数学平行四边形知识点及练习题附解析

数学平行四边形知识点及练习题附解析

一、选择题

1．如图，正方形ABCD 的边长为定值，E 是边CD 上的动点（不与点C ，D 重合），AE 交对角线BD 于点F ， FG AE ⊥交BC 于点G ，GH BD ⊥于点H ，连结AG 交BD 于点N ．现给出下列命题：① AF FG =；②DF DE =；③FH 的长度为定值；④GE BG DE =+；⑤222BN DF NF +=．真命题有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

2．如图,矩形ABCD 中,AB=5,AD=4,M 是边CD 上一点,将△ADM 沿直线AM 对折,得△ANM ,连BN ,若DM=1,则△ABN 的面积是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．如图，90MON ∠=?边长为2的等边三角形ABC 的顶点A B 、分别在边OM ，ON 上当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）

A ．2.4

B 5

C 31

D ．

5

2

4．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 是对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，H 是CD 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为（ ）

A．2B．51

-C．2 D．422

-

5．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E且AB＝AE，延长AB与DE 的延长线相交于点F，连接AC、CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③BF＝AD；④S△BEF＝S△ABC；⑤S△CEF＝S△ABE；其中正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

⊥交对角线BD于E点，已知

6．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE BC

∠=?，则BEC

∠的大小为( )

A

134

A．23?B．28?C．62?D．67?

7．已知四边形ABCD中，对角线BD被AC平分，那么再加上下述中的条件（）可以得到结论: “四边形ABCD是平行四边形”．

A．AB=CD B．∠BAD=∠BCD C．∠ABC=∠ADC D．AC= BD

8．如图的△ABC中，AB>AC>BC,且D为BC上一点．现打算在AB上找一点P,在AC上找一点Q,使得△APQ与以P、D、Q为顶点的三角形全等，以下是甲、乙两人的作法：

甲：连接AD,作AD的中垂线分别交AB、AC于P点、Q点，则P、Q两点即为所求；

乙：过D作与AC平行的直线交AB于P点，过D作与AB平行的直线交AC于Q点，则P、Q两点即为所求；对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）

A ．两人皆正确

B ．两人皆错误

C ．甲正确，乙错误

D ．甲错误乙正确

9．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO.若∠COB ＝60°，FO ＝FC ，则下列结论：

①FB ⊥OC ，OM ＝CM ；②△EOB ≌△CMB ；③四边形EBFD 是菱形；④MB ∶OE ＝3∶2.其中正确结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点

E 、

F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE 、BO ．若60COB ∠=?，2FO FC ==，则下列结论：①FB OC ⊥；②EOB CMB △≌△；③四边形EBFD 是菱形；

④23MB =．其中正确结论的个数是( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题

11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．

12．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．

13．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、

P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积

依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．

14．已知：点B 是线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 的同侧作等边ABD △和等边BCE ，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，连接MN ．若AC=6，设BC=2，则线段MN 的长是__________．

15．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ?∠=；③BG DG ⊥；④3

4

AB AD =

，则254

BDG

FDG

S S =

，正确的有__________________．

16．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．

17．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，点M 为线段AB 的中点．点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上运动，且DE ＝AB ＝10．以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，则线段MG 长度的最大值为_____．

18．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，

19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）

20．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ?沿EF 翻折，

AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．

三、解答题

21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上． （1）若1n =，

①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；

②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若

AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．

（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM

FN

的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；

（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF

BF

的值为_______（结果用含n 的式子表示）．

22．综合与探究

如图1,在ABC ?中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题: （1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=?

①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．

②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由． （2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ?的外部,则当

ACB =∠_______时,CF BD ⊥．

23．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．

(1)求证：AE ＝AF ；

(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是 ，MD 、MN 的位置关系是

(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

24．综合与探究

（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且

DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．

（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果

45GCE ∠=?，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=?，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且

45DCE ∠=?，4BE =，求DE 的长．

25．已知正方形ABCD ．

（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=?． ①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形． ②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．

（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当1

3

AE CF =时．请直接写出HC 的长________．

26．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．

（1）求证：PDE QCE ???；

（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、， ①求证：四边形AFEP 是平行四边形； ②求PE 的长．

27．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ． （1）如图①．求证：OE ＝OF ；

（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；

（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF

OF

＝ （直接填结果）．

28．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连接CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点C 、E 、F 、G 按逆时针排列），连接BF.

（1）如图1,当点E 与点D 重合时，BF 的长为 ；

（2）如图2，当点E 在线段AD 上时，若AE=1，求BF 的长；（提示：过点F 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点M ，交AD 的延长线于点N.） （3）当点E 在直线AD 上时，若AE=4，请直接写出BF 的长.

29．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：

（1）在图1中，连接BD ，且BE DF = ①求证：EF 与BD 互相平分； ②求证：222()2BE DF EF AB ++=；

（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222

()2BE DF EF AB ++=是否成

立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.

（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=?，2246B BP PD +=时，求PD 之长.

30．已知：正方形ABCD 和等腰直角三角形AEF ，AE=AF （AE ＜AD ），连接DE 、BF ，P 是DE 的中点，连接AP ．将△AEF 绕点A 逆时针旋转．

（1）如图①，当△AEF 的顶点E 、F 恰好分别落在边AB 、AD 时，则线段AP 与线段BF 的位置关系为 ，数量关系为 ．

（2）当△AEF 绕点A 逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．

（3）若AB=3,AE=1，则线段AP 的取值范围为 ．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

根据题意，连接CF ，由正方形的性质，可以得到△ABF ≌△CBF ，则AF=CF ，∠BAF=∠BCF ，由∠BAF=∠FGC=∠BCF ，得到AF=CF=FG ，故①正确；连接AC ，与BD 相交于点O ，由正方形性质和等腰直角三角形性质，证明△AOF ≌△FHG ，即可得到EH=AO ，则③正确；把△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，则证明△MAG ≌△EAG ，得到MG=EG ，即可得到EG=DE+BG ，故④正确；②无法证明成立，即可得到答案. 【详解】 解：连接CF ，

在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABF=∠CBF=45°， 在△ABF 和△CBF 中，

45AB BC ABF CBF BF BF =?

?

∠=∠=???=?

， ∴△ABF ≌△CBF （SAS ）， ∴AF=CF ，∠BAF=∠BCF ，

∵FG⊥AE，

∴在四边形ABGF中，∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°，又∵∠BGF+∠CGF=180°，

∴∠BAF=∠CGF，

∴∠CGF=∠BCF

∴CF=FG，

∴AF=FG；①正确；

连接AC交BD于O．

∵四边形ABCD是正方形，HG⊥BD，

∴∠AOF=∠FHG=90°，

∵∠OAF+∠AFO=90°，∠GFH+∠AFO=90°，

∴∠OAF=∠GFH，

∵FA=FG，

∴△AOF≌△FHG，

∴FH=OA=定值，③正确；

如图，把△ADE顺时针旋转90°，得到△ABM，

∴AM=AE，BM=DE，∠BAM=∠DAE，

∵AF=FG，AF⊥FG，

∴△AFG是等腰直角三角形，

∴∠FAG=45°，

∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，

∴∠MAG=∠FAG，

在△AMG和△AEG中，

45AM AE EAG MAG AG AG =?

?

∠=∠=???=?

， ∴△AMG ≌△AEG ， ∴MG=EG ，

∵MG=MB+BG=DE+BG ， ∴GE= DE+BG ，故④正确；

如图，△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，记F 的对应点为P ，连接BP 、PN ， 则有BP=DF ，∠ABP=∠ADB=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠PBN=90°， ∴BP 2+BN 2=PN 2，

由上可知△AFG 是等腰直角三角形，∠FAG=45°， ∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°， ∴∠MAG=∠FAG ， 在△ANP 和△ANF 中，

45AP AF EAG MAG AN AN =??

∠=∠=???=?

， ∴△ANP ≌△ANF ， ∴PN=NF ， ∴BP 2+BN 2=NF 2， 即DF 2+BN 2=NF 2， 故⑤正确；

根据题意，无法证明②正确， ∴真命题有四个， 故选C. 【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形．

解析：D

【解析】

【分析】

延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出

∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=7.5，AQ=8.5，即可求出△ABN的面积．

【详解】

解：延长MN交AB延长线于点Q，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，

∴∠DMA=∠MAQ，

由折叠性质得：△ANM≌△ADM，

∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，

∴∠MAQ=∠AMQ，

∴MQ=AQ，

设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，

∵∠ANM=90°，

∴∠ANQ=90°，

在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，

∴（x+1）2=42+x2，

解得：x=7.5，

∴NQ=7.5，AQ=8.5，

∵AB=5，AQ=8.5，

∴S△NAB=S△NAQ=×AN?NQ=××4×7.5=；

故选：D．

【点睛】

本题考查折叠的性质勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．

3．C

解析：C

【解析】

如图，取AB 的中点D ．连接CD ．根据三角形的边角关系得到OC 小于等于OD+DC ，只有当O 、D 及C 共线时，OC 取得最大值，最大值为OD+CD ，由等边三角形的边长为2，根据D 为AB 中点，得到BD 为1，根据三线合一得到CD 垂直于AB ，在直角三角形BCD 中，根据勾股定理求出CD 的长，在直角三角形AOB 中，OD 为斜边AB 上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD 等于AB 的一半，由AB 的长求出OD 的长，进而求出DC+OD ，即为OC 的最大值． 【详解】

解：如图，取AB 的中点D ，连接CD ．

∵△ABC 是等边三角形，且边长是2，∴BC=AB=2， ∵点D 是AB 边中点， ∴BD=

1

2

AB=1， ∴22BC BD -2221-33 连接OD ，OC ，有OC≤OD+DC ，

当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD+CD ， 由（1）得，3

又∵△AOB 为直角三角形，D 为斜边AB 的中点， ∴OD=

1

2

AB=1， ∴3OC 的最大值为3 故选：C ． 【点睛】

此题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中找出OC 最大时的长为CD+OD 是解本题的关键．

4．A

解析：A 【分析】

取AD 中点O ，连接OE ，得到△ODE ≌△HDG ，得到OE=HG,当OE ⊥AC 时，OE 有最小值，此时△AOE 是等腰直角三角形，OE=AE ，再根据正方形及勾股定理求出OE ，即可得到GH 的长． 【详解】

取AD中点O，连接OE，得到△ODE≌△HDG，得到OE=HG,当OE⊥AC时，OE有最小值，此时△AOE是等腰直角三角形，OE=AE，

∵AD=AB=4,

∴AO=

1

2

AB=2

在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2+AE2=AO2=4,即2OE2=4

解得OE=2

∴GH的最小值为2

故选A．

【点睛】

本题考查了正方形的性质,根据题意确定E点的位置是解题关键．

5．B

解析：B

【分析】

根据平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质可得∠BEA=∠EAD，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠BEA，即可证明∠EAD=∠ABE，利用SAS可证明

△ABC≌△EAD；可得①正确；由角平分线的定义可得∠BAE=∠EAD，即可证明

∠ABE=∠BEA=∠BAE，可得AB＝BE＝AE，得出②正确；由S△AEC＝S△DEC，S△ABE＝S△CEF得出⑤正确；题中③和④不正确．综上即可得答案．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠BEA=∠EAD，

∵AB=AE，

∴∠ABE=∠BEA，

∴∠EAD=∠ABE，

在△ABC和△EAD中，

AB AE

ABE EAD BC AD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ABC≌△EAD（SAS）；故①正确；∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE，

∴∠ABE=∠BEA=∠BAE，

∴∠BAE ＝∠BEA ， ∴AB ＝BE=AE ，

∴△ABE 是等边三角形；②正确； ∴∠ABE ＝∠EAD ＝60°，

∵△FCD 与△ABC 等底（AB ＝CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等）， ∴S △FCD ＝S △ABC ，

∵△AEC 与△DEC 同底等高， ∴S △AEC ＝S △DEC ， ∴S △ABE ＝S △CEF ；⑤正确．

若AD=BF ，则BF ＝BC ，题中未限定这一条件， ∴③不一定正确；

如图，过点E 作EH ⊥AB 于H ，过点A 作AG ⊥BC 于G ， ∵△ABE 是等边三角形， ∴AG=EH ，

若S △BEF ＝S △ABC ，则BF=BC ，题中未限定这一条件， ∴④不一定正确；

综上所述：正确的有①②⑤． 故选：B ． 【点睛】

本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等底、等高的三角形面积相等的性质是解题关键．

6．D

解析：D 【分析】

先说明ABD=∠ADC=∠CBD ，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD 度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可. 【详解】 解：∵菱形ABCD ∴AB=AD ∴∠ABD=∠ADC ∴∠ABD=∠CBD 又∵134A ∠=?

∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=1

2

(180°-134°)=23°

∴BEC

=90°-23°=67°

故答案为D.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.

7．B

解析：B

【分析】

设BD与AC交于O点，已知条件为BO=DO，∠AOB=∠COD,结合选项条件应证出能判断平行四边形的条件，或举出反例证明不成立.

【详解】

解：A、BO=DO，∠AOB=∠COD, AB=CD不能证出四边形ABCD是平行四边形, 反例如图，

故本选项错误；

B、如图，在直线AC上任取一点C′,使OA=OC′,

∵BO=DO，∴四边形ABC′D是平行四边形，

∴AD∥BC′,AB∥C′D,

∴∠BC′A=∠C′AD, ∠AC′D=∠BAC′,

∴∠BC′A+∠AC′D=∠C′AD+∠BAC′,

即∠BC′D=∠BAD,

∵∠BAD=∠BCD

∴∠BC′D=∠BCD,

∴点C与点C′重合，

∴四边形ABCD是平行四边形.

故本选项正确；

C、当BO=DO,∠ABC=∠ADC不能证出四边形ABCD是平行四边形, 反例如图，

故本选项错误；

D、当BO=DO,AC=BD, 不能证出四边形ABCD是平行四边形, 反例如图，

故本选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查平行四边形的判定，根据已知条件证出判定平行四边形的条件及举出反例图形是解答此题的关键.

8．A

解析：A

【分析】

如图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PD，QA=QD，则根据"SSS"可判断

APQ≌DPQ，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ 为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA=DQ，PD=AQ，则根据"SSS"可判断

△APQ≌△DQP,则可对乙进行判断.

【详解】

解：如图1，

∵PQ垂直平分AD，

∴PA= PD,，QA= QD，

∵PQ= PQ，

∴△APQ≌△DPQ (SSS)，所以甲正确；

如图2，∵PD ∥AQ，DQ ∥AP，

∴四边形APDQ为平行四达形，

∴PA=DQ,，PD=AQ，

∵PQ=QP，

∴△APQ≌△DQP (SSS)，所以乙正确；

故选：A.

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定.

9．C

解析：C

【解析】

连接BD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AC、BD互相平分，

∵O为AC中点，

∴BD也过O点，

∴OB=OC，

∵∠COB=60°，OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，

在△OBF与△CBF中，

FO FC BF BF OB BC

?

?

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△OBF≌△CBF（SSS），

∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；

∴①正确，

∵∠OBC=60°，