公因数和公倍数应用题 - 答案

公因数和公倍数应用题答案

知识梳理

教学重、难点

作业完成情况

典题探究

例1．媛媛、妈妈和爸爸在学校的圆形塑胶跑道晨练，媛媛每圈要5分钟，妈妈每圈4分钟，爸爸每圈3分钟．开始同时跑，至少要经过多少分钟他们三人才跑在一齐？

考点：公因数和公倍数应用题．

专题：约数倍数应用题．

分析：由于他们跑一周所用时间各不相同，则爸爸妈妈和小明同时起跑，第一次在起点三人同时相遇所用时间应是三人各跑一周所用时间的最小公倍数，可以通过求5、4、3的最小公倍数的方法求出他们三人才跑在一齐的时间．

解答：解：他们跑一周所用时间各不相同，则爸爸妈妈和小明同时起跑，第一次在起点三人同时相遇所用时间应是三人各跑一周所用时间的最小公倍数，

5、3、4的最小公倍数是5×3×4=60，

即至少要经过60分钟他们三人才跑在一齐．

点评：此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力．

例2．在一张长25厘米、宽20厘米的长方形纸上画尽可能大的正方形，要求充分利用纸，不能有剩余，且每个正方形要同样大．你能画多少个？

考点：公因数和公倍数应用题．

专题：约数倍数应用题．

分析：在一张长25厘米、宽20厘米的长方形纸上画同样大小3面积尽可能大的正方形，纸没剩余，则只要求出25和20的最大公因数，就是正方形的边长，然后用总面积除以正方形面积，即可得解．

解答：解：25=5×5

20=2×2×5

所以25和20的最大公因数是5，即面积尽可能大的正方形的边长是5厘米；

（25×20）÷（5×5）

=（25÷5）×（20÷5）

=5×4

=20（个）；

答：能画20个．

点评：灵活应用最大公因数的求解来解决实际问题．本题关键是运用求最大公因数的方法，求出最大正方形的边长的长度．

例3．园林处需要60﹣70人帮忙植树，附近某中学组织一批学生参加这次植树活动，到现场分组时，发现每2人一组，或每3人一组，或每5人一组均多一人，参加这次植树活动的学生有61人．

考点：公因数和公倍数应用题．

专题：约数倍数应用题．

分析：明确要求的问题即：60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数，先求出2、3、5的公倍数，然后加上1，进而找出符合题意的即可．

解答：解：2、3、5的公倍数有：30、60、90、…，

所以60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数是：60+1=61，

即：参加这次植树活动的学生有61人；

故答案为：61．

点评：明确要求的问题即：60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数，是解答此题的关键．

例4．甲、乙、丙三个班的同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班63人，把各班同学分别分成小组，乘坐若干条小船，使每条船上人数相等，最少需要7条船．

考点：公因数和公倍数应用题．

专题：约数倍数应用题．

分析：首先求得49、56、63的最大公约数（7），即是所求的船数，每一个数对应除以7相加得和，也就是每一条船应当上的人数，由此解决问题．

解答：解：49、56、63的最大公约数是7，也就是船数；

每一条船上的人数：

49÷7+56÷7+63÷7，

=7+8+9，

=24（人）．

答：最少要有7条船；

故答案为：7．

点评：解决此题的关键是求几个数的最大公约数，进一步结合实际理解为船数即可解决问题．

演练方阵

A档（巩固专练）

一．选择题（共15小题）

1．有两根长分别是40分米和90分米的木条，现在要把它们锯成同样长的小段（每段长度的分米数都是整数，而且不能有剩余），两根木条共能锯成（）段．

A．5B．9C．13

考点：公因数和公倍数应用题．

专题：约数倍数应用题．

分析：先分别把40、90分解质因数，求出它们的最大公因数，就是每段的长度，再用40和90的和除以每段的长度求出一共锯成的段数．

解答：解：40=2×2×2×5

90=2×3×3×5

40和90的最大公因数为2×5=10

（40+90）÷10

=13（段）

答：两根木条共能锯成13段．

故选：C．

点评：此题主要考查两个数的最大公因数的求法，并用此解决实际问题．

2．有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会灭掉，再拉一下灯由灭变亮，现按其顺序将灯编号为1，2，…，2007，然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有多少盏（）

A．998 B．535 C．1003 D．1004

考点：公因数和公倍数应用题．

专题：约数倍数应用题．

分析：由于有2007盏亮着的电灯，现按其顺序编号为l，2，…，2007，那么编号为2的倍数的灯有[（2007﹣1）÷2]只，编号为3的倍数的灯有（2007÷3）只，编号为5的倍数的灯的有[（2007﹣2）÷5]只，利用这些数据即可求出3次拉完后亮着的灯数．拉1次和3次的灯熄灭，拉2次和没有拉的灯仍然亮着．

解答：解：∵有2007盏亮着的电灯，现按其顺序编号为l，2， (2007)

∴编号为2的倍数的灯有（2007﹣1）÷2=1003只，

编号为3的倍数的灯有2007÷3=669只，

编号为5的倍数的灯的有（2007﹣2）÷5=401只，

其中既是3的倍数也是5的倍数有（2007﹣12）÷15=133，

既是2的倍数也是3的倍数有（2007﹣3）÷6=334，

既是2的倍数也是5的倍数有（2007﹣7）÷10=200，

既是2的倍数也是5的倍数，还是3的倍数有（2007﹣27）÷30=66，

只拉1次的：1003﹣334﹣200+66=535，669﹣334﹣133+66=268，401﹣200﹣

133+66=134，

拉3次的66，

所以亮的就是2007﹣535﹣268﹣134﹣66=1004只．

故选D．

点评：此题主要考查了最小公倍数的应用，解题时根据数的整除性首先分别求出2、3、5的倍数的个数，然后列出6，15，10，30的倍数的个数，然后利用容斥关系即可解决问题．

3．一间教室长9米，宽7.2米，计划在地面上铺方砖，选边长（）的方砖能使地面都是整块方砖．

A．5分米B．6分米C．1米D．无法确定

考点：公因数和公倍数应用题．

专题：约数倍数应用题．

分析：先换算单位长9米=90分米，宽7.2米=72分米，再找到90，72的公约数即可作出选择．

解答：解：9米=90分米，宽7.2米=72分米，

90=2×3×3×5，

72=2×2×2×3×3

故选项中只有6是90，72的公约数．

故选：B．

点评：考查了图形的密铺，同时是对求两个数的公约数的考查．注意单位换算．

4．装修一间长4米，宽3.2米的房间，要铺正方形砖，选用边长为（）厘米的砖损耗会较小．

A．30 B．40 C．60 D．80

考点：公因数和公倍数应用题．

专题：约数倍数应用题．

分析：把4米和3.2米化成以分米为单位即分别是40分米及32分米，然后求出40与32的最小公倍数，这样基本上不需要切割方砖，损耗会较小．

解答：解：4米=40分米，3.2米=32分米

40=2×2×2×5

32=2×2×2×2×2

最小公倍数是2×2×2=8

8分米=80厘米