最新高考数学必备独家专题参数方程
第二节 参数方程
A 组 基础题组
1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =-8+t ,
y =t 2(t 为参数),曲线C 的参数方程为{x =2s 2,
y =2√2s (s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.
解析 易知直线l 的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P 在曲线C 上,所以可设P(2s 2
,2√2s), 从而点P 到直线l 的距离d=
2√2s+8√12+(-2)
2
=
√2)2
√5
.
当s=√2时,d min =
4√5
5
. 因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值4√5
5
. 2.已知曲线C 的参数方程为{
x =6cosθ,
y =4sinθ
(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C 上
的点按坐标变换{x '=1
3x ,
y '=1
4y 得到曲线C'. (1)求曲线C'的普通方程;
(2)若点A 在曲线C'上,点D(1,3),当点A 在曲线C'上运动时,求AD 的中点P 的轨迹方程. 解析 (1)将{x =6cosθ,y =4sinθ代入{x '=1
3x ,y '=14y ,得曲线C'的参数方程为{x '=2cosθ,
y '=sinθ, ∴曲线C'的普通方程为
x '2
4
+y'2=1.
(2)设点P(x,y),A(x 0,y 0), ∵D(1,3),且AD 的中点为P, ∴{
x 0=2x -1,
y 0=2y -3,
又点A 在曲线C'上, ∴(2x-1)2+4(2y-3)2=4,
∴动点P 的轨迹方程为(2x-1)2+4(2y-3)2=4.
3.(2018合肥第一次质量检测)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{
x =3cosθ,
y =2sinθ
(θ为参数),
在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ-2cos θ=0. (1)求曲线C 2的直角坐标方程;
(2)若曲线C 1上有一动点M,曲线C 2上有一动点N,求|MN|的最小值. 解析 (1)由ρ-2cos θ=0得ρ2-2ρcos θ=0. ∵ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x,∴x 2+y 2-2x=0, 即曲线C 2的直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1. (2)由(1)可知,圆C 2的圆心为C 2(1,0),半径为1. 设曲线C 1上的动点M(3cos θ,2sin θ), 由动点N 在圆C 2上可得|MN|min =|MC 2|min -1.
∵|MC 2|=√(3cosθ-1)2
+4sin 2θ=√5cos 2,
∴当cos θ=3
5时,|MC 2|min =4√5
5
, ∴|MN|min =|MC 2|min -1=
4√5
5
-1. 4.(2018昆明高三摸底调研)在平面直角坐标系xOy 中,已知倾斜角α的直线l 过点A(2,1).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l 与曲线C 分别交于P,Q 两点.
(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|,求直线l 的斜率k. 解析 (1)直线l 的参数方程为{
x =2+tcosα,
y =1+tsinα
(t 为参数).
曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2y.
(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程,得t 2+(4cos α)t+3=0,由Δ=(4cos α)2-4×3>0,得cos 2 α>3
4,
由根与系数的关系,得t 1+t 2=-4cos α,t 1·t 2=3,
由参数的几何意义知,|AP|=|t 1|,|AQ|=|t 2|,|PQ|=|t 1-t 2|, 由题意知,(t 1-t 2)2=t 1·t 2,则(t 1+t 2)2=5t 1·t 2, 得(-4cos α)2=5×3,解得cos 2α=15
16,
满足cos 2α>3
4,所以sin 2α=1
16,tan 2α=1
15,所以直线l 的斜率k=tan α=±√15
15.
B 组 提升题组
1.(2018课标全国Ⅲ,22,10分)在平面直角坐标系xOy 中,☉O 的参数方程为{x =cosθ,
y =sinθ
(θ
为参数),过点(0,-√2)且倾斜角为α的直线l 与☉O 交于A,B 两点. (1)求α的取值范围;
(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 解析 (1)☉O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1. 当α=π
2时,l 与☉O 交于两点.
当α≠π
2时,记tan α=k,则l 的方程为y=kx-√2.l 与☉O 交于两点当且仅当|√2√1+k 2
|<1,解得
k<-1或k>1,即α∈(π
4,π
2)或α∈(π
2,3π4
).
综上,α的取值范围是(π
4,3π4
).
(2)l 的参数方程为{
x =tcosα,y =-√2+tsinα
(t 为参数,π4<α<3π
4).
设A,B,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P ,则t P =t A +t B 2
,且t A ,t B 满足t 2-2√2tsin α+1=0.
于是t A +t B =2√2sin α,t P =√2sin α. 又点P 的坐标(x,y)满足{
x =t P cosα,
y =-√2+t P sinα.
所以点P 的轨迹的参数方程是
{x =√2
2sin2α,y =-√22-√2
2cos2α
(α为参数,π4<α<3π4).
2.直线l 的参数方程为{x =1+1
2t ,
y =√3
2t (t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1+sin 2θ)ρ2
=2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程; (2)设直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,若点P 为(1,0),求
1|PA |
2+
1|PB |
2
的值.
解析 (1)消去参数t 得直线l 的普通方程为√3x-y-√3=0.
曲线C 的极坐标方程为ρ2
+ρ2
sin 2
θ=2,化为直角坐标方程为x 2
+2y 2
=2,即x 2
2+y 2=1. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C:x 2+2y 2=2,得7t 2+4t-4=0.
设A,B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t
1,t
2
,则t
1
+t
2
=-4
7
,t
1
t
2
=-4
7
,
所以1
|PA|2
+1
|PB|
2
=1
|t1|
2
+1
|t2|
2
=t1
2+t
2
2
(t1t2)2
=(t1+t2)
2
-2t1t2
(t1t2)2
=9
2
,即1
|PA|
2
+1
|PB|
2
的值为9
2
.
3.(2018课标全国Ⅰ,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C
1
的方程为y=k|x|+2.以坐标原
点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C
2
的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.
(1)求C
2
的直角坐标方程;
(2)若C
1与C
2
有且仅有三个公共点,求C
1
的方程.
解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C
2
的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知C
2
是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C
1
是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.
记y轴右边的射线为l
1,y轴左边的射线为l
2
.
由于B在圆C
2的外面,故C
1
与C
2
有且仅有三个公共点等价于l
1
与C
2
只有一个公共点且l
2
与
C
2有两个公共点,或l
2
与C
2
只有一个公共点且l
1
与C
2
有两个公共点.
当l
1与C
2
只有一个公共点时,A到l
1
所在直线的距离为2,所以
2
=2,故k=-4
3
或k=0,经检
验,当k=0时,l
1与C
2
没有公共点;当k=-4
3
时,l
1
与C
2
只有一个公共点,l
2
与C
2
有两个公共点.
当l
2与C
2
只有一个公共点时,A到l
2
所在直线的距离为2,所以
√2
=2,故k=0或k=4
3
.经检验,
当k=0时,l
1与C
2
没有公共点;当k=4
3
时,l
2
与C
2
没有公共点.
综上,所求C
1的方程为y=-4
3
|x|+2.
4.(2018湖北五校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C
1
过点P(a,1),其参数方程为
{x=a+√2
2
t,
y=1+√2
2
t
(t为参数,a∈R).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C
2
的极
坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0.
(1)求曲线C
1的普通方程和曲线C
2
的直角坐标方程;
(2)已知曲线C
1与曲线C
2
交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a的值.
解析(1)∵曲线C
1的参数方程为{
x=a+√2
2
t,
y=1+√2
2
t
(t为参数,a∈R),
∴曲线C 1的普通方程为x-y-a+1=0.
∵曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ-ρ=0, ∴ρ2cos 2θ+4ρcos θ-ρ2=0, 又ρcos θ=x,ρ2=x 2+y 2, ∴x 2+4x-x 2-y 2=0,
即曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x. (2)设A,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2,
由{
y 2=4x ,x =a +√22t ,y =1+√22t
得t 2-2√2t+2-8a=0. Δ=(-2√2)2
-4(2-8a)>0,即a>0, ∴{
t 1+t 2=2√2,t 1·t 2=2-8a ,
根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|=|t 1|,|PB|=|t 2|, ∴由|PA|=2|PB|得t 1=2t 2或t 1=-2t 2, ∴当t 1=2t 2时,有{t 1+t 2=3t 2=2√2,
t 1·t 2=2t 22
=2-8a , 解得a=1
36>0,符合题意,
当t 1=-2t 2时,有{t 1+t 2=-t 2=2√2,
t 1·t 2=-2t 22
=2-8a , 解得a=94>0,符合题意. 综合上所述,a=1
36或a=9
4.