二次函数实际应用及答案
二次函数复习套卷(共20份)
一选择题:
二次函数实际应用
姓名:_ 班级:_ 得分:_
1.由二次函数的图象如何平移就得到的图像( )
A.向左平移1个单位,再向上平移3个单位
B.向右平移1个单位,再向上平移3个单位.
C.向左平移1个单位,再向下平移3个单位
D.向右平移1个单位,再向下平移3个单位。
2.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4m时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,当水面下降1m时,水面的宽度为()
A.3
B.2
C.3
D.23.下列图形中阴影部分的面积相等的是()
A.②③
B.③④
C.①②
D.①④
4.同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2
+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是( )
5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+b
2-4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图
象大致为( )
6.抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
从上表可知,下列说法正确的个数是()
①抛物线与x轴的一个交点为(﹣2,0);
②抛物线与y轴的交点为(0,6);
③抛物线的对称轴是x=1;
④在对称轴左侧y随x增大而增大.
A.1
B.2
C.3
D.4
7.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中获得的利润y 和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中利润最高的月份是( )
A.5 月
B.6 月
C.7 月
D.8 月
8.向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0).若此炮弹在第7秒与第14 秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是()
A.第8秒
B.第10 秒
C.第12 秒
D.第15 秒
9.二次函数的图象如图所示,则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为()
10.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时.列了如下表格:
根据表格上的信息同答问题:该二次函数y=ax2+bx+c在x=3 时,y=( )
A.﹣2
B.﹣4
C.﹣6.5
D.﹣2.5
11.已知抛物线y=﹣x2+ x+6 与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C.若D为A B的中点,则C D长为()
A. B. C. D.
x…﹣2﹣1012…
y…04664…
x
y
…
…
﹣2
﹣6.5
﹣1
﹣4
﹣2.5
1
﹣2
2
﹣2.5
…
…
1 2
12.已知二次函数
的图象如图所示,有下列 5 个结论:
① ;② ;③
;
④ ; ⑤
,(
的实数).其中正确的结论有(
)
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
二 填空题:
13.已知二次函数 y =x 2
-(m -4)x +2m -3. (1)当
m = 时,图象顶点在 x 轴上;
(2)当 m = 时,图象顶点在 y 轴上; (3)当 m = 时,图象过原点.
14.二次函数
的图象在坐标平面内绕顶点旋转 180°,再向左平移 3 个单位,向上平移 5 个单位 后图
象对应的二次函数解析式为
.
15.如图,抛物线 y =-x 2
+2 向右平移 1 个单位得到的抛物线 y .回答下列问题:
(1)抛物线 y 2 的解析式是 ,顶点坐标为 ;
(2)阴影部分的面积
;
(3)若再将抛物线 y 2 绕原点 O 旋转 180°得到抛物线 y 3,则抛物线 y 3 的解析式为 ,开口方
向
,顶点坐标为
.
16.已知二次函数 (a ≠0)与一次函数 y =kx +m (k ≠0)的图象相交于点 A (-2,4),B (8,2),如 图所
示,能使 y 1>y 2 成立的 x 取值范围是
1 2
17.如图,坐标系中正方形网格的单位长度为 1,抛物线 y 1=﹣ +3 向下平移 2 个单位后得抛物线 y 2,则阴影部 分
的面积 S
=
.
第 17 题图 第 18 题图 第 19 题图
18.如图,已知等腰直角△ABC 的直角边长与正方形 M NPQ 的边长均为 20 厘米,AC 与 M N 在同一直线上,开始时点 A
与点 N 重合,让△ABC 以每秒 2 厘米的速度向左运动,最终点 A 与点 M 重合,则重叠部分面积 y (厘米 2
)与时 间 t (秒)之间的函数关系式为 .
1
9.如图,一名男生推
铅球
,铅球
行进
高
度
y (单位
:m 20.如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y =ax 2+c (a ≠0)的图象过正方形 A BOC 的三个顶点 A 、B 、C ,则 a c 的 值
是 .
第 20 题图
第 21 题图
2 2
21.已知抛物线 y 1=a (x ﹣m ) +k 与 y 2=a (x +m ) +k (m ≠0)关于 y 轴对称,我们称 y 1 与 y 2 互为“和谐抛物线”.请 写出抛物线 y =﹣4x 2+6x +7 的“和谐抛物线” .
22.已知关于 x 的函数 y =(m +2)x 2
+2x ﹣1 与 x 轴仅有一个公共点,则 m 等于
23.如图,平行于 x 轴的直线 A C 分别交函数 y =x 2(x ≥0)与 y =(x ≥0)的图象于
B ,
C 两点,过点 C 作 y 轴的 平行线交 y 1 的图象于点
D ,直线 D
E ∥AC ,交 y 2 的图象于 E ,则 =
.
24.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与轴交于点C.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.△PCM是以C M为底的等腰三角形,则点P的坐标为;
当a= 时,四边形P MEF周长最小.
三简答题:
25.张大叔想用篱笆围成一个周长为80 米的矩形场地,矩形面积S(单位:平方米)随矩形一边长x(单位:米)的变化而变化.
(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x是多少时,矩形场地面积S最大?最大面积是多少?
26.已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点(-1, 0)和点(2,-9).
(1) 求该二次函数的解析式并写出其对称轴;
(2) 已知点P(2 , -2),连结O P , 在x轴上找一点M,使△OPM是等腰三角形,请直接写出点M的坐标(不写求解过程).
27.如图,抛物线y=ax2﹣x﹣与x轴正半轴交于点A(3,0),以O A为边在x轴上方作正方形O ABC,延长C B
交抛物线于点D,再以B D为边向上作正方形B DEF.
(1)求a的值;
(2)求点F的坐标.
28.直线与坐标轴分别交于两点,动点同时从点出发,同时到达点,运动停止.点沿
线段运动,速度为每秒1个单位长度,点沿路线→→运动.
(1)直接写出两点的坐标;
(2)设点的运动时间为秒,的面积为,求出与之间的函数关系式,并求出的取值范围;
29.如图,抛物线 y =ax 2+bx +c 的顶点为 C (1,4),且与 y 轴交于点 D (0,3),与 x 轴交于 A 、B 两点. (1)求此抛物线的解析式; (2)若直线 B D 的解析式为 y =mx +n ,请直接写出不等式 a x 2+bx +c >mx +n 的解集; (3)在第一象限的抛物线上是否存在一个点 P ,使得四边形 A BPD 的面积等于 10?若存在,请求出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由.
30.如图,抛物线 y =﹣x 2+bx +c 交 x 轴于点 A (﹣3,0)和点 B ,交 y 轴于点 C (0,3). (1)求抛物线的函数表达式; (2)若点 P 在抛物线上,且 S △AOP =4S BOC ,求点 P 的坐标; (3)如图 b ,设点 Q 是线段 A C 上的一动点,作 D Q ⊥x 轴,交抛物线于点 D ,求线段 D Q 长度的最大值.
参考答案
1、C
2、B
3、A
4、D
5、D
6、C
7、C
8、B 9、D 10、B 11、D 12、B
13、(1)m =14 或 2;
(2)m =4;
(3)
14、
2
2
15、(1)y 2=-(x -1) +2,(1,2);(2)S =2;(3)y 3=(x +1) -2,向上,顶点坐标为(-1,-2).
16、当:x <-2 或 x >8 时,y 1>y 2
17、4. 18、y = 2.19、9 m .20、﹣2 .
21、y =﹣4x 2﹣6x +7.22、﹣2 或﹣3 .23、3-24、
25、解:(1)有分析可得:S =x ×(40-x )=-x 2+40x ,且有 0<x <40, 所以 S 与 x 之间的函数关系式为:S =x ×(40-x )=-x 2+40x ,自变量 x 的取值范围为:0<x <40; (2)求 S =-x 2+40x 的最大值,S =-x 2+40x =-(x -20)2+400, 所以当 x =20 时,有 S 的最大值 S =400,答:当 x 是 20 时,矩形场地面积 S 最大,最大面积是 400. 26、解:(1)
称轴是 x =2
(2)
27、【解答】解:(1)把 A (3,0)代入 y =ax 2﹣x ﹣中,得 a =; (2)∵A (3,0)∴OA =3∵四边形 O ABC 是正方形∴OC =OA =3
当 y =3 时, ,即 x 2﹣2x ﹣9=0 解得 x =1+
,x =1﹣
<0(舍去)∴CD =1+
1
2
在正方形 O ABC 中,AB =CB 同理 B D =BF ∴AF =CD =1+
∴点 F 的坐标为(3,1+
).
28、
29、【解答】解:(1)设抛物线的解析式为 y =a (x ﹣1)2+4, 代入 D (0,3)得,3=a (0﹣1)2+4,解得 a =﹣1,∴y =﹣(x ﹣1)2+4,即此抛物线的解析式为 y =﹣x 2+2x +3; (2)令 y =0,则﹣x 2+2x +3=0,解得 x =﹣1,x =3,∴A (﹣1,0),B (3,0),
1
2
∵D (0,3),∴不等式 a x 2
+bx +c >mx +n 的解集为:0<x <3; (3)不存在,理由:假设存在一个点 P ,使得四边形 A BPD 的面积等于 10, ∵A (﹣1,0),B (3,0),D (0,3),∴AB =4,OD =3,∴S △ABD = AB ?OD =6,
∵四边形 A BPD 的面积等于 10,∴S △BPD =10﹣6=4, 把 B 、D 的坐标代入 y =mx +n 得
,解得
,∴直线 B D 的解析式为 y =﹣x +3,
过 P 点作 P E ⊥AB 于 E ,交 D B 于 F ,如图,设 P (x ,﹣x 2+2x +3),在 F (x ,﹣x +3), ∴CF =(﹣x 2+2x +3)﹣(﹣x +3)=﹣x 2+3x ,
2 2 2
∴S △BPD =S △PDF +S △PFB = x (﹣x +3x )+ (﹣x +3x )?(3﹣x )=4,整理得,3x ﹣9x +8=0, ∵△=(﹣9)2﹣4×3×8<0,∴不存在这样的 P 点,使得四边形 A BPD 的面积等于 10.
30、【解答】解:(1)把A(﹣3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得,解得
.故该抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3.
(2)由(1)知,该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,则易得B(1,0).∵S
△AOP=4
S △BOC
,
二次函数复习套卷(共20份)
∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3.整理,得(x+1)2=0 或x2+2x﹣7=0,解得x=﹣1 或x=﹣
1±2.
则符合条件的点P的坐标为:(﹣1,4)或(﹣1+2,﹣4)或(﹣1﹣2 ,﹣4);(3)设直线A C的解析式为y=kx+t,将A(﹣3,0),C(0,3)代入,
得,解得.即直线A C的解析式为y=x+3.
设Q点坐标为(x,x+3),(﹣3≤x≤0),则D点坐标为(x,﹣x2﹣2x+3),QD=(﹣x2﹣2x+3)﹣(x+3)=﹣x2﹣3x=﹣(x+ )2+ ,∴当x=﹣时,QD有最大值.
二次函数在实际生活中的应用
二次函数在实际生活中的应用 【经典母题】 某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元,经市场调查表明,当售价在10元到14元之间(含10元,14元)浮动时,每瓶售价每增加0.5元,日均销量减少40瓶;当售价为每瓶12元时,日均销量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时,所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大?最大日均毛利润为多少元? 解:设售价为每瓶x元时,日均毛利润为y元,由题意,得日均销售量为400-40[(x-12)÷0.5]=1 360-80x, y=(x-9)(1 360-80x) =-80x2+2 080x-12 240(10≤x≤14). -b 2a=- 2 080 2×(-80) =13, ∵10≤13≤14,∴当x=13时,y取最大值, y最大=-80×132+2 080×13-12 240=1 280(元). 答:售价定为每瓶13元时,所得日均毛利润最大,最大日均毛利润为1 280元. 【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题,在建立函数关系式时,应注意自变量的取值范围,在这个取值范围内,需了解函数的性质(最大最小值,变化情况,对称性,特殊点等)和图象,然后依据这些性质作出结论. 【中考变形】 1.[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品,第一个月,按进价提高50%的价格出售,售出400件,第二个月,商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少.销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8-1所示. (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元 /件时,销售量为300件__;销售单价每提高1元时, 销售量相应减少__20__件; (2)请直接写出y与x之间的函数表达式:__y=20x图Z8-1
二次函数在实际生活中的应用及建模应用
二次函数的建模 知识归纳:求最值的问题的方法归纳起来有以下几点: 1.运用配方法求最值; 2.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值; 3.建立函数模型求最值; 4.利用基本不等式或不等分析法求最值. 一、利用二次函数解决几何面积最大问题 1、如图1,用长为18米的篱笆(虚线部分)和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x (米),面积为y (平方米),求y 关于x 的函数关系式; (2)当x 为何值时,所围成的苗圃面积最大?最大面积是多少? 解:(1)设矩形的长为x (米),则宽为(18- x )(米), 根据题意,得: x x x x y 18)18(2+-=-=; 又∵180,0180<x<x >x >∴? ??- (自变量x 的取值范围是关键,在几何类题型中,经常采用的办法是: 利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围,例如上式 中,18-x ,就是含有自变量的加减代数式,考虑到18-x 是边长,所以边长应该>0,但边长最长不能超过18,于是有0<18-x <18,0<x <18) (2)∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中,a= -1<0,∴y 有最大值, 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时, 81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时,苗圃的面积最大,最大面积为81平方米。 点评:在回答问题实际时,一定注意不要遗漏了单位。 2、如图2,用长为50米的篱笆围成一个养鸡场,养鸡场的一面靠墙。问如何围,才能使养鸡场的面积最大? 解:设养鸡场的长为x (米),面积为y (平方米),则宽为(250x -)(米), 根据题意,得:x x x x y 252 1)250(2+-=-=; 又∵500,02 500<x<>x x >∴?????- ∵x x x x y 252 1)250(2+-=-=中,a=21-<0,∴y 有最大值,
二次函数实际应用问题及解析
中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题,主要是解答题,也有少量的选择和填空题,常见问题有以几何为背景问题,以球类为背景问题,以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。 一. 以几何为背景问题 原创模拟预测题1. 市政府为改善居民的居住环境,修建了环境幽雅的环城公园,为了给公园内的草评定期喷水,安装了一些自动旋转喷水器,如图所示,设喷水管AB 高出地面1.5m ,在B 处有一个自动旋转的喷水头,一瞬间喷出的水流呈抛物线状.喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角,水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ,水流的落地点为D .在建立如图所示的直角坐标系中: (1)求抛物线的函数解析式; (2)求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ? 【答案】(1)213222y x x =-++;(2)(2+m . 【解析】 试题分析:(1)把抛物线的问题放到直角坐标系中解决,是探究实际问题常用的方法,本题关键是解等腰直角三角形,求出抛物线顶点C (2,3.5)及B (0,1.5),设顶点式求解析式; (2)求AD ,实际上是求当y=0时点D 横坐标. 在如图所建立的直角坐标系中, 由题意知,B 点的坐标为(01.5),, 45CBE BEC ∠=∴,△为等腰直角三角形, 2BE ∴=, 点坐标为(23.5), (1)设抛物线的函数解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠,
则抛物线过点(01.5),顶点为(23.5), , 当0x =时, 1.5y c == 由22b a -=,得4b a =-, 由24 3.54ac b a -=,得2 616 3.54a a a -= 解之,得0a =(舍去),1422a b a =-∴=-=,. 所以抛物线的解析式为213222 y x x =-++. 考点:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用 点评:此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.结合实际问题并从 中抽象出函数模型,试着用函数的知识解决实际问题,学会数形结合解答二次函数的相关题型. 原创模拟预测题2.在青岛市开展的创城活动中,某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m )的空地上修建一个矩形花园ABCD ,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园的BC x 边长为(m ),花园的面积为y (m ). (1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (2)满足条件的花园面积能达到200 m 吗?若能,求出此时x 的值;若不能,说明理由; (3)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当x 取何值时,花园的面积最大?最大面积为多少? 【答案】(1)x x y 202 12+- =)150(≤二次函数的实际应用----最值问题以及设计方案问题