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数学八年级上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题作业课件 新人教版
10．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马， 然后回到B处，请画出最短路径．
解：如图所示，AQ＋PQ＋BP为所求．
11．如图，某护城河同在CC′处直角转弯，河宽均为5米， 从A处到达B处，须经过两座桥：DD′，EE′(桥宽不计)， 设护城河以及两座桥都是东西，南北方向的， 如何架桥可使ADD′E′EB的路程最短？
第十三章 轴对称
13．4 课题学习 最短路径问题
1．如图，直线l外有不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C， 使得AC＋BC的长度最短，作法为： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点． 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( D) A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
8．如图，等边△ABC的边长为3，过点B的直线l⊥AB， 且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点， 则AD＋CD的最小值是_6__．
9．如图，小河边有两个村庄A，B， 要在河边建一个自来水厂分别向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B村的水管最省料，则应选择在哪建厂？ 解：(1)如图，连接AB，作AB的垂直平分线交EF于点M，点M即为所求． (2)如图，作点A关于EF的对称点A′， 连接A′B，交EF于点C，点C即为所求．
2．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A，B， 使△PAB周长最小的是(D )
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15， AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P， 使PB＋PD的值最小，则这个最小值为_6__.
人教版数学八年级上册课件13.4课题学习-最短路径问题
模型二：线型，两点在直线同侧 作对称一连接 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
C B′ （1）最短路径的常见模型？
如图所示，正方形ABCD的边长是4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则 这个最小值为（ ）
∴ AC +BC
题。
作对称，一连接
知识拓展 模型三：角型 两条直线找两个点
练习4.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从 马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马， 然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
A→Pห้องสมุดไป่ตู้→ Q → B
A′ P
Q
B′
两对称，一连接
思维拓展 = AC′+B′C′．
= AC′+B′C′． ∵∠1=∠2 ，∠3=∠4 （2）本节课研究问题的基本过程是什么？
练习5.如图，四边形ABCD中,∠BAD=120°∠B=∠D=90°, 如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这
一天的最短路线。
在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时， 总结方法：将同侧两点转化为异侧两点，利用“两点之间线段最短”解决路径最短问题。
连接AC′，BC′，B′C′．
B
由轴对称的性质知，
A
BC =B′C，BC′=B′C′．
∟
∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
C’ C
l
AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
C B′ （1）最短路径的常见模型？
如图所示，正方形ABCD的边长是4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则 这个最小值为（ ）
∴ AC +BC
题。
作对称，一连接
知识拓展 模型三：角型 两条直线找两个点
练习4.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从 马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马， 然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
A→Pห้องสมุดไป่ตู้→ Q → B
A′ P
Q
B′
两对称，一连接
思维拓展 = AC′+B′C′．
= AC′+B′C′． ∵∠1=∠2 ，∠3=∠4 （2）本节课研究问题的基本过程是什么？
练习5.如图，四边形ABCD中,∠BAD=120°∠B=∠D=90°, 如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这
一天的最短路线。
在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时， 总结方法：将同侧两点转化为异侧两点，利用“两点之间线段最短”解决路径最短问题。
连接AC′，BC′，B′C′．
B
由轴对称的性质知，
A
BC =B′C，BC′=B′C′．
∟
∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
C’ C
l
AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
《13.4 课题学习 最短路径问题》课件PPT3
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
A
·
C′ C
B
·
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把问 题转化为两点之间，线段最短问题呢？
再设情景 深入探究
作法：将点A沿与河垂直的方向平移EF的距离到A ′ ，那 么为了使AEFB最短，只需A ′ B最短。根据两点之间距离 最短，连接A ′ B，交河岸于点F，在此处造桥EF，所得 路径AEFB就是最短路径。
证明时要利用三角形三边关系来证明。
再设情景 深入探究
情景3：造桥选址问题 如图，A和B两地在一 条河的两岸，现要在河上造一座桥EF。桥造在 何处才能使从A到B的路径AEFB最短？（假定 河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。
1.你能仿照情景2将这个问 题抽象为数学问题吗？ 2.这个问题与前一个问题 有什么不同？ 3.要保证路径AEFB最短， 应怎样选址？
同侧问题
转化异侧问题
如何将点B“移”到l 的另
B
一侧B′处，满足直线l 上
A
的任意一点C都保持CB 与
CB′的长度相等？
C
l
设置情景 合作探究
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
A
【学习方案】八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题课件_1_11-15
典例精析
例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边
的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为
（）
B
A．7.5 B．5
C．4 D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
例2如图，在直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（1，
4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，且A ，B ，C
三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时点C 的
坐标是（）
A ．（0，3）
B ．（0，2）
C ．（0，1）
D ．（0，0）
解析：作B 点关于y 轴对称点B′，连接AB′，交y 轴于点C′，
此时△ABC 的周长最小，然后依据点A 与点B′的坐标可
得到BE 、AE 的长，然后证明△B′C′O 为等腰直角三角形
即可．A B′C ′E。
1《课题学习最短路径问题》PPT课件人教版数学八年级上册
作图问题：在直线 l 上求作一点C，使AC+BC最短．
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
E的位置，则点E即为所求.
2.如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB
边上的一动点，要使EC+ED最小，请确定点E的位置.
A
分析：点C，D为线段AB同侧的两点，
E
在线段AB上找到一点E使得CE+DE
课堂导入
相传古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名
叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，请教一个百
思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边
饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能
使路程最短？从此这个被称为“将军饮马”的问题广
泛流传.
B
A l
新知探究 知识点1 两点一线型
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
边形AMNB的周长最小.
A1
l1
作法：分别作点A，B关于直
线l1，l2的对称点A1，B1，连 接A1B1分别交直线l1，l2于点 M，N，则点M，N即为所求.
M
A
B
N
l2
B1
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边 形AMNB的周长最小.
解析：通过轴对称把周长最小问 题转化为两点间距离最短问题， 四边形AMNB的周长的最小值为 AM+MN+NB+AB=A1B1+AB，依 据的是两点之间，线段最短.
1 . 利 用 轴 对 称 , 平 移 等 变 化 解 决 简 单 的 最 短 路 径 生
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△AMN的周长最小. 小明先拿橘子再拿糖果，然后回到 如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形AMNB的周长最小. 作图问题：在直线 l 上求作一点C，使AC+BC最短．
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
E的位置，则点E即为所求.
2.如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB
边上的一动点，要使EC+ED最小，请确定点E的位置.
A
分析：点C，D为线段AB同侧的两点，
E
在线段AB上找到一点E使得CE+DE
课堂导入
相传古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名
叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，请教一个百
思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边
饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能
使路程最短？从此这个被称为“将军饮马”的问题广
泛流传.
B
A l
新知探究 知识点1 两点一线型
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
边形AMNB的周长最小.
A1
l1
作法：分别作点A，B关于直
线l1，l2的对称点A1，B1，连 接A1B1分别交直线l1，l2于点 M，N，则点M，N即为所求.
M
A
B
N
l2
B1
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边 形AMNB的周长最小.
解析：通过轴对称把周长最小问 题转化为两点间距离最短问题， 四边形AMNB的周长的最小值为 AM+MN+NB+AB=A1B1+AB，依 据的是两点之间，线段最短.
1 . 利 用 轴 对 称 , 平 移 等 变 化 解 决 简 单 的 最 短 路 径 生
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△AMN的周长最小. 小明先拿橘子再拿糖果，然后回到 如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形AMNB的周长最小. 作图问题：在直线 l 上求作一点C，使AC+BC最短．
人教版八年级上册数学同步课件-第13章-13.4 课题学习 最短路径问题
长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，3）
B．（0，2）
C′
C．（0，1）
D．（0，0）
B′
点拨：作B点关于y轴的对称点B′，连结
E
AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最
小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、
AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三
角形即可．
数学课堂教学课件设计
新课讲解
连结AB,与直线l相交于一点C.
根据“两点之间，线段最短”， A
可知这个交点即为所求.
C l
B
数学课堂教学课件设计
新课讲解
问题2 如果点A、B分别是直线l同侧的两个点，又
应该如何解决？ B
A
l 想一想：对于问题2，如何将点B“移” 到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意 一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点 所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动 点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连 线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长 最小时动点的位置.
数学课堂教学课件设计
新课讲解
2 造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座 桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的 两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，
则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
点拨：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C
关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值
第十三章 轴对称知识 课题学习 最短路径问题
的和最小.(画出图形，不写作法，保留作图痕迹)
图13-4-4
图13-4-3
解：如图13-4-4，以直线 l1 为对称轴作点A的对称点M， 以直线 l 2 为对称轴作点A的对称点N，连接MN，分别
A2 即为所求. 交 l1 , l 2 于点 A1 , A2 ,则 A1 ，
过两条直线内侧一点，分别作关于两条直线的对称点， 即可得三点所组成的三角形的周长最小.
例1 如图13-4-1，A，B两村合伙在河MN建一座扬水站，要
使所用管道最少，请你帮助他们确定扬水站的位置.(画出图
形，不写作法，保留作图痕迹)
图13-4-1 解：如图13-4-2,点O即为所求.
图13-4-2
例2 如图13-4-3，点A是总邮局，想在公路 l1 上建一分 局 A1 ，在公路 l 2 上建一分局 A2 ，使 AA1 A1 A2 AA2
△PMN的 分别交 l 和 l 2 1 周长最小 于点M，N， 点M，N即为 所求
P′P″，依据是两点
之间，线段最短
问题
类别
问题
作法
图例
思路与依据
在直线
l1 和
分别作点P，
Q关于 l1 和
l 2 上分别找
两线
间两 点 点 M， N， 使四边形 PQNM的周 长最小
通过轴对称把周长最 小问题转化为两点间
A.BM垂直于a
B.AM与BN不平行
C.AN垂直于b
D.AM平行于BN
解析：图13-4-5根据垂线段最短，得出MN是河的宽时最短，
即MN⊥直线a(或直线b)，只要AM+BN最短即可.如图13-4-5， 过点A作河的垂线AH，垂足为H，在AH所在直线上取点I， 使AI等于河宽，连接IB交河的b岸于点N，作MN垂直于河岸, 交a岸于点M，连接AM，所得MN即为所求.故选D.