初中数学 2019年江苏省连云港市灌云县中考

2019年江苏省连云港市灌云县中考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（3分）下列各数中最小的数为（）A．﹣3B．﹣1C．0D．12．（3分）下列运算正确的是（）A．3x2•4x2＝12x2B．x3+x5＝x8C．x4÷x＝x3D．（x5）2＝x73．（3分）据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示为（）A．0.3×105B．3×105C．0.3×106D．3×1064．（3分）下图几何体的主视图是（）A．B．C．D．5．（3分）某小组7名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）劳动时间（小时）3 3.54 4.5人数1132A．中位数是4，众数是4B．中位数是3.5，众数是4C．平均数是3.5，众数是4D．平均数是4，众数是3.56．（3分）受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2016年我国快递业务量为300亿件，2018年快递量将达到450亿件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（）A．300（1+x）＝450B．300（1+2x）＝450C．300（1+x）2＝450D．450（1﹣x）2＝3007．（3分）某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过500元的商品，超过500元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（单位：元）与商品原价x（单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过500元的部分可以享受的优惠是（）A．打六折B．打七折C．打八折D．打九折8．（3分）如图，▱ABCO的顶点B、C在第二象限，点A（﹣3，0），反比例函数y=kx（k＜0）图象经过点C和AB边的中点D，若∠B＝α，则k的值为（）A．﹣4tanαB．﹣2sinαC．﹣4cosαD．﹣2tan二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）√4=．10．（3分）分解因式：x3﹣x＝．11．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是边形．12．（3分）从长度分别是3，4，5的三条线段中随机抽出一条，与长为2，3的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是．13．（3分）小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm，母线长为7cm，那么它的侧面展开图的面积是cm2．14．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为．15．（3分）已知抛物线y ＝﹣x 2+2x +8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC ．若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点，且∠BAC 为锐角，则AD 的取值范围是 ．16．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ＝3，CD ＝2．则△ABC 的面积为 ．三、解答题（本大题共有10题，共102分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）计算或化简：（1）|−√2|−√8+2cos45°+(π−3)0 （2）1−x−1x ÷x 2−1x 2+2x18．（6分）解方程：x+1x−1+41−x =1．19．（10分）图书馆是一个很好的学习平台，某市有关部门统计了最近6个月到图书馆的读者的职业分布情况，并做了下列两个不完整的统计图．（1）在统计的这段时间内，共有 万人次到图书馆阅读，其中商人占百分比为 %．（2）将条形统计图补充完整．（3）5月份到图书馆的读者共有24000人次，根据以上调查结果，估计24000人次中是职工的人次．20．（6分）如图，E是AC上一点，AB＝CE，AB∥CD，AC＝CD．求证：BC＝ED．21．（10分）有四张仅一面分别标有1，2，3，4的不透明纸片，除所标数字不同外，其余都完全相同．（1）将四张纸片分成两组，标有1、3的为第一组，标有2、4的为第二组，背面向上，放在桌上，从两组中各随机抽取一张，求两次抽取数字和为5的概率；（2）将四张纸片洗匀后背面向上，放在桌上，一次性从中随机抽取两张，用树形图法或列表法，求所抽取数字和为5的概率．22．（10分）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE＝EF．（1）求证：∠C＝90°；（2）当BC＝3，sin A=35时，求AF的长．23．（10分）如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE ＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）24．（12分）近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a %出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a %，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了110a %，求a 的值．25．（12分）如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．若tan ∠ABC ＝3，一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两根为﹣8、2． （1）求二次函数的解析式；（2）直线l 绕点A 以AB 为起始位置顺时针旋转到AC 位置停止，l 与线段BC 交于点D ，P 是AD 的中点． ①求点P 的运动路程；②如图2，过点D 作DE 垂直x 轴于点E ，作DF ⊥AC 所在直线于点F ，连结PE 、PF ，在l 运动过程中，∠EPF 的大小是否改变？请说明理由； （3）在（2）的条件下，连结EF ，求△PEF 周长的最小值．26．（14分）（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：①ACBD的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD ＝1，OB=√7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．2019年江苏省连云港市灌云县中考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（3分）下列各数中最小的数为（）A．﹣3B．﹣1C．0D．1【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣3＜﹣1＜0＜1，∴各数中最小的数是﹣3．故选：A．2．（3分）下列运算正确的是（）A．3x2•4x2＝12x2B．x3+x5＝x8C．x4÷x＝x3D．（x5）2＝x7【解答】解：A、3x2•4x2＝12x4，本选项错误；B、原式不能合并，错误；C、x4÷x＝x3，本选项正确；D、（x5）2＝x10，本选项错误，故选：C．3．（3分）据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示为（）A．0.3×105B．3×105C．0.3×106D．3×106【解答】解：将300 000用科学记数法表示为：3×105．故选：B．4．（3分）下图几何体的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从正面可看到的几何体的左边有3个正方形，中间只有2个正方形，右边有1个正方形．故选：C．5．（3分）某小组7名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）劳动时间（小时）3 3.54 4.5人数1132A．中位数是4，众数是4B．中位数是3.5，众数是4C．平均数是3.5，众数是4D．平均数是4，众数是3.5【解答】解：这组数据中4出现的次数最多，众数为4，∵共有7个人，∴第4个人的劳动时间为中位数，所以中位数为4，故选：A．6．（3分）受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2016年我国快递业务量为300亿件，2018年快递量将达到450亿件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（）A．300（1+x）＝450B．300（1+2x）＝450C．300（1+x）2＝450D．450（1﹣x）2＝300【解答】解：设快递量平均每年增长率为x，依题意，得：300（1+x）2＝450．故选：C．7．（3分）某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过500元的商品，超过500元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（单位：元）与商品原价x（单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过500元的部分可以享受的优惠是（）A．打六折B．打七折C．打八折D．打九折【解答】解：设超过500元的部分可以享受的优惠是x折，（1000﹣500）×x10+500＝900，解得，x＝8，故选：C．8．（3分）如图，▱ABCO的顶点B、C在第二象限，点A（﹣3，0），反比例函数y=kx（k＜0）图象经过点C和AB边的中点D，若∠B＝α，则k的值为（）A．﹣4tanαB．﹣2sinαC．﹣4cosαD．﹣2tan 【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥x轴于F，在▱OABC中，OC＝AB，∵D为边AB的中点，∴OC＝AB＝2AD，CE＝2DF，∴OE＝2AF，设AF＝a，∵点C、D都在反比例函数上，∴点C（﹣2a，−k2a），∵A（3，0），∴D（﹣a﹣3，k−a−3），∴k−2a =2×k−a−3，解得a＝1，∴OE＝2，CE=−k 2，∵∠COA＝∠α，∴tan∠COA＝tan∠α=CE OE，即tanα=−k2×2，k＝﹣4tanα．故选：A．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）√4=2．【解答】解：∵22＝4，∴√4=2．故答案为：210．（3分）分解因式：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【解答】解：x3﹣x，＝x（x2﹣1），＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．11．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是五边形．【解答】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5，故答案为：五．12．（3分）从长度分别是3，4，5的三条线段中随机抽出一条，与长为2，3的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是23．【解答】解：共有3种等可能的结果数，它们是：2、3、3，2、3、4，2、3、5，其中三条线段能构成三角形的结果数为2种， 所以能构成三角形的概率=23． 故答案为：23．13．（3分）小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm ，母线长为7cm ，那么它的侧面展开图的面积是 35π cm 2．【解答】解：底面周长是：10π，则侧面展开图的面积是：12×10π×7＝35πcm 2．故答案是：35π．14．（3分）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，且l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A ，B ，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线l 2交于点D ，则线段BD 的长度为254．【解答】解：别过点A 、B 、D 作AF ⊥l 3，BE ⊥l 3，DG ⊥l 3， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AC ＝BC ，∵∠EBC +∠BCE ＝90°，∠BCE +∠ACF ＝90°，∠ACF +∠CAF ＝90°， ∴∠EBC ＝∠ACF ，∠BCE ＝∠CAF ， 在△BCE 与△ACF 中， {∠EBC =∠ACFBC =AC ∠BEC =∠AFC∴△BCE ≌△ACF （ASA ） ∴CF ＝BE ，CE ＝AF ，∵l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3， ∴CF ＝BE ＝3，CE ＝AF ＝3+1＝4， 在Rt △ACF 中， ∵AF ＝4，CF ＝3，∴AC ＝5，∵AF ⊥l 3，DG ⊥l 3， ∴△CDG ∽△CAF ， ∴DG AF =CD AC，∴34=CD 5∴CD =154 在Rt △BCD 中， ∵CD =154，BC ＝5， 所以BD =√BC 2+CD 2=254． 故答案为：254．15．（3分）已知抛物线y ＝﹣x 2+2x +8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC ．若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点，且∠BAC 为锐角，则AD 的取值范围是 3＜AD ≤9 ． 【解答】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +8，∴抛物线的顶点为A 0（1，9），对称轴为x ＝1，与x 轴交于两点B （﹣2，0）、C （4，0）， 分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ，则两圆与抛物线均交于两点P （1﹣2√2，1）、Q （1+2√2，1）． 可知，点A 在不含端点的抛物线PA 0Q ̂内时，∠BAC ＜90°，且有3＝DP＝DQ＜AD≤DA0＝9，即AD的取值范围是3＜AD≤9．16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2．则△ABC的面积为15．【解答】解：如图，将△ABD绕着点A逆时针旋转90°，得△AFQ，延长FQ，BC，交于点E，连接CQ，由旋转可得，△ABD≌△AQF，∴AB＝AQ，∠BAD＝∠F AQ，BD＝QF＝3，∠F＝∠ADC＝∠DAF＝90°＝∠E，∵∠BAC＝45°，∴∠BAD+∠DAC＝45°，∴∠DAC+∠F AQ＝45°，又∵∠DAF＝90°，∴∠CAQ＝45°，∴∠BAC＝∠CAQ．且AB＝AQ，AC＝AC∴△BAC≌△QAC（SAS），∴BC＝CQ＝BD+CD＝5，设AD＝x，则QE＝x﹣3，CE＝x﹣2．在Rt△CQE中，CE2+QE2＝CQ2∴（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52解得：x1＝6，x2＝﹣1（舍去），∴AD ＝6，∴△ABC 的面积为=12×BC ×AD ＝15 故答案为：15三、解答题（本大题共有10题，共102分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）计算或化简：（1）|−√2|−√8+2cos45°+(π−3)0（2）1−x−1x ÷x 2−1x 2+2x【解答】解：（1）原式=√2−2√2+2×√22+1=√2−2√2+√2+1 ＝1；（2）原式＝1−x−1x ×x(x+2)(x+1)(x−1)＝1−x+2x+1 =−1x+1． 18．（6分）解方程：x+1x−1+41−x 2=1．【解答】解：去分母得：（x +1）（x +1）﹣4＝x 2﹣1， 解得：x ＝1，经检验x ＝1是分式方程的增根， ∴原分式方程无解．19．（10分）图书馆是一个很好的学习平台，某市有关部门统计了最近6个月到图书馆的读者的职业分布情况，并做了下列两个不完整的统计图．（1）在统计的这段时间内，共有 16 万人次到图书馆阅读，其中商人占百分比为 12.5 %．（2）将条形统计图补充完整．（3）5月份到图书馆的读者共有24000人次，根据以上调查结果，估计24000人次中是职工的人次．【解答】解：（1）在统计的这段时间内，到图书馆阅读的人数为4÷25%＝16（万人）， 其中商人占百分比为216×100%＝12.5%；故答案为：16；12.5；（2）职工：16﹣4﹣2﹣4＝6（万人），如图所示：（3）估计24000人次中是职工的人次为24000×616=9000（人次）． 20．（6分）如图，E 是AC 上一点，AB ＝CE ，AB ∥CD ，AC ＝CD ．求证：BC ＝ED ．【解答】证明：∵AB ∥CD ， ∴∠A ＝∠ECD ， 在△ABC 和△CED 中， {AB =CE∠A =∠ECD AC =CD， ∴△ABC ≌△CED （SAS ）， ∴BC ＝ED ．21．（10分）有四张仅一面分别标有1，2，3，4的不透明纸片，除所标数字不同外，其余都完全相同．（1）将四张纸片分成两组，标有1、3的为第一组，标有2、4的为第二组，背面向上，放在桌上，从两组中各随机抽取一张，求两次抽取数字和为5的概率；（2）将四张纸片洗匀后背面向上，放在桌上，一次性从中随机抽取两张，用树形图法或列表法，求所抽取数字和为5的概率． 【解答】解：（1）1 32 （1，2） （3，2） 4（1，4）（3，4）∵共有4种可能性，且每种可能性都相同，数字和为5有两种可能性， ∴两次抽取数字和为5的概率为：24=12．（2）1 2 341 ﹣﹣ （2，1） （3，1） （4，1）2 （1，2） ﹣﹣ （3，2） （4，2）3 （1，3） （2，3） ﹣﹣ （4，3） 4（1，4）（2，4）（3，4）﹣﹣∵共有12种可能性，且每种可能性都相同，数字和为5的有4种可能性， ∴抽取数字和为5概率为：412=13．22．（10分）如图，点O 是△ABC 的边AB 上一点，⊙O 与边AC 相切于点E ，与边BC ，AB 分别相交于点D ，F ，且DE ＝EF ． （1）求证：∠C ＝90°；（2）当BC ＝3，sin A =35时，求AF 的长．【解答】解：（1）连接OE，BE，∵DE＝EF，∴DÊ=EF̂∴∠OBE＝∠DBE∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE∴∠OEB＝∠DBE，∴OE∥BC∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC∴BC⊥AC∴∠C＝90°（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sin A=3 5∴AB＝5，设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，在Rt△AOE中，sin A=OEOA=r5−r=35∴r=15 8∴AF＝5﹣2×158=5423．（10分）如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE ＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）【解答】解：（1）如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB 于点M，由题意可得，四边形DNMF是矩形，则∠NDF＝90°，∵∠A＝60°，∠AND＝90°，∴∠ADN＝30°，∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；（2）如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∴∠ABC＝30°，则AC=12AB＝8cm，∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，∴DN＝AD•cos30°≈41.76cm，则FM＝41.76cm，∵灯管DE长为15cm，∴sin15°=EFDE=EF15=0.26，解得：EF＝3.9，故台灯的高为：3.9+41.76≈45.7（cm）．24．（12分）近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a %出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a %，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了110a %，求a 的值．【解答】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x 元； 根据题意得：2.5×（1+60%）x ≥100， 解得：x ≥25．答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元； （2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意得：40（1﹣a %）×34（1+a %）+40×14（1+a %）＝40（1+110a %）， 令a %＝y ，原方程化为：40（1﹣y ）×34（1+y ）+40×14（1+y ）＝40（1+110y ）， 整理得：5y 2﹣y ＝0，解得：y ＝0.2，或y ＝0（舍去）， 则a %＝0.2， ∴a ＝20； 答：a 的值为20．25．（12分）如图1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为﹣8、2．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．①求点P的运动路程；②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．【解答】解：（1）∵函数y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax2+bx+c ＝0两根为：﹣8，2，∴A（﹣8，0）、B（2，0），即OB＝2，又∵tan∠ABC＝3，∴OC＝6，即C（0，﹣6），将A（﹣8，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣6中，得：{64a−8b−6=04a+2b−6=0，解得：{a=38b=94，∴二次函数的解析式为：y=38x2+94x﹣6；（2）①如图1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，∴P的运动路程为△ABC的中位线HK，∴HK=12BC，在Rt△BOC中，OB＝2，OC＝6，∴BC＝2√10，∴HK=√10，即P的运动路程为：√10；②∠EPF的大小不会改变，理由如下：如图2，∵DE⊥AB，∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，∴PE=12AD＝P A，∴∠P AE＝∠PEA=12∠EPD，同理可得：∠P AF＝∠PF A=12∠DPF，∴∠EPF＝∠EPD+∠FPD＝2（∠P AE+∠P AF），即∠EPF＝2∠EAF，又∵∠EAF大小不变，∴∠EPF的大小不会改变；（3）设△PEF的周长为C，则C△PEF＝PE+PF+EF，∵PE=12AD，PF=12AD，∴C△PEF＝AD+EF，在等腰三角形PEF中，如图2，过点P作PG⊥EF于点G，∴∠EPG=12∠EPF＝∠BAC，∵tan∠BAC=OCAO=34，∴tan∠EPG=EGPG=34，∴EG=35PE，EF=65PE=35AD，∴C△PEF＝AD+EF＝（1+35）AD=85AD，又当AD⊥BC时，AD最小，此时C△PEF最小，又S △ABC ＝30，∴12BC ×AD ＝30， ∴AD ＝3√10，∴C △PEF 最小值为：85AD =245√10．26．（14分）（1）问题发现如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ．填空：①AC BD 的值为 1 ；②∠AMB 的度数为 40° ．（2）类比探究如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断AC BD 的值及∠AMB 的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD＝1，OB =√7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．【解答】解：（1）问题发现①如图1，∵∠AOB ＝∠COD ＝40°，∴∠COA ＝∠DOB ，∵OC ＝OD ，OA ＝OB ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC ＝BD ，∴AC BD =1，②∵△COA ≌△DOB ，∴∠CAO ＝∠DBO ，∵∠AOB ＝40°，∴∠OAB +∠ABO ＝140°，在△AMB 中，∠AMB ＝180°﹣（∠CAO +∠OAB +∠ABD ）＝180°﹣（∠DBO +∠OAB +∠ABD ）＝180°﹣140°＝40°，故答案为：①1；②40°；（2）类比探究如图2，AC BD =√3，∠AMB ＝90°，理由是：Rt △COD 中，∠DCO ＝30°，∠DOC ＝90°， ∴OD OC =tan30°=√33， 同理得：OB OA =tan30°=√33， ∴OD OC =OB OA ，∵∠AOB ＝∠COD ＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴ACBD =OCOD=√3，∠CAO＝∠DBO，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；（3）拓展延伸①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB＝90°，ACBD=√3，设BD＝x，则AC=√3x，Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，BC＝x﹣2，Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB=√7，∴AB＝2OB＝2√7，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，(√3x)2+(x−2)2=(2√7)2，x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0，x1＝3，x2＝﹣2，∴AC＝3√3；②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB＝90°，ACBD=√3，设BD＝x，则AC=√3x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，(√3x)2+（x+2）2=(2√7)2x2+x﹣6＝0，（x+3）（x﹣2）＝0，x1＝﹣3，x2＝2，∴AC＝2√3；综上所述，AC的长为3√3或2√3．。