高中数学等差数列教案()

课题：3.1 等差数列（一）

教学目的：

1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；

2 ．会解决知道a n,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式

教学难点：等差数列的性质

授课类型：新授课

课时安排： 1 课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函

数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从

图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列（从几何上看两点可以决定一条直线）教学过程：

一、复习引入：

上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式.. 这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子

1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只yes,no,you,me,he 5 个他

决定从今天起每天背记10 个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，⋯

问：多少天后他的单词量达到3000？）

2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000 她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉 5 个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，⋯（问：多少天后她那3000 个单词全部忘光？）从上面两例中，我们分别得到两个数列

① 5 ，15，25，35，⋯和② 3000 ，2995，2990，2980，⋯请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？

· 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列

二、讲解新课：

1 ．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“ d”表示）

⑴．公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{a n}, 若a n－a n1=d （与n 无关的数或字母），n≥2，n∈N ，

则此数列是等差数列， d 为公差

2．等差数列的通项公式：a n a1 （n 1）d 【或a n a m （n m）d 】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列a n 的首项

是a1 ，公差是d，则据其定义可得：

a2 a1 d 即：a2 a1 d

a 3

a 2 d 即： a 3 a 2 d a 1 2d a 4 a 3 d 即： a 4 a 3 d a 1 3d

由此归纳等差数列的通项公式可得： a n a 1 (n 1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项 a 1 和公差 d ，便可求得其通项 a n 如数列① 1，2，3，4，5，6； a n 1 (n 1) 1 n (1≤n ≤6) 数列② 10，8，6，4，2，⋯； a n 10 (n 1) ( 2) 12 2n (n ≥1) 数列③ 1;2,3; 4,1, ; a n 1 (n 1) 1 n (n ≥1)

5 5 5 5 n 5 5 5

由上述关系还可得： a m a 1 (m 1)d

即： a 1 a m (m 1)d

则： a n a 1 (n 1)d =a m (m 1)d (n 1)d a m (n m)d

即的 第二通项公

式 a n a m (n m)d ∴ d= a m a n mn

如： a 5 a 4 d a 3 2d a 2 3d a 1 4d 例1 ⑴求等差数列 8，5，2⋯的第 20项

⑵ -401 是不是等差数列 -5，-9，-13 ⋯的项？如果是，是第几项？

解：⑴由 a 1 8,d 5 8 2 5 3

n=20，得 a 20 8 (20 1) ( 3) 49

⑵由 a 1 5,d 9 ( 5) 4 得数列通项公式为： a n 5 4(n 1) 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数

之得 n=100，即-401 是这个数列的第 100 项 例 2 在等差数列 a n 中， 已知 a 5 10 ， a 12 31 ，求 a 1 , d , a 20 , a n

解法一：∵ a 5 10， a 12 31，则

a 1 4d 10 a 1 2

∴ a n a 1 (n 1)d 3n 5

、例题讲解

n ，使得 401 5 4(n 1) 成立解

a111d 31 d 3 n 1

解法二：∵ a12 a5 7d 31 10 7d d 3

∴ a20 a12 8d 55a n a12 (n 12)d 3n 5

小结：第二通项公式a n a m (n m)d

例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列u n中，设数列的第s 项和第t 项分别为u s和u t，计算u s u t的值，你能发现什么结论？并证明你的结论st 解：通过计算发现u s u t的值恒等于公差

st

证明：设等差数列{ u n }的首项为u1，末项为u n ，公差为d，

⑴ - ⑵得u s u t (s t)d u s u t d

st

小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率

例 4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10 级，各级的宽

度成等差数列，计算中间各级的宽度

解：设a n 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，

由已知条件，可知：a1 =33, a12 =110，n=12

∴a12 a1 (12 1)d,即10=33+11d 解得： d 7

因此，a2 33 7 40,a3 40 7 47,a4 54,a5 61,

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，

68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例 5 已知数列{ a n }的通项公式a n pn q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定a n 是不是等差数列，只要看a n a n 1（n≥2）

是不是一个与n 无关的常数

解：当n≥2时, （取数列a n 中的任意相邻两项a n 1与a n（n≥2））

a n a n 1 （pn q） [ p（n 1） q] pn q （pn p q） p 为常数