第三章(2)戴得金定理证明

Ⅰ 戴德金定理；

Ⅱ 单调有界数列必收敛定理（一般的，我们取单调递增有上界数列）； Ⅲ 确界原理（一般的，我们取非空有上界数集）； Ⅳ 闭区间套定理； Ⅴ 致密性定理； Ⅵ 柯西收敛准则； Ⅶ 有限覆盖定理．

在证明它们的等价性时，一般采用循环证法，但在本篇论文中，为了说明这七个命题都可以作为构造实数的公理性命题，我们选择从一个命题出发，来证明其余六个命题．下面给出这42个证明过程． Ⅰ⇒Ⅱ：（戴德金定理⇒单调有界数列必收敛定理）

证明：设数列{n x }单调递增且有上界，其上界构成集合B ，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空、不漏、有序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数．

若A 中有最大数，不妨设为α，则由/A B 的构造可知α不是{n x }的上界，N N +∃∈使N x α>，则

N x B ∈，且为数列{n x }的上界，由数列{n x }单调递增可知，,n N ∀>均有n N x x =，从而{n x }极限存在．

若B 中有最小数，不妨设为β，现在证明β即为数列{n x }的极限．事实上，β是数列{n x }的上界，

且对0,εβε∀>-不属于B ，从而不是{n x }的上界，即,N N N x βε+

∃∈>-使，又因为{n x }的单调性，

从而：

,.N n n N x x βεβ∀>-<≤<

也即，数列{n x }收敛于β． Ⅰ⇒Ⅲ：（戴德金定理⇒确界原理）

证明：设数集E 非空且有上界，其上界构成集合B ，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空、不漏、有序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数．

若A 中有最大数，不妨设为α，则由/A B 构造可知α不是数集E 的上界，从而存在,E ξ∈

ξα>使．即B ξ∈为E 的上界，因此sup E ξ=，数集E 的上确界存在．

若B 中有最小数，不妨设为β，则对0,A εβε∀>-∈不是E 的上界．从而,E ξ∃∈ 使：

βεξβ-<≤．

也即sup E ξ=，E 的上确界存在．

Ⅰ⇒Ⅳ：（戴德金定理⇒闭区间套定理）

证明：设{[],n n a b }是递缩的闭区间列，数列{n a }的上界构成集合B ，则我们可知{1,2,

n b n =}B ⊂，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空，不漏，有

序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数．

若A 中有最大数，类似前面证明可知，数列{n a }自某一项之后恒为常数，从而数列{n a }的极限存在，设lim n n a c →∞

=，则：

lim()lim()lim()n n n n n n n b c b a a c →∞

→∞

→∞

-=-+-

000.=+= 即lim lim .n n n n a c b →∞

→∞

== 点c 唯一且属于所有的闭区间．

若B 中有最小数，不妨设为c ，则对n N +∀∈，有：

n n a c b <≤．

且因lim()0.n n n b a →∞

-= 可知：

0lim()lim()0.n n n n n c a b a →∞

→∞

≤-≤-=

从而lim lim .n n n n a c b →∞

→∞

== 点c 唯一且属于所有的闭区间．[7]

Ⅰ⇒Ⅴ：（戴德金定理⇒致密性定理）

证明：对任意有界数列{n x }，x R ∀∈定义()J x 为{}n J x =的子集：

(){n J x x J =∈︱}.n x x ≤

令{()A x R J x =∈为有限集或空集}；{()B x R J x =∈为无限集}．根据上述定义，显然可以得出/A B 是实数集R 的一个分划，由戴德金定理可知.R β∃∈ 有且仅有下列两种情况：

（1）.A β∈即max .A β=，此时存在0N ，当0n N >就有n x β>，但另一方面inf B β=因此

0,A εβε∀>-∈，从而有无穷多个n x 满足n x βε<+．今取：

1ε=，则10,N N ∃>使1

1N x β<+；

1/2ε=，则21,N N ∃>使2

1/2N x β<+；

…

1/k ε=，则1,k k N N -∃>使1/k

N x k β<+；

…

于是得到{n x }的一个子列{k N x }，其中1/k N x k ββ<<+，这说明lim k N k x β→∞

=．

（2）.B β∈ 即min .B β= 这说明0,()J εβε∀>-为有限集，()J β为无限集，即(,)βεβ-内有无限多个{n x }中的点，同上可得到数列{n x }的收敛子列{k n x }且lim k n k x β→∞

=．

Ⅰ⇒Ⅵ：（戴德金定理⇒柯西收敛准则）

证明：类似上述讨论，数列{n x }有收敛子列{k n x }，即对0,,.K N k K ε+

∀>∃∈∀> 均有：

/2.k n x βε-<

又因为{n x }为柯西列，对上述0,,,.N N n N m N ε+

>∃∈∀>> 有：

/2.m n x x ε-<

因而取0max{1,1}K N K =++，则011k N n n N N +≥≥+>，从而对上述0,.n N ε>∀> 有：

k k n n n n x x x x ββ-≤-+-

/2/2.εεε<+= 即lim n n x β→∞

=．数列{n x }收敛．

Ⅰ⇒ Ⅶ：（戴德金定理⇒有限覆盖定理）

证明：假设闭区间[],a b 被开区间集E 所覆盖，若闭区间[],a b 没有被开区间集E 有限覆盖，则将闭区间[],a b 二等分为,

2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣

⎦，,2a b b +⎡⎤

⎢⎥⎣⎦，必有一个闭区间没有被有限覆盖，记为[]11,a b ，依此类推，得到递缩的闭区间列{[],n n a b }，根据戴德金定理推出闭区间套定理的结果可知，有唯一的一个点c 属于所有的闭区间，又因为闭区间[],a b 被开区间集E 所覆盖，则对点c 的某一邻域(,)c δ⋃必存在E 中一个区间

i ∆，使得(,)i c δ⋃⊂∆，又当n 充分大时有[],(,)n n i a b c δ⊂⋃⊂∆，即[],n n a b 被区间i ∆所覆盖，这与

{[],n n a b }的取法矛盾．

Ⅱ⇒Ⅰ：（单调有界数列必收敛定理⇒戴德金定理）

证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值 事实上，我们可作严格递缩的闭区间列{[],n n a b }，其中：