广东省汕头一中4月高三模拟考试文科数学试题

广东省汕头一中 2013年4月高三模拟考试数学（文科）试题一.选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的, 请将答案填在答题卡上。

)1. 已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B = （ ）.A()0,2.B(]0,2.C[)0,2.D[]0,22. 下列函数中既是奇函数，又在区间()+∞,0上单调递增的是.A x y sin =.B2x y -=.C||x e y =.D3x y =3.sin515cos35cos 25cos 235⋅-⋅ 的值为.A -23.B23 .C21 .D －21 4. 在ABC中，s i n cosA B ab=，则B∠=( ) .A3π .B4π .C2π .D6π 5. 在等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若63,763==S S ，则公比q 的值是 （ ）.A 2 .B 2-.C 3 .D 3-6. 已知双曲线的中心在坐标原点,离心率2=e ,且它的一个顶点与抛物线x y 82-=的焦点重合,则此双曲线的方程为（ ）.A 1322=-y x.B 1322=-y x.C 141222=-y x.D 112422=-y x7. 若实数,,,a b c d 成等比数列，且曲线33y x x =-的极大值点坐标为(,)b c ，则ad 为（ ）.A 2 .B .C 1- .D 2-8. 已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ）.A .B3.C3.D39. 已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题：①若α⊥m ，β⊥m ，则βα//； ②若γα⊥，γβ⊥，则βα//；③若α⊂m ，β⊂n ，n m //，则βα//；④若m ，n 是异面直线，α⊂m ，β//m ，β⊂n ，α//n ，则βα//， 其中真命题是 （ ） .A ①和②.B ①和③.C ③和④.D① ④10. 已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，对2)3()2()2( -=--=+∈f x f x f R x ，当有都时，)2007(f 的值为 （ ） .A 2.B 2-.C 4.D 4-第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，考生做答4小题，每小题5分，共20分) (一)必做题(11～13题)11. 若焦点在x 轴的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m 的值为___ _ 12. 已知函数2()6ln (0)()83f x x x g x ax x =>=+-和（a 为常数）的图象在3=x 处有公共切线.则a ＝___ _13. 一个数列的前n 项和11234(1)n n S n +=-+-++- ，则173350S S S ++=(二)选做题(14～15题考生只能从中选作一题)14. （坐标系与参数方程选做题）极坐标系内的曲线2sin ρθ=的中心O 与点D ()1,π的距离为 __________。

15. （几何证明选讲选做题）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥于点D ，且4AD DB =，设COD θ∠=，则cos 2θ＝ ．三.解答题(本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16．(本小题满分12分)如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形. （Ⅰ）画出这个几何体的直观图；（Ⅱ）若等腰直角三角形的直角边的长为a ，求这个几何体的体积.17．(本小题满分12分)已知向量(1,cos )m x ω=，(sin n x ω=（0ω>），函数x f ⋅=)(且()f x 图像上一个最高点的坐标为)2,12(π，与之相邻的一个最低点的坐标为)2,127(-π. （Ⅰ）求()f x 的解析式。

（Ⅱ）在ABC 中，a b c 、、是角A B C 、、所对的边，且满足222a cb ac +-=，求角B 的大小以及()f A 取值范围。

18．(本小题满分14分)已知函数x x ax x f ln 221)(2-+= （Ⅰ）当0=a 时，求)(x f 的极值.（Ⅱ）当0≠a 时，若)(x f 是减函数，求a 的取值范围；19．(本小题满分14分)如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点． （Ⅰ）求证：EF //平面11ABC D ； （Ⅱ）求证：1EF B C ⊥；（Ⅲ）求三棱锥1B EFC -的体积．CDBFE D 1C 1B 1AA 1x20．(本小题满分14分)椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为35，两焦点分别为12F F ,，点00(,)M x y 是椭圆C 上一点，且12F F M ∆的周长为16，设线段MO （O 为坐标原点）与圆222O x y r :+=交于点N ，且线段MN 长度的最小值为154. （Ⅰ）求椭圆C 以及圆O 的方程;（Ⅱ）当点00(,)M x y 在椭圆C 上运动时,判断直线00:1l x x y y +=与圆O 的位置关系.21．(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项为和n S ，点),(nS n n 在直线21121+=x y 上.数列{}n b 满足11),(023*12=∈=+-++b N n b b b n n n 且，前9项和为153.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列{c n }的前n 和为n T ，求使不等式57k T n >对一切*N n ∈都成立的最大正整数k 的值.2013年4月汕头一中高三模拟考试数学（文科）试题答题卷班级： 姓名： 考生号： 试室号：____试室一、选择题：请将答案填在答题卡上。

二、填空题：请将答案填在相应题号的空格上。

11.________________ 12.________________ 13.________________14.________________ 15.________________三．解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。

16．(本小题满分12分)如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形. （Ⅰ）画出这个几何体的直观图；（Ⅱ）若等腰直角三角形的直角边的长为a ，求这个几何体的体积.17．(本小题满分12分)已知向量(1,cos )m x ω=，(sin n x ω=（0ω>），函数x f ⋅=)(且()f x 图像上一个最高点的坐标为)2,12(π，与之相邻的一个最低点的坐标为)2,127(-π. （Ⅰ）求()f x 的解析式。

（Ⅱ）在ABC 中，a b c 、、是角A B C 、、所对的边，且满足222a cb ac +-=，求角B 的大小以及()f A 取值范围。

18．(本小题满分14分)已知函数x x ax x f ln 221)(2-+= （Ⅰ）当0=a 时，求)(x f 的极值.（Ⅱ）当0≠a 时，若)(x f 是减函数，求a 的取值范围；19．(本小题满分14分)如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点． （Ⅰ）求证：EF //平面11ABC D ； （Ⅱ）求证：1EF B C ⊥；（Ⅲ）求三棱锥1B EFC -的体积．CDBFE D 1C 1B 1AA 1x20．(本小题满分14分)椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为35，两焦点分别为12F F ,，点00(,)M x y 是椭圆C 上一点，且12F F M ∆的周长为16，设线段MO （O 为坐标原点）与圆222O x y r :+=交于点N ，且线段MN 长度的最小值为154. （Ⅰ）求椭圆C 以及圆O 的方程;（Ⅱ）当点00(,)M x y 在椭圆C 上运动时,判断直线00:1l x x y y +=与圆O 的位置关系.21．(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项为和n S ，点),(nS n n 在直线21121+=x y 上.数列{}n b 满足11),(023*12=∈=+-++b N n b b b n n n 且，前9项和为153.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列{c n }的前n 和为n T ，求使不等式57k T n >对一切*N n ∈都成立的最大正整数k 的值.2013年4月汕头一中高三模拟考试数学（文科）试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题: 本大题共5小题，考生做答4小题，每小题5分，满分20分， 11．32 12．1a =- 13.1 14.2 15.725-三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.解：（Ⅰ）这个几何体是一个底面与两个侧面都是等腰直角三角形的三棱锥，……………………2分直观图如左图.…………………………………………………6分（Ⅱ）由三视图可得PA ⊥AB ，PA ⊥AC . 又AB ∩AC =A ，∴PA ⊥面ABC . …………………………8分∆ABC 是等腰直角三角形，且AB =AC =a ，∴221a S ABC =∆.………………………………10分∴.61313a S PA V ABC ABC P =∙=∆-…………………………………………………………12分 ACBP17．解： (Ⅰ)x x x f ωωcos 3sin )(+=⋅=…………………………………………………………1分)cos 23sin 21(2x x ωω+=)3sin(2πω+=x ………………………………………3分∵()f x 图像上一个最高点的坐标为)2,12(π，与之相邻的一个最低点的坐标为)2,127(-π. ∴2121272πππ=-=T ,所以π=T ,于是22==Tπω……………………………………………5分 ∴()2sin(2)3f x x π=+可知 …………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵222a cb ac +-=，∴2221c o s 22a cb B ac +-==， ……………………………………7分又0B π<<，∴3B π=……………………………………………………………………8分()2sin(2)3f A A π=+， ∵3B π=，∴203A π<<，可知35323πππ<+<A …………………………………10分 []1,1)32sin(-∈+∴πA []2,2)(-∈∴A f ……………………………………………12分18.解： （1）∵x x ax x f ln 221)(2-+=当a=0时，xx x f ln 2)(-=，则xx f 12)('-= ………………………………………………2分 ∴)(),(',x f x f x 的变化情况如下表…………………………………………………………………………5分∴当21=x 时，)(x f 的极小值为1+ln2，函数无极大值. …………………………………7分 （2）由已知，得，则且0,ln 221)(2>-+=x x x ax x f xx ax x ax x f 1212)('2-+=-+= …………………………………………………………9分∵函数)(x f 是减函数∴0)('≤x f 对x>0恒成立，即不等式 0122≤-+x ax 对0>x 恒成立…………………11分得⎩⎨⎧≤+=∆<0440a a ……………………………………………………………………………13分 解得aa ，即1-≤的取值范围是]1,(--∞ …………………………………………………14分19.证明：（Ⅰ）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，……………………………1分则1//EF D B ， …………………………………………………………………………………2分又111D B ABC D ⊂平面，11EF ABC D ⊄平面 ………………………………………………3分所以11//EF ABC D 平面 ………………………………………………………………………4分（Ⅱ）连结1BC ，由于11AB B BCC ⊥平面，所以1B C AB ⊥……………………………………5分CDBFED 1C 1B 1AA 1由于11B BCC 面为正方形，所以11B C BC ⊥…………………………………………………6分由于1,A B B C⊂平面，1AB BC B = ……………………………………………7分所以1B C ⊥平面………………………………………………………………………8分又111BD ABC D ⊂平面，所以11B C BD ⊥……………………………………………………9分又1//EF BD ，所以1E F B C⊥………………………………………………………………10分（Ⅲ）11CF BDD B ⊥平面，1CF EFB ∴⊥平面且CF BF =11分112EF BD ==，1B F ===12分13B E ===∴22211EF B F B E +=，即190EFB ∠= ，………………………………………………13分11113B EFC C B EF B EF V V S CF--∆∴==⋅⋅=11132EF B F CF ⨯⋅⋅⋅=11132⨯= ………………………………………14分 20.解:（1）设椭圆C的半焦距为c ,则35c a = ，即35c a =① …………………………………………1分 又1212||||||2216MF MF F F a c ++=+=② …………………………………………………2分联立①②，解得5a =,3c =，所以4b ==…………………………………………… 4分 所以椭圆C的方程为2212516x y += ……………………………………………………………………5分 而椭圆C 上点00(,)M x y 与椭圆中心O 的距离为4MO ===≥，等号在00x =时成立，……………6分而MN MO r =-，则MN 的最小值为4r -，从而14r =， 则圆O的方程为22116x y +=………………………………………………………………………7分（2）因为点00(,)M x y 在椭圆C 上运动,所以220012516x y += 即2200161625y x =-…………………………………………………………………………………8分 圆心O到直线001l x x y y :+=的距离20d ==……………………10分当00x =，04y =±，14d r ===，则直线与圆O 相切．………………………… 12分当00x ≠时，14d r <==，则直线与圆O 相交． ……………………………………14分本题第1问直接指出点M 为椭圆短轴端点时MN 最小者要扣1分．21.解： （Ⅰ）由题意，得.21121,211212n n S n n S n n +=+=即………………………………………………1分 故当2≥n 时，.5)]1(211)1(21[)21121(221+=-+--+=-=-n n n n n S S a n n n …………2分 当1n =时，611==S a ，而当1n =时，n + 5 = 6，………………………………………3分所以，).(5*N n n a n ∈+=………………………………………………………………………4分又)(,02*11212N n b b b b b b b n n n n n n n ∈-=-=+-+++++即，所以{b n }为等差数列， ……5分于是.1532)(973=+b b 而.3371123,23,1173=--===d b b 故………………………………7分因此，).(23,23)3(3*3N n n b n n b b n n ∈+=+=-+=即 …………………………………8分（Ⅱ）]1)23(2][11)5(2[3)12)(112(3-+-+=--=n n b a c n n n 1(21)(21)n n =-+………………………………………………………………………9分111().22121n n =--+…………………………………………………………………10分所以，12n n T c c c =+++ 11111111[(1)()()()]2335572121n n =-+-+-++--+ .12)1211(21+=+-=n n n ……………………………………………………………11分由于0)12)(32(1123211>++=+-++=-+n n n n n n T T n n ，…………………………………12分因此n T 单调递增，故.31)(min =n T ……………………………………………………………13分 令1,19,357kk ><得max 18.K =所以…………………………………………………………14分。