全国中考信息资源门户网站 https://www.360docs.net/doc/e35931708.html, 3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a ,b ,c 有下列关系:a 2+b 2=c 2,?那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法. 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解. 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 5:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ,22 14()2 ab b a c ? +-=,化简可证. c b a H G F E D C B A
数学数学勾股定理试题及解析
数学数学勾股定理试题及解析 一、选择题 1.△ABC 中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC 的周长为( ) A .42 B .32 C .42或32 D .37或33 2.如图,在Rt ABC ?中,90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ?∠=== ,动点P 从点B 出发,沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动,设运动的时间为t 秒,当?ABP 为等腰三角形时,t 的值不可能为( ) A .5 B .8 C .254 D .258 3.如图,四边形ABCD 中,AC ⊥BD 于O ,AB =3,BC =4,CD =5,则AD 的长为( ) A .1 B .32 C .4 D .23 4.如图,已知直线a ∥b ,且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2,点B 到直线b 的距离为3,AB 230=.试在直线a 上找一点M ,在直线b 上找一点N ,满足MN ⊥a 且AM +MN +NB 的长度和最短,则此时AM +NB =( ) A .6 B .8 C .10 D .12 5.如图,设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发,以相同的速度分别沿棱向前爬行,黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…,白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…,并且都遵循如下规则:所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须
既不平行也不相交(其中n 是正整数).那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时,它们之间的距离是( ) A .0 B .1 C .3 D .2 6.我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示),如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别是a 和b ,那么ab 的值为( ) A .49 B .25 C .12 D .10 7.如图所示,有一个高18cm ,底面周长为24cm 的圆柱形玻璃容器,在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一只苍蝇,则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是( ) A .16cm B .18cm C .20cm D .24cm 8.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( ) A .30,40,60 B .7,12,13 C .6,8,10 D .3,4,6 9.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是( ) A . B . C . D . 10.为了庆祝国庆,八年级(1)班的同学做了许多拉花装饰教室,小玲抬来一架2.5米长的梯子,准备将梯子架到2.4米高的墙上,则梯脚与墙角的距离是( ) A .0.6米 B .0.7米 C .0.8米 D .0.9米 二、填空题 11.如图,ACB △和ECD 都是等腰直角三角形,CA CB =,CE CD =,ABC 的顶
中考数学勾股定理知识归纳总结附解析
中考数学勾股定理知识归纳总结附解析 一、选择题 1.在ABC ?中,D 是直线BC 上一点,已知15AB =,12AD =,13AC =,5CD =,则BC 的长为( ) A .4或14 B .10或14 C .14 D .10 2.如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AC =2AB ,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE 如图放置,连接BE ,EC .下列判 断:①△ABE ≌△DCE ;②BE =EC ;③BE ⊥EC ;④EC =3DE .其中正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 3.如图,在等腰三角形ABC 中,AC=BC=5,AB=8,D 为底边上一动点(不与点A ,B 重合),DE ⊥AC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F ,则DE+DF= ( ) A .5 B .8 C .13 D .4.8 4.如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ,那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表,观察表中每列数的规律,可知x y +的值为( ) A .47 B .62 C .79 D .98 5.如图,在△ABC 中,∠A =90°,P 是BC 上一点,且DB =DC ,过BC 上一点P ,作PE ⊥AB 于E ,PF ⊥DC 于F ,已知:AD :DB =1:3,BC =46,则PE+PF 的长是( ) A .6 B .6 C .42 D .26
6.如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15,则S 2的值是( ) A .3 B .154 C .5 D .152 7.如图,已知AB AC =,则数轴上C 点所表示的数为( ) A .3- B .5- C .13- D .15- 8.如图,在Rt △ABC 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折,使点A 刚好落在BC 上,则CD 的长为( ) A .10 B .5 C .4 D .3 9.如图, 在ABC 中,CE 平分ACB ∠,CF 平分ABC 的外角ACD ∠,且EF //BC 交AC 于M ,若CM 4=,则22CE CF +的值为( ) A .8 B .16 C .32 D .64 10.如图,△ABC 中,AB =AC ,AD 是∠BAC 的平分线.已知AB =5,AD =3,则BC 的长 为( )
人教版勾股定理知识要点--总结及练习
勾股定理知识总结 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2+b 2=c 2 ) 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a 、b 、c ,则有关系a 2 +b 2 =c 2 ,那么这个三角形是直角三角形。 3:勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 二、经典例题精讲: 题型一:直接考查勾股定理: 例1.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理222a b c += 题型二:利用勾股定理测量长度: 例题1 如梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 例题2 如图(8),水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 的长是0.5米,把芦苇拉到岸 边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 题型三:勾股定理和逆定理并用— 例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4 1 = 那么△DEF 是直角三角形吗?为什么? 题型四:关于翻折问题: 例1、 如图,矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ,BC=6cm ,E 为BC 上一点,将矩形纸片沿AE 折叠,点B 恰好落在CD 边上
的点G 处,求BE 的长. 勾股定理练习(随堂练) 一.填空题: 1. 在Rt △ABC 中,∠C=90° (1)若a=5,b=12,则c=________________________; (2)b=8,c=17,则S △ ABC =________。 2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13,则这个三角形是________(按角分类)。 3. 直角三角形的三边长为连续自然数,则其周长为____________________。 4.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点,那么它所 行的最短路线的长是_______________________。 二.选择题: 5.观察下列几组数据 :(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的三边长的有( )组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.三个正方形的面积如图,正方形A 的面积为( ) A. 6 B.4 C. 64 D. 8 7.已知直角三角形的两条边长分别是5和12,则第三边为 ( ) A.13 B.119 C.13或119 D. 不能确定 8.下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数,那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数;②如果直角三角形的两边是5、12,那么斜边必是13;③如果一个三角形的三边是12、25、21,那么此三角形必是直角三角形;④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ,(a>b=c ),那么a 2 ∶b 2 ∶c 2 =2∶1∶1。其中正确的是( ) A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、②④ 9.三角形的三边长为(a+b )2 =c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. A B 第8题图 A 10 6
《勾股定理教材分析》
《勾股定理》教材分析 一、课标要求: 1、体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单问题; 2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形; 3、通过具体的例子,了解定理的含义,了解逆命题、逆定理的概念,知道原命题成立其逆命题不一定成立。 二、中考要求: 1、已知直角三角形的两边长,会求第三边长。 2、会用勾股定理解决简单问题;会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形。 3、了解定义、命题、定理含义;了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道原命题成立,逆命题不一定成立。 三、 本章结构图: 互逆定理 四、 本章的地位和作用 五、本章课时安排: 本章教学时间约需要7课时,具体安排如下: 18.1 勾股定理 3课时 18.2 勾股定理的逆定理 2课时 18.3 小结 2课时
六、本章重要的数学思想和方法 1. 在定理、逆定理探究过程中所体现出来的由特殊到一般的思想 2.数形结合思想:面积法证明数学问题及由数到形、由形到数 3、整体的方法. 4.分类讨论思想 5.方程思想贯穿始终 6.转化思想:化斜为直,化空间为平面,化曲为直 七、教学内容设计 八、数学思想的贯穿 2、数形结合思想 例1、我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形。如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两条直角边分别为a,b. 那么( a+b)2的值为_____ 例2 如图,高速公路的同侧有A、B两个村庄,他们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km,BB1=4km,A1B1=8km。现要在高速公路上
八年级下册勾股定理知识点归纳
八年级下册勾股定理知识点和典型例习题 一、基础知识点: 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形通过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD , ,化简可证. 方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形 的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为 2 22() 2S a b a a b b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ?中,90C ∠ =?,则c =,b ,a =②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实 际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;否则,就不是直角三角形。 ②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25,8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
勾股定理 例题详解
勾股定理经典例题详解 知识点一:勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为:a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方. 要点诠释:(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 (2)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角。 (3)理解勾股定理的一些变式: c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2,c2=(a+b)2-2ab 知识点二:用面积证明勾股定理 方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。 图(1)中,所以。 方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。 图(2)中,所以。 方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)—1和(3)—2所示的两个形状相同的正方形。
在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积), 在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积), 所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:. 方法四:如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。 ,所以。 知识点三:勾股定理的作用 1.已知直角三角形的两条边长求第三边;2.已知直角三角形的一条边,求另两边的关系; 3.用于证明平方关系的问题; 4.利用勾股定理,作出长为 的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数 满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的: ①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤10、24、26;⑥9、 40、41.
勾股定理知识点总结、经典例题
知识点及例题 知识点一:勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为:a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方. 要点诠释:(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 (2)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角。 (3)理解勾股定理的一些变式: c2=a2+b2, a2=c2-b2,b2=c2-a2,c2=(a+b)2-2ab 知识点二:用面积证明勾股定理 方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。 图(1)中,所以。 方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。 图(2)中,所以。 方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)—1和(3)—2所示的两个形状相同的正方形。 在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积), 在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积), 所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:. 方法四:如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。 ,所以。
知识点三:勾股定理的作用 1.已知直角三角形的两条边长求第三边;2.已知直角三角形的一条边,求另两边的关系; 3.用于证明平方关系的问题;4.利用勾股定理,作出长为的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数 满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的: ①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤10、24、26;⑥9、40、41. 如果(a,b,c)是勾股数,当t>0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形。 经典例题透析类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c= (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 总结升华:有一些题目的图形较复杂,但中心思想还是化为直角三角形来解决。如:不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和。 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的 长. 解析:作于D,则因,
勾股定理知识归纳总结及解析
勾股定理知识归纳总结及解析 一、选择题 1.如图,已知ABC 中,4AB AC ==,6BC =,在BC 边上取一点P (点P 不与点B 、C 重合),使得ABP △成为等腰三角形,则这样的点P 共有( ). A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2.如图,在矩形纸片ABCD 中,AD =9,AB =3,将其折叠,使点D 与点B 重合,折痕为EF ,那么折痕EF 的长为( ) A .3 B .6 C .10 D .9 3.如图,已知ABC 中,10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于 ,,D E 连接BD ,则CD 的长为( ) A .1 B . 54 C . 74 D .254 4.如图,在ABC 中,90A ∠=?,6AB =,8AC =,ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ,过点O 作⊥OD AB 于点D ,若则AD 的长为( ) A 2 B .2 C 3 D .4 5.如图,设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发,以相同的速度分别沿棱向前爬行,黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…,白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…,并且都遵循如下规则:所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须
既不平行也不相交(其中n 是正整数).那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时,它们之间的距离是( ) A .0 B .1 C .3 D .2 6.如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15,则S 2的值是( ) A .3 B . 154 C .5 D . 152 7.下列四组数中不能构成直角三角形的一组是( ) A .1,2,6 B .3,5,4 C .5,12,13 D .3,2,13 8.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( ) A .9,7,12 B .2,3,4 C .1,2,3 D .5,11,12 9.在直角三角形ABC 中,90C ∠=?,两直角边长及斜边上的高分别为,,a b h ,则下列关系式成立的是( ) A . 222221a b h += B . 222111 a b h += C .2h ab = D .222h a b =+ 10.如图,在△ABC ,∠C =90°,AD 平分∠BAC 交CB 于点D ,过点D 作DE ⊥AB ,垂足恰好是边AB 的中点E ,若AD =3cm ,则BE 的长为( )
勾股定理知识点梳理
勾股定理知识点梳理Revised on November 25, 2020
勾股定理知识点梳理 1.直角三角型有哪些特殊的性质;①角,直角三角型的两锐角互余;②边,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,用符号表示:在Rt △ABC 中, c b a 2 22=+;③面积,两种计算面积的方法。 2.如何判定一个三角形是直角三角形呢 ①有一个内角为直角的三角形是直角三角形;②两个内角互余的三角形是直角三角形;③如果三角形的三边长为a 、b 、c 满足c b a 222=+,那么这个三角形是直角三角形 3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4.互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 5.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中, a , b , c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25,8,15,17;9,40,41等 6.勾股定理的证明 c b a H G F E D C B A
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为2 2 2 ()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 一. 典型例题 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中,∠C=90° (1)已知a=6, c=10,求b , (2)已知a=40,b=9,求c ; (3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 举一反三 【变式】:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC 的长. b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A