2.3.1线面垂直判定
高中数学公开课2.3.1 直线与平面垂直的判定课件
求证：〔1〕PA BC
A
O
B
〔2〕BC 平面PAC
解 ： （ 1）
C
AB ,AC , 且 AB AC A PA AC ,PA AB \ PA 又 BC
(2)QC为圆O上一点，AB为直径
\BC AC
由1得BCPA,又QPAAC A
\BC面PAC
\ PA BC
四.知识小结：
空间问题 平面问题
线面平行的判定： 线线平行 线面平行
能不能把线面垂直问题转化为线线垂直问题 ？
先试一条
l
lHale Waihona Puke a a图1图2
再试两条平行直线
l l
a
a
b
b
图1
图2
那么两条相交直线呢？
探究
直线与平面垂直
A A
如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：
A
l
CA
D
B
D C P
C
B
D
B
D
C
B
折线后与的过桌当纸面且片A所仅B竖C在当起的平折放顶面痕置点A在AD垂翻桌是直折面．纸B上C片〔边，B上D得的，到高D折C时痕与，A桌AD面D，所接将在触翻直〕
E B
A
证明：取BD的中点E,连接AE,CE ,
Q AB AD,\ AE BD,
D
Q BC DC,\CE BD,
又Q AE CE E,
\ BD 平面ACE,
C
Q AC 平面ACE,\ BD AC
P
3.如图，圆O所在一平面为 ，
AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点, 且PA AC, PA AB,
A
m n
又 m ,n ,m ,n是两条相交直线，
人教版高中数学必修二 第2章 2.3 2.3.1 直线与平面垂直的判定
2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标核心素养1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)1.通过学习直线与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养.1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α图形语言3.直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线P A斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线P A在平面α上的射影为AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围[0°，90°]有直线”“无数条直线”？[提示]定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC[由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．45°[如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]直线与平面垂直的判定【例1】如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.证线面垂直的方法：(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.[证明]设圆O所在的平面为α，∵P A⊥α，且BM⊂α，∴P A⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM. 由于直线P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM，而AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．故A N⊥平面PBM.直线与平面所成的角[探究问题]1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？[提示]需要P A⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？[提示]在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[证明](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2 2.(2)连接A1C1交B1D1于O(见题图)，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt △A 1BO 中，A 1O ＝12A 1C 1＝12A 1B ， ∴∠A 1BO＝30°，即A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角为30°.在本例正方体中，若E 为棱AB 的中点，求直线B 1E 与平面BB 1D 1D所成角的正切值．[解] 连接AC 交BD 于点O ，过E 作EO 1∥AC 交BD 于点O 1，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴EO 1⊥平面BB 1D 1D ，∴B 1O 1是B 1E 在平面BB 1D 1D 内的射影， ∴∠EB 1O 1为B 1E 与平面BB 1D 1D 所成的角． 设正方体的棱长为a ， ∵E 是AB 的中点，EO 1∥AC ， ∴O 1是BO 的中点，∴EO 1＝12AO ＝12×2a 2＝2a4， B 1O 1＝BO 21＋BB 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 42＋a 2＝3a 22， ∴tan ∠EB 1O 1＝EO 1B 1O 1＝2a 43a 22＝13.求斜线与平面所成角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．1．线线垂直和线面垂直的相互转化：2．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直A[若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m 不可能平行．]2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定A[因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.]3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°A[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°. 故选A.]4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D. [证明]如图，连接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.。
2.3.1线面垂直应用
复习引入
1. 提问：直线与平面平行的判定定理及性 质定理？ 2. 讨论：日常生活中有哪些现象给人以直 线与平面垂直的感觉？
复习引入
一个人走在灯火通明的大街上，会 在地面上形成影子，随着人不停的走动，
这个影子忽前忽后、忽左忽右，但Байду номын сангаас无
论怎样，人始终与影子相交于一点，并
2. 直线和平面垂直的判定
定理：一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，则这条直线与该平 面垂直.
符号语言: 若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B， m，n，则l⊥.
l m B
n
练习1.判断下列命题正确的个数
A.若一条直线垂直于平面内的两条直线， 则这条直线垂直于这个平面； B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条 直线，则这条直线垂直于这个平面； C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于 这个平面的直线必定垂直于这条直线； D.若一条直线不垂直于一个平面，则这个平 面内也可以有无数条直线和这条直线垂直.
练习2 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，
与平面B'C'CB垂直的直线有 与直线AA'垂直的平面有 . C' ；
D'
A' D
B'
B
C
A
例1 已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
a b
例1 已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
a b
n
m
线面垂直→线线垂直→线面垂直
以上结论也可以当做判定线面垂直的依据
直线与平面垂直的判定方法： 1.定义； 2.定理； 3.两条平行线中的一条与平面垂直， 则另一条也与这个平面垂直. 注意定义：线面垂直→线线垂直
第二章 2.3 2.3.1 直线与平面垂直的判定
末 页
结
束
直线与平面所成角
[典例] 三棱锥SABC的所有棱长都相等且为a，求SA与 底面ABC所成角的余弦值． [解] 如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO.则 SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO. ∵SA＝SB＝SC＝a， ∴△SOA≌△SOB≌△SOC， ∴AO＝BO＝CO， ∴O为△ABC的外心． ∵△ABC为正三角形，∴O为△ABC的中心． ∵SO⊥平面ABC，∴∠SAO即为SA与平面ABC所成的角． 2 3 3 在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝ × a＝ a， 3 2 3 AO 3 3 ∴cos∠SAO＝ SA ＝ ，∴SA与底面ABC所成角的余弦值为 . 3 3
下一页
末 页
结
束
3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则 在△ABC，△PAC的边所在的直线中： (1)与PC垂直的直线有______________； (2)与AP垂直的直线有_______________．
解析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC. ∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC. (2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C， ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP. 答案：(1)AB，AC，BC (2)BC
上任意一点，AN⊥PM，N为垂足． (1)求证：AN⊥平面PBM. (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 证明：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A， ∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.
231线面垂直的判定定理
在正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）与平面CD1垂直的直线 （2）与直线AA1垂直的平面 （3）与直线AC垂直的平面
A A1
D1 B1
C1
D C B
3、已知：a∥b，a⊥α求证：b⊥α
a
P
b
a m
b
α
m
n
α
两条平行线中一条直线与一个平面垂直,则 另一条直线也与此平面垂直
例1
有一根旗杆AB高8m如图，它的顶端A挂有一条 10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上 的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D。 如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m， 那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 在⊿ABC和⊿ABD中, ∵AB=8m,BC=BD=6m,AC=AD=10m, ∴AB2+BC2=62+82=102=AC2, AB2+BD2=62+82=102=AD2, ∴ ∠ABC= ∠ABD=90o 即AB⊥BC,AB⊥BD 又知B、C、D三点不共线 ∴AB⊥平面BCD
动画演示
二（一）直线和平面垂直的判定定理（1）
如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那 猜想： 么这条直线垂直于这个平面。
符号表示？
lm ln m l n m n B
l
m
n
练习、
1、判断正误 （1）若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 （ ） （2）若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面（ ）
2.3.1直线与平面垂直的判定
引入
显然它们都是垂直的.AB和桌面 的 位置关系，给我们一种直线和平面垂 直的形象
将书打开放在桌面 上，观察书脊 AB和各页面与桌面 的交线的位置 关系，
2.3.1线面垂直的判定
复习引入： 1.直线和平面的位置关系是什么? （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点） 2.线面平行的判定定理的内容是什么? 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平 行，那么这条直线和这个平面平行. 3.线面平行的性质定理的内容是什么? 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
C C1
B
B1
直线与平面垂直的定义： 如果一条直线l 和一个平面α内的任做α 的垂线, α 叫做l 的垂面, l 与α 的唯一公共点P叫做垂足。 画直线与平面垂直时，通 常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直。
l P
思考： （1）有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平 面α上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直 平面α,你同意他的说法吗？ （2）折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变, 即AD ⊥ CD,AD ⊥ BD,由此你能得到什么 结论?
直线与平面垂直的判定定理： 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则这条直线垂直于这个平面.
王新敞
奎屯 新疆
引入新课 在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
探究（一）直线与平面垂直的定义 探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面 垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎 样呢? 生活中线面垂直的实例:
A
在阳光下观察直立于地面的 旗杆及它在地面的影子，随 着时间的变化，尽管影子的 位置在移动，但是旗杆所在 的直线始终与影子所在的直 线垂直（如图），事实上， 旗杆AB所在直线与地面内 任意一条不过点B的直线也 α 是垂直的。
§2.3.1《直线与平面垂直的判定》
§2.3.1《直线与平面垂直的判定》【学习目标】（一）知识目标：1.掌握空间中直线与平面垂直的定义与判定定理；2.会用判定定理证明直线与平面垂直；3.会利用线面垂直证明线线垂直；4.掌握直线与平面所成的角的求法（二）过程与方法目标自主学习，合作交流，探究学习(三) 情感态度与价值观目标培养学生的学习兴趣，培养学生求实的科学态度【学习重点难点】1.直线与平面垂直的判定定理的理解；2.直线与平面垂直的判定定理的应用。
3.直线与平面所成的角的求法预习案【自主学习】（根据以下提纲，预习教材第 64 页～第67 页）1.直线l与平面垂直的定义如果直线l与平面α内的________________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.性质：如果直线l垂直于平面α，那么直线l垂直于平面α内的__________直线符号语言：2.直线与平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的_________________________都垂直，则该直线与此平面垂直。
图形表示：符号表示：3．四个结论（1）过一点，___________________一条直线和一个平面垂直.(2) 过一点，___________________一个平面和一条直线垂直.(3) 两条___________________中的一条与一个平面垂直，则__________________也和该平面垂直.（4）垂直于同一个平面的两条直线____________.4.直线与平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的________所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)一条直线垂直于平面，我们说他们所成的角是_____________;(3)一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是___________的角；(4) 直线与平面所成的角的范围为_________________;(5) 斜线与平面所成的角的范围为__________________.进行探究之前，请先完成课后练习。
2.3.1 直线与平面垂直的判定
1.理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的 重要性． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问 题．(重点)
预习检测
垂面
任意一条 l⊥α
垂足
垂线
两条相交
垂直
a∩b＝P
2
3
探究展示
4
5
精讲点拨6Βιβλιοθήκη 7达标检测8
9
归纳延伸
课后作业：1.课本第67页 1
2.完成学业达标限时自测（十二）部分题目 3.预习 2．3.1 直线与平面所成的角
1．直线与平面垂直的判定方法： (1)利用定义； (2)利用判定定理，其关键是在面内找两条相交直线． 2. 线面垂直的证明技巧 (1)要证线面垂直，需证线线垂直；要证线线垂直，需证线面垂直，这是解决此类
题的基本思维方式． (2)在具体图形中证明直线和平面垂直时，通常先考虑此平面多边形的棱、中点的
连线是否和已知直线垂直，如果垂直再证明这两条直线相交即得结论．
课件5：2.3.1 直线与平面垂直的判定
跟踪训练 3 如图，四棱锥P－ABCD中，O是底面正方 形ABCD的中心，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是 PC的中点． (1)证明：EO∥平面PAD； (2)证明：DE⊥平面PBC.
证明：(1)连接AC，因为点O是底面正方形ABCD的中心， 所以点O是AC的中点，又因为E是PC的中点， 所以在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO. 因为EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD， 所以EO∥平面PAD.
典型例题 类型一 证明线面垂直 例1 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.
(1)求证：AC⊥平面B1D1DB； (2)求证：BD1⊥平面ACB1.
证明：(1)∵BB1⊥平面 ABCD，且 AC 平面 ABCD， ∴BB1⊥AC. 又 AC⊥BD，BD∩BB1＝B， ∴AC⊥平面 B1D1DB.
(2)连接 A1B. 由(1)知 AC⊥平面 B1D1DB， ∵BD1⊂平面 B1D1DB，∴AC⊥BD1. ∵A1D1⊥平面 A1B1BA，AB1⊂平面 A1B1BA， ∴A1D1⊥AB1. 又∵A1B⊥AB1 且 A1B∩A1D1＝A1， ∴AB1⊥平面 A1D1B. ∵BD1⊂平面 A1D1B，∴BD1⊥AB1， 又∵AC∩AB1＝A，∴BD1⊥平面 ACB1.
方法归纳
线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直， 途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直． 推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件．
跟踪训练 1 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2 2，E，F 分别是 AD，PC 的中点．求证：PC⊥平面 BEF.
2.如图所示，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3 的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形 折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记 为G，则在四面体S－EFG中必有( ) A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF
21-22版：2.3.1 直线与平面垂直的判定(步步高)
§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标 1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.会用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直.知识点一直线与平面垂直的定义定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们惟一的公共点P叫做垂足概念图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直思考空间两条直线垂直一定相交吗？答案不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种是异面垂直. 知识点二直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α图形语言知识点三直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线P A斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线P A在平面α上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠P AO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°取值范围设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°1.若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.(×)2.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(×)3.直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.(×)4.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.(√)题型一直线与平面垂直的定义及判定定理的理解例1下列命题中，正确的序号是________.①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案③④解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.反思感悟(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.跟踪训练1(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案(1)C(2)①③④解析(1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.题型二直线与平面垂直的判定例2如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.反思感悟(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪训练2如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，∴P A⊥BM.又∵P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.求直线与平面所成的角典例如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角； (2)求A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角. 考点 直线与平面所成的角 题点 直线与平面所成的角 解 (1)∵AB ⊥平面AA 1D 1D ，∴∠AA 1B 就是A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角， 在Rt △AA 1B 中，∠BAA 1＝90°，AB ＝AA 1， ∴∠AA 1B ＝45°，∴A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角是45°. (2)连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO .∵A 1O ⊥B 1D 1，BB 1⊥A 1O ，BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ， ∴A 1O ⊥平面BB 1D 1D ，∴∠A 1BO 就是A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角. 设正方体的棱长为1，则A 1B ＝2，A 1O ＝22. 又∵∠A 1OB ＝90°，∴sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝12，又0°≤∠A 1BO ≤90°，∴∠A 1BO ＝30°，∴A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角是30°. [素养评析] (1)求直线与平面所成角的步骤 ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角. ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的素养.1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的六个面中，与AA 1垂直的平面的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.6 答案 B2.给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 C解析①错，②③对.3.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交D.不确定考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直答案 B解析由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A.平面DD1C1CB.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB答案 B解析∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角为________.考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案90°解析连接AD1，∵AB⊥A1D，AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1，∴A1D⊥平面ABD1，∴A1D⊥BD1.1.直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义.(2)利用线面垂直的判定定理.(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2.线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是90°.(2)线面垂直，则线线垂直.3.求线面角的常用方法(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算).(2)转移法(找过点与面平行的线或面).(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
灵石一中课前自主学习型学案１高二数学学科(张杰)主编
课题 2.3.1直线与平面垂直的判定 日期：
班级 小组 姓名 ：
目标 理解并掌握直线与平面垂直的判定定理
重点 难点 自 主 层 次 直线与平面垂直的判定
灵活应用直线和平面垂直判定定理解决问题
1. 三角形三条中线的交点，叫做三角形的
2. 三角形三条垂直平分线的交点是三角形外接圆的
叫做三角形的 心
3.三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的 心，是三角形内切圆的 心
4.三角形三条高线的交点，叫做三角形的 心
5.叙述线面垂直的定义（图形语言，符号语言，文字语言）
6.叙述线面垂直的判定定理
定理
符号语言
基
础
层
次
1． 直线和平面所成的角
(1) 斜线和平面所成的角
理解斜线，斜足，射影，斜线和平面所成角的概念
（2直线和平面所成角的范围
2.已知平面及平面外一点P，点P与平面的所有点的连线中 最短，
当斜线段相等时射影 ；当射影相等时，斜线段 。
3.如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂
直。举实例说明。
4.,,abca已知是直线，，是平面，下列条件中能得出直线
⊥的是
.,,Aacabbc
.,Babba
.,Ca .,bDab
5.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是
（ ）
A 平行 B垂直 C相交不垂直 D不确定
11111
6.ABCD-ABCDADABCD在正方体中，求直线和平面所成的角是（ )
30A B 60 C 45 D 90
1111111
2.ABCD-ABCDABABCD在正方体中，求直线和平面所成的角
3.,,VABCVAVCABBCVB在三棱锥中，求证：
⊥VC
探 究 1.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面Ｃ１ＢＤ
2. 如图，正方体ABCD – A1B1C1D1 中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，
层 次 B1C1，C1D1的中点. 求证：平面AMN∥平面EFDB.
3.如图所示，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，E,E1分别是AC,A1C1的中点。
求证：平面AB1E1∥平面BEC1
4. 已知四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD
为平行四边形．点M、N、Q分别在PA、BD、
PD上，且PM : MA = BN : ND = PQ : QD．
求证：平面MNQ∥平面PBC．
1．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A．平面E1FG1与平面EGH1 B. 平面FHG1与平面F1H1G
C. 平面F1H1H与平面FHE1 D. 平面E1HG1与平面EH1G
2.下列四个命题中，假命题的是（ ）
反
馈
练
习
迁 A.若平面内有两条相交直线，与平面内的两条相交直线分别平行，则∥ B .平行于同一平面的两个平面平行 C.如果平面内有无数条直线都与平面平行，则∥ D. 如果平面内有任意一条直线都与平面平行，则∥ 3.，是两个不重合的平面，可判定平面与平面平行的是（ ） A. ，都垂直于平面 B. 内不共线的三点到平面的距离都相等 C．l，m是平面内的两条直线，且l∥，m∥ D. l，m是两条异面直线，且l∥，l∥，m∥， m∥ 4.若三角形ABC的三个顶点到平面的距离相等，则平面ABC与 的位置关系是 5.课本62页7题（画出图形） 6.课本62页8题（画出图形） 7. 课本63页2题（画出图形）
移 层 次
8．课本78页3题（画出图形）
9.课本78页5题（画出图形）
10.课本78页8题（画出图形）