高考数学专题复习与策略专题解析几何第讲高考中的圆教师用书理
第16讲 高考中的圆
题型一| 直线与圆及圆与圆
(2016·江苏高考)如图16－1，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的
圆M ：x 2
＋y 2
－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．
图16－1
(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →
，求实数t 的取值范围．
[解题指导] (1)设圆心N (6，y 0)――→N 与圆M N 与x 求出y 0―→写出圆N 的方程
(2)l ∥OA ―→设l 的方程―→弦心距、半弦长、半径间的关系―→求l 的方程
(3)设P ，Q 的坐标建立P ，Q 坐标间的关系――→
圆与圆的位置关系
[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2
＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.
(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，
所以0 ＋(y －1)2 ＝1. 4分 (2)因为直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－0 2－0＝2. 5分 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝ |2×6－7＋m |5＝|m ＋5| 5 . 7分 因为BC ＝OA ＝22 ＋42 ＝25， 而MC 2 ＝d 2 ＋? ????BC 22 ， 所以25＝ m ＋5 2 2 ＋5，解得m ＝5或m ＝－15. 9分 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. 10分 (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 因为A (2,4)，T (t,0)，TA →＋TP →＝TQ → ， 所以??? ?? x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4. ① 11分 因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2 ＋(y 2－7)2 ＝25.② 12分 将①代入②，得(x 1－t －4)2 ＋(y 1－3)2 ＝25.13分 于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2 ＋(y －3)2 ＝25上， 从而圆(x －6)2 ＋(y －7)2 ＝25与圆[x －(t ＋4)]2 ＋(y －3)2 ＝25有公共点， 所以5－5≤[ t ＋4－6]2＋3－7 2 ≤5＋5， 14分 解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221]. 16分 【名师点评】 本题涉及知识面较广，既考查了直线与直线的位置关系，也考查了直线与圆及圆与圆的位置关系，求解的关键是充分利用上述关系建立数量关系，注意等价转化思想的应用． 1．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1,0)，B (3,0)，C (0,1)． (1)求圆M 的方程； (2)若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ → ＝0，求实数m 的值． [解] (1)法一：设圆M 的方程为x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则???? ? D ＋F ＋1＝0，3D ＋F ＋9＝0，E ＋F ＋1＝0， 5分 解得???? ? D ＝－4， E ＝－4， F ＝3. 所以圆M 的方程x 2 ＋y 2 －4x －4y ＋3＝0. 8分 法二：线段AC 的垂直平分线的方程为y ＝x ，线段AB 的垂直平分线的方程为x ＝2， 由??? ? ? y ＝x ，x ＝2， 解得M (2,2). 5分 所以圆M 的半径r ＝AM ＝5， 所以圆M 的方程为(x －2)2 ＋(y －2)2 ＝5. 8分 (2)因为MP →·MQ → ＝0，所以∠PMQ ＝π 2 . 又由(1)得MP ＝MQ ＝r ＝5，所以点M 到直线l 的距离d ＝ 10 2 . 14分 由点到直线的距离公式可知，|2m －4－2m －1|m 2＋4＝10 2，解得m ＝± 6. 16分 2．(2013·江苏高考)如图16－2，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上． 图16－2 (1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；