待定系数法

一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。

【又】一种常用的数学方法。对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。

编辑本段待定系数法分解因式

待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。在初中竞赛中经常出现。

例、分解因式x ﹣x ﹣5x ﹣6x﹣4

分析：已知这个多项式没有二次因式，因而只能分解为两个一次因式。

解：设x ﹣x ﹣5x ﹣6x﹣4=(x ﹢ax﹢b)(x ﹢cx﹢d) = x² ﹢(a﹢c)x ﹢(ac﹢b﹢d)x ﹢(ad﹢bc)x﹢bd

所以解得

则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)=（2x+1）（-x-4)

编辑本段待定系数法解题步骤

使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；. （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

例如：“已知x²-5=（2-A）·x²+Bx+C，求A，B，C的值．”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值．这里的A，B，C是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．

步骤：

一、确定所求问题含待定系数的解析式。上面例题中，解析式就是:

（2-A）× x&2;+Bx+C

二、根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。在这一题中，恒等条件是：2-A=1 B=0 C=-5

三、解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。∴A=1 B=0 C=-5

圆锥曲线

求助编辑百科名片

圆锥曲线

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。

目录

由来

定义

几何观点

代数观点

焦点-准线观点

相关几何概念与性质

方程和性质

1）椭圆（ellipse)

2）双曲线（hyperbola)

3）抛物线（parabola)

离心率

焦半径

焦准距

焦点三角形

通径

圆锥曲线的性质对比

圆锥曲线的中点弦问题

求点的轨迹方程

圆锥曲线判别法

圆锥曲线漫谈

圆锥曲线研究历史

光学性质

椭圆的光学性质

双曲线的光学性质

抛物线的光学性质

图说圆锥曲线的应用

展开

由来

定义

几何观点

代数观点

焦点-准线观点

相关几何概念与性质

方程和性质

1）椭圆（ellipse)

2）双曲线（hyperbola)

3）抛物线（parabola)

离心率

焦半径

焦准距

焦点三角形

通径

圆锥曲线的性质对比

圆锥曲线的中点弦问题

求点的轨迹方程

圆锥曲线判别法

圆锥曲线漫谈

圆锥曲线研究历史

光学性质

椭圆的光学性质

双曲线的光学性质

抛物线的光学性质

图说圆锥曲线的应用

展开

编辑本段由来

两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

编辑本段定义

几何观点

用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。

通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：

1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。

6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。

7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

代数观点

在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。

焦点-准线观点

（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质）。

给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线，根据e的范围不同，曲线也各不相同，具体如下：

1) e=0，轨迹退化为点（即定点P）。

2) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线。

3) 0

4) e>1,,轨迹为双曲线。

编辑本段相关几何概念与性质

（以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大部分性质是在焦点－准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。）

考虑焦点－准线观点下的圆锥曲线定义。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。

圆锥曲线是光滑的，因此有切线和法线的概念。

类似圆，与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为弦；过焦点的弦称为焦点弦。

对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。

圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称。

定理（Pappus)：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。