2018-2019版高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列的概念及通项公式新人教A版必修5
(完整版)数列公式汇总.doc
人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2． 1数列的概念与简单表示法2． 2等差数列2． 3等差数列的前n 项和2． 4等比数列2． 5等比数列前n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列 .注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第2 项，，第 n 项， .⒊数列的一般形式：a1 , a2 , a3 , , a n , ，或简记为a n，其中 a n是数列的第n项⒋数列的通项公式：如果数列 a n 的第 n 项a n与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1， 0， 1， 0， 1 ， 0 ，它的通项公式可以是1 ( 1) n 1|.a n ，也可以是 a n | cos n 12 2⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系：*数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1 ， 2， 3，， n} ）为定义域的函数a n f (n) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
等差数列的概念及通项公式第一课时高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
当d≠0时，an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d) (x∈R)
当x＝n， (n∈N*)时的函数值，即an＝f式
问题7 等差数列{an}的图象
与一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)
的图象有什么关系?
f(x)
f(x)＝dx＋(a1－d)
解得15.6≤d≤17.1 .
课堂小结
等差数列
等差数列
的概念
等差数列的通
项公式
等差数列
的判断与
证明
等差数列
通项公式
的应用
令－3n＋11＝－289，得n＝100，
所以－289是该数列中的第100项.
典例精析
题型二：等差数列通项公式的应用
反思与感悟
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等
差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an ＝a1 ＋(n－1)d中共含有四个
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
典例精析
题型五：等差数列通项公式实际应用
例5 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某
一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求
2 km，4 km,8 km高度的气温.
典例精析
题型二：等差数列通项公式的应用
例2 求等差数列8，5，2，… 的通项公式an和第20项，并判断
－289是否是数列中的项，若是，是第几项？
解 由已知条件，得d＝5－8＝－3.
把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，
【课件】第1课时等差数列的概念与通项公式说课课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
门才能打开。门上还有四组数字，如下：
1）1，3，5，（ ），9
2）15，12，（ ），6，3
3）48，53，58，（ ）3，68
4）8，（ ），8，8，8
创设学生比较感兴趣的情景，可以激发学生对本节课的学习兴趣，在游戏
中加入等差数列，让学生初步感知等差数列的特点。同时培养学生观察、
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
巩固练习： 在等差数列中,已知 = , = ,求 .
问1：还有没有其他做法？
师根据学生回答适时给出公式： = + ( − )
问2：从结果来看 , , , 之间有怎样的关系？
中项。
问1：等差中项A与a、b之间又怎样的关系？
问2：下列两个数的等差中项分别是什么？
（1）2 ，( ) ，4 （2）-12，( ) ，0
问3：是不是任意两数都存在等差中项？存在几个？
师点评：任意两数的等差中项即为两数的平均值。
问4：等差数列{ }中， 与− , + 之间有怎样的关系？为什么？
（4）-8，-6，-4.
学生对刚学习的概念理解还不够深刻，通过概念的辨析，强化学生对
等差数列概念的理解，看清“等差”的本质特征，培养学生抽象概括
能力和严密的数学学习态度。
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
2、等差中项的定义：
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差
教学目标：通过数字规律小游戏情境引入，经历观察，分析，
归纳，推理论证，理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列
高中数学第二章数列22等差数列第9课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
三、解答题(共 25 分) 12．(本小题 12 分)在等差数列{an}中，已知 a1＝112，a2＝116， 这个数列在 450 到 600 之间共有多少项？
——基础巩固——
一、选择题(每小题 5 分，共 35 分)
1．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则 a1 等于( B )
A．－9
B．－8
C．－7
D．－4
解析：由 an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， 得 d＝ann－－mam. ∴d＝a66－－4a4＝6－6 4＝3. ∴a1＝a2－d＝－8.
5．一个首项为 23，公差为整数的等差数列，若前 6 项均为正 数，第 7 项起为负数，则它的公差是( C )
A．－2 B．－3 C．－4 D．－6
6．若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是 (C)
A．公差为 d 的等差数列 B．公差为 2d 的等差数列 C．公差为 3d 的等差数列 D．公差为 4d 的等差数列
2．等差数列 1，－1，－3，…，－89 的项数是( B )
A．45
B．46
C．47
D．92
解析：由题意可知，等差数列的首项 a1＝1，公差 d＝－2，且 an＝－89.由 an＝a1＋(n－1)d，解得 n＝46.故选 B.
3．{an}是首项 a1＝1，公差 d＝3 的等差数列，如果 an＝2 005，
则序号 n 等于( C )
A．667
B．668
C．669
D．670
高中数学 2.1数列的概念与简单表示法课件(二) 新人教A版必修5
一、复习
5. 数列的表示法 以数列 2, 4, 6, 8, 10, 12, · · · 为例 以数列: 通项公式法: 通项公式法 an=2n 5 1 2 3 4 列表法 n …
an 2 a1= 2 an= an-1 +2 (n>1) 4 6 8 10
…
图象法 递推法
已知数列{a 的第 的第1项 或前几项）， ），且任意一项 已知数列 n}的第 项（或前几项），且任意一项 an与前一项 n-1（或前几项）间的关系可以用一个公式 与前一项a 或前几项） 来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式. 来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式 递推公式
数列的概念与简单表示法
第二课时
一、复习
1. 定义：按一定顺序排列着的一列数称为数列 定义：按一定顺序排列着的一列数称为数列 a … … 简记为{a 2. 数列的一般形式： 1， a2， a3， ， an， 简记为 n} 数列的一般形式： 3. 数列的分类 4. 数列的实质 从映射的观点看，数列可以看作是：序号到数列项 从映射的观点看，数列可以看作是： 的映射 从函数的观点看，数列项是序号的函数 的函数。 从函数的观点看，数列项是序号的函数。
第1层1+2+… …+n=n*(n+1)/2 个 层 第2层1+2+… …+（n-1）=n*(Байду номын сангаас-1)/2 个 层 （ ） ………… 第n层1个 层 个 堆共n层 第n堆共 层 堆共 共1+3+6+… …+ n*(n+1)/2 个
二、练习
1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别 是下列各数： 是下列各数： (1) 3, 5, 7, 9 · · · (2) 1, 0， 1 , 0， 1，0, − 1, 0， − L (3) 10, 100, 1000, 10000 · · · (4) 9, 99, 999, 9999 · · · (5) 5, 55, 555, 5555 · · · (6) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 · · · 1 (7) 0, lg 2, lg 3 , lg 2, · · · 2 (8) 3, 8, 15, 24， · · · (9) −1, 8 , − 15 , 24 , ⋅⋅⋅ 5 7 9
【数学】人教A版选择性必修第二册 等差数列 等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式课件
知识点 3 等差数列的通项公式 首项为 a1，公差为 d 的等差数列{an}的通项公式 an＝ a1＋(n－1)d ．
4．由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪 几个条件？
[提示] 只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1 ＋(n－1)d即可．
在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，a7＝________． 28 [a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28．]
类型2 等差中项的应用 【例2】 (1)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是 10，则m和n的等差中项是________．
6 [由题意得m2m＋＋2nn＝ ＝81× 0×2＝ 2＝162， 0， ∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12， ∴m＋2 n＝6．]
(2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数 列，求此数列．
[跟进训练] 2．若等差数列的前三项分别为a,2a－1,3－a，求其第2 022项．
[解] 由等差中项公式可得2(2a－1)＝a＋(3－a)，解得a＝54，所
以首项为
5 4
，公差为
2×54－1
－
5 4
＝
1 4
，所以数列的通项公式为an＝
5 4
＋(n－1)×14＝14n＋1，故其第2 022项为a2 022＝14×2 022＋1＝1 0213．
文字语言 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表 示
符号语言 an＋1－an＝d(d 为常数，n∈N*)
1．等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？ [提示] 第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的 差”相吻合．
2．在数列{an}中，若an＝2n＋3，该数列是等差数列吗？
【课件】等差数列的概念及通项公式课件-2022-2023学年高二下人教A(2019)选择性必修第二册
n= +(n-1)·
4
4
4
1
a2 020=4×2
020+1=506.
=
1
n+1,故其第
4
优化设计大本
(2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为
d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为
a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.
{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
×)
学习新知
问题5
你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？
设数列an 的首项为 a1 ，公差为 d ，则由定义可得：
an 1 an d
学习新知
追问1
你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？
an 1 an d
a2 a1 d
课前预习
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若某数列中的各项依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320,则该数列为等
差数列.
( √ )
[解析] 该数列从第2项起每一项与它前一项的差都是16,是等差数列.
(2)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列一定
(方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即
-1+7
b= 2 =3.同理,a
是-1 和 b 的等差中项,c 是 b 和 7 的等差中项,所以
-1+
3+7
a= 2 =1,c= 2 =5.故
新课标人教A版数学必修5全部课件：等差数列与等比数列
B.
5 1 2
C.
1 2
5
D.
5 1 2
或
5 1 2
9 4.等比数列{an}中，a4+a6=3，则a5(a3+2a5+a7)=_________
5.在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12 的 值为( C ) A.20 B.22 C.24 D.28
4.重要性质： m+n=p+q am+an＝ap+aq(等差数列) (m、n、p、q∈N*) am·n＝ap·q(等比数列) a a
特别地 m+n=2p am+an＝2ap(等差数列)
am·n＝a2p(等比数列) a
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课前热身
1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，( 31 点，在括号内适当的一个数是_____. )，38的特
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能力·思维·方法
1.四个正数成等差数列，若顺次加上2，4，8，15后成等比 数列，求原数列的四个数.
【解题回顾】本题是利用等差数列、等比数列的条件设未 知数，充分分析题设条件中量与量的关系，从而确定运用 哪些条件设未知数，哪些条件列方程是解这类问题的关键 所在.
2.{an}是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13的值.
①写出{cn}的前5项.
②证明{cn}是等比数列.
【解题回顾】依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等 比数列，这是数列中的基本问题之一.
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误解分析
1.在用性质m+n=p+q则am+an=ap+aq时，如果看不清下标关 系，常会出现错误.
人教A版高中数学必修五数列的概念及等差数列.docx
高中数学学习材料唐玲出品数列的概念及等差数列例1：已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，求n a . 例2数列1，3，6，10，15，……求n a例3已知数列{a n }的首项a 1=1,且a n =2a n －1+1(n ≥2), 求n a 例4求数列｛－2n 2+29n +3｝中最大项的值. 例5已知数列{a n }满足a 1＞0，且a n +1=（21）na n , 求n a . 例6在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值． 例7 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．例8在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于 例9根据条件184188a a n =-=-=，，；求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S .例10已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？1.已知数列{}n a 为等差数列，公差2d ＝－，n S 为其前n 项和．若1011S S ＝，则1a ＝( )A.18 B.20 C.22 D.242.若11a =，2d ＝，224k k S S ＋－＝，则k ＝( )A.8 B.7 C.6 D.53.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a =12，4S ＝20，则6S =( )A.16 B.24 C.36 D.484.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11m m a a －＋＋－2m a ＝0，21m S －＝38，则m ＝( )A.38 B.20 C.10 D.95.数列{}n a 是等差数列，12324a a a ＋＋＝－，1819a a ＋＋ 2078a ＝，则此数列的前20项和等于A.160 B.180 C.200 D.220 6.等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，2811a a a ＋＋是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A.7S B.8S C.13SD.15S 7.已知等差数列{}n a 满足244a a ＋＝，3510a a ＋＝，则它的前10项的和10S ＝( )A.138 B.135 C.95 D.23 8.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为A.24 B.26 C.27 D.2810.在等差数列{}n a 中，10a ＞，d ＝12，n a ＝3，n S ＝152，则1a ＝ ，n ＝ .11. 设等差数列的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= ．12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若3S ＝1，n a 123n n a a －－＋＋＝，则n ＝ . 13.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ． 14.在等差数列{}n a 中：(1)已知51058a a ＋＝，4950a a ＋＝，求10S ； 15. 已知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的项构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？16.已知等差数列{}n a ，(1)若271221a a a＋＋＝，求13S ；(2)若1575S ＝，求8a .17.已知在正整数数列{}n a 中，前n 项和n S 满足：n S ＝18(n a ＋2)2.(1)求证：{}n a 是等差数列；(2)若nb＝12n a －30，求数列{}n b 前n 项和的最小值． 18.（设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且4S =－62, 6S =－75,求： （1）}{n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）|1a |+|2a |+|3a |+…+|14a |.19.已知数列{}n a 的前n 项和278n S n n ＝－－.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n T .1.B2.D3.D4.C5.B6.C7.C8.B10.23 ； 11.24 ； 12.；27 13.314.(1)解法一：由已知条件得510149121358,21150,a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩解得13,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 10110S a ＝＋10(101)2d ⨯-⨯103⨯＝＋1092⨯4210⨯＝. 解法二：由已知条件得51011049110458,250,a a a a d a a a a d +=++=⎧⎨+=++=⎩∴ 11042a a ＋＝，∴ 10S ＝11010()2a a ⨯+542210⨯＝＝.∴ 20n ＝.15.解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则即3=2+4d ，∴ 14d =，∴ 172(1)44n n b n +=+-⨯=.1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又，∴ 43nn a b -=.即原数列的第n 项为新数列的第（4n －3）项．（1）当n =12时，4n －3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项； （2）由4n －3=29,得n =8，故新数列的第29项是原数列的第8项.16.解：(1)∵ 21211372a a a a a ＋＝＋＝，271221a a a ＋＋＝，∴ 7321a ＝，即7a ＝7.∴ 13S ＝11313()2a a +＝71322a ⨯＝91. (2)∵ 15S ＝11515()2a a +＝81522a ⨯＝75，∴ 8a ＝5. 17.（1）证明：由21(2)8n n S a ＝＋，得2111(2)8n n S a －－＝＋(n ≥2)．当n ≥2时，n a ＝n S －1n S －＝182(2)n a ＋－1821(2)n a －＋，整理，得11()(4)0n n n n a a a a －－＋－－＝.∵ 数列{}n a 为正整数数列，∴ 10,n n a a +≠－∴ 14n n a a －－＝，即{}n a 为等差数列． (2)解：∵ 1S ＝1821(2)a ＋，∴ 1a ＝1821(2)a ＋，解得1a ＝2.∴ n a ＝2＋4(n －1)＝4n －2.∴ n b ＝12n a －30＝12(4n －2)－30＝2n －31.令n b <0，得n <312.∴ 15S 为前n 项和的最小值，即151215S b b b ＝＋＋＋＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225. 18.解：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，依题意得⎩⎨⎧-=+-=+，，75156626411d a d a解得120,3.=⎧⎨=⎩－a d(1)2)23320(2)(,233)1(11-+-=+=-=-+=n n n a a S n d n a a n n n 234322n n =-.(2){}120,3,n a d a n =-=∴的项随着的增大而增大.1Z 202300,32303(1)230,(),7,337+≤≥-≤+-≥∴≤≤∈=k k a a k k k k k 设且得且数.即第项及之前均为负∴ 123141278914||||||||()()a a a a a a a a a a ++++=-+++++++1472147S S =-=.19.解：(1)当n ＝1时，11a S ＝＝－14；当n ≥2时，1n n n a S S －＝－＝2n －8， 故n a ＝14(1),28(2).n n n -=⎧⎨-≥⎩(2)由n a ＝2n －8可知：当n ≤4时，n a ≤0；当n ≥5时，0n a >. ∴ 当1≤n ≤4时，278n n T S n n ＝－＝－＋＋；当n ≥5时，22444()2782(20)732n n n T S S S S S n n n n ⨯＝－＋－＝－＝－－－－＝－＋.∴ n T ＝2278(14),732(5).n n n n n n ⎧-++≤≤⎪⎨-+≥⎪⎩。
人教A版必修5第二章数列章末总结之通项公式的求法
{an
4n
6}是以a1
4
6
3为首项，1 为公比的等比数列 2
an
4n
6
3
(
1 2
)n1
an
3 ( 1 )n1 2
4n
6
思考：如果 f (n) 是一个二次式，应当如何进行构造？
解：当 n 2时， an 3an1 2n
等式两边同时除以 2n ，则原式可化为
an 2n
3an1 2n 3
1
3 2
人教A版必修5第二章章末总结
数列通项公式的求法
课题导入
在进行数列问题的讨论时，数列的通项公式的 讨论与求解是我们解题的关键环节，如何能正 确的求出数列的通项公式？我们这节主要学习 一下数列的通项公式的求法
目标引领
1：掌握求数列通项公式的方法和技巧 2：能根据数列的前N项和求出数列的 通项公式 3：能利用所给的递推公式求出数列的 通项公式
=2 (2an1 an 2 an1) (am1 an )
则数列 bn 是以 b1 a2 a1 1 公差为2的等差数列
（2）由（1）可得 bn an1 an 1 (n 1) 2 2n 1 利用前面所学的累加法可得
a2 a1 1
a3 a2 3 a4 a3 5
an1
• 往利用累乘法求其通项公式。
解：因为当
n
2
时，
an an1
2n1
则 a2 2, a3 22 , a4 23, , an 2n1
a1
a2
a3
an1
把各个式子相乘可以得到：
a2 a3 a4 an 21 22 2n1
a1 a2 a3
an1
即 an
2123 (n1)