第8章-相对论作业

相对论作业

15－4 一飞船的固有长度为L ，相对于地面以速度v 1 作匀速直线运动，从飞船中的后端向飞船中的前端的一个靶子发射一颗相对于飞船的速度为v 2 的子弹.在飞船上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是( ) (c 表示真空中光速) (A)

21v v +L (B) 12v -v L (C) 2v L

(D) ()

2

11/1c L v v -

分析与解 固有长度是指相对测量对象静止的观察者所测，则题中L 、v 2 以及所求时间

间隔均为同一参考系(此处指飞船)中的三个相关物理量，求解时与相对论的时空观无关.故选(C).

15－15 若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半，试问宇宙飞船相对此惯性系的速度为多少？ (以光速c 表示)

解 设宇宙飞船的固有长度为l 0 ，它相对于惯性系的速率为v ，而从此惯性系测得宇宙飞船的长度为2/0l ，根据洛伦兹长度收缩公式，有

200/12/c l l 2v -=

可解得

v ＝0.866 c

15－19 在电子偶的湮没过程中，一个电子和一个正电子相碰撞而消失，并产生电磁辐射.假定正负电子在湮没前均静止，由此估算辐射的总能量E .

分析 在相对论中，粒子的相互作用过程仍满足能量守恒定律，因此辐射总能量应等于电子偶湮没前两电子总能之和.按题意电子偶湮没前的总能只是它们的静能之和.

解 由分析可知，辐射总能量为

MeV 1.02J 1064.121320=⨯==-c m E

第八章作业 8-7

解 由分析可知，过程中对外作的功为

))((2

1

1212p p V V W +-=

内能的变化为

)(2

3

231122V p V p T R E -=∆=∆

吸收的热量

)(2

1

)(212211122V p V p V p V p E W Q -+-=∆+=

题 8-7 图

8-9

解 (1) 由分析可知气体经历了等压膨胀过程.

(2) 吸热T C Q Δm p,p v =.其中ν ＝1 mol ，C p,m ＝29.12 Ｊ·mol －1

·Ｋ－1

.由理想气体物态方程pV ＝νRT ，得

ΔT ＝(p 2V 2－p 1 V 1 )/R ＝p(V 2－V 1 )/R ＝p· S· Δl/R

则 J 105.293m p,p ⨯=∆=

R

l

pS C Q

8－14 0.32 kg 的氧气作如图所示的ABCDA 循环，V 2 ＝2V 1 ,T 1＝300Ｋ，T 2＝200Ｋ,求循环效率.

题 8-14 图

分析 该循环是正循环.循环效率可根据定义式η＝W /Q 来求出，其中W 表示一个循环过程系统作的净功，Q 为循环过程系统吸收的总热量.

解 根据分析，因AB 、CD 为等温过程，循环过程中系统作的净功为

()()()J 1076.5/ln /ln /ln 32121212121⨯=-'

=

'+'=+=V V T T R M

m V V RT M m V V RT M m W W W CD AB ）（

由于吸热过程仅在等温膨胀(对应于AB 段)和等体升压(对应于DA 段)中发生,而等温过程中ΔE ＝0,则AB AB W Q =.等体升压过程中W ＝0，则DA DA E Q Δ=,所以，循环过程中系统吸热的总量为

()()()()J

1081.325/ln /ln Δ42112121,121⨯=-'+'=-'+'=+=+=T T R M m V V RT M m T T C M

m V V RT M m E W Q Q Q m V DA

AB DA AB

由此得到该循环的效率为

%15/==Q W η

8－15 图(ａ)是某单原子理想气体循环过程的V －T 图，图中V C ＝2V A .试问：(1) 图中所示循环是代表制冷机还是热机？ (2) 如是正循环(热机循环)，求出其循环效率.

题 8-15 图

分析 以正、逆循环来区分热机和制冷机是针对p －V 图中循环曲线行进方向而言的.因此，对图(ａ)中的循环进行分析时，一般要先将其转换为p －V 图.转换方法主要是通过找每一过程的特殊点，并利用理想气体物态方程来完成.由图(ａ)可以看出，BC 为等体降温过程，CA 为等温压缩过程；而对AB 过程的分析，可以依据图中直线过原点来判别.其直线方程为 V ＝KT ，C 为常数.将其与理想气体物态方程pV ＝νRT 比较可知该过程为等压膨胀过程(注意：如果直线不过原点，就不是等压过程).这样，就可得出p －V 图中的过程曲线，并可判别是正循环(热机循环)还是逆循环(制冷机循环)，再参考题8－14的方法求出循环效率. 解 (1) 根据分析，将V －T 图转换为相应的p －V 图，如图(ｂ)所示.图中曲线行进方向是正循环，即为热机循环.

(2) 根据得到的p －V 图可知，AB 为等压膨胀过程，为吸热过程.BC 为等体降压过程，CA 为等温压缩过程，均为放热过程.故系统在循环过程中吸收和放出的热量分别为

()A B m p T T C M

m

Q -=

,1 ()()A C A A B m V V V RT M

m T T C M m Q /ln ,2+-=

CA 为等温线，有T A ＝T C ；AB 为等压线，且因V C ＝2V A ，则有T A ＝T B /2.对单原子理想气体，其摩尔定压热容C p ，m ＝5R /2，摩尔定容热容C V ，m ＝3R /2.故循环效率为

()()%3.125/2ln 2312/5/2ln 2

31/112=+-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-=-=A A A T T T Q Q η

第五章作业

5-15 如图（a ）所示，质量为1.0 ×10-2 kg 的子弹，以500 m·s -1的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99 kg ，弹簧的劲度系数为8.0 ×103 N·m -1 ，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x 轴正向，求简谐运动方