最新函数表达式(例题+练习题)
函数表达式
【教学目标】
1. 让学生充分掌握求函数解析式的方法
2. 学生能够独立解题
【重点难点】求函数表达式的方法
【教学内容】求函数解析式的常用方法
一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数,且3
4)]([+=x x f f ,求)(x f 解:设b ax x f +=)( )0(≠a ,则
b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([
∴???=+=342b ab a ∴?
?????=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或
1.设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ?=,且212)()1(x
x g x g x ?=-++, 求)(x f 与)(x g .
变式训练.设二次函数)(x f 满足)
2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.
二、 配凑法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域。
例2 已知22
1)1(x
x x
x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式 解:2)1()1(2-+=+x x x x f , 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 三、换元法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f
解:令1+=x t ,则1≥t ,2)1(-=t x
x
x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
1
)(2-=∴x x f )1(≥x x
x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x 1.已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.
变式训练.若x
x x f -=1)1(,求)(x f .
四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。 例4已知:函数)(2
x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式 解:设),(y x M 为)(x g y =上任一点,且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点
则?????=+'-=+'32
22y y x x ,解得:???-='--='y y x x 64 , 点),(y x M
'''在)(x g y =上 x
x y '+'='∴2 把???-='--='y
y x x 64代入得:
)
4()4(62--+--=-x x y 整理得6
72---=x x y ∴67)(2---=x x x g
五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。
例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f
解 x x f x f =-)1(2)( ①
显然,0≠x 将x 换成x
1,得: x
x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组,得:
x x x f 323)(--=
1.设函数)(x f 是定义(-∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式
x x
f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.
变式训练.若x x
x f x f +=-+1)1()(,求)(x f .
例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=
+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式
解 )(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,
)
()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴ 又1
1)()(-=+x x g x f ① , 用x -替换x 得:11)()(+-
=-+-x x g x f 即1
1)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组,得
11)(2-=x x f , x
x x g -=21)( 六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。
例7 已知:1)0(=f ,对于任意实数x 、y ,等式)
12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f 解对于任意实数x 、y ,等式)
12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立, 不妨令0x =,则有1)1(1)1()0()(2
+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为:1)(2++=x x x f 七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过
迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有
a
b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f 解 +
∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(,, ∴不妨令1,==
b x a ,得:x x f f x f -+=+)1()1()(,
又1
)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ① 分别令①式中的1,21
x n =- 得: (2)(1)2,
(3)(2)3,
()(1),f f f f f n f n n -=-=--
=
将上述各式相加得:n
f n f ++=-32)1()(, 2
)1(321)(+=+++=∴n n n n f +∈+=∴N x x x x f ,2
121)(2 【过手练习】
1. 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+
,则()f x = 。
2. 已知()f x 是二次函数,且2
(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。
【拓展训练】
1. 求下列函数的定义域: ⑴221533x x y x --=+- (2)021(21)4111
y x x x =+-+-+-
2. 设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2
的定义域为 ;函数f x ()-2的定义域为 。
3. 若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(2
1)f x -的定义域是 ;函数
1(2)f x
+的定义域为 。 4. 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F xf x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。
5. 求下列函数的值域:
⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311
x y x -=
+
⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ 262
x y x -=+ ⑹ 225941x x y x +=-+ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ 245y x x =-++
⑽ 2
445y x x =--++ ⑾12y x x =--
6. 已知函数222()1
x a x b f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。
7. 已知函数2(1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。
8. 设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, 3()(1)
f x x x =+,则当(,0)x ∈-∞时()f x = ;()f x 在R 上的解析式为 。