人教A版高中数学必修三试卷模块质量检测(a)

模块质量检测(A)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( )

A．1对B．2对

C．3对D．4对

解析：E1与E3，E1与E4均为互斥而不对立的事件．

答案： B

2．若十进制数26等于k进制数32，则k等于( )

A．4 B．5

C．6 D．8

解析：由题意知，26＝3×k1＋2，解得k＝8.

答案： D

3．已知某单位有职工120人，男职工有90人，现采用分层抽样(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为( )

A．36 B．30

C．40 D．无法确定

解析：设样本容量为n，则

n

120

＝

27

90

，∴n＝36.

答案： A

4．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )

A.23

B.12

C.13

D.16

解析： 从A ，B 中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2,2)，(3,1)2个基本事件，所以P ＝26＝1

3

.

答案： C

5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )

A ．0.09

B ．0.20

C ．0.25

D ．0.45

解析： 由图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.

答案： D

6．如图所示是计算函数y ＝????

?

－x ，x ≤－1，0，－1

x 2，x >2的值的程序框图，则在①②③处应分

别填入的是( )

A ．y ＝－x ，y ＝0，y ＝x 2

B ．y ＝－x ，y ＝x 2

，y ＝0 C ．y ＝0，y ＝x 2

，y ＝－x

D ．y ＝0，y ＝－x ，y ＝x 2

解析： 框图为求分段函数的函数值，当x ≤－1时，y ＝－x ，故①y ＝－x ，当－1

.

答案： B

7．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率为( ) A.15 B.25 C.35

D.45

解析： 根据几何概型的概率公式，P ＝3－13－(－2)＝2

5.

答案： B

8．(2014·浙江卷)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是( )

A.16

B.13

C.12

D.23

解析： 设三张奖券分别用A ，B ，C 代替，A 一等奖；B 二等奖；C 无奖，甲、乙各抽一张共包括(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，6种基本事件，其中甲、乙都中奖包括两种，P ＝26＝1

3

，故选B.

答案： B

9．(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：

则这组数据的中位数是( ) A ．19 B ．20 C ．21.5

D ．23

解析： 由中位数的概念可知，该组数据按从小到大顺序排列的第6和第7个数据的平均数即为要求的中位数，为20.

答案： B

10．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为( )

A.19

B.29

C.49

D.89

解析： 设2个人分别在x 层，y 层离开，则记为(x ，y )基本事件构成集合Ω＝{(2,2)，(2,3)，(2,4)，…，(2,10)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，…，(3,10)，…，(10,2)，(10,3)，(10,4)，…，(10,10)}，

所以除了(2,2)，(3,3)，(4,4)，…，(10,10)以外，都是2个人在不同层离开，故所求概率P ＝9×9－99×9＝89

.

答案： D

11．如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2

，则5x 1＋2,5x 2＋2，…，5x n ＋2的平均数和方差分别为( )

A.x ，s 2

B ．5x ＋2，s 2

C ．5x ＋2,25s 2

D.x ，25s 2

解析： 由平均数与方差的计算公式分析可得5x 1＋2,5x 2＋2，…，5x n ＋2的平均数为5x ＋2，方差为25s 2

，故选C.

答案： C

12．(2015·开封高一检测)设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 与b ，确定平面上一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )

A．3 B．4

C．2和5 D．3和4

解析：点P(a，b)共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)6种情况，得x＋y分别等于2,3,4,3,4,5，所以出现3与4的概率最大，故n的所有可能值为3和4.

答案： D

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)

13．(2015·福建卷)某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．解析：由题意知，男生人数＝900－400＝500，所以抽取比例为男生∶女生＝500∶400

＝5∶4，样本容量为45，所以抽取的男生人数为45×5

9

＝25.

答案：

25

14．(2015·沈阳高一检测)在区间[－1,1]内随机取一个数k，则直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为________．

解析：由题意知，d＝|2k|

1＋k2

≤1?－

3

3

≤k≤

3

3

，所以有公共点的概率P＝

3

3

－

?

?

?

?

?

－

3

3

1－(－1)

＝

3

3

.

答案：

3

3

15．102,238的最大公约数是________．

解析：238－102＝136,136－102＝34,102－34＝68,68－34＝34.

答案：34

16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝________.

解析： 按照程序框图的执行流程分析循环过程，得到输出结果． 程序框图的执行流程及中间结果如下：

第一步：a ＝10，i ＝1，a ≠4，a 不是奇数，a ＝10

2

＝5，i ＝2；第二步：a ≠4，a 是奇数，

a ＝3×5＋1＝16，i ＝3；第三步：a ≠4，a 不是奇数，a ＝162

＝8，i ＝4；第四步：a ≠4，a

不是奇数，a ＝8

2

＝4，i ＝5；第五步，a ＝4，这时跳出循环，输出i ＝5.

答案： 5

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则算甲赢，否则算乙赢．

(1)若以A 表示“和为6”的事件，求P (A )；

(2)现连玩三次，以B 表示“甲至少赢一次”的事件，C 表示“乙至少赢两次”的事件，则B 与C 是否为互斥事件？试说明理由．

(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．

解析： (1)令x ，y 分别表示甲、乙出的手指数，则基本事件空间可表示为S ＝{(x ，y )|x ∈N *

，y ∈N *,

1≤x ≤5,1≤y ≤5}．

因为S 中点的总数为5×5＝25， 所以基本事件总数n ＝25.

事件A 包含的基本事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个，所以P (A )＝

525＝15

. (2)B 与C 不是互斥事件，如“甲赢一次，乙赢两次”的事件中，事件B 与C 是同时发生的．

(3)由(1)知，和为偶数的基本事件数为13，即甲赢的概率为1325，乙赢的概率为12

25，所以

这种游戏规则不公平．

18．(本小题满分12分)已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x ，y )值依次记为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，….

(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值；

(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少；

(3)写出程序框图的程序语句．

解析：(1)开始时x＝1时，y＝0；接着x＝3，y＝－2；最后x＝9，y＝－4，所以t＝－4；

(2)当n＝1时，输出一对，当n＝3时，又输出一对，…，当n＝2011时，输出最后一对，共输出(x，y)的组数为1006；

(3)程序框图的程序语句如下：

x＝1

y＝0

n＝0

DO

PRINT (x，y)

n＝n＋2

x＝3*x

y＝y－2

LOOP UNTIL n＞2010

END

19.(本小题满分12分)(2014·山东卷)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区 A B C

(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区样品的数量；

(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.

解析： (1)因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：

A ∶

B ∶

C ＝50∶150∶100＝1∶3∶2，

所以各地区抽取商品数为A ：6×16＝1，B ：6×36＝3，C ：6×2

6＝2.

(2)设各地区商品分别为A ，B 1，B 2，B 3，C 1，C 2，

基本事件空间Ω为：(A ，B 1)，(A ，B 2)，(A ，B 3)，(A ，C 1)，(A ，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共15个.

样本事件空间为：(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，(C 1，C 2)， 所以这两件商品来自同一地区的概率为P (A )＝4

15

.

20.(本小题满分12分)(2015·枣庄高一检测)A ，B ，C ，D ，E 五位学生的数学成绩x 与物理成绩y (单位：分)如表：

(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧；(参考数值：80×70＋75×66＋70×68＋65×64＋60×62＝23190，802

＋752

＋702

＋652

＋602

＝24750)

(2)若学生F 的数学成绩为90分，试根据(1)求出的回归方程，预测其物理成绩(结果保留整数).

解析： (1)因为x ＝80＋75＋70＋65＋60

5

＝70，

y ＝

70＋66＋68＋64＋62

5

＝66，

i ＝1

5

x i y i ＝80×70＋75×66＋70×68＋65×64＋60×62

＝23190，

∑i ＝1

5

x 2i ＝802＋752＋702＋652＋602

＝24750，

所以b ∧

＝

∑i

＝1

5

x i y i －5x

y

∑i ＝1

5

x 2i －5x 2

＝

23 190－5×70×66

24 750－5×70

2

＝0.36， a ∧

＝y －b ∧

x ＝66－0.36×70＝40.8.

故所求线性回归方程为y ∧

＝0.36x ＋40.8.

(2)由(1)，当x ＝90时，y ∧

＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73， 所以预测学生F 的物理成绩为73分．

21.(本小题满分13分)(2015·四川绵阳高三二诊)2014年11月12日，科幻片《星际穿越》上映，上映至今，全球累计票房高达6亿美金.为了了解绵阳观众的满意度，某影院随机调查了本市观看影片的观众，并用“10分制”对满意度进行评分，分数越高满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为“满意观众”.现从调查人群中随机抽取12名.如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶).

(1)求从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率；

(2)从本次所记录的满意度评分大于9.1的“满意观众”中随机抽取2人，求这2人得分不同的概率.

解析： (1)由茎叶图可知，所抽取12人中有4人低于9分，即有4人不是“满意观众”， 所以P ＝412＝13

，

即从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率为1

3

.

(2)设本次符合条件的满意观众分别为A 1(9.2)，A 2(9.2)，A 3(9.2)，A 4(9.2)，B 1(9.3)，

B 2(9.3)，其中括号内为该人的分数.则从中任意选取两人的可能有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种，

其中，分数不同的有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，

B 1)，(A 4，B 2)，共8种，

所以所求的概率为

8

15

.

22.(本小题满分13分)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：

甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖.

乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？

解析： 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR 2

，阴影部分的面积为4×15πR 2

360＝πR

2

6

，

则在甲商场中奖的概率为P 1＝πR

2

6πR 2＝1

6

；

如果顾客去乙商场，记3个白球为a 1，a 2，a 3，3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：

(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，

b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种，

摸到的是2个红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共3种， 则在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝1

5

，

又P 1＜P 2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大.