线段[]1,4的整数点上作随机游动，n X 表示质点在时刻n 所处的位置，其一步转移概率矩阵为：001012003

311104

24110022P ??????????=??????????

。 （1）若初始分布为11,,0,022?? ???

，求质点在时刻n=1的概率分布； （2）讨论该Markov 链的状态分类；

（3）求常返闭集的平稳分布及各常返态的平均返回时间。

四、（10分）设Markov 链的状态空间{}0,1,2,I = ，

转移概率0110121,1,p p p p p ==-=，,1,1,1,2,3,,01i i i p p p p i p +==-=<< ，讨论该Markov 链各状态的周期性和常返性。

五、（18分）设有两台机床，一名维修工人。机床或者工作或者待修，每台机床的故障率为μ，故障后立即修理，且在h 时间内，每台机床从故障到正常的概率为()h o h λ+。令()X t 表示t 时刻正常工作的机床数，则()X t 是一生灭过程。

（1）写出()X t 的状态空间和Q 矩阵；（此问错误率高）

（2）写出转移概率所满足的Kolmogorov 向前、向后方程；

（3）求平稳分布，并利用平稳分布求t →+∞时平均正常工作的机床数。

六、（18分）设()(),X t Y t 是两个均方连续的实平稳过程，且()(),X t Y t 互不相关，即：(),,cov ,0s t s t R X Y ?∈=。令()()()Z t X t Y t =+。

（1）证明()Z t 是平稳过程；（注意区分互不相关和正交）

（2）设()(),X t Y t 的谱密度分别为()(),X Y s s ωω，

均值均为0，求()Z t 的谱密度()Z s ω； （3）设随机变量V 的均值为0，方差为1，V 与()Z t 相互独立，已知()Z t 的均值不为．．0．，()EZ t 具有各态历经性，令()()U t VZ t =，判断()U t 的均值是否具有各态历经性。

课程编号：MTH17096

北京理工大学2016-2017学年第一学期

2014级《应用随机过程》期末试题A 卷

一、（18分）设随机过程()X t Yt =，其中Y 是服从()0,1上均匀分布的随机变量，求()X t 的均值函数，协方差函数和一维概率密度函数。

二、（18分）设某台电话在(]0,t 内收到的呼唤次数()X t 是具有强度（每小时）为4λ=的泊松过程，求：（1）一小时内收到两次呼唤的概率及一小时内收到的平均呼叫次数；

（2）第二次呼唤的平均等待时间；（3）两小时内收到首次呼唤的概率。

三、（18分）设质点在线段[]1,5的整数点上作随机游动，n X 表示质点在时刻n 所处的位置，其一步转移概率矩阵为：11000221200033000101000001000P ??????????=??????????

。 （1）若初始分布为111,,,0,0442?? ???

，求质点在时刻n=1的概率分布； （2）讨论该Markov 链的状态分类；

（3）求常返闭集各状态的极限分布及各正常返态的平均返回时间。

四、（10分）设Markov 链的状态空间{}0,1,2,,I N = ，其中N ≥4为一整数，一步转移概率为,1,011,,0,1,2,,222

i i i p p i N +===- ；1,,11N N N N p p --==。讨论该Markov 链各状态的周期性质和常返性质。

五、（18分）假设有两台机器，每台机器发生故障率为μ，发生故障后立即修理，且在h 时间内，机器从故障到正常的概率为()h o h λ+。令()X t 表示t 时刻发生故障的机器数，则

()X t 是一生灭过程。

（1）写出()X t 的状态空间和Q 矩阵； （2）写出转移概率所满足的Kolmogorov 向前、向后方程；（3）求平稳分布。

六、（18分）设()()2cos X t at =+Θ，其中Θ是()0,π上服从均匀分布的随机变量，a 是常数。（1）证明()X t 是平稳过程；（2）判断()X t 的均值是否具有各态历经性；

（3）令()()1Y t X t =+，()X R τ是()X t 的相关函数，并且()X R d ττ+∞-∞

<+∞?。假设()X t 的谱密度为()X s ω，求()Y t 的谱密度()Y s ω。